第25章一元二次方程单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级数学上册一元二次方程单元卷，覆盖概念、解法及应用，结合疫情口罩销售、教育经费增长等现实情境，注重模型意识与运算能力，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|定义、解法、根的判别式|基础辨析，如第1题定义判断、第5题判别式应用| |填空题|5/15|方程求解、三角形边长、增长率|第13题结合三角形三边关系，体现几何直观| |解答题|8/75|解方程、利润问题、几何综合|第21题疫情口罩销售（时代情境），23题几何面积（数学思维）|

第25章一元二次方程单元测试 2026-2027学年人教版九年级数学上册 姓名    班级    分数       1、 选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）. 1.下列方程一定是关于的一元二次方程的是. A. B. C. D. 2.已知是关于的一元二次方程的一个根，则的值是. A. B. C. D. 3.若关于的一元二次方程的常数项为，则的值为. A. B. C. D. 4.用配方法解方程时，配方结果正确的是. A. B. C. D. 5.一元二次方程的根的情况是. A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 6.两年前生产千克甲种药品的成本为元，随着生产技术的进步，现在生产千克甲种药品的成本为元设甲种药品成本的年平均下降率为，根据题意，下列方程正确的是. A. B. C. D. 7.某中学组织初三学生篮球比赛，以班为单位，每两班之间都比赛一场，计划安排场比赛，则共有多少个班级参赛？. A. B. C. D.    8.若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围为. A. B. 且 C. D. 且 9.已知关于的一元二次方程的两个实数根分别为，，且，则的值是. A. B. C. D. 10.设、是方程的两个实数根，则的值为. A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）. 11.一元二次方程的根是        ． 12.已知关于的一元二次方程有一个根为，则    ． 13.三角形的两边长分别为和，第三边的长是方程的解，则这个三角形的周长是      ． 14.某药店一月份销售口罩包，一至三月份共销售口罩包，设该店二、三月份销售口罩的月平均增长率为，则可列方程       ． 15.若实数是一元二次方程的一个根，则的值为      ． 三、解答题：本题共8小题，共75分. 16.本小题分用适当的方法解下列方程： ． 17.本小题分关于的方程有实数根，且为正整数，求的值及此时方程的根． 18.本小题分已知关于的方程有两个不相等的实数根、 求实数的取值范围； 若，求实数的值． 19.本小题分某地区年投入教育经费万元，年投入教育经费万元． 求年至5年该地区投入教育经费的年平均增长率； 根据所得的年平均增长率，预计年该地区将投入教育经费多少万元． 20.本小题分已知关于的一元二次方程有两个实数根． 求实数的取值范围： 若、是该方程的两个根，且满足，求的值． 21.本小题9分今年我国发生了较为严重的新冠肺炎疫情，口罩供不应求，某商店恰好年前新进了一批口罩，若按每个盈利元销售，每天可售出个，如果每个口罩的售价上涨元，则销售量就减少件，问每件涨价多少元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为元？ 22.本小题分已知关于的一元二次方程有实数根． 求的取值范围； 若该方程的两个实数根为、，且，求的值． 23.本小题分如图，在中，，，，点从点出发，以的速度向点移动，点从点出发，以的速度向点移动．如果、两点同时出发，经过几秒后的面积等于？ 答案和解析 1.【答案】  【解析】 解：、不是整式方程，不合题意； B、含有个未知数，不合题意； C、当时，不合题意； D、是只含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数为，二次项系数不为的整式方程，符合题意． 2.【答案】  【解析】 解：把代入方程得：， 解得：． 故选． 3.【答案】  【解析】略 4.【答案】  【解析】 解：移项得， 配方得， 即． 故选A． 5.【答案】  【解析】 解：原方程可化为：， ，，， ， 方程有两个不相等的实数根． 故选． 6.【答案】  【解析】解：根据题意得：． 故选． 利用现在生产千克甲种药品的成本两年前生产千克甲种药品的成本甲种药品成本的年平均下降率，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 7.【答案】  【解析】 解：设共有个班级参赛，根据题意得： ， 解得：，不合题意，舍去， 则共有个班级参赛． 故选C． 8.【答案】  【解析】 解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得且． 9.【答案】  【解析】解：关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ，， ， ， ， 整理得出：， 解得：， 故选． 