第四章 指数函数与对数函数（复习讲义）高一数学人教A版必修第一册

该高中数学单元复习讲义通过表格梳理与分层讲解构建指数函数与对数函数知识体系，涵盖根式与指数幂运算、指对函数图象性质、大小比较等核心内容，用对比表格呈现指对函数单调性差异，突出复合函数单调性、含参问题等重难点的内在逻辑。 讲义亮点在于“题型-方法-难点”三阶训练体系，如用换元法转化复合指数方程为二次函数求解，培养数学思维中的推理与运算能力。要点速测夯实基础，难点精练突破含参值域等综合问题，助力分层教学，教师可据此实施精准复习指导。

第四章 指数函数与对数函数 复习要点 1.掌握根式、分数指数幂的互化与指数幂全部运算性质； 2.理解指数函数定义、图象及性质，掌握复合指数函数综合问题； 3.掌握指数与对数互化、对数运算公式； 4.掌握对数函数定义、图象及性质. 复习重难点 重点：指数幂运算；指数、对数函数图象与单调性；对数运算（换底公式）；指对式大小比较；复合函数定义域、单调区间。 难点：复合指对函数单调性；含参指对函数值域与恒成立问题；对数真数隐含取值限制；换元法处理指对二次复合方程或不等式；奇偶性与单调性综合抽象不等式。 知识点 根式与指数幂运算 1.根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数，即 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数，即 2.分数指数幂互化（） 3.指数运算性质（） ①，，； ②，，； ③，，； ④，（m,n∈Q）． 4.指数方程解法 （1）统一底数法 将方程两侧式子化为同底数指数形式，利用指数函数单调性：若 ，则 ，转化为普通代数方程求解。 （2）换元法（复合型指数方程） 形如 这类方程，令 ，由 可知新元范围 ，原方程转化为一元二次方程 ； 求出之后，舍去所有小于等于 0 的根，剩余正根再反向求解。 （3）取对数法 无法统一底数时，对方程两边同时取对数，借助对数运算性质把指数下移，求解未知数。 【易错提醒】 1.偶次根式开方必须加绝对值； 2.负分数指数幂先取倒数再开方，底数必须大于 0； 3.使用换元法令 时， 恒大于 0，解方程得到负根一定要舍去。 要点速测 1.（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 【答案】D 【分析】根据根式的运算性质逐一判断即可. 【详解】对于A，，，所以A错误； 对于B，，所以B错误； 对于C，当为奇数时，（，），所以C错误； 对于D，（，），所以D正确. 故选：D. 2.（25-26高一上·福建·阶段检测）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对已知条件进行变形，利用完全平方公式化简可得，再根据平方差公式化简即可求解. 【详解】解：由，得， 则，因此， 所以． 故选：C 知识点 指数函数图象与性质 1. 指数函数概念 函数 且叫做指数函数． 2.指数函数的图像与性质 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是单调递减 在定义域上是单调递增 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 3.复合指数的单调性 （1） 复合函数拆为两层：外层：指数函数 ，；内层：（普通函数） （2）分情况讨论 ①当 时，外层 单调递增 若内层 单调递增 复合函数 单调递增（同增） 若内层 单调递减 复合函数 单调递减（异减） ②当 时，外层 单调递减 若内层 单调递增 复合函数 单调递减（异减） 若内层 单调递减 复合函数 单调递增（同增） （3)解题步骤 ①拆分：令 ，原函数化为 ②求定义域，先求内层函数 的单调区间 ③判断外层 的增减（看底数） ④根据同增异减，得到 的单调区间 【特别提醒】 1.都不是标准指数函数； 2.指数函数值永远大于 0，解题隐含约束； 3.底数含参必须分“”和“”两种情形讨论 要点速测 3.（25-26高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数定义即可判断. 【详解】根据指数函数的定义形如且为指数函数判断： 对于A：为幂函数，故A错误； 对于B：中不能作为底数，故B错误； 对于C：中系数不为1，故C错误； 对于D：是指数函数，故D正确； 故选：D 4.（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】A 【分析】运用代入法进行求解即可. 【详解】因为函数且的图象过点， 所以，或舍去， 故. 故选：A 知识点 对数概念与对数运算 1. 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 2.对数的性质 (1)负数和零没有对数 (2), 特别地，，， 3.对数的运算 如果，有 ① ② ③ ④ ⑤ 换底公式 利用换底公式推导下面的结论 ① ② ③ 【易错提醒】 1.对数真数，负数、0 无对数； 2.特别注意：， 3.换底时分母分子不可颠倒。 要点速测 5．（2026·湖南邵阳·模拟预测） （    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】. 6.（2026高考数学复习一轮复习笔记）求值=_________ 【答案】10 【解析】利用对数运算法则和换底公式计算即可. 【详解】解： . 故答案为：10. 知识点 对数函数的图象与性质 1.对数函数的概念 函数叫做对数函数，其中是自变量. 2.图像与性质 图像 定义域 值域 过定点 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是单调递增 在上是单调递减 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越靠近x轴； 3.复合对数两大约束： ① 内层（定义域优先）；② 单调性同增异减 【拓展延伸】 对数型奇偶函数：，定义域必须对称。 要点速测 7.（25-26高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 【答案】B 【分析】由对数函数的真数大于零，进而求解. 【详解】由题意得：， 所以的定义域为. 8．（25-26高二下·山东日照·期末）函数过定点________． 【答案】 【分析】利用对数函数（且）的恒成立性质，即可求解. 【详解】令，解得，得， 因此函数恒过定点. 知识点 指数对数式比较大小方法 1.当两个指数或者对数的底数相同时，直接借助函数单调性比较。 （1）指数函数 ① ，函数单调递增：指数越大，函数值越大； ② ，函数单调递减：指数越大，函数值越小。 （2）对数函数 ① ，函数单调递增：真数越大，对数值越大； ② ，函数单调递减：真数越大，对数值越小。 2.两个式子指数相同，底数不同，使用幂函数 的第一象限性质。 ① ，第一象限单调递增：底数越大，函数值越大； ② ，第一象限单调递减：底数越大，函数值越小。 3.底数、指数（对数的底数、真数）全都不一样，找中间值 0、1 作为参照，划分区间比较。 常用参照数值： ，，。 把各个数分别归类到：小于 0、0 到 1 之间、大于 1，不同区间可直接区分大小。 4. 特殊技巧：作差、作商、换底统一底数 （1）作差法：计算 。若结果大于 0，则；结果小于 0，则。 （2）作商法：A、B 均大于 0 时，计算。若比值大于 1，则；比值小于 1，则。 （3）换底统一底数：将底数不同的对数，转换为相同底数，再利用对数单调性比较大小。 换底公式： 5.做题步骤总结 ① 看底数是否相同，使用指数函数、对数函数单调性； ② 底数不同，看指数是否相同，使用幂函数单调性； ③ 底数指数都不一样，先和 0、1 对比，划分数值区间； ④ 无法判断时，使用作差、作商、换底公式进一步处理。 【易错提醒】 1.用单调性必先看底数范围，分清增、减； 2.幂函数比较大小只适用于正数； 3.底数、指数都不同，优先拿 0，1 划分区间； 4.换底公式记住：真数作分子，底数作分母； 5.分清指数函数、幂函数，看清谁变谁不变。 要点速测 9.（25-26高一上·山西长治·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数为减函数，函数为增函数， 所以，所以. 10.（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数、指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为，，， 所以. 题型1 根式与指数幂化简求值 ▌例1 （25-26高一上·广东江门·期中）计算下列式子的值. 已知，求的值. 【答案】 【分析】两边平方求出，两边平方求出，从而得到的值. 【详解】因为， 所以， ， 所以. 解题要点 根式与指数幂化简求值方法 1.多重根式统一转化为分数指数幂 根式运算优先转成分数指数幂：，把多层根号改写成分数指数，方便利用指数运算法则计算。 2.积的幂的拆分，底数分别运算 积的乘方公式：，括号内是乘积形式时，可以把幂分配到每一个底数上分别计算，再相乘。例：。 3.负数奇次根式保留负号，偶次根式先平方去负 （1）奇次根式：，结果可以为负数，负号直接保留； （2）偶次根式：，结果一定是非负数，先去掉根号再处理正负，不能直接等于。 ▌迁移练1-1（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）（1）计算: 【答案】（1）； 【分析】（1）根据次根式的性质化简即可； 【详解】(1)由得： 故原式 ▌迁移练1-2（25-26高一·全国·课后作业）化简或求值： (1)； 【答案】(1)112 【分析】(1)把根式化成分数指数幂，再利用指数运算法则计算即得. 【详解】（1）原式=. 题型2 指数函数定义辨析 ▌例2 （2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【详解】由指数函数的定义得，解得. 解题要点 1. 指数函数形式：，三个条件缺一不可： ①底数且；②前面的系数等于 1；③自变量只能单独出现在指数位置，不能附带常数加减； 2.区分标准指数函数与指数型函数：不属于标准指数函数，仅能称作指数型函数； 3.含参求解步骤：令指数项系数为1，解出参数后代回检验底数范围，舍去不符合的解。 ▌迁移练2-1（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）（多选）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由指数函数的定义可得出关于实数的等式与不等式，即可得出实数的值. 【详解】因为函数是指数函数， 则，解得. 故选：ACD. ▌迁移练2-2（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 题型3 指数型函数恒过定点问题 ▌例3 （25-26高一下·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令可得，当时，由题意可得，解得. 解题要点 1.原理：无论底数取合法范围内任意值，恒满足，以此消去未知参数； 2.解题三步（适配形式）：①令指数整体，解出对应；②将代入原式，利用计算；③完整书写坐标，不可只写单独数字； 3.易错提醒：切勿遗漏解析式末尾常数，定点是一组有序数对，书写必须带括号； 4.拓展变形：若函数为，不影响定点计算，依旧令指数为 0 求解。 ▌迁移练3-1（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，令，求得，且，即可求解. 【详解】由函数，令，解得，此时， 所以函数且的图象必经过点． ▌迁移练3-3（25-26高二下·上海·期末）函数（且）的图象过定点，则点的坐标是________． 【答案】 【详解】对于指数函数（且），当时恒成立， 因此恒过定点； 题型4 指数复合函数单调区间与值域 ▌例4-1 （2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．. ▌例4-2 （25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用换元法，令，令，逐步求出该复合函数的值域即可. 【详解】令，令， 由二次函数的性质可知，当时，二次函数在上单调递减， 在上单调递增，故， 又易知在上单调递减，故， 即函数的值域为. 故选：A. 解题要点 1.分层拆分复合函数：拆分为外层指数函数、内层基础函数； 2.单调性判定规则（同增异减）：外层与内层增减性一致，整体单调递增；外层与内层增减性相反，整体单调递减； 3.单调区间书写规范：区间必须基于内层函数定义域书写； 4.值域求解完整步骤：①先求内层函数的取值范围；②将的范围代入外层指数函数，结合指数单调性算出范围； 5.隐含约束：指数函数结果恒大于 0，值域下限永远取不到 0。 迁移练4-1（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数（，），，为实数. 若，函数在区间上的最小值为.求的值. 【答案】2 【分析】易知，利用换元法将求解函数的最值问题转化成为二次函数在定区间上的最值问题，再进行分类讨论解方程可得. 【详解】由题意，解得或（舍）， 因为在上单调递增，所以在上单调递增， 当时，，即. 函数 ，， 令，设， 当时，函数在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 即，解得（舍） ▌迁移练4-2（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 又函数是增函数，所以， 则所求函数的值域为． 题型5 对数运算、换底公式化简求值 ▌例5-1 （25-26高一上·江西南昌·阶段检测）（1）计算：； 【答案】（1）1； 【分析】（1）根据对数的运算性质及换底公式计算可得； 【详解】（1） . ▌例5-2 （25-26高一上·天津·期中）求值：； 【答案】； 【详解】 ； 解题要点 1.多对数相乘优先换底：不同底数对数相乘，统一换成常用对数或自然对数，约分消去分母分子公共项简化计算； 2.常数对数快速化简：，直接转化整数，避免重复计算； 3.换底公式：，真数作分子、底数作分母，禁止颠倒； 4.对数加减运算规则：同底数对数相加，真数相乘；同底数对数相减，真数相除，不可拆分加减式； 5.负对数转化：，提前化简符号减少失误。 ▌迁移练5-1（25-26高一下·上海·期末）已知，，用，表示为__________． 【答案】 【分析】将指数化为对数，结合对数运算求解. 【详解】因为，所以， 又， 所以. ▌迁移练5-2（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用指对数转化，再借助换底公式，然后进行对数运算，即可判断各选项. 【详解】由，可得， 则，故A错误； 由分别转化为对数式，结合换底公式可得： ，故；，故； ，故， 由，， 显然，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 题型6 对数函数定义域、定点、单调区间 ▌例6 -1 （25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求得的定义域，根据复合函数单调性的求法，结合二次函数、对数函数的性质，即可得答案. 【详解】由题意得，令，解得或， 的定义域为， 设，， 根据二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增， 又因为在为增函数， 根据复合函数同增异减原则，可得的单调递增区间为. ▌例6 -2 ．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 解题要点 1.解题第一步：优先求定义域，对数内层真数必须满足，解不等式得到 x 取值范围； 2.复合函数分层拆分：外层，内层； 3.单调性判定方法（同增异减）：外层内层增减性相同，整体递增；外层内层增减性相反，整体递减； 4.单调区间要求：求出的单调区间必须是定义域的子集，不在定义域内的区间全部舍去； 5.定点求解：求对数型函数定点时令真数等于1，利用算出固定 y 值。 ▌迁移练6-1（2026·湖南长沙·模拟预测）函数的定义域为（    ） A．R B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数真数恒大于0的性质，列不等式求解即可得到函数定义域. 【详解】对于对数函数（且），其真数必须满足, 因此要使有意义，需满足真数大于0，即 ，解得， 故函数的定义域为 ▌迁移练6-2（25-26高一下·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 【答案】 【详解】因为，所以，即， 所以函数的图象恒过定点. 题型7 指数、对数不等式求解 ▌例7 （25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）求不等式(其中且)的解集. 【答案】当时，解集为； 当时，解集为. 【分析】对分成两种情况，结合指数函数的单调性，求得不等式的解集. 【详解】当时，由得，解得或，所以原不等式的解集为. 当时，由得，解得，所以原不等式的解集为. 解题要点 1.同底不等式标准化：左右两侧化为底数相同的指数或对数形式； 2.利用单调性脱去函数符号：底数，不等号方向不变；，不等号方向反向； 3.对数不等式约束条件：脱去对数符号前，必须保证所有真数大于 0，最后解集取交集； 4.底数含参处理方法：分两类情况讨论，分别求解不等式； 通过脱去指对符号后常得到一元二次不等式，可因式分解结合数轴写出解集。 ▌迁移练7-1（25-26高一上·江西上饶·期末）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对数函数的单调性，结合对数函数的定义域即可求解． 【详解】因为在上递减，， 所以，解得， 即的取值范围是． 故选：A． ▌迁移练7-2.（25-26高一下·广东广州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】不等式等价于，函数在上单调递减， 得，所以不等式的解集为. ▌迁移练7-3（25-26高二下·宁夏银川·期末）已知a，，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为，则，所以， 又因为增函数，所以；当，即， 则，当时，， 当时，不在定义域内； 综上“”是“”的充分不必要条件. 题型8 指数、对数复合型方程与复合函数值域 ▌例8 （25-26高二下·天津·期末）“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由“函数值域为”可得：. 因为“”是“”的充分不必要条件， 所以“”是“函数值域为”的充分不必要条件. 解题要点 1.换元构造一元二次函数：解析式中重复出现或时，设等于重复部分，将原式转化普通二次函数； 2.先求换元变量取值范围：结合的定义域，利用指数、对数单调性算出的区间； 3.二次函数求最值：结合二次函数对称轴与取值区间，求出最大、最小值； 4.指数换元限制：若，则，解方程时舍去负根； 5.最终值域书写：直接写出的取值区间，无需代回。 ▌迁移练8-1（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数，. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为，求k的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，结合二次函数及指数函数性质求值域； （2）令，则，结合二次函数性质讨论对称轴的位置及题设求参数值. 【详解】（1）当时，，. 令，因为，则， 所以，其中，根据二次函数性质可知： 当时，；时，，即， 所以的值域为. （2）令，因为，则， 则，开口向上且对称轴为， 当时，在上递增，此时，解得； 当时，在上递减，在上递增， 所以，可得，不合题意舍去； 当时，在上递减，所以， 可得，不合题意； 综上，. ▌迁移练8-2.（2026高一上·重庆·专题练习）已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 【答案】(1)定义域为，值域为； (2). 【分析】（1）由函数有意义列出不等式，利用指数函数单调性求出定义域；再利用换元法，结合二次函数求出值域. （2）由给定条件可得的取值集合包含，换元并结合二次函数分类讨论求解. 【详解】（1）当时，， 由，得， 则，即，解得， 所以函数的定义域为； 令，则， 于是，所以函数的值域为. （2）设，则， 令， 由函数的值域为，得函数的值域包含， 当时，函数的图象开口向下，对称轴为，有最大值，不符合题意； 当时，值域为，包含，符合题意，则； 当时，函数的图象开口向上，对称轴为， 函数值域为，包含，符合题意，则， 所以m的取值范围是. 难点一 复合指对函数单调性 难点1：对数复合函数单调区间漏定义域问题 1.设复合函数 ，拆分两层：外层函数 ，内层函数 。 单调性判定方法（同增异减）： (1)外层增、内层增 整体单调递增；外层减、内层减 整体单调递增； (2)外层增、内层减 整体单调递减；外层减、内层增 整体单调递减。 对数复合函数约束条件：内层 恒成立，求解单调区间前必须先求出完整定义域，最终单调区间只能取定义域的子集，定义域以外区间全部舍去，这是高频丢分点。 2.解题步骤 (1)求定义域：令对数内层代数式 ，解不等式得到 的取值范围； (2)分层拆分复合函数，分别判断外层、内层函数各自单调性； (3)用 “同增异减” 初步判断整体增减区间； (4)将初步区间与定义域取交集，得到最终合法单调区间。 难点2：底数含参，已知单调区间反求参数取值范围 解题思路：指数、对数函数单调性由底数 范围决定，因此必须分两大类分类讨论：、。 1.分类讨论底数，分别写出对应外层函数单调性； 2.结合题目给定的整体单调区间，反向推导内层函数需要满足的增减性； 3.联立两层单调性对应的不等式，同时叠加对数定义域约束条件； 4.取两类讨论结果的并集，得到参数最终取值范围。 难点精练 1.（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知可看作由和复合而成； 当时，函数单调递增，要使在上单调递增， 则需在上单调递增，因此需满足，解得， 结合得； 当时，函数单调递减，要使在上单调递增， 则需在上单调递减，因此需满足，解得，此时a不存在； 综合可知的取值范围为. 2.（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】明确复合函数的构成，根据同增异减确定单调区间. 【详解】函数由和复合而成， 因为，其单调递减区间是，单调递增区间是； 而函数在上单调递减， 由复合函数的单调性知的单调递减区间是. 3.（2026·河北沧州·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数“同增异减”的性质，结合对数函数与二次函数的性质确定的取值范围. 【详解】因为函数在区间上单调递增， 令，而函数在定义域内单调递减， 所以在区间上单调递减， 又因为，有恒成立， 则，求解可得 所以． 故选：D 难点二 含参指对函数值域为R，恒成立或存在性综合问题 难点1：对数内层为二次函数，函数值域为R问题 对于函数 ，值域为全体实数R 的充要条件：内层二次函数 能够取所有大于 0 的正实数。 分两种情况讨论： （1）二次项系数 ：内层为一次函数 ，一次函数值域为，能取全部正数，满足值域为； （2）二次项系数 ：抛物线开口向上，判别式 ，保证抛物线与 x 轴有交点，函数能覆盖全部正数； （3）：开口向下，二次函数存在最大值，无法取遍全部正数，直接舍去。 易错区分： 值域为R：内层能取遍所有正数，要求 ； 定义域为：内层恒大于 0，要求 ，二者条件完全相反，极易混淆 难点2：指对型不等式恒成立、存在性求参数范围 1.换元简化：令 或 ，将指对不等式转化为关于的一元二次不等式； 2.分离参数：把含参数项单独放一侧，转化为 “参数 ” 或 “参数 ” 形式； 3.最值判定口诀： （1） 恒成立：大于恒成立 参数 ；小于恒成立 参数 ； （2） 存在成立：大于存在成立 参数 ；小于存在成立 参数 ； 4.结合换元后的取值区间，求出函数最值，解出参数范围。 难点精练 1.（25-26高一上·贵州遵义·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，通过分离参数将原不等式转化为在区间上恒成立，再利用基本不等式求出的最小值即可得解. 【详解】设，因为函数在上单调递增，所以. 所以原不等式可化为在区间上恒成立， 即在区间上恒成立. 令， 因为，当且仅当，即时取等号， 所以当时，，所以. 故选：C 2.（25-26高一上·山东·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令，转化为的一元二次函数，再利用复合函数的性质求值域. （2）令，然后参变分离求解参数范围即可. 【详解】（1）由对数函数单调性可知，当时，， 令，可得， 由题意得二次函数开口向上，在区间单调递减，在区间单调递增， 可知当时，，当时，； 因此可得当时，该函数的值域为. （2）当时，可得， 原不等式可化为对于恒成立， 即可得对于恒成立， 由对勾函数性质得函数在上单调递增， 所以，因此只需即可， 得到；即的取值范围是. 3.（25-26高一下·云南昆明·期末）已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的最小值； (3)若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）将代入函数解析式，结合对数函数的定义域与单调性，将对数不等式转化为一元一次不等式求解，注意定义域对解集的限制. （2）将代入函数表达式化简，得到的定值关系，结合基本不等式即可求得的最小值，注意验证等号成立的条件. （3）首先根据对数函数的单调性确定在上的最大值与最小值，将题设不等式转化为关于的恒成立问题，求解对勾函数在上的最大值，再解关于的一元二次不等式，结合的限定条件得到的取值范围. 【详解】（1）当时，的定义域为，因为，所以是增函数， 即，所以，解得， 所以的解集为． （2），所以，（） ， ，因为，所以，， 当且仅当时等号成立， 所以的最小值为2． （3）因为，所以是增函数，所以在上的最小值为，最大值为， ，在的最大值与最小值之和不大于，即 等价转化为恒成立， 因为，所以的最大值为，所以，化简得， 解得，又因为， 所以． 4.（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域为上的偶函数． (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）根据偶函数定义列式求得的值，进而计算得解； （2）先根据定义法判断的单调性，结合偶函数性质，即可求解不等式的解集； （3）令，则可转化为关于的函数，分别讨论与，即可求得的值. 【详解】（1）因为是定义域为上的偶函数， 则，即， 所以，即， 所以，，； （2）由（1）可知， 任取，则，， 则， 所以，所以在上单调递增，又因为是偶函数， 故由式可得， 所以，即， 解得或，故不等式的解集为； （3）， 所以 ， 令，由，在上单调递增，则，则可转化为关于的函数，对称轴为. 当时，则时，，解得； 当时，则时，，解得，舍去； 综上，可知． 难点三 指对奇偶函数判定与抽象不等式综合 难点1：指对型复合奇偶函数判定方法 1.求定义域：对数函数自带真数大于 0 约束，解出定义域区间；定义域必须关于原点对称，若不对称，函数直接判定为非奇非偶，无需后续计算； 2.计算 ：代入 化简对数或指数式，对比 的表达式； （1)若 ，函数为偶函数； (2)若 ，函数为奇函数； 3.奇函数快速性质：若函数在 处有定义，则必有 ，可快速求解解析式内未知参数。 常见形式 分式型对数 、指数分式 是考试高频奇偶函数模型. 难点2：结合奇偶性、单调性求解抽象指对不等式 解题步骤 1.标准化不等式：将不等式整理为单一函数形式 ，两边仅有一个； 2.利用奇偶性统一符号：若为奇函数，，把所有自变量统一化为正数； 3.利用单调性脱去外层：单调递增直接去掉保留不等号；单调递减去掉后不等号反向； 4.三重约束联立取交集：①原函数定义域；②满足的取值范围；③满足的取值范围，最终解集为三者交集。 难点精练 1.（25-26高一上·北京·阶段检测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的函数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A选项，判断出为偶函数；对于B选项，不满足单调性；对于C选项，由定义域判断出不是奇函数；对于D选项，判断出为奇函数，且满足单调性，D正确. 【详解】对于A选项，定义域为，且， 所以为偶函数，A错误； 对于B选项，在上单调递减，故B错误； 对于C选项，的定义域为，故不是奇函数，C错误； 对于D选项，的定义域为，又， 故为奇函数， 当时，，故函数在上单调递增，D正确. 故选：D 2.（25-26高一下·湖北襄阳·期中）若函数是定义在R上的奇函数，则实数a的值为________． 【答案】 3 【详解】函数是定义在R上的奇函数，则，解得， 此时，，函数是奇函数， 所以实数a的值为3. 难点四 底数、指数均不同的复杂幂或对数大小比较 难点1：同指不同底、同底不同指混合比较 解题技巧 1.同底指数或对数：直接利用对应函数单调性判断大小； 2.同指数不同底数（幂函数型 ）：在第一象限，幂函数 ， 单调递增，底数越大值越大； 单调递减，底数越大值越小； 3.统一结构变形：利用指数、对数恒等变形，把式子改写为同底或同指数形式再对比。 难点2： 底数、指数完全不同的大小比较 1.分界分层：先用中间值 将三个数划分为三类：小于 0、0 到 1 之间、大于 1，快速区分大致大小； 2.统一结构：无法分层区分的两个数，通过换底公式、指数变形统一底数或指数； 3.辅助手段：变形后仍无法直接判断，采用作差法、作商法、构造辅助函数单调性比较。 补充结论 指数式 、 型：常用取对数 ，转化为乘积形式比较； 对数混合指数：优先区分正负，正数内部再精细对比。 难点精练 1.（2026.专题04指对幂等函数值的大小比较及构造函数（复习讲义））已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、幂函数的单调性判断即可. 【详解】根据函数在R上单调递减可知， 根据函数在上单调递增可知， 故， 故选：A 2.（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数，幂函数的单调性比较大小. 【详解】因为在R上单调递增，所以，， 又在R上单调递减，所以， 而在上单调递增，所以，所以，即， 所以. 故选：A. 3.（25-26高一下·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可. 【详解】设， 则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得， 则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，， 因为，，， 所以，易得，，所以， 故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ． 基础达标 一、选择题 1.（2025高二下·福建·学业考试）对数函数经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，令，则， 即函数经过点. 2.（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 3.（2026·天津北辰·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】因为，所以， 因为是R上的单调增函数，因此不等式等价于， 若（即），不能推出，因此充分性不成立； 若，则一定满足，即一定满足，因此必要性成立， 综上，是的必要不充分条件. 4．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知， 令，得，代入得， 故函数的图象恒过定点. 5.（2026·安徽合肥·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数有意义，即,则， 又因的值域为,则，故. 6.（2026·河北·模拟预测）已知条件的解集为，条件是减函数，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】分别求出命题中的的取值范围，再根据集合间的关系结合充分必要条件定义即可得到答案； 【详解】对命题：， 对命题q：， 因为真包含于， 7.（25-26高一下·上海宝山·阶段检测）下列函数，值域为R的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定各函数的值域然后判断. 【详解】的值域是，的值域是R，的值域是，的值域是， 故选：B. 8.（2026高一上·河北石家庄·专题练习）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数、的单调性比较大小即可. 【详解】因函数为上的递增函数，则，即，则； 因函数为上的递增函数，则，即，则， 则. 故选：D 9.（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数，定义域为．则的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求关于指数函数的复合函数的值域即得, 【详解】因为函数的定义域为 所以，解得. 所以的定义域为 由得 所以. 当，即时，， 当，即时，. 所以的值域为, 故选：A. 二、填空题 10.（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 【答案】 【详解】令得，， 所以函数的图象过定点，即的坐标为. 11.（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为______； 【答案】 【分析】化简解析式得出，结合指数函数的值域及不等式的性质可求得函数的值域. 【详解】，因为，则，所以 ，即， 所以，故函数的值域为. 故答案为： 12.（25-26高一上·上海徐汇·期末）若，则________．（用的代数式表示） 【答案】/ 【分析】由换底公式即可求解. 【详解】由换底公式可得， 所以， 故答案为： 13.（25-26高一上·四川成都·期中）函数的单调递增区间是________. 【答案】 【分析】由是减函数，根据复合函数的单调性可得，要求函数的单调递增区间只需求二次函数的单调递减区间即可． 【详解】二次函数开口向下，且对称轴为直线， 所以二次函数的单调递减区间是， 又是减函数，所以二次函数的单调递减区间即为函数的单调递增区间， ∴函数的单调递增区间为. 故答案为： 14.（25-26高一上·上海·期中）已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数的值为________． 【答案】/ 【分析】结合指数函数单调性计算即可得. 【详解】由，故在上单调递增， 故有，解得或（舍去）. 故答案为：. 能力进阶 一、选择题 1.（25-26高一下·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的运算、指数与对数的互化、单调性，结合赋值法判断即可. 【详解】设， 则，，. 对于A，当时，，，，则，A有可能. 对于B，当时，，，，则，B有可能. 对于C，要满足，即，同时取对数得， 则. 当时，会非常小；当足够小时，比衰减慢，会出现； 如时，，，， 因为，，， 所以，易得，，所以， 故，C可能. 对于 D，若 ，则必有 和 ． 由 ，得 若 ，则 ，从而 ，矛盾，所以 ． 由 ，得 若 ，则矛盾，所以 ． 这与 矛盾，因此 不可能出现． 2.（25-26高一上·福建厦门·期末）若，不等式（且）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据恒成立的性质，结合二次函数和对数函数的最值性质分类讨论进行求解即可. 【详解】因为二次函数的对称轴为，且开口向上， 所以当时，该二次函数是单调递增函数， 当时，；当时，，所以此时二次函数的值域为. 当时，当时，函数单调递减， 当时，；当时，， 所以，而， 因此在内不成立； 当时，当时，函数单调递增， 当时，；当时，，此时该对数函数的值域为， 二次函数和对数函数的图象如下图所示： 要满足不等式 在内恒成立， 只需，而，所以； 综上可得实数的取值范围为. 故选：B 3.（多选）（25-26高一·全国·课后作业）（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　　） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 【答案】ACD 【分析】首先换元，设，，，再结合复合函数的单调性，判断AB；根据函数的单调性，再判断函数的最值，判断CD. 【详解】设，，则是增函数，且， 又函数在上单调递增，在上单调递减， 因此在上单调递增，在上单调递减，故A正确，B错误； ，故C正确； ，，因此的最小值是，故D正确． 故选:ACD． 4.（多选）（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 【答案】BCD 【分析】根据题意可得图象恒过定点，结合基本不等式依次判断选项即可. 【详解】由于函数（，且）的图象恒过定点，则， 所以，所以A选项错误； ，，当且仅当时等号成立，故B选项正确； ，，当且仅当时等号成立，故C选项正确； ， 当且仅当时等号成立，故D选项正确. 二、填空题 5.（2026高三·全国·专题练习）已知命题恒成立，命题为减函数，若且为真命题，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】首先求出的最小值，进而求出的范围，由指数函数单调性可求出命题中的范围，由命题：且为真命题，可求出最后的范围. 【详解】根据绝对值三角不等式，对任意实数，有， 当且仅当时等号成立， 因此，的最小值为2，要使命题恒成立， 需满足，解得； 命题为减函数，则，解得； 若且为真命题，则均为真命题，则. 6.（2026高三·全国·专题练习）若不等式，当时恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】要使不等式在时恒成立. 即函数的图像在内恒在函数图像的上方，而的图像过点. 由图可知，，显然这里， 所以函数递减. 又，所以，又，所以. 所以所求实数的取值范围为. 三、解答题 7.（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）令将函数转化为二次函数，在固定区间上根据二次函数单调性求值域； （2）由，令，得，通过解一元二次不等式求解集； （3）令将恒成立转化为恒成立，再利用函数单调性求函数的最大值即可. 【详解】（1）已知函数，令，由得，函数转化为二次函数，，则二次函数，故函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取最小值为，由，可知当时，取最大值为5， 故当时，函数的值域为. （2）由题意知，令，则 ，即，解得或； 当时，即，解得， 当时，即，解得， 故不等式的解集为. （3）由于对于恒成立，令，对于，则，即对于恒成立， 所以对于恒成立； ∵函数和函数在上都单调递增， ∴函数在上单调递增，则当时，它的最大值为， 故当时，对于恒成立， 所以的最小值为. 8.（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由对数函数的值域可得真数对应的二次函数的判别式大于等于，从而可得所求取值范围； （2）令，并结合定义域可得函数单调递增区间，从而可得所求取值的范围； （3）将不等式转化为，由单调性可得，所以只需，进而转化为，方法一：根据二次函数的在闭区间的最值问题分类讨论可得；方法二：通过参数分离可得及，分别求两个函数的最值可得. 【详解】（1）因为函数的值域为，所以能取到大于的所有值， 所以，解得或， 因此实数的取值范围为． （2）当时，． 令，得或， 又， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以在上单调递增， 因为题中在上单调递增，所以实数的取值范围为． （3）因为，使得成立，所以． 因为在时单调递减， 所以， 即，即成立． 方法一：设，其图象的对称轴为直线． 当时，只需，解得； 当时，只需，解得； 当时，只需，无解． 综上，得，即实数的取值范围为． 方法二：成立，等价于成立， 所以． 记，则在上单调递增， 所以，所以. 成立，等价于成立，所以． 记，则（当且仅当时取等号）， 所以，所以， 综上，，即实数的取值范围为． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数 复习要点 1.掌握根式、分数指数幂的互化与指数幂全部运算性质； 2.理解指数函数定义、图象及性质，掌握复合指数函数综合问题； 3.掌握指数与对数互化、对数运算公式； 4.掌握对数函数定义、图象及性质. 复习重难点 重点：指数幂运算；指数、对数函数图象与单调性；对数运算（换底公式）；指对式大小比较；复合函数定义域、单调区间。 难点：复合指对函数单调性；含参指对函数值域与恒成立问题；对数真数隐含取值限制；换元法处理指对二次复合方程或不等式；奇偶性与单调性综合抽象不等式。 知识点 根式与指数幂运算 1.根式的性质： 当为奇数时，正数的次方根是一个正数，负数的次方根是一个负数，即 当为偶数时，正数的次方根有两个，它们互为相反数，即 2.分数指数幂互化（） 3.指数运算性质（） ①，，； ②，，； ③，，； ④，（m,n∈Q）． 4.指数方程解法 （1）统一底数法 将方程两侧式子化为同底数指数形式，利用指数函数单调性：若 ，则 ，转化为普通代数方程求解。 （2）换元法（复合型指数方程） 形如 这类方程，令 ，由 可知新元范围 ，原方程转化为一元二次方程 ； 求出之后，舍去所有小于等于 0 的根，剩余正根再反向求解。 （3）取对数法 无法统一底数时，对方程两边同时取对数，借助对数运算性质把指数下移，求解未知数。 【易错提醒】 1.偶次根式开方必须加绝对值； 2.负分数指数幂先取倒数再开方，底数必须大于 0； 3.使用换元法令 时， 恒大于 0，解方程得到负根一定要舍去。 要点速测 1.（25-26高一上·江苏扬州·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C．（，） D．（，） 2.（25-26高一上·福建·阶段检测）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 知识点 指数函数图象与性质 1. 指数函数概念 函数 且叫做指数函数． 2.指数函数的图像与性质 图象 性质 ①定义域，值域 ②，即图象都经过点 ③，即时，等于底数 ④在定义域上是 在定义域上是 ⑤时，；时， 时，；时， ⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数 3.复合指数的单调性 （1） 复合函数拆为两层：外层：指数函数 ，；内层：（普通函数） （2）分情况讨论 ①当 时，外层 单调递增 若内层 单调递增 复合函数 单调递增（同增） 若内层 单调递减 复合函数 单调递减（异减） ②当 时，外层 单调递减 若内层 单调递增 复合函数 单调递减（异减） 若内层 单调递减 复合函数 单调递增（同增） （3)解题步骤 ①拆分：令 ，原函数化为 ②求定义域，先求内层函数 的单调区间 ③判断外层 的增减（看底数） ④根据同增异减，得到 的单调区间 【特别提醒】 1.都不是标准指数函数； 2.指数函数值永远大于 0，解题隐含约束； 3.底数含参必须分“”和“”两种情形讨论 要点速测 3.（25-26高一上·全国·课前预习）下列各函数中，是指数函数的是（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高一上·山东菏泽·阶段检测）函数且的图象过点，则（   ） A． B．3 C． D．9 知识点 对数概念与对数运算 1. 对数式与指数式的互化 对数式 指数式 2.对数的性质 (1)负数和零没有对数 (2), 特别地，，， 3.对数的运算 如果，有 1 ② ③ ④ ⑤ 换底公式 利用换底公式推导下面的结论 ① ② ③ 【易错提醒】 1.对数真数，负数、0 无对数； 2.特别注意：， 3.换底时分母分子不可颠倒。 要点速测 5．（2026·湖南邵阳·模拟预测） （    ） A． B． C． D．2 6.（2026高考数学复习一轮复习笔记）求值=_________ 知识点 对数函数的图象与性质 1.对数函数的概念 函数叫做对数函数，其中是自变量. 2.图像与性质 图像 定义域 ________ 值域 ________ 过定点 ________ 奇偶性 非奇非偶 单调性 在上是________ 在上是________ 变化对图像的影响 在第一象限内，越大图象越________； 3.复合对数两大约束： ① 内层（定义域优先）；② 单调性同增异减 【拓展延伸】 对数型奇偶函数：，定义域必须对称。 要点速测 7.（25-26高二下·天津红桥·期末）函数的定义域为（     ） A． B． C． D．R 8．（25-26高二下·山东日照·期末）函数过定点________． 知识点 指数对数式比较大小方法 1.当两个指数或者对数的底数相同时，直接借助函数单调性比较。 （1）指数函数 ① ，函数单调递增：________越大，函数值________； ② ，函数单调递减：________越大，函数值________。 （2）对数函数 ① ，函数单调递增：________越大，对数值越大； ② ，函数单调递减：真数越大，对数值越小。 2.两个式子指数相同，底数不同，使用幂函数 的第一象限性质。 ① ，第一象限单调递增：底数越大，函数值越大； ② ，第一象限单调递减：底数越大，函数值越小。 3.底数、指数（对数的底数、真数）全都不一样，找中间值 0、1 作为参照，划分区间比较。 常用参照数值： ，，。 把各个数分别归类到：小于 0、0 到 1 之间、大于 1，不同区间可直接区分大小。 4. 特殊技巧：作差、作商、换底统一底数 （1）作差法：计算 。若结果大于 0，则；结果小于 0，则。 （2）作商法：A、B 均大于 0 时，计算。若比值大于 1，则；比值小于 1，则。 （3）换底统一底数：将底数不同的对数，转换为相同底数，再利用对数单调性比较大小。 换底公式： =________ 5.做题步骤总结 ① 看底数是否相同，使用指数函数、对数函数单调性； ② 底数不同，看指数是否相同，使用幂函数单调性； ③ 底数指数都不一样，先和 0、1 对比，划分数值区间； ④ 无法判断时，使用作差、作商、换底公式进一步处理。 【易错提醒】 1.用单调性必先看底数范围，分清增、减； 2.幂函数比较大小只适用于正数； 3.底数、指数都不同，优先拿 0，1 划分区间； 4.换底公式记住：真数作分子，底数作分母； 5.分清指数函数、幂函数，看清谁变谁不变。 要点速测 9.（25-26高一上·山西长治·期末）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 10.（25-26高二下·重庆沙坪坝·阶段检测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 题型1 根式与指数幂化简求值 ▌例1 （25-26高一上·广东江门·期中）计算下列式子的值. 已知，求的值. 解题要点 根式与指数幂化简求值方法 1.多重根式统一转化为分数指数幂 根式运算优先转成分数指数幂：，把多层根号改写成分数指数，方便利用指数运算法则计算。 2.积的幂的拆分，底数分别运算 积的乘方公式：，括号内是乘积形式时，可以把幂分配到每一个底数上分别计算，再相乘。例：。 3.负数奇次根式保留负号，偶次根式先平方去负 （1）奇次根式：，结果可以为负数，负号直接保留； （2）偶次根式：，结果一定是非负数，先去掉根号再处理正负，不能直接等于。 ▌迁移练1-1（25-26高一上·福建莆田·阶段检测）（1）计算: ▌迁移练1-2（25-26高一·全国·课后作业）化简或求值： (1)； 题型2 指数函数定义辨析 ▌例2 （2026高一·全国·专题练习）若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 解题要点 1. 指数函数形式：，三个条件缺一不可： ①底数且；②前面的系数等于 1；③自变量只能单独出现在指数位置，不能附带常数加减； 2.区分标准指数函数与指数型函数：不属于标准指数函数，仅能称作指数型函数； 3.含参求解步骤：令指数项系数为1，解出参数后代回检验底数范围，舍去不符合的解。 ▌迁移练2-1（多选）（25-26高一上·广东湛江·阶段检测）函数是指数函数，则的值不可以是（    ） A． B． C． D． ▌迁移练2-2（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 题型3 指数型函数恒过定点问题 ▌例3 （25-26高一下·湖南·期末）若函数（为常数）的图象恒过的点的纵坐标为，则（   ） A． B． C． D． 解题要点 1.原理：无论底数取合法范围内任意值，恒满足，以此消去未知参数； 2.解题三步（适配形式）：①令指数整体，解出对应；②将代入原式，利用计算；③完整书写坐标，不可只写单独数字； 3.易错提醒：切勿遗漏解析式末尾常数，定点是一组有序数对，书写必须带括号； 4.拓展变形：若函数为，不影响定点计算，依旧令指数为 0 求解。 ▌迁移练3-1（25-26高三·全国·一轮复习）函数（且）的图象必经过点（   ） A． B． C． D． ▌迁移练3-3（25-26高二下·上海·期末）函数（且）的图象过定点，则点的坐标是________． 题型4 指数复合函数单调区间与值域 ▌例4-1 （2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． ▌例4-2 （25-26高一上·陕西西安·期末）函数的值域是（   ） A． B． C． D． 解题要点 1.分层拆分复合函数：拆分为外层指数函数、内层基础函数； 2.单调性判定规则（同增异减）：外层与内层增减性一致，整体单调递增；外层与内层增减性相反，整体单调递减； 3.单调区间书写规范：区间必须基于内层函数定义域书写； 4.值域求解完整步骤：①先求内层函数的取值范围；②将的范围代入外层指数函数，结合指数单调性算出范围； 5.隐含约束：指数函数结果恒大于 0，值域下限永远取不到 0。 迁移练4-1（25-26高一上·江苏连云港·期末）已知函数（，），，为实数. 若，函数在区间上的最小值为.求的值. ▌迁移练4-2（2026高一·全国·专题练习）函数的值域是（    ） A． B． C． D． 题型5 对数运算、换底公式化简求值 ▌例5-1 （25-26高一上·江西南昌·阶段检测）（1）计算：； ▌例5-2 （25-26高一上·天津·期中）求值：； 解题要点 1.多对数相乘优先换底：不同底数对数相乘，统一换成常用对数或自然对数，约分消去分母分子公共项简化计算； 2.常数对数快速化简：，直接转化整数，避免重复计算； 3.换底公式：，真数作分子、底数作分母，禁止颠倒； 4.对数加减运算规则：同底数对数相加，真数相乘；同底数对数相减，真数相除，不可拆分加减式； 5.负对数转化：，提前化简符号减少失误。 ▌迁移练5-1（25-26高一下·上海·期末）已知，，用，表示为__________． ▌迁移练5-2（25-26高二下·辽宁大连·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 题型6 对数函数定义域、定点、单调区间 ▌例6 -1 （25-26高一下·内蒙古赤峰·期末）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． ▌例6 -2 ．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 解题要点 1.解题第一步：优先求定义域，对数内层真数必须满足，解不等式得到 x 取值范围； 2.复合函数分层拆分：外层，内层； 3.单调性判定方法（同增异减）：外层内层增减性相同，整体递增；外层内层增减性相反，整体递减； 4.单调区间要求：求出的单调区间必须是定义域的子集，不在定义域内的区间全部舍去； 5.定点求解：求对数型函数定点时令真数等于1，利用算出固定 y 值。 ▌迁移练6-1（2026·湖南长沙·模拟预测）函数的定义域为（    ） A．R B． C． D． ▌迁移练6-2（25-26高一下·贵州六盘水·期末）函数（且）的图象恒过定点P，则点P的坐标为________. 题型7 指数、对数不等式求解 ▌例7 （25-26高一上·甘肃天水·阶段检测）求不等式(其中且)的解集. 解题要点 1.同底不等式标准化：左右两侧化为底数相同的指数或对数形式； 2.利用单调性脱去函数符号：底数，不等号方向不变；，不等号方向反向； 3.对数不等式约束条件：脱去对数符号前，必须保证所有真数大于 0，最后解集取交集； 4.底数含参处理方法：分两类情况讨论，分别求解不等式； 通过脱去指对符号后常得到一元二次不等式，可因式分解结合数轴写出解集。 ▌迁移练7-1（25-26高一上·江西上饶·期末）已知，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． ▌迁移练7-2.（25-26高一下·广东广州·期末）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． ▌迁移练7-3（25-26高二下·宁夏银川·期末）已知a，，那么“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 题型8 指数、对数复合型方程与复合函数值域 ▌例8 （25-26高二下·天津·期末）“”是“函数值域为”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解题要点 1.换元构造一元二次函数：解析式中重复出现或时，设等于重复部分，将原式转化普通二次函数； 2.先求换元变量取值范围：结合的定义域，利用指数、对数单调性算出的区间； 3.二次函数求最值：结合二次函数对称轴与取值区间，求出最大、最小值； 4.指数换元限制：若，则，解方程时舍去负根； 5.最终值域书写：直接写出的取值区间，无需代回。 ▌迁移练8-1（25-26高一上·陕西西安·期末）已知函数，. (1)当时，求的值域； (2)若的最小值为，求k的值. ▌迁移练8-2.（2026高一上·重庆·专题练习）已知函数（）. (1)当时，求函数的定义域和值域； (2)若函数的值域为，求m的取值范围. 难点一 复合指对函数单调性 难点1：对数复合函数单调区间漏定义域问题 1.设复合函数 ，拆分两层：外层函数 ，内层函数 。 单调性判定方法（同增异减）： (1)外层增、内层增 整体单调递增；外层减、内层减 整体单调递增； (2)外层增、内层减 整体单调递减；外层减、内层增 整体单调递减。 对数复合函数约束条件：内层 恒成立，求解单调区间前必须先求出完整定义域，最终单调区间只能取定义域的子集，定义域以外区间全部舍去，这是高频丢分点。 2.解题步骤 (1)求定义域：令对数内层代数式 ，解不等式得到 的取值范围； (2)分层拆分复合函数，分别判断外层、内层函数各自单调性； (3)用 “同增异减” 初步判断整体增减区间； (4)将初步区间与定义域取交集，得到最终合法单调区间。 难点2：底数含参，已知单调区间反求参数取值范围 解题思路：指数、对数函数单调性由底数 范围决定，因此必须分两大类分类讨论：、。 1.分类讨论底数，分别写出对应外层函数单调性； 2.结合题目给定的整体单调区间，反向推导内层函数需要满足的增减性； 3.联立两层单调性对应的不等式，同时叠加对数定义域约束条件； 4.取两类讨论结果的并集，得到参数最终取值范围。 难点精练 1.（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知 且 ，若在上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）函数的单调递减区间是（ ） A． B． C． D． 3.（2026·河北沧州·一模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 难点二 含参指对函数值域为R，恒成立或存在性综合问题 难点1：对数内层为二次函数，函数值域为R问题 对于函数 ，值域为全体实数R 的充要条件：内层二次函数 能够取所有大于 0 的正实数。 分两种情况讨论： （1）二次项系数 ：内层为一次函数 ，一次函数值域为，能取全部正数，满足值域为； （2）二次项系数 ：抛物线开口向上，判别式 ，保证抛物线与 x 轴有交点，函数能覆盖全部正数； （3）：开口向下，二次函数存在最大值，无法取遍全部正数，直接舍去。 易错区分： 值域为R：内层能取遍所有正数，要求 ； 定义域为：内层恒大于 0，要求 ，二者条件完全相反，极易混淆 难点2：指对型不等式恒成立、存在性求参数范围 1.换元简化：令 或 ，将指对不等式转化为关于的一元二次不等式； 2.分离参数：把含参数项单独放一侧，转化为 “参数 ” 或 “参数 ” 形式； 3.最值判定口诀： （1） 恒成立：大于恒成立 参数 ；小于恒成立 参数 ； （2） 存在成立：大于存在成立 参数 ；小于存在成立 参数 ； 4.结合换元后的取值区间，求出函数最值，解出参数范围。 难点精练 1.（25-26高一上·贵州遵义·期末）若关于的不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·山东·阶段检测）已知函数. (1)当时，求函数的值域； (2)若对于恒成立，求实数的取值范围. 3.（25-26高一下·云南昆明·期末）已知函数，． (1)当时，求不等式的解集； (2)若，求的最小值； (3)若，在的最大值与最小值之和不大于，求的取值范围． 4.（25-26高一上·广东深圳·期中）已知函数是定义域为上的偶函数． (1)求的值； (2)解不等式； (3)若在上的最小值为，求的值． 难点三 指对奇偶函数判定与抽象不等式综合 难点1：指对型复合奇偶函数判定方法 1.求定义域：对数函数自带真数大于 0 约束，解出定义域区间；定义域必须关于原点对称，若不对称，函数直接判定为非奇非偶，无需后续计算； 2.计算 ：代入 化简对数或指数式，对比 的表达式； （1)若 ，函数为偶函数； (2)若 ，函数为奇函数； 3.奇函数快速性质：若函数在 处有定义，则必有 ，可快速求解解析式内未知参数。 常见形式 分式型对数 、指数分式 是考试高频奇偶函数模型. 难点2：结合奇偶性、单调性求解抽象指对不等式 解题步骤 1.标准化不等式：将不等式整理为单一函数形式 ，两边仅有一个； 2.利用奇偶性统一符号：若为奇函数，，把所有自变量统一化为正数； 3.利用单调性脱去外层：单调递增直接去掉保留不等号；单调递减去掉后不等号反向； 4.三重约束联立取交集：①原函数定义域；②满足的取值范围；③满足的取值范围，最终解集为三者交集。 难点精练 1.（25-26高一上·北京·阶段检测）下列函数中，既是奇函数，又在区间上单调递增的函数为（   ） A． B． C． D． 2.（25-26高一下·湖北襄阳·期中）若函数是定义在R上的奇函数，则实数a的值为________． 难点四 底数、指数均不同的复杂幂或对数大小比较 难点1：同指不同底、同底不同指混合比较 解题技巧 1.同底指数或对数：直接利用对应函数单调性判断大小； 2.同指数不同底数（幂函数型 ）：在第一象限，幂函数 ， 单调递增，底数越大值越大； 单调递减，底数越大值越小； 3.统一结构变形：利用指数、对数恒等变形，把式子改写为同底或同指数形式再对比。 难点2： 底数、指数完全不同的大小比较 1.分界分层：先用中间值 将三个数划分为三类：小于 0、0 到 1 之间、大于 1，快速区分大致大小； 2.统一结构：无法分层区分的两个数，通过换底公式、指数变形统一底数或指数； 3.辅助手段：变形后仍无法直接判断，采用作差法、作商法、构造辅助函数单调性比较。 补充结论 指数式 、 型：常用取对数 ，转化为乘积形式比较； 对数混合指数：优先区分正负，正数内部再精细对比。 难点精练 1.（2026.专题04指对幂等函数值的大小比较及构造函数（复习讲义））已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高一下·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 基础达标 一、选择题 1.（2025高二下·福建·学业考试）对数函数经过点（    ） A． B． C． D． 2.（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 3.（2026·天津北辰·一模）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·期末）若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 5.（2026·安徽合肥·三模）已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 6.（2026·河北·模拟预测）已知条件的解集为，条件是减函数，则是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7.（25-26高一下·上海宝山·阶段检测）下列函数，值域为R的是（   ） A． B． C． D． 8.（2026高一上·河北石家庄·专题练习）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 9.（25-26高一上·江苏镇江·期中）已知函数，定义域为．则的值域为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10.（25-26高一下·浙江·阶段检测）已知且，函数的图象过定点，则的坐标为______. 11.（25-26高一上·江西南昌·期中）已知函数，则函数的值域为______； 12.（25-26高一上·上海徐汇·期末）若，则________．（用的代数式表示） 13.（25-26高一上·四川成都·期中）函数的单调递增区间是________. 14.（25-26高一上·上海·期中）已知指数函数在区间上的最大值比最小值大，则实数的值为________． 能力进阶 一、选择题 1.（25-26高一下·广东汕尾·期末）若实数x，y，z满足，则x，y，z的大小关系不可能是（     ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·福建厦门·期末）若，不等式（且）恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3.（多选）（25-26高一·全国·课后作业）（多选）定义在上的函数，则下列结论中正确的是（　　） A．的单调递减区间是 B．的单调递增区间是 C．的最大值是 D．的最小值是 4.（多选）（25-26高三下·安徽六安·阶段检测）若函数（，且）的图象恒过定点A，且点A在直线（，）上，则下列选项正确的是（   ） A． B．mn的最大值是 C．的最大值是 D．的最小值是9 二、填空题 5.（2026高三·全国·专题练习）已知命题恒成立，命题为减函数，若且为真命题，则的取值范围是________． 6.（2026高三·全国·专题练习）若不等式，当时恒成立，求实数的取值范围. 三、解答题 7.（25-26高一上·陕西汉中·阶段检测）已知函数. (1)当时，求该函数的值域； (2)求不等式的解集； (3)若对于恒成立，求的最小值. 8.（25-26高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)若的值域为，求实数的取值范围． (2)当时，若在上单调递增，求实数的取值范围． (3)设函数．若，使得成立，求实数的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $