第二章 一元二次函数、方程和不等式（知识清单+8大易错训练）数学人教A版2019必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 清单01 两个实数的大小比较 1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法与0比较 做商法与1比较 或 或 2、不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 3.、不等式的大小比较方法 （1）作差法比较大小的步骤 ①作差；②变形；③判断差式与0的大小；④下结论. （2）作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤 ①作商；②变形；③判断商式与1的大小；④下结论. 注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法. 清单02 基本不等式 1、基本不等式 （1）一般地,R,有≥，当且仅当时,等号成立. （2）特别地,当时,分别用代替上式中的,可得≥，当且仅当时,等号成立.通常称不等式≥为基本不等式（也叫均值不等式） 其中叫做正数的算术平均数,叫做正数的几何平均数，基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （3）重要不等式≥与基本不等式≥成立的条件是不一样的.前者为任意实数,后者只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是. 2、基本不等式的变形 （1）≥,≤.其中R+,当且仅当时,等号成立. （2）当时,≥2,当且仅当,即时,等号成立; 当时,≤,当且仅当时,等号成立. 实际上,当时,. ∵≥2,∴≤,即≤.当且仅当,即（）时,等号成立. （3）当同号时,≥2,当且仅当时,等号成立;当异号时,≤,当且仅当时,等号成立. （4）不等式链: ≤≤≤（,当且仅当时,等号成立.） 其中,,,,分别叫做正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. 3、利用基本不等式求最值 设,则有 （1）若（和为定值）,则当时,积取得最大值; （∵ R+,有≤,∴≤.） （2）若（积为定值）,则当时,和取得最小值. （∵ R+,有≥,∴≥.） 4、利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等. 一正: 各项都必须为正数; 二定: 和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值; 三相等: 等号能取到,即取得最值的条件能满足. 清单03 一元二次不等式的概念 1、一元二次不等式的定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2、一元二不等式的一般形式：，，(其中，均为常数)． 3、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形． 3、二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 4、三个“二次”之间的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 5、一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤是: （1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算的值,并判断的符号; （3）当≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图; （5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集. 6、一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系. 其中,①当时,一元二次不等式的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”; ②当时,一元二次不等式的解集为;一元二次不等式的解集为; ③当时,一元二次不等式的解集为R;一元二次不等式的解集为. 7、一元二次不等式在R上恒成立的问题 （1）在R上恒成立,则有:或; （2）在R上恒成立,则有:或; （3）一元二次不等式≥0在R上恒成立,则有:; （4）一元二次不等式≤0在R上恒成立,则有:. 8、分式不等式的解法 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）与不等式组或同解,与不等式同解; （2）≥0与不等式组同解; （3）与不等式组或同解,与不等式同解; （4）≤0与不等式组. 由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解. 【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 【易错01：忽略不等式成立的条件】 不等式在遇到乘法或者除法运算时候，是很容易出错的，需熟记一下几个不等式性质：①可乘性：；；②可乘方性：；③可开方性：；④同号可倒性：；； 【典例】（多选题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】作差判断A；举例说明判断BD；利用不等式的性质判断C. 【详解】， 对于A，，则，A正确； 对于B，取，满足，而，B错误； 对于C，，因此，C正确； 对于D，，取，满足，而，D错误. 故选：AC 【针对训练】 1．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用不等式的基本性质可判断AD选项，利用特殊值法可判断BC选项. 【详解】因为，， 对于A选项，，A错； 对于B选项，不妨取，，，，则，B错； 对于C选项，取，则，C错； 对于D选项，由题意可知，，由不等式的基本性质可得，D对. 故选：D. 2．已知为实数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由不等式的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，当时，由不等式性质得，故A错误； 对于B，若，当时，大小关系无法确定，故B错误； 对于C，若，则，所以，不等式两边同乘以，可得，故C正确； 对于D，若，则，故D错误. 故选：C. 【易错02：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围】 1、在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式． 2、解决思路 一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得. 3、解决步骤 第一步：把所求代数式用条件的代数式，表示出来，即． 第二步：列方程组，求出m，n的值. 第三步：分别求出和的取值范围． 第四步：求出的取值范围． 【典例】（多选题）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【答案】ACD 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项推理求解判断. 【详解】不等式，， 对于A，，即，解得，A正确； 对于B，∵，∴，， 又，∴， 即，解得，B错误； 对于C，∵，，∴， 即，解得，C正确； 对于D，∵，， 又， ∴，所以，D正确. 故选：ACD. 【针对训练】 1．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用待定系数法求得，然后利用不等式的基本性质可求得的取值范围. 【详解】设，则， 所以，，解得，即， ，则， 因此，. 故选：D. 【易错03：忽略基本不等式成立的条件】 1、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： 【典例】（多选题）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为x≥1，所以 (当且仅当x＝2时取等号)； ，但是等号取不到； 因为函数在[1，＋∞)上单调递增，所以≥2，当x＝1时取等号； 因为x≥1，所以 (当且仅当x＝1时取等号). 故选：ACD. 【针对训练】 1．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 【答案】ACD 【分析】根据基本不等式的知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，对于函数， ， 当且仅当时等号成立，所以A选项正确. B选项，， 当无实数解，所以等号不成立，所以B选项错误. C选项，对于函数，， ， 当且仅当时等号成立，所以C选项正确. D选项，由基本不等式得， 所以， 当且仅当时等号成立，所以D选项正确. 故选：ACD 【易错04：多次使用基本不等式注意等号成立是否一致】 连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立. 【典例】已知，则当取得最小值时，n的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接利用基本不等式用即可得解. 【详解】由，得， 当且仅当时，等号成立 故选：D. 【针对训练】 1．对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【答案】 【分析】变形得到，利用两次基本不等式，求出最小值. 【详解】任意的正实数，满足， 由于为正实数，故由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为. 故答案为： 【易错05：忽略二次项系数为0】 解形如ax2＋bx＋c>0类型的不等式的步骤首先判断二次项系数与0的大小，否则分类讨论，当a<0时，利用不等式性质化为正值，然后若能分解因式，则分解因式，然后判断根的大小，写出解集）；若不能分解因式，需判断判别式，若判别式符号不确定，则分类讨论；在解题中注意三个二次（二次函数、二次方程、二次不等式）之间的联系，同时要树立起函数与方程、分类讨论、数形结合的数学思想方法. 【典例】若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 【答案】 【详解】根据题意可得“”是真命题， 当，即时，命题成立； 当时，得，解得， 综上，符合题意的实数的取值范围是. 故答案为：. 【针对训练】 1．已知关于x的不等式mx2＋mx＋m－1＜0始终成立，则m的取值范围为________________． 【答案】(－∞，0] 【分析】对m分类讨论，结合二次函数的图像和性质得到m的取值范围. 【详解】由于不等式mx2＋mx＋m－1＜0对一切实数x都成立， 当m＝0时，－1＜0恒成立；当m≠0时，易知m＜0且Δ＝m2－4m(m－1)＜0，解得m＜0． 综上，故实数m的取值范围为(－∞，0]． 故答案为(－∞，0] 【易错06：一元二次不等式分类讨论不当】 含参数的一元二次不等式的一般步骤 注：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算． 【典例】（多选题）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 【答案】ACD 【详解】当时，； 当时，或，故A正确； 当时，， 若，则解集为空集； 若，则不等式的解为：，故D正确； 若，则不等式的解为：，故C正确. 故选：ACD 【针对训练】 1．解关于的不等式：． 【答案】答案见解析 【分析】根据解含参的一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】将不等式变形为． 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或 综上所述，当或时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为． 【易错07：分式不等式等价转化不当】 解分式不等式的注意事项及分式不等式的一般解题思路：移项通分，注意转化为整式不等式后需要确保分母对应的因式不能为0，根式不等式要注意保证根号有意义等隐含条件． 【典例】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用分式不等式化简集合B，再利用集合的并集运算即可. 【详解】依题意，， 因为，所以即 所以其中 ，解得 ， 所以， . 故选：C. 【针对训练】 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据一元二次不等式计算求解集合B，再应用交集定义计算判断. 【详解】集合， 则. 故选：C 【易错08：混淆一元二次不等式中的恒成立和有解题目】 【典例】1．“不等式在上恒成立”的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】分和，当，利用条件得到，即可求解. 【详解】当时，得到，不合题意， 当时，由题知，解得， 故选：A. 2．已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，转化为不等式的存在问题进行求解，构造均值不等式求得最值，从而得到结果. 【详解】当时，由可得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，故. 故选：B. 【针对训练】 1．，恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】分离参数变为在上恒成立，利用基本不等式求解最值得，即可得解. 【详解】，恒成立， 即在上恒成立， 所以在上恒成立， 又，当且仅当，即时取等号， 所以，则实数的最大值为. 故选：C 2．命题“”为假命题，则实数的范围为 . 【答案】 【分析】根据特称、全称命题为假命题，则其否定为真命题，将问题化为不等式恒、能成立求参数范围即可. 【详解】若命题“”为假命题， 则命题“”为真命题， 由， 即， 令， 由二次函数的性质知，函数的对称轴为， 则函数，在上单调递减，在上单调递增， 故时，， 因此可得， 故答案为：. 一、单选题 1．（24-25高一上·陕西渭南·月考）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据分式不等式化简，即可根据必要不充分条件的定义求解. 【详解】由可得，解得或， 因此无法得到，但可以得到， 因此“”是“”的必要不充分条件， 故选：B 2．（24-25高一上·福建漳州·月考）若不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】因为不等式的解集为， 所以，解得， 所以a的取值范围是. 故选：A. 3．（24-25高一上·广东广州·月考）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】通过和两类情况讨论即可. 【详解】当时，恒成立，符合题意 当时，需满足 解得：， 综上， 故选：D 4．（24-25高一上·山东淄博·月考）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分和，结合二次不等式解集的形式求参数的取值范围. 【详解】若，则原不等式可化为，在上恒成立； 若，因为不等式的解集为， 所以. 综上可得：. 故选：B 5．（24-25高一上·广东广州·月考）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】由题意可知没有实根或有重根，根据，求解即可. 【详解】由题意得，“存在，使”是假命题， 没有实根或有重根， ，解得. 故选：A. 6．（23-24高一上·广东江门·月考）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，再求函数，的最小值即可得取值范围. 【详解】因为对任意，不等式恒成立. 所以，其中， 设，，因为， 所以当时，函数，取最小值，最小值为， 所以， 故选：B. 二、多选题 7．（24-25高一下·山西大同·月考）已知，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式性质逐一进行判断即可. 【详解】当时，，故A不成立； 当时，若，则，故B不成立； 若，，则，即，故C成立； 若，，则，即，故D不成立. 故选：ABD. 8．（24-25高一上·江苏连云港·月考）下列命题中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】利用基本不等式计算即可一一判定选项. 【详解】对于A，由基本不等式知，当且仅当时取得等号， 所以时，，故当时，为真命题，即A正确； 对于B，显然时，有，故B错误； 对于C，易知，当且仅当时取得等号， 所以当时，，命题时，为真命题， 故C正确； 对于D，易知，当且仅当时取得等号， 所以当时，，命题时，为真命题， 故D正确. 故选：ACD 9．（23-24高一上·云南玉溪·期中）若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 【答案】ABD 【分析】根据不等式的性质，结合作差法，比较大小即可. 【详解】对于A，因为且，则，但不确定的正负，当时，，故A错误； 对于B，，因为且，所以，则即，故B错误； 对于C，若，则，所以，故C正确； 对于D，若，则则故D错误. 故选：ABD. 10．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】AB选项，利用不等式的性质直接进行求解；CD选项，先利用表达出和，结合求出答案. 【详解】A选项，，相加得，故，A正确； B选项，，相加得，故，B正确； C选项，设， 故，解得，所以， 故，相加得， 即，C错误； D选项，设， 故，解得，故， ， 相加得，，D错误. 故选：AB 三、填空题 11．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 【答案】 【分析】分式不等式转化为一元二次不等式计算即可. 【详解】. 故不等式的解集为. 故答案为：. 12．（23-24高一上·云南玉溪·期中）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】将分式不等式化成和它等价的整式形式，求解即可. 【详解】即 原不等式可化为， 解得. 故答案为： 13．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 【答案】 【分析】结合二次函数的性质及判别式求解即可. 【详解】由题意，可得，即， 则实数的取值集合是. 故答案为：. 14．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】问题化为上恒成立，利用基本不等式及对勾函数的性质求右侧最大值，即可得. 【详解】由时，恒成立，即恒成立， 对于，有，当且仅当时取等号， 又在上单调递减，在上单调递增，且，， ，故的取值范围是. 故答案为： 15．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先对不等式进行参数分离，得到关于的不等式，然后利用基本不等式的性质即可求得结果. 【详解】由题意知，“，使得成立”是真命题， 所以，根据基本不等式的性质可得：，当且仅当，即时，等号成立. 所以实数的取值范围为. 故答案为：. 16．（24-25高一上·四川德阳·月考）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据基本不等式求的最小值，解一元二次不等式即可求实数的取值范围. 【详解】不等式有解，满足即可， 两个正实数，满足， 则， 当且仅当，即时等号成立，得， 则有，即，解得或， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 17．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 【答案】 6 【分析】利用基本不等式“1”的妙用求出取得最小值时的值；利用基本不等式处理，再利用基本不等式即可得解. 【详解】依题意，， 当且仅当时取等号，所以当取得最小值时； ， 当且仅当时取等号，所以的最小值为6. 故答案为：；6 【点睛】思路点睛：把化为，再依次利用基本不等式求出最小值. 18．（24-25高一上·山东威海·期中）已知实数，满足，则的最小值为 . 【答案】8 【分析】由，得即为，变形后两次运用基本不等式即可求解 【详解】因为，所以， ∴ 当且仅当，即时等号成立 所以的最小值为8. 故答案为：8. 四、解答题 19．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知关于的不等式. (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)在（1）的条件下，解关于的不等式. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，按或分类讨论，列式求出的取值范围. （2）根据（1）中的取值范围可得到不等式对应方程的根的大小，进而求出不等式的解集. 【详解】（1）关于的不等式恒成立， 则当时，原不等式为恒成立； 当时，，解得， 所以的取值范围为. （2）不等式化为， 由（1）知，，则，解得， 所以原不等式的解集为. 20．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知函数 . (1)关于的不等式的解集为，求的最小值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2)答案见解析； 【分析】（1）利用一元二次不等式的解集与方程根的关系可得且，再由基本不等式中“1”的应用可得结果； （2）对参数的取值分类讨论，利用一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】（1）由关于的不等式的解集为可得是方程的两个实数根，且，； 因此可得，因此； 且， 可得， 当且仅当时，即时，等号成立； 此时满足题意，的最小值为； （2）整理不等式可得， 即； 当时，不等式为，其解集为； 当时，不等式为，其解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式为的解集为或. 21．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）解关于的不等式. （2）解关于的不等式. 【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析 【分析】（1）分、及，结合一元二次不等式的解法计算即可得； （2）计算，分及，结合一元二次不等式的解法计算即可得. 【详解】（1）， ①若，则原不等式可化为，解得； ②若，则原不等式化为，解得或； ③若，则原不等式化为，解得； 综上所述，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； （2）由题意得， ①当，即时， 方程无实根，所以原不等式的解集为； ②当，即或时， 方程的两个根为，， 所以当时，原不等式的解集为； 当或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 7 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式 清单01 两个实数的大小比较 1、比较大小基本方法 关系 方法 做差法与0比较 做商法与1比较 或 或 2、不等式的性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 3.、不等式的大小比较方法 （1）作差法比较大小的步骤 ①作差；②变形；③判断差式与0的大小；④下结论. （2）作商比较大小（一般用来比较两个正数的大小）的步骤 ①作商；②变形；③判断商式与1的大小；④下结论. 注：其中变形是关键，变形的方法主要有通分、因式分解和配方等，变形要彻底，要有利于0或1比较大小.作差法是比较两数（式）大小最为常用的方法，如果要比较的两数（式）均为正数，且是幂或者因式乘积的形式，也可考虑使用作商法. 清单02 基本不等式 1、基本不等式 （1）一般地,R,有≥，当且仅当时,等号成立. （2）特别地,当时,分别用代替上式中的,可得≥，当且仅当时,等号成立.通常称不等式≥为基本不等式（也叫均值不等式） 其中叫做正数的算术平均数,叫做正数的几何平均数，基本不等式表明: 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. （3）重要不等式≥与基本不等式≥成立的条件是不一样的.前者为任意实数,后者只能是正数.但两个不等式中等号成立的条件都是. 2、基本不等式的变形 （1）≥,≤.其中R+,当且仅当时,等号成立. （2）当时,≥2,当且仅当,即时,等号成立; 当时,≤,当且仅当时,等号成立. 实际上,当时,. ∵≥2,∴≤,即≤.当且仅当,即（）时,等号成立. （3）当同号时,≥2,当且仅当时,等号成立;当异号时,≤,当且仅当时,等号成立. （4）不等式链: ≤≤≤（,当且仅当时,等号成立.） 其中,,,,分别叫做正数的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数. 3、利用基本不等式求最值 设,则有 （1）若（和为定值）,则当时,积取得最大值; （∵ R+,有≤,∴≤.） （2）若（积为定值）,则当时,和取得最小值. （∵ R+,有≥,∴≥.） 4、利用基本不等式求最值时,必须满足三个条件,即:一正、二定、三相等. 一正: 各项都必须为正数; 二定: 和或积为定值.当和为定值时,积有最大值,当积为定值时,和有最小值; 三相等: 等号能取到,即取得最值的条件能满足. 清单03 一元二次不等式的概念 1、一元二次不等式的定义：一般地，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2、一元二不等式的一般形式：，，(其中，均为常数)． 3、一元二次不等式的解与解集 使某一个一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解； 一元二次不等式的所有的解组成的集合，叫做这个一元二次不等式的解集； 将一个不等式转化为另一个与它解集相同的不等式，叫做不等式的同解变形． 3、二次函数的零点 一般地，对于二次函数，我们把使的实数叫做二次函数的零点． 4、三个“二次”之间的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集． 5、一元二次不等式的解法 解一元二次不等式的一般步骤是: （1）利用不等式的性质,将二次项系数化为正数; （2）计算的值,并判断的符号; （3）当≥0时,求出相应的一元二次方程的根; （4）画出对应的二次函数的简图; （5）根据一元二次不等式的形式,结合简图,写出其解集. 6、一元二次不等式的解集结构与二次项系数的符号有着直接的关系. 其中,①当时,一元二次不等式的解集在“两根之外”,即“大于大根或小于小根”;一元二次不等式的解集在“两根之内”,即“大于小根且小于大根”,简记为“大于0取两边,小于0取中间”; ②当时,一元二次不等式的解集为;一元二次不等式的解集为; ③当时,一元二次不等式的解集为R;一元二次不等式的解集为. 7、一元二次不等式在R上恒成立的问题 （1）在R上恒成立,则有:或; （2）在R上恒成立,则有:或; （3）一元二次不等式≥0在R上恒成立,则有:; （4）一元二次不等式≤0在R上恒成立,则有:. 8、分式不等式的解法 各标准形式的分式不等式的解法为: （1）与不等式组或同解,与不等式同解; （2）≥0与不等式组同解; （3）与不等式组或同解,与不等式同解; （4）≤0与不等式组. 由以上解法可以看出:将分式不等式转化为标准形式后,再将其转化为不等式组或同解整式不等式进行求解. 【说明】试题或者解析中区间的概念说明：设a，b是两个实数，而且，我们规定： 定义 名称 符号 闭区间 开区间 半闭半开区间 半开半闭区间 【易错01：忽略不等式成立的条件】 不等式在遇到乘法或者除法运算时候，是很容易出错的，需熟记一下几个不等式性质：①可乘性：；；②可乘方性：；③可开方性：；④同号可倒性：；； 【典例】（多选题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．若，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知为实数，则（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【易错02：多次使用同向相加性质，扩大了取值范围】 1、在多次运用不等式性质时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了取值范围．为了避免这类错误，必须注意①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式． 2、解决思路 一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得. 3、解决步骤 第一步：把所求代数式用条件的代数式，表示出来，即． 第二步：列方程组，求出m，n的值. 第三步：分别求出和的取值范围． 第四步：求出的取值范围． 【典例】（多选题）已知实数满足，，则 （     ） A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【针对训练】 1．已知实数x，y满足，，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【易错03：忽略基本不等式成立的条件】 1、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量. （3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： 【典例】（多选题）已知x≥1，则下列函数的最小值为2的有（　　） A． B． C． D． 【针对训练】 1．（多选题）下列说法正确的是（    ） A．函数的最大值是 B．函数的最小值是2 C．函数的最小值是6 D．若，则的最小值是8 【易错04：多次使用基本不等式注意等号成立是否一致】 连续应用基本不等式求最值时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，若不能同时取等号，则连续用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立. 【典例】已知，则当取得最小值时，n的值为（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．对任意的正实数，满足，则的最小值为 . 【易错05：忽略二次项系数为0】 解形如ax2＋bx＋c>0类型的不等式的步骤首先判断二次项系数与0的大小，否则分类讨论，当a<0时，利用不等式性质化为正值，然后若能分解因式，则分解因式，然后判断根的大小，写出解集）；若不能分解因式，需判断判别式，若判别式符号不确定，则分类讨论；在解题中注意三个二次（二次函数、二次方程、二次不等式）之间的联系，同时要树立起函数与方程、分类讨论、数形结合的数学思想方法. 【典例】若命题“”是假命题，则实数的取值范围是 . 【针对训练】 1．已知关于x的不等式mx2＋mx＋m－1＜0始终成立，则m的取值范围为________________． 【易错06：一元二次不等式分类讨论不当】 含参数的一元二次不等式的一般步骤 注：求解方程的根时可优先考虑用因式分解的方法求解，不能因式分解时再求判别式Δ，用求根公式计算． 【典例】（多选题）已知，关于x的一元二次不等式的解集可能是（    ） A．或 B． C． D． 【针对训练】 1．解关于的不等式：． 【易错07：分式不等式等价转化不当】 解分式不等式的注意事项及分式不等式的一般解题思路：移项通分，注意转化为整式不等式后需要确保分母对应的因式不能为0，根式不等式要注意保证根号有意义等隐含条件． 【典例】若集合，，则（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．已知集合，则（    ） A． B． C． D． 【易错08：混淆一元二次不等式中的恒成立和有解题目】 【典例】1．“不等式在上恒成立”的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 2．已知关于x的不等式在上有解，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【针对训练】 1．，恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．3 C． D．6 2．命题“”为假命题，则实数的范围为 . 一、单选题 1．（24-25高一上·陕西渭南·月考）设，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高一上·福建漳州·月考）若不等式的解集为，则a的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 3．（24-25高一上·广东广州·月考）已知命题为真命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·山东淄博·月考）若不等式的解集为，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·广东广州·月考）若命题“，使得”是假命题，则实数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 6．（23-24高一上·广东江门·月考）任意，使得不等式恒成立.则实数取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（24-25高一下·山西大同·月考）已知，则下列命题不正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，，则 D．若，，则 8．（24-25高一上·江苏连云港·月考）下列命题中正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 9．（23-24高一上·云南玉溪·期中）若，则下列命题中错误的是（    ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若，则 10．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．（24-25高一上·上海·期中）关于的不等式的解集为 . 12．（23-24高一上·云南玉溪·期中）不等式的解集为 ． 13．（23-24高一上·甘肃白银·期中）若不等式有解，则实数的取值集合是 . 14．（24-25高一上·广东广州·期中）若，不等式恒成立，则的取值范围为 ． 15．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·月考）若“，使得成立”是真命题，则实数的取值范围是 ． 16．（24-25高一上·四川德阳·月考）若两个正实数，满足，且不等式有解，则实数的取值范围是 . 17．（24-25高三上·重庆·开学考试）已知均为正实数，且，则当取得最小值时 ，的最小值为 ． 18．（24-25高一上·山东威海·期中）已知实数，满足，则的最小值为 . 四、解答题 19．（24-25高一上·内蒙古包头·期末）已知关于的不等式. (1)若不等式恒成立，求实数的取值范围. (2)在（1）的条件下，解关于的不等式. 20．（24-25高一上·山东淄博·期末）已知函数 . (1)关于的不等式的解集为，求的最小值； (2)解关于的不等式. 21．（24-25高一上·全国·课后作业）（1）解关于的不等式. （2）解关于的不等式. 7 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $