第二章 实数 单元训练 2026--2027学年北师大版八年级数学上册

**基本信息** 初中数学实数单元复习卷，融合中考真题、数学文化与实际应用，覆盖平方根、二次根式等核心知识，提升运算与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|10|无理数概念（第1题《九章算术》“面”）、二次根式运算（第4题）|结合数学文化，适配中考命题趋势| |填空题|6|二次根式有意义条件（第11题）、同类二次根式（第13题）|注重基础概念辨析，融入中考真题| |解答题|6|实际应用（第20题花坛问题）、数形结合（第22题）|综合考查运算与推理，体现创新应用|

实数 能力提升专项训练 一、选择题 1. 《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．在下列实数中，属于“面”的是（　　） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查“面”的概念，即开平方开不尽的数，也就是无理数．根据定义，需判断选项中的数是否属于无理数．选项A和B均为有理数，不属于“面”；选项C是无理数，属于“面”；选项D是有理数，不属于“面”． 【详解】解：A．是有理数，不是无理数； B．是有理数，不是无理数； C．是开平方开不尽的数，是无理数，符合“面”的定义； D．是有理数，不是无理数． 故选C． 2.下列说法正确的是（　　） A. 9的平方根是3 B. 负数没有立方根 C. 的算术平方根是2 D. 的结果是 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平方根、算术平方根及立方根的概念，解题的关键是准确掌握这些概念的定义． 根据平方根、算术平方根、立方根的定义，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：A、9的平方根是，此选项不符合题意； B、负数有一个负的立方根，此选项不符合题意； C、，4的算术平方根是2，此选项符合题意； D、，此选项不符合题意； 故选：C． 3.下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了最简二次根式的识别，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 最简二次根式需满足：被开方数为整数或整式，且不含能开得尽方的因数或因式，也不含分母． 【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式； B. ，该选项不是最简二次根式； C. ，该选项不是最简二次根式； D. 该选项被开方数为整式，且无开得尽方的因式，也无分母，该选项是最简二次根式； 故选：D． 4.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的四则运算，需掌握同类二次根式的加减法则、二次根式的乘除运算顺序及化简方法．根据二次根式的运算可直接进行排除选项． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B：，故选项计算错误，不符合题意； C：，故选项计算错误，不符合题意； D：，故选项计算正确，符合题意； 故选：D． 5.（2026巴中中考）下列实数中最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用“正数大于0，0大于负数”的基本性质即可求解． 【详解】解：∵所有负数都小于，所有正数都大于，又，是负数，不是正数，是正数， ∴， 因此最大的实数是． 6.（2026天津中考）若实数、满足 ，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用非负数的性质求解，多个非负数的和为0时，每个非负数都等于0，据此求出和的值，再计算即可． 【详解】 ， ，且 ， ， ， 解得： ，， ． 7.（2026连云港中考）已知，以下对p的值估算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先化简，再估算无理数的取值范围，即可推得的范围，得到正确结果． 【详解】解：，且 ， ，即 ， 不等式三边同时加 ，得，即． 8.对于任意的正数x、y的新定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 8.【答案】D 【分析】本题考查新定义运算，二次根式混合．理解新定义和掌握二次根式加减运算法则是解题的关键． 先根据新定义运算，将原式转化成二次根式加减运算，再根据二次根式加减运算法则计算即可． 【详解】解： ． 故选：D． 9.如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用大长方形的面积减去正方形A，B，C的面积求解即可. 【详解】解：图中阴影部分的面积为 . 10.我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴排除选项、， 接下来求的立方根： 第一步：确定位数，∵，，且 ， ∴，即是两位数； 第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步：确定十位数字，划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 二、填空题 11.（2026新疆中考）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可得到结果． 【详解】解：若在实数范围内有意义，则二次根式的被开方数为非负数，即 ， 解得． 12.（2026天津中考）计算的结果为______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，正确计算、掌握平方差公式是解题关键．根据平方差公式计算即可． 【详解】 ． 故答案为：7． 13.如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，那么_____． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的定义，解一元一次方程，掌握相关知识是解决问题的关键．化为最简二次根式后被开方数相同的二次根式是同类二次根式，据此解答即可． 【详解】解：∵最简二次根式 与 最简二次根式 是同类二次根式， ∴被开方数相等， 即 ， 解得 ． 故答案为：1． 14.如图，在数轴上，若点表示的实数是，以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点，过点向数轴作垂线，垂足为点，点表示的实数是，则点到数轴的距离的长为 . 【答案】1 【解析】 【分析】根据点在数轴上的位置求出的长，由圆的半径相等得出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可 【详解】解：点表示的实数是， ， 以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点， ， 点表示的实数是，且， ，， 在中，由勾股定理得：． 15.实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 . 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数与数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根. 先根据数轴得到，，则，，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知道，， ∴，， ∴ ， 故选：B． 16.（2026广安中考）已知，为实数，且，则的平方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】设，，则原方程可整理为，通过完全平方公式变形可得，结合非负数的性质可得，，从而计算出，，则，最后求平方根即可． 【详解】解：设，，则，，，， ∴，， 代入原方程可得， 整理，得， 变形，得， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，，符合题意， ∴， ∵的平方根为， ∴的平方根为． 三、解答题 17.计算： （1）； （2）； （3）； （4）（2026深圳中考）． 【答案】（1） （2）1 （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算、二次根式的性质、二次根式混合运算、零次幂等知识点，掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先用二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先用二次根式的性质化简，然后再计算即可； （3）先用平方差公式和完全平方公式展开，然后再合并同类二次根式即可． （4）先用二次根式的性质、绝对值、零次幂等化简，然后再计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解： ． 【小问4详解】 解： ． 18.已知，，求代数式的值． 【答案】－4 【解析】 【分析】先将代数式因式分解，再代入求值． 【详解】 故代数式的值为． 19.已知的平方根是，的立方根是2． （1）求的算术平方根； （2）是的整数部分，求的立方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平方根和立方根的性质，熟练掌握平方根和立方根的性质是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的性质可得，，从而得到，，再代入，即可求解； （2）先估算出，可得，然后再代入，即可求解． 【小问1详解】 解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵是的整数部分， ， ∴， ∴， ∴． 20.某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米． （1）你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？ （2）如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？ 【答案】（1）花坛的周长与小喷水池的周长一共是米； （2）花坛的绿化面积变成平方米． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的应用，主要利用了正方形的面积和周长公式，要注意二次根式的化简． （1）根据正方形的面积求出喷水池的边长和花坛的边长，然后根据正方形的周长公式列式计算即可得解； （2）先求得新喷水池的面积为，则花坛的绿化面积变成，据此计算即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知喷水池的边长为米， 花坛的边长为米． 所以周长一共是：（米） 答：花坛的周长与小喷水池的周长一共是米； 【小问2详解】 解：新喷水池的边长为米， 新喷水池的面积为（平方米）， 花坛的绿化面积变成（平方米）， 答：花坛的绿化面积变成平方米． 21..观察下列计算：，，，… （1）______；______． （2）用含n的代数式表示你所发现的规律； （3）利用这一规律计算：． 【答案】（1） ； （2） 当为正整数时， （3） 【解析】 【分析】（1）根据分母有理化的方法进行计算即可； （2）根据题干中提供的信息进行解答即可； （3）根据得出的规律，利用二次根式混合运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； ； 【小问2详解】 解：， ， ， … ． 【小问3详解】 解： ． 22.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意将式子转化为线段长度之和即可； （2）作点关于的对称点，连接，则的最小值即为的长，利用勾股定理求出的长即可； （3）构造图形，使得则，则当点、、三点共线时，的最大值为，延长，交于，作于，利用勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 的线段和； （2）作点关于的对称点，连接， 则， 则的最小值即为的长， 在中，由勾股定理得，， 即的最小值为； 故答案为：； （3）， 如图，，，，，， 设， 则， 当点、、三点共线时，的最大值为， 延长，交于，作于， 可得，， 由勾股定理得，， 的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $ 实数 能力提升专项训练 一、选择题 1. 《九章算术》中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这种开方开不尽的数起了一个专门的名词“面”．在下列实数中，属于“面”的是（　　） A. B. C. D. 0 2.下列说法正确的是（　　） A. 9的平方根是3 B. 负数没有立方根 C. 的算术平方根是2 D. 的结果是 3.下列是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4.下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5.（2026巴中中考）下列实数中最大的是（ ） A. B. C. D. 6.（2026天津中考）若实数、满足 ，则的值是（ ） A. B. C. D. 7.（2026连云港中考）已知，以下对p的值估算正确的是（ ） A. B. 8.对于任意的正数x、y的新定义运算为：，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 9.如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10.我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11.（2026新疆中考）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为____________． 12.（2026天津中考）计算的结果为______． 13.如果最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式，那么_____． 14.如图，在数轴上，若点表示的实数是，以原点为圆心，为半径画弧，点为弧上一点，过点向数轴作垂线，垂足为点，点表示的实数是，则点到数轴的距离的长为 . 15.实数，，在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简 . 16.（2026广安中考）已知，为实数，且，则的平方根是_____． 三、解答题 17.计算： （1）； （2）； （3）； （4）（2026深圳中考）． 18.已知，，求代数式的值． 19.已知的平方根是，的立方根是2． （1）求的算术平方根； （2）是的整数部分，求的立方根． 20.某学校计划在院内修建一个正方形的花坛，在花坛中央还要修一个正方形的小喷水池．如果小喷水池的面积是8平方米，花坛的绿化面积是10平方米． （1）你能求出花坛的周长与喷水池的周长一共是多少米吗？ （2）如果把小喷水池的边长减小1米，那么花坛的绿化面积变成多少平方米？ 21..观察下列计算：，，，… （1）______；______． （2）用含n的代数式表示你所发现的规律； （3）利用这一规律计算：． 22.我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透． 某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析 【提出问题】已知，求的最小值 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 (1)如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则______+______的线段和； (2)在（1）的条件下，已知，求的最小值； (3)【应用拓展】应用数形结合思想，求的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $