第53讲　椭圆 02 第2课时　直线与椭圆的位置关系专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦直线与椭圆位置关系，以代数法与几何法为核心，构建"定义-方程-位置关系-综合应用"的完整解题体系，渗透数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-7题|定义法求方程、点差法求中点弦、判别式判断位置关系|从椭圆定义与标准方程出发，通过坐标运算建立位置关系判定框架| |综合提升|8-17题|参数法求最值、焦半径公式应用、韦达定理处理弦长|结合导数几何意义与向量工具，实现从静态位置到动态变化的逻辑延伸|

第2课时　直线与椭圆的位置关系 (时间:45分钟) 1.已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.+y2=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 2.已知椭圆M:+=1(a>b>0),过M的右焦点F(3,0)作直线交椭圆于A,B两点,若AB的中点坐标为(2,1),则椭圆M的方程为 (　 ) A.+=1 B.+y2=1 C.+=1 D.+=1 3.椭圆+=1上的点到直线x+2y-=0的最大距离是 (　 ) A.3 B. C.2 D. 4.(多选题)已知椭圆C:+=1,则 (　 ) A.椭圆C的焦点坐标为(-1,0),(1,0) B.椭圆C的长轴长为4 C.椭圆C的离心率为 D.直线2x-y-3=0与椭圆C无交点 5.椭圆x2+4y2=16与直线y=x+1相交所得的弦长为　　　　.  6.直线2ax+ay+cy+2c=0与椭圆+=1的位置关系是　　　　.  7.[2024·葫芦岛一模] 已知椭圆G:+=1,A,B为G的短轴端点,P为G上异于A,B的一点,则直线AP,BP的斜率之积为　　　　.  8.已知F1,F2分别是椭圆E:+=1的左、右焦点,M是椭圆E在第一象限内的一个动点,若∠F1MF2是锐角,则椭圆E在点M处的切线的斜率的取值范围是 (　 ) A. B. C.(-∞,-) D.(,+∞) 9.已知点F(1,0),直线l:x=4,动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半,若某直线上存在这样的点P,则称该直线为“最远距离直线”.下列说法中错误的是 (　 ) A.点P的轨迹方程是+=1 B.直线l1:x+2y-4=0是“最远距离直线” C.平面上有一点A(-1,1),则|PA|+2|PF|的最小值为5 D.点P的轨迹与圆C:x2+y2-2x=0没有交点 10.已知椭圆+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,P(x0,y0)(x0>0,y0>0)为椭圆上一点,直线PF1,PF2分别交椭圆于另一点M,N,则当直线MN的斜率为-时,= (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 11.(多选题)已知圆M:(x+r)2+y2=r2(r>0)在椭圆C:+=1(a>b>0)的内部,点A为C上一动点,O为坐标原点.过点A作圆M的一条切线,交C于另一点B,切点为D,若D为AB的中点,且直线MD的斜率为-,则 (　 ) A.直线AB的斜率为 B.直线OD的斜率为-2 C.直线OD的斜率为- D.椭圆C的离心率为 12.已知A,B为椭圆+=1上两个不同的点,F为其右焦点,|AF|+|BF|=4,若线段AB的垂直平分线交x轴于点T,则|FT|= 　　　　.  13.[2022·新高考全国Ⅰ卷] 已知椭圆C:+=1(a>b>0),C的上顶点为A,两个焦点为F1,F2,离心率为.过F1且垂直于AF2的直线与C交于D,E两点,|DE|=6,则△ADE的周长是　　　　.  14.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,C的两个顶点和一个焦点构成等边三角形. (1)求椭圆C的标准方程; (2)直线y=kx+2(k>0)与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点,若△AOB的面积为,求k的值. 15.已知F1,F2分别为椭圆Γ:+y2=1的左、右焦点,直线l:y=kx+t与椭圆Γ有且仅有一个公共点,直线F1M⊥l,F2N⊥l,垂足分别为点M,N. (1)求证:t2=2k2+1; (2)求证:·为定值. 16.(多选题)[2024·辽宁葫芦岛二模] 已知椭圆:+=1(a>b>0)与双曲线:-=1(m>0,n>0)有公共焦点F1,F2,它们的离心率分别为e1,e2,P是它们在第一象限内的交点,△F1PF2的内切圆圆心为Q,∠F1PF2=α,O为坐标原点,则下列结论正确的是 (　 ) A.若|OP|=|F1F2|,则+=2 B.若α=,则e1e2的最小值为 C.过F2作直线PQ的垂线,垂足为H,则点H的轨迹是双曲线的一部分 D.两曲线在点P处的切线互相垂直 17.[2024·宁波二模] 在平面直角坐标系xOy中,定义d(A,B)=|x1-x2|+|y1-y2|为A(x1,y1),B(x2,y2)两点间的“曼哈顿距离”.已知椭圆C:+y2=1,点P,Q,R在椭圆C上,PQ⊥x轴.点M,N满足=,=2.若直线MQ与NR的交点在x轴上,则d(R,Q)的最大值为　　　　.  参考答案 第2课时　直线与椭圆的位置关系 1.C　[解析] 由题意可知解得所以椭圆C的方程为+=1.故选C. 2.D　[解析] 直线AB的斜率k==-1,设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程可得+=1,+=1,两式相减,整理得-=0,又c=3,a2=b2+c2,所以a2=18,b2=9,所以椭圆M的方程为+=1.故选D. 3.D　[解析] 设与直线x+2y-=0平行且与椭圆+=1相切的直线方程为x+2y+m=0,由消去x整理得8y2+4my-16+m2=0,即2y2+my-4+=0,由Δ=m2-8=0,解得m=±4.易知直线x+2y+4=0与x+2y-=0间的距离即为所求的最大距离,最大距离为=,故选D. 4.BC　[解析] 易知椭圆C的焦点在y轴上,焦点坐标为(0,-1),(0,1),故A错误;椭圆C的长轴长为4,故B正确;椭圆C的离心率为=,故C正确;由消去y整理得16x2-36x+15=0,因为Δ=362-4×16×15=336>0,所以直线2x-y-3=0与椭圆C有两个交点,故D错误.故选BC. 5.　[解析] 由消去y整理得x2+2x-6=0.设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=-2,x1x2=-6,∴|MN|=|x1-x2|= = =. 6.相交　[解析] 因为2ax+ay+cy+2c=0可化为a(2x+y)+(y+2)c=0,所以直线2ax+ay+cy+2c=0过定点(1,-2),又点(1,-2)在椭圆+=1内部,所以直线2ax+ay+cy+2c=0与椭圆+=1的位置关系是相交. 7.-　[解析] 设P(x0,y0)(x0≠0),则+=1,即-3=-,不妨令A,B的坐标分别为(0,),(0,-),则kAP·kBP=·===-. 8.B　[解析] 由题意知F1(-2,0),F2(2,0),设M(x0,y0)(x0>0,y0>0),则+=1①.当MF1⊥MF2时,可得(x0-2)(x0+2)+=0②,由①②得x0=,y0=1,所以当∠F1MF2是锐角时,<x0<.由+=1,得y2=2-,故y=(y≥0),求导可得y'=-×,当x=时,y'=-,即椭圆E在点(,1)处的切线斜率为-,故椭圆E在点M处的切线的斜率的取值范围是.故选B. 9.D　[解析] 设P(x,y),因为动点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半,所以2=|x-4|,整理得+=1,A中说法正确;由可得x2-2x+1=0,解得x=1,所以直线l1上存在点P满足题意,故直线l1:x+2y-4=0是“最远距离直线”,B中说法正确;如图,过P作PB垂直于直线l:x=4,垂足为B,由题意得|PB|=2|PF|,则|PA|+2|PF|=|PA|+|PB|,由图可知|PA|+|PB|的最小值即为点A到直线l:x=4的距离5,C中说法正确;由x2+y2-2x=0得(x-1)2+y2=1,圆C的圆心为(1,0),半径为1,易得点P的轨迹与圆C交于点(2,0),D中说法错误.故选D. 10.D　[解析] 由已知得F1(-2,0),F2(2,0),易知直线PF1的斜率存在,设直线PF1的方程为y=k1(x+2),与椭圆方程联立得(5+1)x2+20x+20-5=0,由根与系数的关系得xM+x0==,所以xM=-x0=-,所以yM=(xM+2)=-,同理得xN=,yN=,所以kMN====-=-,所以=5.故选D. 11.AD　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0,y0),则2x0=x1+x2,2y0=y1+y2,将A,B的坐标代入椭圆C的方程,得两式相减得(-)+(-)=0,所以+××=0,因为直线MD的斜率为-,AB⊥MD,所以直线AB的斜率为,所以+×=0,A正确.设E为椭圆C的左顶点,则∠DME=2∠DOM,所以tan∠DME=tan 2∠DOM==,解得tan∠DOM=或-2(舍去),故直线OD的斜率为-,B错误,C错误.因为+××=0,所以=,故e==,D正确.故选AD. 12.　[解析] 因为椭圆方程为+=1,所以a2=9,b2=5,c2=4,所以离心率e=.设A(x1,y1),B(x2,y2),T(x0,0),因为F为右焦点,|AF|+|BF|=4,所以由焦半径公式得+=4,整理得x1+x2=3,则线段AB的中点坐标为.kAB=,则线段AB的垂直平分线的斜率为-.由点A,B在椭圆上,得+=1,+=1,两式相减化简得-=(-).线段AB的垂直平分线的方程为y=-+,将T(x0,0)的坐标代入,得x0-===-=-,故x0=,则|FT|=2-=. 13.13　[解析] 不妨设F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点,E在第一象限,如图,连接AF1,DF2,EF2.因为椭圆的离心率e==,所以a=2c,则b=c,所以|AF1|=|AF2|=a=2c=|F1F2|,可知△AF1F2为等边三角形,所以直线DE为AF2的中垂线,则△ADE的周长等于△F2DE的周长,由椭圆的定义知△F2DE的周长为4a.易知直线DE的方程为y=(x+c),由消去y,整理得13x2+8cx-32c2=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=-,由|DE|==6,可得c=,所以4a=8c=13. 14.解:(1)由题知2a=4,得a=2.若两个顶点和一个焦点构成等边三角形,则两个顶点只能为短轴的两个端点,则a=2b=2,∴b=1,故椭圆C的标准方程为+y2=1. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2),将椭圆方程与直线方程联立,化简得(1+4k2)x2+16kx+12=0,其中Δ=(16k)2-48(1+4k2)>0,解得k2>,则x1+x2=-,x1x2=, ∴|AB|=× =× = ×. 原点O到直线AB的距离d=,则S△AOB=|AB|·d==,化简得4k4-23k2+19=0,解得k2=或k2=1,又k>0且k2>,所以k=或k=1. 15.证明:(1)联立y=kx+t与+y2=1,消去y得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-2=0,由直线与椭圆有且仅有一个公共点可知Δ=(4kt)2-4(2k2+1)(2t2-2)=0, 化简得t2=2k2+1. (2)由题意得F1(-1,0),F2(1,0), 因为F1M⊥l,F2N⊥l,所以F1M∥F2N,故·=||·||,其中||=,||=,所以·=||·||=·===1,故·为定值. 16.ABD　[解析] 对于A选项,因为|OP|=|F1F2|=c,所以∠PF1F2=∠F1PO,∠PF2F1=∠F2PO,又∠PF1F2+∠F1PO+∠PF2F1+∠F2PO=π,故∠F1PO+∠F2PO=,则PF1⊥PF2,由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a,由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2m,解得|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,由勾股定理得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,即(a+m)2+(a-m)2=4c2,化简得a2+m2=2c2,即+=2,又e1=,e2=,所以+=2,A正确.对于B选项,若α=,则由余弦定理得cos==,即+-4c2=|PF1|·|PF2|,又|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,代入上式得2a2+2m2-4c2=a2-m2,即a2+3m2=4c2,即+=4,又e1=>0,e2=>0,所以+=4,由基本不等式得+≥2=,即4≥,解得e1e2≥,当且仅当e1=e2时,等号成立,则e1e2的最小值为,B正确.对于C选项,延长F2H,交F1P于点M,因为PH平分∠F1PF2,F2M⊥PH,所以|PM|=|PF2|,H为F2M的中点,则|F1M|=|PF1|-|PM|=|PF1|-|PF2|=2m,连接OH,由中位线的性质得|OH|=|F1M|=m,故点H的轨迹是以O为圆心,m为半径的圆的一部分,C错误.对于D选项,下面证明椭圆+=1(a>b>0)在点P(x0,y0)处的切线方程为+=1.证明:当y0≠0时,切线的斜率存在,设切线方程为y=kx+q,代入椭圆方程得(a2k2+b2)x2+2a2kqx+a2q2-a2b2=0,由Δ=-4(a2k2+b2)(a2q2-a2b2)=0,化简得a2k2-q2+b2=0,所以x0===,把x0=代入y0=kx0+q,得y0=,所以k=-=-·=-,则椭圆在点P(x0,y0)处的切线斜率为-,切线方程为y-y0=-(x-x0),整理得到a2y0y+b2x0x=a2+b2,其中b2+a2=a2b2,故a2y0y+b2x0x=a2b2,即+=1.当y0=0时,x0=a或-a.当x0=a时,切线方程为x=a,满足+=1;当x0=-a时,切线方程为x=-a,满足+=1.综上,椭圆+=1(a>b>0)在点P(x0,y0)处的切线方程为+=1.同理可证双曲线-=1(m>0,n>0)在点P(x0,y0)处的切线方程为-=1.故椭圆+=1(a>b>0)在点P(x0,y0)处的切线斜率为-,双曲线-=1(m>0,n>0)在点P(x0,y0)处的切线斜率为.因为+=1,-=1,所以+=-,化简得-=·,又a2-b2=m2+n2,所以-=-,故=,则两曲线在点P处的切线的斜率之积为-·=-=-1,故两曲线在点P处的切线互相垂直,D正确.故选ABD. 17.2　[解析] 设P(x1,y1),R(x2,y2),由题意得Q(x1,-y1),M.不妨设点P位于第一象限,由=2可得N.设直线MQ与NR的交点为T(t,0),则有∥,∥.=(t-x1,y1),=,由∥可得(t-x1)=y1×,整理得t=①.=(t-x2,-y2),=,由∥可得(t-x2)=-y2(x1-x2),整理得t=②.由①②可得(x1-x2)=y1y2(x1-x2),由题意知x1≠x2,y1≠0,所以y1=y2,由椭圆的对称性可知x1=-x2.d(R,Q)=|x1-x2|+|-y1-y2|=2x1+2y1,因为+=1,所以设x1=cos α,y1=sin α,α∈,则d(R,Q)=2x1+2y1=2cos α+2sin α=2sin(α+θ),其中tan θ=,所以当α+θ=时,d(R,Q)取得最大值2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $