第25章一元二次方程检测卷2026-2027学年数学九年级上册人教版

**基本信息** 本单元卷聚焦一元二次方程核心知识，以无人机比赛、博物馆热等真实情境为载体，融合概念理解、解法应用与实际问题解决，适配九年级新授课检测，有效落实数学抽象、运算能力与模型意识等核心素养。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|根的判别式（题1）、配方（题2）、实际应用（题4）|基础概念与方法的辨析，如第4题商品降价模型| |填空题|6|根与系数关系（题11）、新定义“倒数方程”（题15）|知识迁移与创新，如第15题结合根与系数关系| |解答题|6|配方法/公式法（题17）、增长率（题19）、换元法（题21）、几何最值（题22）|综合应用与思维进阶，如第21题换元法培养运算能力，第22题配方法结合几何情境发展数学眼光|

第25章一元二次方程检测卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材） 一、单选题 1．下列方程中，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 2．一元二次方程，配方的结果是（     ） A． B． C． D． 3．使得的值为整数的无理数的个数为（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 4．某商品每件的售价为121元，经过两次降价后每件的售价为81元，设该商品两次降价的平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的为（     ） A． B． C． D． 5．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 6．已知三角形两边长分别为4和9，第三边的长是二次方程的根，则这个三角形的周长为（     ） A．25 B．21 C．19 D．17 7．已知，是一元二次方程的两个实数根，，是一元二次方程的两个实数根，则的最小值为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．对于实数定义新运算：，则关于的方程的解，下列说法正确的是（    ） A．有一个实数根 B．有两个不相等的实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 9．为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为7米的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块12平方米的矩形菜地作为实践基地，如图所示．设矩形的一边长为米，根据题意可列方程（    ） A． B． C． D． 10．已知多项式，多项式，其中均为正整数，下列说法： ①若，则方程有实数解； ②若，且关于的方程有无数个解，则； ③若，则存在实数使得； ④若，且，则满足条件的多项式共有4个． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题 11．已知关于x的一元二次方程的一个根为1，另一个根为，则的值为_________． 12．关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 13．某市要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队都要比赛一场，赛程计划安排3天，每天安排2场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为______． 14．定义新运算： 若， 则x的值为__________ 15．定义：如果一元二次方程(，，为常数，且)的两个实数根，满足，那么称这样的方程为“倒数方程”．已知关于的一元二次方程(为常数)是“倒数方程”，则的值为________． 16．如图，在矩形中，的长是方程的两个实数根，且，点为对角线上异于点、的一点，连接以为邻边作，连接．则线段的最小值是__________． 三、解答题 17．解下列一元二次方程： (1)（配方法） (2)（公式法）． 18．已知关于x的一元二次方程（k为常数）． (1)若方程的一个根为，求的值； (2)求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 19．在我国，博物馆是最受欢迎的旅游景点之一，随着“博物馆热”持续升温，越来越多的人走进博物馆，了解文化历史、感受艺术魅力，某城市博物馆，今年5月份接待游客10万人，7月份接待游客增加到14.4万人． (1)求该博物馆这两个月接待游客的月平均增长率． (2)如果能保持这个月平均增长率，8月份该馆接待游客总人数能否达到17万人？ 20．中国队包揽了2025年世界无人机足球锦标赛，两个组别的冠、亚军．如图，矩形是级别的比赛场地（半场）平面图，由操作区、起飞区、比赛区组成．矩形为起飞区，距场地左侧边界，距右侧边界，距上侧和下侧边界均为，且长比宽多． (1)设的长度为，则的长度为，______，______ （用含x的代数式表示） (2)若矩形的面积为，求的长度． 21．换元法是数学中非常重要的运算技巧．比如计算方程，我们可以先设，原式即为，求解关于y的一元二次方程，得，，由于，所以．即，解得，．认识了换元法，我们来解决下列问题： (1)用换元法求解方程：． (2)已知x和y都是正整数，且满足，求所有满足方程的x和y的解． 22．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用，例如：试求二次三项式最小值． 解：， ， ，即的最小值是1． 试利用“配方法”解决下列问题： (1)已知代数式，求它的最大值； (2)知识迁移：如图，在中，，点在边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动.若点P，Q同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，设四边形的面积为，运动时间为秒，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第25章一元二次方程检测卷-2026-2027学年数学九年级上册人教版（新教材）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C A A A C B C B 1．B 【分析】计算各一元二次方程的根的判别式，根据判别式的符号判断方程是否有实数根． 【详解】解：A选项：方程，，无实数根； B选项：方程，，有实数根； C选项：方程，，无实数根； D选项：方程，，无实数根． 2．B 【分析】本题考查一元二次方程的配方法，按照配方法步骤，先移常数项到等号右侧，再在等号两边加上一次项系数一半的平方，即可得到配方结果． 【详解】解：原方程为， 移项得， 一次项系数为，一半的平方为，等式两边同时加得， ， 整理得． 3．C 【分析】设分式的值为整数k，整理得到关于x的方程，利用一元二次方程根的判别式确定k的所有可能整数值，再分别解方程，判断x是否为无理数，统计符合条件的个数即可． 【详解】解：∵， ∴分母恒不为0， 设，其中k为整数， 整理得 ， 当时，得 ， 解得，是有理数，不符合要求； 当时，方程为一元二次方程，若方程有实根，则判别式：， 即， 解得， ∵k为整数，且， ∴k的可取值为1，2，3， 当时，方程为， 解得，都是无理数，符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 当时，方程为， 解得或，都是有理数，不符合要求； 综上，符合条件的无理数共有2个． 4．A 【分析】解题思路是根据降价过程依次表示两次降价后的价格，再结合题意列方程． 【详解】解：∵已知商品原价为121元，两次降价的平均下降率为， ∴第一次降价后的价格为， 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次下降， 因此第二次降价后的价格为， 又∵两次降价后售价为81元， ∴可列方程为， 因此选A． 5．A 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 【详解】解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 6．A 【分析】先求解给定的一元二次方程得到第三边的可能值，再根据三角形三边关系排除不符合的取值，最后计算得到三角形的周长. 【详解】解：∵， 因式分解得， ∴或， 当时，，不满足三边关系，不能构成三角形，舍去， 当时，，满足三边关系，可以构成三角形， ∴三角形的周长为. 7．C 【分析】先根据两个方程都有实数根，用判别式求出k的取值范围，再利用一元二次方程根与系数的关系化简所求代数式，最后根据一次函数的性质求出代数式的最小值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，，，即， ∴的取值范围为， ∴ ∵， ∴原式随k的增大而减小，且， ∴当k取最大值时，原式取得最小值，即． 8．B 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，先根据新运算定义将方程转化为一元二次方程，并把一元二次方程化为一般式，再利用一元二次方程的根的判别式判断根的情况即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴该方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 9．C 【分析】求出矩形的另一条边长，根据矩形的面积公式列出方程即可. 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一条边长为米，由题意，得： . 10．B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式、方程有无数解的条件、因式分解等知识． ①代入，写出多项式、的表达式，对因式分解后，分析方程的解；只要其中一个因式为有实数解，即可判定方程有实数解． ②代入，将整理为关于的方程，根据“一元一次方程有无数解的条件是一次项系数为且常数项相等”，求出的值并判断． ③代入，写出的表达式并整理为一元二次方程形式，计算判别式；结合为正整数的条件，判断的符号，从而确定方程是否有实数解． ④对等式变形为，代入、得到；再根据为正整数的条件，分析的正因数分解情况，统计符合条件的解的组数，进而确定多项式的个数． 【详解】解：①若，则，． 方程即． 因有解，故方程有实数解，①正确； ②若，且有无数解， 则，整理得． 方程有无数解的条件是系数为0，即，得，②正确； ③若，则． 要存在实数使，需判别式． ∵为正整数，， ∴，，方程无实数解，③错误； ④由变形得，其中，， 即. ∵均为正整数， ∴，． ∵9的正整数因数分解为、、， ∴只有，，则，， ∵为正整数，∴，； 因此满足条件的多项式仅1个，故④错误． 综上，正确的说法为①②，共2个． 故选：B． 11． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，直接计算两根之和即可． 【详解】 的两个根为 1 和， ， ． 故答案为． 12． 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键． 求出的值，再判断即可得到结论． 【详解】解：原方程整理得， ， 无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根， ， ， ， ， 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了列一元二次方程． 单循环赛的总比赛场数公式为，总比赛场数为6，由此列方程即可． 【详解】解：赛程计划安排3天，每天安排2场比赛，所以总比赛场数为， 参赛的每两个队之间都要比赛一场，因此总比赛场数为， 即． 故答案为：． 14．或 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法的应用，根据新运算的定义，将代入公式得到方程，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：由新运算定义，， 根据题意，， 整理得：， 因式分解得：， 解得：或， 故答案为：或． 15． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系．根据根与系数的关系，得到方程两根之和与两根之积，代入倒数方程的条件，得到关于的方程，求解并验证判别式即可． 【详解】解：设方程的两个根为和， 根据根与系数的关系，有： 由倒数方程的定义， 代入得： 解得：， 经检验是原方程的解，且当时，原方程为，，原方程有两个实数根 故答案为：． 16． 【分析】本题主要考查解一元二次方程、矩形的性质和平行四边形的性质，通过解方程求出，由勾股定理求出，设与交于点，则是的中点，且，当时，最小，即最小，利用面积关系可求出的最小值，从而可求出的最小值． 【详解】解：如图，设与交于点，连接， 解方程得，，， ∵的长是方程的两个实数根，且， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， 在中， ； ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴，，即点是的中点， ∴是的中线， ∴， 当时，最小，即最小， 又， ， ∴的最小值为． 故答案为：． 17．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握配方法和公式法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∴，； （2）解：， ，，， ， ， ∴，． 18．(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解的概念以及根的判别式的应用，代入根求解参数和利用判别式判断根的情况是解题的关键． （1）将代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （2）计算方程的判别式，通过配方证明，从而证明方程总有两个不相等的实数根． 【详解】（1）解：把代入方程，得 ， 解得； （2）证明：∵中，，， ∴， ∵， ∴，即， ∴不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根． 19．(1) (2)能达到17万人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设这两个月接待游客人数的月平均增长率为x，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论； （2）求出8月份接待游客的总人数，则可得出答案． 【详解】（1）解：设这两个月接待游客人数的月平均增长率为， 依题意，得：， 解得，（舍去）； 答：这两个月接待游客人数的月平均增长率为； （2）解：8月份接待游客人数为（万人） ∵， ∴8月份该馆接待游客总量能达到17万人． 20．(1)，； (2)的长度为． 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，正确列出方程是解答本题的关键． （1）根据图形列式即可； （2）根据矩形的面积为列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵的长度为，起飞区距上侧和下侧边界均为， ∴． ∵的长度为，起飞区距场地左侧边界，距右侧边界， ∴． 故答案为：，； （2）解：∵矩形的面积为， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 21．(1)， (2)或或或 【分析】本题考查了换元法解方程，一元二次方程的解，绝对值的非负性及正整数解的枚举． （1）观察到方程中反复出现（含绝对值），因此设，原式变为，解这个一元二次方程后，需结合的条件筛选有效解，再回代，通过绝对值的定义求出x的值； （2）利用换元法，观察到方程中反复出现，设，方程转化为关于m的一元二次方程：，解这个方程后，结合m为正整数的条件筛选有效解，根据，通过枚举正整数对得到所有解． 【详解】（1）解：设，原式变为：， ∴， ， ， ， 解得：，， ∵， ∴，即， 解得：，． （2）解：设，原式为， ∴， ， ， ， ， 解得：，， ∵x和y都是正整数， ∴， ∴x和y的解为或或或． 22．(1)； (2)20． 【分析】本题考查根据配方法求最值，熟练掌握配方的方法是解题的关键； （1）将配方得，根据，求解即可； （2）根据题意求出t的取值范围，由列方程，用配方法求最值即可． 【详解】（1）解：， 的最大值为； （2）解：，点在AC边上以的速度从点向点移动，点在边上以的速度从点向点移动 ∴点从点运动到点所需时间为， 点从点运动到点所需时间为， 的最小值为20． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $