30.3 正多边形与圆 同步练习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 人教版九年级上册30.3正多边形与圆同步练，含选择8题、填空8题、解答5题，分层覆盖基础概念到综合应用，梯度衔接紧密，强化几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|正多边形中心角、边数、半径等概念|直接应用公式，如选择1（中心角求边数）、填空9（正五边形中心角计算），培养抽象能力| |能力提升|内接/外切多边形性质、角度转化|多知识点结合，如选择7（正五边形内接圆角度推理）、填空14（外切正六边形估算π），发展推理意识| |综合拓展|作图、动态几何、数学文化应用|跨情境综合，如解答18（正五边形与正三角形综合）、21（旋转最值问题），体现应用意识与创新意识|

人教版（新教材）九年级上册 第三十章 直线与圆的位置关系30.3 正多边形与圆 姓名： 班级： 一、选择题 1．正多边形的中心角是30°，那么这个正多边形的边数是（　　） A．12 B．10 C．8 D．6 2．已知，正六边形内接于，若四边形的面积为，则的半径等于（　　） A．1 B．2 C． D． 3．如图，要拧开一个边长为的正六边形螺帽，则扳手张开的开口b至少为（　　） A． B． C． D． 4．如图，螺母一个面的外沿可以看作是正六边形，这个正六边形的半径是，则这个正六边形的周长是（　　） A． B． C． D． 5．如图是半径为4的的内接正六边形，则圆心O到边的距离是（　　） A．4 B． C．2 D． 6．一个半径为2cm的圆的内接正六边形的面积是（　　） A．24cm2 B．6cm2 C．12cm2 D．8cm2 7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为BC上的一点(点P不与点C重合)，则∠CPD的度数为(　　) A．36° B．45° C．60° D．72° 8．魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．圆的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为3．如图，若用半径为1的圆的内接正六边形面积作近似估计，可得的估计值为（　　） A．3 B． C． D． 二、填空题 9． 如图， 正五边形ABCDE内接于⊙O， 连结AO， BO， 则∠AOB 的度数为　 　度。 10．如图，在⊙O 中，弦 AB，AC 分别是⊙O 的内接正三角形和内接正方形的一条边，连结BC，BC也是⊙O的内接正n边形的一条边，则n的值是　 　. 11．六个带角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积　 　． 12．如果正多边形的中心角是，那么这个正多边形的边数是　 　． 13． 如图，正五边形ABCDE 内接于⊙O，则 ADB的度数为　 　. 14．我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中记载了著名的“割圆术”.如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形的面积近似估计⊙O 的面积，可得π的近似值为 若以圆外切正六边形作近似估计，可得π的近似值为　 　. 15．如图①是一种可折叠圆桌，图②是其折叠前后的桌面示意图(阴影部分表示可折叠部分)，已知折叠后的桌面是一个面积为1 m2的正方形，则可折叠部分的面积为　 　m2. 16．正六边形和的位置如图所示，其中点在上，且．将正六边形绕点顺时针旋转，当点第一次落在上时，点的运动轨迹长为　 　（结果保留）． 三、解答题 17．如图，正六边形，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1的正六边形内部作一点，连接，使得． （2）在图2的正六边形内部作一点，连接，使得． 18．如图1，正五边形内接于⊙，阅读以下作图过程，并回答下列问题，作法：如图2，①作直径；②以F为圆心，为半径作圆弧，与⊙交于点M，N；③连接． （1）求的度数． （2）是正三角形吗？请说明理由． （3）从点A开始，以长为半径，在⊙上依次截取点，再依次连接这些分点，得到正n边形，求n的值． 19．【文化欣赏】（圆周率）的估算方法贯穿了数学发展史．其中阿基米德使用正九十六边形，利用（其中C为周长，d为直径），估算出的值． 【应用体验】 （1）如图1，正六边形内接于半径为1的圆内，求这个正六边形的周长并用此值估算的值． （2）如图2，半径为1的圆内切于正八边形，求这个正八边形的周长并用此值估算的值． （3）实际圆的周长介于内接正六边形周长与外切正八边形周长之间，请用这两个近似值的平均数来估算的值．【，（取1.41）】 20．如图1，这是中国古建筑中的正六边形窗户设计图，图2是由其抽象而成的正六边形ABCDEF，⊙O是它的外接圆 （1）求∠BAF的度数 （2）连接OC，OD，作OG⊥CD.若劣弧CD的长为π，求OG的长 21．【问题情境】 （1）如图1，圆与大正方形的各边都相切，小正方形是圆的内接正方形，那么大正方形面积是小正方形面积的几倍？小昕将小正方形绕圆心旋转45°（如图2），这时候就容易发现大正方形面积是小正方形面积的__________倍．由此可见，图形变化是解决问题的有效策略； 【操作实践】 （2）如图3，图①是一个对角线互相垂直的四边形，四边a、b、c、d之间存在某种数量关系．小昕按所示步骤进行操作，并将最终图形抽象成图4．请你结合整个变化过程，直接写出图4中以矩形内一点P为端点的四条线段之间的数量关系； 【探究应用】 （3）如图5，在图3中“④”的基础上，小昕将绕点逆时针旋转，他发现旋转过程中存在最大值．若，，当最大时，求AD的长； （4）如图6，在中，，点D、E分别在边AC和BC上，连接DE、AE、BD．若，，求的最小值． 参考答案 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】B 4．【答案】C 5．【答案】B 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】B 9．【答案】72 10．【答案】12 11．【答案】． 12．【答案】10 13．【答案】36° 14．【答案】 15．【答案】 16．【答案】 17．【答案】（1）解：如图1，点M为所求作； （2）解：如图2，点N即为所求作： 18．【答案】（1）解：∵正五边形ABCDE， ∴， ∴ ∵， ∴∠AOC=3×72°=216°， ∴ （2）解：是正三角形，理由如下： 连接ON，FN， 由作图知：FN=FO， ∵ON=OF， ∴ON=OF=FN， ∴△OFN是正三角形， ∴∠OFN=60°， ∴∠AMN=∠OFN=60° 同理∠ANM=60°， ∴∠MAN=60°， 即∠AMN=∠ANM=∠MAN， ∴△AMN是正三角形； （3）解：∵△AMN是正三角形， ∴∠AON=2∠AMN=120° ∵， ∴∠AOD=2×72°=144°， ∵， ∴∠NOD=144°-120°=24°， ∴. 19．【答案】（1）解：如图，连接、， ∵正六边形， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴圆的直径为， ∴正六边形的周长为， 根据题意可得到， （2）解：如图，连接， ∵正八边形， ∴， ∵圆内切于正八边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴正八边形的周长为：， 圆的直径为， 根据题意可得到， ∴； ​​​​​​​ （3）解：∵这两个近似值为和， 故这两个近似值的平均数为． ​​​​​​​ 20．【答案】（1）解：∵n边形内角和为：180°（n-2）， ∴正六边形的每一个内角==120°， 即 ∠BAF的度为120°. （2）解：正六边形的每个中心角为 =60°，即∠COD=60°， ∵OC=OD， ∴△COD为等边三角形， ∴CO=OD=CD=π， ∵ OG⊥CD ， ∴GD=CD=π， ∴由勾股定理知：OG=. 21．【答案】解：（1）如图， ∵正方形，及圆为正方形的内切圆，为正方形的外接正方形， ∴设，， ∴，， ∴，， ∴大正方形面积是小正方形面积的2倍． （2）如图，∵， ∴，， ，， ∴， 如图， 结合图形变换可得：； （3）如图，∵将绕点逆时针旋转， ∴在以为圆心，为半径的圆上运动， ∵为圆外一个定点， ∴当与相切时，最大， ∴， ∴， 由（2）可得：， ∵，， ∴ ， ∴； （4）如图，将沿对折，的对应点为，将沿对折，的对应点为，连接， ∴，， 再将沿方向平移，使与重合，如图，得， 由（2）可得：， ∴当三点共线时，最短， ∵，， ∴，， ∴； ∴的最小值为； 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $