06 椭圆与平面向量交汇问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦椭圆与平面向量交汇，以高考真题为载体，覆盖基础计算与综合应用，强化几何条件向向量关系的转化逻辑，培养推理能力与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|4（如2023全国甲卷第7题）|选择/填空，离心率、方程求解|椭圆定义→标准方程→离心率，向量模长转化坐标关系| |综合交汇|6（如2025上海卷第20题）|解答题，定点证明、面积问题|直线与椭圆联立→向量共线/垂直→参数关系推导| |教材回归|1（人教B版复习题）|轨迹方程求解|向量加法运算→坐标代入法，体现教材与真题衔接|

2027届高三一轮复习圆锥曲线教材+真题版专项练习 ——06 椭圆与平面向量交汇问题 专项练习： 1. 【2025年上海卷数学第20题节选】已知椭圆，，A是的右顶点． （1）若的焦点，求离心率e； （2）若，且上存在一点P，满足，求m； 2. 【2023年全国甲卷文科第7题】设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 3.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． （1）求E的方程； （2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 4.已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 5.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点． (1)求的周长； (2)在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值； (3)设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标． 6.已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)已知点满足，点在椭圆上(异于椭圆的顶点)，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 7．已知A、B分别为椭圆E：(a>1)左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． (1)求E方程； (2)证明：直线CD过定点． 8．已知点，椭圆上两点满足，则当 时，点横坐标的绝对值最大． 9．已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为()． (1)证明：； (2)设为的右焦点，为上一点，且，证明：，，成等差数列，并求该数列的公差． 10．设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为 ，点 满足． (1)求点 的轨迹方程； (2)设点 在直线 上，且．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点． 11.在平面直角坐标系y中,已知椭圆,为的上顶点,为上异于上、下顶点的动点,为正半轴上的动点． (1)若在第一象限,且,求的坐标; (2)设,若以、、为顶点的三角形是直角三角形,求的横坐标; (3)若,直线与交于另一点,且,,求直线的方程． 回归教材： 【人教B版选择性必修一复习题03B组第24题】设A、B分别是直线和上的动点，且，设O为坐标原点，动点P满足，求动点P的轨迹方程。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三一轮复习圆锥曲线教材+真题版专项练习 ——06 椭圆与平面向量交汇问题 专项练习： 1. 【2025年上海卷数学第20题节选】已知椭圆，，A是的右顶点． （1）若的焦点，求离心率e； （2）若，且上存在一点P，满足，求m； 【答案】（1）；（2）； 【分析】（1）由方程可得，再由焦点坐标得，从而求出得离心率； （2）设点坐标，由向量关系坐标化可解得坐标，代入椭圆方程可得； 【解析】（1）由题意知，，则，由右焦点，可知，则， 故离心率. （2）由题意，，由得，解得， 代入，得，又，解得. 2. 【2023年全国甲卷文科第7题】设为椭圆的两个焦点，点在上，若，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 【答案】B 【分析】方法一：根据焦点三角形面积公式求出的面积，即可解出； 方法二：根据椭圆的定义以及勾股定理即可解出． 【详解】方法一：因为，所以，从而，所以．故选：B. 方法二：因为，所以，由椭圆方程可知，， 所以，又，平方得： ，所以．故选：B. 3.已知椭圆E的中心为坐标原点，对称轴为x轴、y轴，且过两点． （1）求E的方程； （2）设过点的直线交E于M，N两点，过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T，点H满足．证明：直线HN过定点． 【分析】（1）将给定点代入设出的方程求解即可； （2）设出直线方程，与椭圆C的方程联立，分情况讨论斜率是否存在，即可得解. 【解析】（1）设椭圆E的方程为，过， 则，解得，，所以椭圆E的方程为：. （2），所以， ①若过点的直线斜率不存在，直线.代入，可得，，代入AB方程，可得，由得到.求得HN方程：，过点. ②若过点的直线斜率存在，设. 联立得， 可得，，且 联立可得可求得此时，将，代入整理得，将代入，得显然成立， 综上，可得直线HN过定点 【点睛】求定点、定值问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 4.已知椭圆的离心率为，分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点．若，则C的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据离心率及，解得关于的等量关系式，即可得解. 【详解】因为离心率，解得，，分别为C左右顶点， 则，B为上顶点，所以.所以，因为所以，将代入，解得，故椭圆的方程为.故选：B. 5.在平面直角坐标系中，已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上且在第一象限内，，直线与椭圆相交于另一点． (1)求的周长； (2)在轴上任取一点，直线与椭圆的右准线相交于点，求的最小值； (3)设点在椭圆上，记与的面积分别为，若，求点的坐标． 【答案】(1)；(2)；(3)或． 【解析】(1)∵椭圆的方程为,, 由椭圆定义可得：．的周长为 (2)设，根据题意可得．∵点在椭圆上，且在第一象限， ,∵准线方程为,, ，当且仅当时取等号． 的最小值为． (3)设，点到直线的距离为．， ∴直线的方程为,∵点到直线的距离为， ,,① ②,∴联立①②解得，．或． 6.已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点． (Ⅰ)求椭圆方程； (Ⅱ)已知点满足，点在椭圆上(异于椭圆的顶点)，直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程． 【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，或． 【解析】(Ⅰ)椭圆的一个顶点为， ，由，得，又由，得， 所以，椭圆的方程为； (Ⅱ)直线与以为圆心的圆相切于点，所以， 根据题意可知，直线和直线的斜率均存在， 设直线的斜率为，则直线的方程为，即， ，消去，可得，解得或． 将代入，得， 所以，点的坐标为，因为为线段的中点，点的坐标为， 所以点的坐标为，由，得点的坐标为， 所以，直线的斜率为，又因为，所以， 整理得，解得或．所以，直线的方程为或． 7．已知A、B分别为椭圆E：(a>1)左、右顶点，G为E的上顶点，，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D． (1)求E方程； (2)证明：直线CD过定点． 【答案】（1）；（2）证明详见解析． 【解析】（1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程可得：， ， ，，椭圆方程为： （2）证明：设，则直线的方程为：，即： 联立直线的方程与椭圆方程可得：，整理得： ，解得：或 将代入直线可得： 所以点的坐标为．同理可得：点的坐标为 直线的方程为：， 整理可得： 整理得：，故直线过定点 【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，属于难题． 8．已知点，椭圆上两点满足，则当 时，点横坐标的绝对值最大． 【答案】5 解析：解法1：本题的通法为应用圆锥曲线中非对称结构应用韦达定理的模型，设， 当直线的斜率不存在时，此时； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，联立方程， 可得，由题意，得， 由韦达定理得：，，由可得， 联立后解得：， 所以，(当且仅当时取等号)， 此时，得， 经验证符合题意，所以当时，点的横坐标的绝对值最大． 解法2：联立求解，设，由，可得， 由均在椭圆上可知， ，先消，得， 再代入得 ， 当时，有最大值4，即点的横坐标的绝对值的最大值为2． 解法3：三角换元，设，因为，则， 所以，即， 所以，即，当时，点的横坐标的绝对值最大． 解法4：借助常用的椭圆的两斜率之积等于模型 当直线的斜率不存在时，此时； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，设，中点为， 由，可得，由， 得，解得(当且仅当时取等号)，当时，代入椭圆方程可得． 9．已知斜率为的直线与椭圆交于两点，线段的中点为()． (1)证明：； (2)设为的右焦点，为上一点，且，证明：，，成等差数列，并求该数列的公差． 【解析】（1）设，，则有，， 两式相减，并由，得，由题设知，，于是①，由题设，故， （2）由题意得，设，则， 由（1）及题设得，，又点在上，所以，从而，，于是， 同理，所以， 故，即成等差数列， 设该数列的公差为，则②， 将代入①得，所以的方程为，代入的方程，并整理得， 故，，代入②解得，所以该数列的公差为或． 【民间解析】（1）法一：设直线，交点， 则有，， 联立方程，消去并整理可得， 所以，所以， 代入可得，所以， 所以，所以或①， 又， 即②，由①②可知， 法二：设，，则有③，④， 两式相减可得，所以， 依题意，，所以， 又点在椭圆内，所以，而，所以， 所以． （2）由椭圆的方程可知，，设 因为，所以，所以， 所以，故，又因为点在椭圆上，所以， 解得，所以，此时直线的方程为：即， 联立方程，消去并整理可得， 所以，又，所以， 所以， 同理所以， 而所以，故，，成等差数列， 设公差为，则有， 所以． 10．设O为坐标原点，动点M在椭圆C：上，过M做x轴的垂线，垂足为 ，点 满足． (1)求点 的轨迹方程； (2)设点 在直线 上，且．证明：过点 且垂直于 的直线 过 的左焦点． 【答案】(1)；(2)证明略． 【解析】（Ⅰ）解法一：相关点法求轨迹： 设，,，则：,． 又,所以：，则：． 又在椭圆C上，所以：。所以：． 解法二：椭圆C的参数方程为：（为参数）． 设，,，则：,． 又,所以：，则：． 则：． （Ⅱ）解法一：设，,,则，,，．又,所以：， 即：． 那么． 所以．即过垂直于的直线过椭圆C的左焦点。 解法二：设，,,则， ,，． 又,所以． 又在上，所以：． 又．所以：． 即过垂直于的直线过椭圆 的左焦点． 【点评】求轨迹方程的常用方法有： (1)直接法：直接利用条件建立x，y之间的关系F(x，y)＝0。 (2)待定系数法：已知所求曲线的类型，求曲线方程。 (3)定义法：先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线，再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程。 (4)代入(相关点)法：动点P(x，y)依赖于另一动点Q(x0，y0)的变化而运动，常利用代入法求动点P(x，y)的轨迹方程． 11.在平面直角坐标系y中,已知椭圆,为的上顶点,为上异于上、下顶点的动点,为正半轴上的动点． (1)若在第一象限,且,求的坐标; (2)设,若以、、为顶点的三角形是直角三角形,求的横坐标; (3)若,直线与交于另一点,且,,求直线的方程． 【解析】(1)联立与,可得; (2)设,或, ; (3)设,线段的中垂线与轴的交点即,∵, ∴,∵,∴,代入并联立椭圆方程, 解得,,∴,∴直线的方程为． 回归教材： 【人教B版选择性必修一复习题03B组第24题】设A、B分别是直线和上的动点，且，设O为坐标原点，动点P满足，求动点P的轨迹方程。 【答案】 【解析】设，由： 解得：，：两边同除以 20： 重新代入：，同乘 20： 1 学科网（北京）股份有限公司 $