第三章 函数的概念与性质 单元试卷-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本单元卷聚焦函数概念与性质，通过基础辨析、性质综合及创新应用（如高斯函数），全面考查数学抽象与逻辑推理，适配高中函数单元复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|定义域（第1题）、奇偶性与单调性（第4题）|设置多选（第9-11题），区分度高| |填空题|3题15分|分段函数最值（第12题）、恒成立问题（第13题）|结合分类讨论，考查数学思维| |解答题|5题77分|新定义应用（高斯函数，第17题）、性质证明（单调性定义，第16题）|综合考查数学语言表达与逻辑推理，贴合高考命题趋势|

第三章 函数的概念与性质单元测试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数的定义域为，则函数的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．下列各组函数表示同一函数的是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 4．下列函数中，既是奇函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数若，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．定义函数为不大于的最大整数，对于函数，有以下四个结论：①；②在每一个区间,上,都是增函数；③；④的定义域是,值域是.其中正确的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知是定义在上的偶函数，且在上为减函数，则的解集为（   ） A． B． C． D． 8．已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知点在幂函数的图象上，则函数是（    ） A．定义域内的减函数 B．奇函数 C．偶函数 D．上的减函数 10．关于函数，下列判断正确的是（ ） A．在上单调递减 B．在上单调递增 C．在上单调递减 D．在上单调递增 11．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则下列结论正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B． C．是周期函数 D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．函数在上的最大值与最小值之和为，则实数_________． 13．已知函数，当时，对于，恒成立，则取值范围为____________________． 14．已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．已知函数的解析式为 (1)画出这个函数的图象，并写出的最大值； (2)求的值 (3)解不等式 16．已知函数的表达式为． (1)若，解关于的不等式； (2)若是上的奇函数，求的值； (3)若，用函数单调性的定义证明函数在上是严格减函数． 17．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数称为高斯函数，其中表示不超过实数x的最大整数，如，． (1)求不等式的解集； (2)若，，，求m的取值范围； (3)若的解集为，求a的取值范围． 18．已知函数 (1)求实数的值 (2)已知“函数的图象关于点对称”的充要条件是“对于定义域内任何恒成立”，试用此结论证明：函数的图象的对称中心为 (3)若对于任意，都存在及实数，使得，求实数的值 19．已知定义在上的函数满足：对任意的，，，且当时，． (1)求，； (2)证明：是偶函数； (3)若在上单调递减，求不等式的解集． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D B B A C B B BD AC 题号 11 答案 ACD 1．D 【分析】根据给定条件，结合抽象函数的定义域列出不等式组求出定义域. 【详解】由函数的定义域为，函数有意义， 得，解得， 所以所求定义域为. 故选：D 2．D 【详解】对于A，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，A错误； 对于B，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，B错误； 对于C，的定义域为，的定义域为，所以不表示同一函数，C错误； 对于D，的定义域为，的定义域为，， 所以表示同一函数，D正确. 3．B 【详解】令，则，因为，所以， 由，可得， 所以． 4．B 【详解】对A，函数的定义域为，所以其是非奇非偶函数，所以A错误； 对B，的定义域为，定义域关于原点对称，令， 则，所以函数是奇函数，且函数在上单调递增， 则在上也单调递增，所以函数在上单调递增，所以B正确； 对C，函数的定义域为，关于原点对称，令，则， 所以函数为偶函数，所以C错误； 对D，函数的定义域为，定义域关于原点对称，令，则， 所以函数是奇函数，但其在上单调递减，在上单调递增，所以D错误． 5．A 【详解】由题意得，. 若，即，，解得. 若，即，，解得. 综上所述，. 6．C 【分析】根据函数的新定义，以及作出函数的图象，结合图象，即可求解，得到答案. 【详解】对于①中，，所以是正确的； 对于②中，结合图象，可得在每一个区间,上,都是增函数是正确的； 对于③中，由 ，所以是错误的； 对于④中，结合图象，可得函数的定义域是,值域是，所以是正确的. 故选C. 【点睛】本题主要考查了函数新定义问题，以及函数的性质的应用，其中解答中正确把握函数的新定义，以及作出函数的图象，结合图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与计算能力，属于基础题. 7．B 【分析】由偶函数定义域的对称性可求，从而可得在上为减函数，在上为增函数，距离对称轴越远，函数值越大，即可求解． 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，所以， 因为在上单调递减， 所以在上单调递增， 由可得， 解得或， 故不等式的解集为或. 故选：B． 8．B 【分析】将问题化为在上的值域是在上的值域的子集，讨论去绝对值求在上的值域，讨论、、结合一次函数性质求在值域，即可确定参数范围. 【详解】要使对任意的，总存在，使得成立， 即在上值域是在上值域的子集， 当时，， 函数在上单调递减，取值范围为， 当时，，取值集合为， 当时，， 函数在上单调递增，取值范围为， 所以在的值域， 对于函数，，， 若，函数的值域为，不合题意， 当时，函数在上单调递增，值域为； 因为，所以，解得， 当时，函数在上单调递减，值域为， 因为，所以，解得， 综上，实数m的取值范围是， 故选：B. 9．BD 【分析】根据幂函数的定义得出，再结合点的坐标得出解析式，根据解析式判断幂函数单调性及奇偶性即可求解． 【详解】由题意，解得，则， 将点，即代入，得，即， 定义域为，有， 故为奇函数，故B正确，C错误； 又，所以在和上为减函数，故A错误，D正确． 10．AC 【分析】通过分离常数+反比例函数平移的方法，结合初中已学的反比例函数单调性规律来分析. 【详解】将整理得： ， 该函数的定义域为， 其图象是由反比例函数的图象向左平移1个单位、再向下平移1个单位得到的. 当时，随增大而递增且恒为正，随增大而递减， 因此在上单调递减，A正确、B错误. 当时，随增大而递增且恒为负，随增大而递减， 因此在上单调递减，C正确、D错误. 11．ACD 【分析】根据已知等式结合函数奇偶性、对称性定义可判断A选项；在A选项中的等式中，利用赋值法求出的值，可判断B选项；利用奇偶性的定义可判断C选项；利用函数周期性的定义求出所求代数式的值，可判断D选项. 【详解】A选项，因为函数的定义域为，且为奇函数， 故对任意的，，即， 所以的图象关于点对称，故A正确； B选项，因为函数为偶函数，则对任意，， 令，则，故函数的图象关于直线对称， 在等式中，令可得，解得， 在等式中，令可得，故B错误； C选项，在等式中，用替代得， 即①， 在等式中，用替代可得， 即②， ②代入①可得，于是得出， 所以，即函数是周期为的周期函数，故C正确； D选项，因为，令可得， 又因为，，且函数是周期为的周期函数， 则 ，故D正确. 12． 【分析】分，，，四种情况讨论，结合条件，利用的单调性，即可求解. 【详解】若，易知在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递增， 由题知，解得，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又，，， 当，即时， 由题有，解得，又，则，所以满足题意， 当，即时，由题有，解得， 又，则，不合题意， 若，即时，在区间上单调递减， 由题知，解得，不合题意， 综上所述，实数. 13． 【分析】根据绝对值的概念，化简不等式，根据恒成立的条件，列出不等式，对不等式的参数进行分类讨论，进而求出参数范围. 【详解】由可得， 即， 对于是关于的一次函数，因为，，所以， 对于，恒成立，等价于恒成立， 即， 对于，当时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知，则此时函数在上单调递减， 所以时，得，解得，即取值范围为； 对于，可知时，不等式不能恒成立，不符合题意， 当时，即时，可得，在不等式恒成立，符合题意， 当时，即时，可知对称轴，则此时函数在上单调递增， 所以时，得，解得，即取值范围为； 综上所述，取值范围为. 14． 【分析】根据题意判断出函数的单调性，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】依题意，对任意，当时，都有， 所以在上单调递增，所以， 解得，所以实数的取值范围为. 故答案为： 15．(1)，最大值为4 (2) (3)或 【分析】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象，并根据图象求最值； （2）由分段函数各段定义域所对应的解析式，依次代入数值即可求解； （3）分别在各段解析式内解，并将结果取并集即可. 【详解】（1）根据分段函数的解析式，画出函数的图象， 当时，取得最大值4． （2），，， 即. （3）当时，，所以恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上可知，或， 所以不等式的解集为或. 16．(1) (2) (3) 当时，， 设，且. 展开分子： 因为，且， 所以，，， 所以， 所以， 所以. 因此，函数在上是严格减函数. 【分析】(1)用分式不等式法则计算即可； (2)由计算，再代入验证即可； (3)利用函数单调性的定义证明即可. 【详解】（1）当时，， 则不等式可化为. 因为恒成立， 得到. 即. 因式分解得， 不等式的解集为. （2）因为是上的奇函数，所以 将代入，解得， 当时，，其定义域为关于原点对称， 且， 满足奇函数的定义，因此. （3）略 17．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用十字相乘法得到，所以； （2），使得，又，则； （3）十字相乘得到，分，，三种情况，结合不等式解集为得到不等式，求出答案． 【详解】（1）由，即， ，所以． 所以的解集为； （2），，此时， 即，使得， 又， 则， 故的取值范围为； （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，不符合题意； ②若，， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得； ③若，， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，的范围为． 18．(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据得到； （2）假设函数的图像存在对称中心，得到，整理后得到方程组，求出，，得到对称中心； （3）变形得到，因为，所以，根据得到包含关系，得到不等式，求解即可. 【详解】（1）将代入，得，解得， （2）假设函数的图像存在对称中心， 则对于定义域内任何恒成立， 整理得恒成立， 所以，解得，， 故函数的对称中心为； （3）已知，由（2）可知函数的对称中心为， 故，因此， 因为函数在上单调递减， 所以，整理得， 因为，所以，则，所以， 又因为，所以，则可得不等式组， 解得：，因此实数的值为. 19．(1)， (2)令，则， 即对任意的，，所以是偶函数． (3) 【详解】（1）令，则，又，所以． 令，则，即， 又，所以． （2）略 （3）由(2)知， 因为在上单调递减，，， 所以由，得，解得， 即不等式的解集为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $