第二章 实数 单元试卷 2026-2027学年北师大版八年级上册数学

**基本信息** 八年级实数单元复习卷，以基础巩固、能力提升、创新应用为梯度，融合跨海大桥工程、海伦-秦九韶公式等真实情境与数学文化，适配单元核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|无理数概念、平方根性质等|第1题辨析无理数，考查抽象能力| |填空题|5/15|数轴表示无理数、新定义运算|第12题结合几何直观，体现数学眼光| |解答题|7/55|二次根式运算、实际应用等|第18题跨海大桥坠物问题，培养模型意识；第22题海伦-秦九韶公式证明，发展推理能力|

2026-2027学年第一学期八年级第二章实数单元试卷 （考试时间：60分钟；满分100分） 一、选择题: (本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．在下列四个数中，其中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．关于的叙述，下列不正确的是（     ） A．是无理数 B．在数轴上可以找到表示的点 C． D．周长为8的正方形的边长是 3．下列说法正确的是（） A．是49的一个平方根 B．的立方根是 C．的算术平方根是4 D．的立方根是2 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．下列各数中，可使式子有意义的的值是（   ） A． B． C． D． 6．若，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 7．用“※”定义新运算，对于任意非负实数a，b，都有，例如，那么（     ） A．27 B．72 C．78 D．84 8．在如图所示的运算程序中，若输入的值是，则输出的值是（     ） A． B． C． D． 9．如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则周长l的整数部分是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 10．如图，在中，，点是上一点，且，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．比较大小：______3（填“”，“”或“”） 12．如图，数轴上原点为，点表示2，过点作，且，以为圆心，的长为半径作弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是__________． 13．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 14．已知，，那么________； 15．利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 三．解答题(本大题有7小题，共55分) 16．（8分）计算： (1)； (2)． 17.（6分）化简求值：，其中． 18.（6分）在跨海大桥的建设工程中，工程师需要进行高空坠物的实验．如果空气阻力忽略不计，物体的下落高度h（单位：）与它的入水速度v（单位：）满足：．实验中，测试物体从距离海平面的桥面下落． (1)求该物体的入水速度；（结果保留根号） (2)若物体的入水速度超过会触发红色警报，请判断本次实验是否会触发红色警报，并说明理由．（参考数据：） 19.（8分）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)仿照上面的解题过程，化简：__________，__________； (2)已知，，求的值； (3)解关于的方程：． 20.（6分）如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 21．（9分）阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：；． (1)填空： ； (2)请你仿照小明的方法化简． 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 22．（10分）【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式．分别是由古希腊的几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 (1)问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） (2)如图1，已知一个中，，，．求面积（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你的结论是否正确） 【尝试证明】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算推导秦九韶公式： (3)如图2，已知一个中，三边分别为，求面积 第5页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期八年级第二章实数单元试卷 （考试时间：60分钟；满分100分） 一、选择题: (本大题有10小题，每小题3分，共30分) 1．在下列四个数中，其中是无理数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】无理数是无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故A不符合题意； B、是整数，属于有理数，故B不符合题意； C、是无限不循环小数，属于无理数，故C符合题意； D、，是整数，属于有理数，故D不符合题意． 2．关于的叙述，下列不正确的是（     ） A．是无理数 B．在数轴上可以找到表示的点 C． D．周长为8的正方形的边长是 【答案】D 【分析】先化简，再结合无理数定义、实数与数轴的关系、无理数估算、正方形周长公式逐一判断选项，找出错误叙述即可． 【详解】∵是无限不循环小数，属于无理数，∴A叙述正确； ∵所有实数都能在数轴上找到对应点，是实数，∴B叙述正确； ∵，，且 ，∴ ，C叙述正确； ∵周长为8的正方形，边长为 ，∴D叙述不正确． 3．下列说法正确的是（） A．是49的一个平方根 B．的立方根是 C．的算术平方根是4 D．的立方根是2 【答案】A 【分析】本题根据平方根、算术平方根、立方根的定义，逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：∵，∴是的一个平方根，A选项说法正确； ∵正数的立方根是唯一的正数，且，∴的立方根是，B选项说法错误； ∵，的算术平方根是，∴的算术平方根是，C选项说法错误； ∵，的立方根是，∴的立方根是，D选项说法错误． 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的基本运算，根据二次根式的加减，乘法法则和完全平方公式，逐一判断各选项即可得到正确结果． 【详解】解：选项A：与不是同类二次根式，无法合并，，A错误； 选项B：，，，B错误； 选项C：，，C错误； 选项D：根据二次根式乘法法则，，D正确． 5．下列各数中，可使式子有意义的的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，解题思路是根据二次根式被开方数为非负数列出不等式，求出的取值范围，再结合选项判断正确结果． 【详解】解：依题意，． 解得． 四个选项中只有，满足条件． 6．若，则的值为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】利用非负数的性质求出与的值，然后计算的值即可． 【详解】解：， ∵，， ∴，且， ∴，， ∴． 7．用“※”定义新运算，对于任意非负实数a，b，都有，例如，那么（     ） A．27 B．72 C．78 D．84 【答案】C 【分析】根据题意可得，据此计算求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 8．在如图所示的运算程序中，若输入的值是，则输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是时，取算术平方根得， 8是有理数，再取立方根得， 2是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 9．如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1．记这个图形的周长（实线部分）为l，则周长l的整数部分是（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】根据图形规律利用勾股定理求出第9个直角三角形的斜边长，进而得出周长表达式，再进行估算即可. 【详解】解：由勾股定理得： 第1个直角三角形的斜边长为，‘ 第2个直角三角形的斜边长为， 第3个直角三角形的斜边长为， ， 故第9个直角三角形的斜边长为， 观察图形可知，该图形的周长（实线部分）由10条长度为1的线段和第9个直角三角形的斜边组成， ， ， ，即， ， 周长的整数部分是13. 10．如图，在中，，点是上一点，且，连接．若，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据及的长求出的长，再利用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，从而得出，最后利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：，， ， 在中，，， ， 是直角三角形，且， ， ． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11．比较大小：______3（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】根据，即可得出． 【详解】解：∵， ∴． 12．如图，数轴上原点为，点表示2，过点作，且，以为圆心，的长为半径作弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是__________． 【答案】 【分析】根据题意可知的长度，再根据，则可由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：根据题意得：，， ，， ， 点表示的数是． 13．对于任意的正数、，定义一种新的运算“”，；如：，计算的结果为_____． 【答案】 【详解】解：由题意可知：． 14．已知，，那么________； 【答案】 【详解】解：因为 所以 15．利用完全平方公式可将某些像的式子化为完全平方式，例如．根据上述方法，化简：得__________． 【答案】 【分析】根据，求解即可 【详解】解：， 原式 三．解答题(本大题有7小题，共55分) 16．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可得出结果； （2）根据二次根式的乘除运算法则计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 17．化简求值：，其中． 【答案】 【分析】利用平方差公式计算乘法运算，再合并即可． 【详解】解： ． 18．在跨海大桥的建设工程中，工程师需要进行高空坠物的实验．如果空气阻力忽略不计，物体的下落高度h（单位：）与它的入水速度v（单位：）满足：．实验中，测试物体从距离海平面的桥面下落． (1)求该物体的入水速度；（结果保留根号） (2)若物体的入水速度超过会触发红色警报，请判断本次实验是否会触发红色警报，并说明理由．（参考数据：） 【答案】(1) (2)本次实验不会触发红色警报． 理由如下： ∵，， ∴本次实验不会触发红色警报． 【分析】（1）先把代入公式即可得出v的值． （2）先计算出，然后再和30比较即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得：，负值舍去． 答：该物体的入水速度为． （2）解：略； 19．在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如，，这样一类的式子，其实我们还可以将其进一步化简：，，以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)仿照上面的解题过程，化简：__________，__________； (2)已知，，求的值； (3)解关于的方程：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）仿照例题进行分母有理化即可； （2）先对、分母有理化，再结合完全平方公式代入计算即可； （3）先将方程左侧的式子分母有理化，再合并计算求解即可． 【详解】（1）解：； ； （2）解：，， ； （3）解：， ， ， ， ， 解得：． 20．如图1，把面积为1的两个小正方形沿虚线剪开，将所得的四个直角三角形拼成如图所示的一个大正方形，则可得这个大正方形的边长为．参考这个方法，如图2，将长为3、宽为1的两个长方形沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形围成如图所示的正方形． (1)图2中大正方形的面积为________； (2)求图2中白色正方形的边长a的值． 【答案】(1)16 (2) 【分析】（1）根据题意大正方形边长为，则面积可求； （2）大正方形的面积也等于空白面积加4个直角三角形的面积，利用大正方形面积列方程即可求解题目 【详解】（1）解：由题意大正方形面积为； （2）解：大正方形面积为，空白部分面积为， 根据题意得：， 即， （负值舍去）， 21．阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：；． (1)填空： ； (2)请你仿照小明的方法化简． 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】（1）解： （2）略 （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 22．【阅读】在小学我们就学习了求三角形面积的公式，三角形的面积底高，学习了勾股定理和二次根式运算后，我们还有其他方法求三角形面积，这里介绍著名的海伦-秦九韶公式．分别是由古希腊的几何学家海伦和我国南宋时期数学家秦九韶提出的．这两个公式都可以已知三边求出三角形面积，两个公式分别为： 海伦公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，设，那么这个三角形的面积； 秦九韶公式：已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么这个三角形的面积 【尝试公式应用】 (1)问题：已知一个三角形的三边长分别4，5，6．请选择一个公式求这个三角形的面积． 【尝试新方法】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算解决下面的问题：（用上面的公式不给分） (2)如图1，已知一个中，，，．求面积（温馨提示，解决后在草纸上可以代入一个公式验证你的结论是否正确） 【尝试证明】 尝试用已学过的勾股定理以及二次根式的运算推导秦九韶公式： (3)如图2，已知一个中，三边分别为，求面积 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）选择一个公式代入计算即可； （2）作于，设，则，然后分别在和中，表示出，建立方程求解出，再利用三角形面积公式求解即可； （3）同（2）的方法解答即可． 【详解】（1）解：选择海伦公式： ， ∴ ； 选择秦九韶公式： ； （2）解：如图，作于，则， 设，则， 由勾股定理可得：，， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：如图，作于D，则， 设，则， 由勾股定理可得：，， ∴， 解得， ∴， ∴． 第7页 学科网（北京）股份有限公司 $