利用根与系数的关系得出，，进而得出关于的一元二次方程求出即可． 本题考查了一元二次方程为常数根与系数的关系：，． 10.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，，也考查了一元二次方程的解．先根据一元二次方程的解的定义得到，变形得到，则原式化简为，然后根据根与系数的关系求解． 【解答】 解：是方程的实数根， ， ， 原式 、是方程的两个实数根， ， 原式． 故选D． 11.【答案】，  【解析】解：由题意可得或， 解得，． 故答案为，． 利用因式分解法的原理把方程化为或，然后解两个一次方程即可． 本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 12.【答案】  【解析】解：把代入，得：， 解得， ， ． 故答案为． 根据一元二次方程的解的定义把代入原方程得到关于的一元二次方程，解得，然后根据一元二次方程的定义确定的值． 本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．也考查了一元二次方程的定义． 13.【答案】  【解析】解：， ， 解得：，， 若，即第三边为，，不能构成三角形，舍去； 当时，这个三角形周长为， 故答案为． 先利用因式分解法解方程得到，，再根据三角形三边的关系得到三角形第三边长为，然后计算三角形的周长． 此题考查了解一元二次方程因式分解法，以及三角形的三边关系，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． 14.【答案】  【解析】解：根据题意，可得：， 故答案为． 本题考查理解题意的能力，本题是个增长率问题，发生了两次变化，先找出一月份的产量和三月份的产量，从而可列出方程． 15.【答案】  【解析】【分析】 本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于的式子，代入代数式化简求值把代入方程有，变形可得 ，代入代数式可以求出结果． 【解答】 解：是一元二次方程的一个根，  ， ． 故答案为． 16.【答案】，，． ，． ， ， ． ，． ， ， 或． ，． 原方程可化为， 或． 解得，． 17.【答案】解：关于的方程有实数根， ， 解得， 为正整数， ， ， 则， 解得．  【解析】此题主要考查了根的判别式以及一元二次方程的解法，正确得出的值是解题关键．直接利用根的判别式得出的取值范围进而解方程得出答案． 18.【答案】解： 由题意得：， 解得， 即实数的取值范围是； 由根与系数的关系得：， 由题意，， 所以，，， 由根与系数的关系得：．  【解析】【试题解析】 本题考查了根与系数的关系和根的判别式、一元二次方程的解，能熟记根与系数的关系的内容和根的判别式的内容是解此题的关键． 根据根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可； 根据根与系数的关系得出，由题意，，求出，，再根据根与系数的关系求出即可． 19.【答案】解：设年至年该地区投入教育经费的年平均增长率为，根据题意年为万元，年为万元． 则， 解得，不合题意舍去． 答：年至年该地区投入教育经费的年平均增长率为． 万元． 故年该地区将投入教育经费万元．  本题考查了一元二次方程中增长率的知识．增长前的量年平均增长率增长后的量． 20.【答案】解：有两个实数根， ， ， ； ，是该方程的两个根， ，， ， ， 或． ， ． 【解析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握根的判别式以及根与系数的关系是解题关键． 直接根据根的判别式列出不等式求解即可； 根据根与系数的关系列方程求解即可． 21.【答案】解：设应将每件涨价元，则每天可售出个， 依题意，得：， 整理，得， 解得，． 又要让顾客得到实惠， ． 答：应将每件涨价元时，才能让顾客得到实惠的同时每天利润为元．  【解析】设应将每件涨价元，则每天可售出个，根据总利润每个的利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 22.【答案】解：关于的一元二次方程有实数根， ， 解得 方程的两个实数根为、， ，， ， ，即， 解得．  【解析】本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解题的关键是：牢记“当时，方程有实数根”利用根与系数的关系结合，得出关于的一元一次方程． 根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围 由根与系数的关系可得出，，结合可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 23.【答案】解：如图， 过点作于，则． ， ． ． 设经过秒后的面积等于， 则，，． 根据题意，． ． ，． 当时，，，不合题意舍去，取． 当点到达点时，此时， 答：经过秒后的面积等于．  【解析】作出辅助线，过点作于，即可得出的面积为，由、点的移动速度，设时间为秒时，可以得出、关于的表达式，代入面积公式，即可得出答案． 本题考查了一元二次方程的运用，注意求得的值的取舍问题． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $