第54练 直线与椭圆、双曲线的位置关系 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦直线与椭圆、双曲线位置关系，以题载法构建“定义-方程-性质-应用”逻辑链，融合代数运算与几何直观，培养逻辑推理与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-8题|定义法、点差法、弦长公式、参数设线法|从圆锥曲线定义与方程出发，推导焦点、渐近线等性质，应用于交点判断、中点弦问题| |综合提升|9-16题|韦达定理、几何性质转化、综合证明|结合直线与曲线联立运算，深化位置关系中距离、面积、存在性等综合应用，体现知识迁移|

第54练　直线与椭圆、双曲线的位置关系 1.若过原点的直线l与双曲线-=1有两个不同的交点,则直线l的斜率的取值范围是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　 A. B. C. D.∪ 2.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A,B两点,若线段AB中点的坐标为(1,-1),则E的方程为 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 3.[2025·湖南邵阳一模] 经过椭圆+y2=1的右焦点F作倾斜角为60°的直线l,直线l与椭圆相交于A,B两点,则|AB|= (　 ) A. B. C. D. 4.设双曲线C:-=1的右焦点为F,过F作渐近线的垂线,垂足分别为M,N,若d是双曲线上任一点P到直线MN的距离,则的值为 (　 ) A. B. C. D.无法确定 5.已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,过点F的直线l与C交于A,B两点,若直线l的斜率为正数,且|AB|=,则直线l在y轴上的截距是 (　 ) A.1 B.-1 C. D.- 6.(多选题)已知双曲线M:-=1,且F1(-,0),F2(,0),则 (　 ) A.直线y=x与M有2个交点 B.直线y=x+1与M有2个交点 C.M上存在无数个点P,使得||PF1|-|PF2||为定值 D.M上仅存在4个点P,使得||PF1|-|PF2||为定值 7.[2025·四川凉山州三模] 点M在椭圆+=1上,F是椭圆的一个焦点,N为MF的中点,O为坐标原点,|ON|=4,则|OM|=　　　　.  8.设双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一个焦点为F,过F作一条渐近线的垂线,垂足为E.若线段EF的中点在C上,则C的离心率为　　　　.  9.[2025·四川广安模拟] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)上任意一点P到C的两个焦点F1(-2,0),F2(2,0)的距离之和为4. (1)求C的方程; (2)已知直线l:y=x+m与C相交于A,B两点,若|AB|=5,求m的值. 10.已知椭圆E:+=1(a>b>0)的左焦点为F,如图,过点F作倾斜角为60°的直线与椭圆E交于A,B两点,M为线段AB的中点,若5|FM|=|OF|(O为坐标原点),则椭圆E的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 11.(多选题)已知F1,F2分别为双曲线C:x2-=1的左、右焦点,点A为该双曲线右支上任意一点,点P(1,1),则下列结论中正确的是 (　 ) A.|AF1|-|AF2|=2 B.若∠F1AF2=90°,则△F1AF2的面积为2 C.过点P且与双曲线只有一个公共点的直线有3条 D.存在直线与双曲线交于M,N两点,且点P为MN的中点 12.[2025·北京海淀区期末] 在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(-2,0),P(cos θ,sin θ),则∠OAP的最大值为 (　 ) A. B. C. D. 13.[2025·辽宁重点中学二模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0),直线l:x+2y-6=0与C交于M,N两点,与两坐标轴分别交于点A,B,且M,N是线段AB的三等分点,则C的方程为　　　　　　　 .  14.[2025·嘉兴二模] 已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为e.过点F1且斜率不为0的直线l分别交C的左、右两支于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,且|AF1|·|BF1|=|AB|2. (1)求的值; (2)求e的取值范围; (3)若e=3,证明:|AF2|=|BF2|. 15.(多选题)[2025·杭州二模] 设曲线C:-y|y|=1,直线y=ax+b与曲线C的交点的可能个数构成的集合记为D(a,b),则 (　 ) A.D(a,b)={0,1,2,3} B.D(a,2)={0,1,2} C.D(a,-3a)={0,1,2} D.若D(a,b)={3},则|a|>且b<0 16.[2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知椭圆C:+=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是　　　　.  第54练　直线与椭圆、双曲线的位置关系 1.B　[解析] 因为-=1,所以a=2,b=,且焦点在x轴上,可知两条渐近线的斜率分别为k1=-,k2=.如图,要使过原点的直线l与双曲线有两个不同的交点,则直线l的斜率的取值范围是.故选B. 2.D　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),所以两式相减可得+=0, 又x1+x2=2,y1+y2=-2,故直线AB的斜率k==,故直线AB的方程为y=(x-3),联立直线与椭圆的方程得(a2+b2)x2-6b2x+9b2-a4=0,可得x1+x2==2,又因为a2-b2=9,所以b2=9,a2=18,故E的方程为+=1. 3.A　[解析] 由题意知a2=2,b2=1,∴c==1,即F(1,0).直线l的斜率k=tan 60°=,∴直线l的方程为y=(x-1).由 消去y整理得7x2-12x+4=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,∴|AB|=|x1-x2|==×=.故选A. 4.B　[解析] 由题意,易得直线MN的方程为x=,设P(x,y),则d=,|PF|=== =,所以==.故选B. 5.D　[解析] 如图,由题意知F(1,0),设l:x=ky+1(k>0),A(x1,y1),B(x2,y2),由 消去x整理得(k2+2)y2+2ky-1=0,所以y1+y2=-,y1y2=-,故|AB|==|y1-y2|=·= ·=·,又k>0,可得k=,故直线l的方程为x-y-1=0,令x=0,解得y=-,所以直线l在y轴上的截距为-.故选D. 6.AC　[解析] 由题意知F1,F2分别为双曲线M的左、右焦点,由双曲线的定义可知C正确,D错误.因为M的渐近线的斜率为±,直线y=x的斜率为1,且-<1<,所以直线y=x与M有2个交点,直线y=x+1与M仅有1个交点,A正确,B错误.故选AC. 7.5　[解析] 因为椭圆+=1,所以a=7,b=2,c=5.设椭圆的左焦点为F1,右焦点为F,连接MF1,因为N为MF的中点,O为F1F的中点,|ON|=4,所以|F1M|=8,故|MF|=2a-8=14-8=6,又|F1F|=10,所以∠F1MF=90°,所以|OM|=|F1F|=5. 8.　[解析] 不妨取一条渐近线的方程为y=x,F(c,0),则直线EF的方程为y=-(x-c),由 解得∴E,则线段EF的中点M的坐标为.由点M在双曲线上,得-=1,化简得c2=2a2,∴e2=2,∴e=. 9.解:(1)由题意可得解得故C的方程为+=1. (2)由得x2+2mx+3m2-12=0. 由Δ=4m2-4×(3m2-12)>0,解得m2<.设A(x1,y1),B(x2,y2),则故|AB|= =×=×=5,解得m=±,即m的值为±. 10.B　[解析] 依题意,椭圆的左焦点为F(-c,0),|FM|= |OF|=c,如图,过M作MM'⊥x轴,垂足为M',由∠MFM'=60°,得|FM'|=|FM|=c,|MM'|=|FM|=c,则M.设A(x1,y1),B(x2,y2),则= tan 60°=,=-c,=c.由+=1,+=1,两式相减得+ =0,则=-=-×=,所以椭圆E的离心率e====.故选B. 11.AB　[解析] 如图,对于A,根据双曲线的定义可得|AF1|-|AF2|=2,故A正确;对于B,因为∠F1AF2=90°,|F1F2|=2,所以|AF1|2+|AF2|2=12,又|AF1|-|AF2|=2,故|AF1|2+|AF2|2-2|AF1||AF2|=4,故|AF1||AF2|=4,故=|AF1||AF2|=2,故B正确;对于C,过点P(1,1)且与双曲线只有一个公共点的直线有与两条渐近线分别平行的两条直线、与双曲线右支相切的两条直线,共4条,故C错误;对于D,假设存在直线与双曲线交于M,N两点,P(1,1)为MN的中点,设M(x1,y1),N(x2,y2),则 即又故-=,即2(x1+x2)(x1-x2)=(y1+y2)(y1-y2),故=2,即kMN=2,由双曲线的性质可得过点P(1,1)且斜率为2的直线与双曲线无交点,故不存在直线与双曲线交于M,N两点,且点P为MN的中点,故D错误.故选AB. 12.B　[解析] 因为P(cos θ,sin θ),即所以又sin2θ+cos2θ=1,所以+=1,即点P在椭圆+x2=1上,又点A(-2,0)在椭圆外,所以当过点A(-2,0)的直线与椭圆相切于点P时,∠OAP取得最大值,如图,设切线PA的方程为y=k(x+2),由消去y整理得(3+k2)x2+4k2x+4k2-3=0,由Δ=16k4-4(3+k2)(4k2-3)=0,解得k=±1,所以∠OAP的最大值为.故选B. 13.+=1 [解析] 对于x+2y-6=0,令x=0得y=3,令y=0得x=6,如图,不妨设A(0,3),B(6,0),设M(x1,y1),N(x2,y2),M在N上方,则=(x1,y1-3),=(6-x2,-y2),=(6,-3).因为M,N是线段AB的三等分点,所以==(2,-1),==(2,-1),则x1=2,y1-3=-1,6-x2=2,-y2=-1,解得x1=2,y1=2,x2=4,y2=1,则M(2,2),N(4,1).因为M,N两点均在椭圆C上,所以解得所以椭圆C的方程为+=1. 14.解:(1)如图,设直线l的倾斜角为θ,由对称性,不妨设0<θ<. 由=sin θ,得|AF1|=,同理可得|BF1|=,|AB|=,因为|AF1|·|BF1|=|AB|2,所以=,即|y1||y2|=|y1-y2|2, 因为y1,y2同号且0<<1,所以(y1-y2)2=y1y2,所以-+1=0,可得=. (2)设直线l的方程为x=my-c(m≠0),由得(b2m2-a2)y2-2mcb2y+b4=0, 则b2m2-a2≠0,Δ>0,y1+y2=,y1y2=. 因为直线l交C的左、右两支于A(x1,y1),B(x2,y2)两点, 所以y1y2>0,则b2m2-a2>0,由(1)知(y1+y2)2=5y1y2,即=,化简得m2==,故=-1.由b2m2-a2>0,得0<<==e2-1, 即0<-1<e2-1,可得e>,故e的取值范围为(,+∞). (3)证明:当e=3时,c=3a,b=2a,由(2)得m2==,y1+y2=,则x1+x2=m(y1+y2)-6a=a.设线段AB的中点为M(x0,y0),则x0==,y0==,又F2(3a,0),所以==-m,又kl=,故·kl=-1,所以F2M⊥l,所以|AF2|=|BF2|. 15.ACD　[解析] 当y≥0时,可得-y2=1,双曲线-y2=1的渐近线方程为y=±,当y<0时,可得+y2=1,如图①所示,曲线C的上半部分为双曲线的一部分,下半部分为椭圆的一部分,且曲线C关于y轴对称,根据对称性,只需讨论a≥0的情况.当a=0时,若b<-1,则直线与曲线无交点;若b=-1,则直线与曲线有1个交点;若b>-1,则直线与曲线有2个交点.当0<a≤,b<-1时,如图②,当直线y=ax+b与椭圆部分相切时,直线与曲线有1个交点.若a不变,则当b→-1时,直线与曲线有2个交点,当b→-∞时,直线与曲线无交点.所以直线与曲线的交点个数有0,1,2三种可能.当0<a<,b≥-1时,如图③,直线y=ax+b与曲线C有2个交点.当a=,b≥-1时,直线y=ax+b与曲线C有1个或2个交点.当a>时,如图④,分别以直线y=ax+b与双曲线、椭圆部分相切为界,当直线在双曲线部分的切线上方时,直线与曲线有1个交点;当直线与双曲线部分相切时,直线与曲线有2个交点;当直线在椭圆部分的切线下方时,直线与曲线有1个交点;当直线与椭圆部分相切时,直线与曲线有2个交点;当直线在两条切线之间时,直线与曲线有3个交点.综上,D(a,b)={0,1,2,3},A正确.直线y=ax+2恒过点(0,2),如图⑤所示,当0≤a<时,直线与曲线有2个交点;当a≥时,直线与曲线有1个交点.所以直线y=ax+2与曲线C的交点个数可能为1,2,即D(a,2)={1,2},B错误.直线y=a(x-3)过定点(3,0),以直线与椭圆部分相切、直线与双曲线渐近线平行为界,由得(1+4a2)x2-24a2x+36a2-4=0,由Δ=576a4-4(1+4a2)(36a2-4)=0,a≥0,可得a=,如图⑥所示,当0≤a<时,直线与曲线有2个交点;当a=或a>时,直线与曲线有1个交点;当<a≤时,直线与曲线无交点.所以直线y=a(x-3)与曲线C的交点个数可能为0,1,2,即D(a,-3a)={0,1,2},C正确.结合A的分析知,当0≤a≤时,直线与曲线不可能有3个交点;当a>时,直线与曲线可能有3个交点,此时若b≥0,如图⑦,则直线y=ax+b与曲线C有且仅有1个交点,不符合,所以b<0,结合对称性可知,若直线与曲线有3个交点,则必有|a|>且b<0,D正确.故选ACD. 16.13 [解析] 不妨设F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,E在第一象限,如图,连接AF1,DF2,EF2.因为椭圆的离心率e==,所以a=2c,则b=c,所以|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|,可知△AF1F2为等边三角形,所以直线DE为AF2的中垂线,则△ADE的周长等于△F2DE的周长,由椭圆的定义知△F2DE的周长为4a.易知直线DE的方程为y=(x+c),由消去y,整理得13x2+8cx-32c2=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,由|DE|= =6,可得c=,所以4a=8c=13. 学科网（北京）股份有限公司 $