高中数学单元测试——第四章指数函数与对数函数（较难版02）

**基本信息** 本卷为高中数学指数函数与对数函数单元较难版测试，通过食品生产、洗衣液浓度等现实情境考查运算推理及模型意识，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|指数对数运算、函数奇偶性|基础概念与性质辨析，如奇函数解析式求解| |多选题|3题18分|反函数、命题否定、二分法|综合概念判断，如反函数关系与零点存在性| |填空题|3题15分|根式化简、函数值域|运算能力考查，如指数式化简求值| |解答题|5题67分|实际应用模型（如年产量、洗衣液浓度）、函数综合|分层设计，18题结合分段函数模型解决去污时效问题，体现数学语言表达现实世界|

高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数与对数函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据根式的性质化简求值即可. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2．（本题5分）的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数幂的运算法则计算得解. 【详解】. 故选：B 3．（本题5分）若，则（    ） A．－16 B．－15 C．－14 D．－13 【答案】B 【分析】根据对数运算性质直接计算即可. 【详解】由，所以， 又，所以. 故选：B 4．（本题5分）若函数（，且）满足，则的值为（　　） A．± B．±3 C． D．3 【答案】C 【分析】首先由可求得的值，即可得函数表达式，进一步代入求值即可. 【详解】因为，所以，从而，. 故选：C. 5．（本题5分）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，，由奇函数的性质得出，即可得解. 【详解】因为函数为定义在上的奇函数，且当时，， 则当时，，所以，， 此时，. 故选：D. 6．（本题5分）已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先求得图象的定点，得到，再由，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由函数，令，可得，所以图象的定点， 又由函数的图象过函数图象的定点， 可得，即，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：D. 7．（本题5分）已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得函数在上单调递增，结合二次函数、对数函数及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为对任意的，且时，满足， 所以函数在上单调递增， 令，其图象的开口向上，对称轴为， 则在上单调递增， 当时，为单调递减函数， 由复合函数的单调性可知函数在单调递减，不满足题意； 当时，为单调递增函数， 由复合函数的单调性可知函数在单调递增， 又因为函数在上单调递增， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故选：A. 8．（本题5分）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为、与的图象的交点问题，从而数形结合即可得解. 【详解】因为，所以，， 设， 则是与的图象交点的横坐标，是与的图象交点的横坐标， 在同一坐标系中，作出、与的大致图象，如图， 结合图象可知，. 故选：D. 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 二、多选题 9．（本题6分）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由指数式和对数式的运算规则，逐个判断选项. 【详解】，故选项正确； ，故B选项错误； ，故C选项正确； 对于，故D选项错误. 故选：AC. 10．（本题6分）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“，”的否定为“，” B．若函数的定义域为，则“”是“为奇函数”的必要不充分条件 C．函数在区间上的值域为 D．用二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是 【答案】BCD 【分析】结合全称量词命题的否定检验选项A；结合奇函数的定义检验选项B；结合反比例函数的性质检验选项C，结合二分法检验选项D. 【详解】，的否定为，，A错误； 函数的定义域为，时，函数不一定为奇函数， 例如，即充分性不成立； 当为奇函数时，一定成立，即必要性成立，B正确； 当时，，则， ，C正确； 令，则在内单调递增，，， 又，所以下一个有根区间是，D正确. 故选：BCD. 11．（本题6分）已知函数，，.则下列说法正确的是（   ） A．函数与函数互为反函数 B．函数在区间内有零点 C．若，，均为正实数，且满足，则 D．若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 【答案】ABD 【分析】根据反函数的定义、零点存在定理、函数的图像等知识逐项判断即可. 【详解】对于A： 因为，所以与互为反函数，A正确； 对于B： 令，即， 当时，；当时，， 根据零点存在定理，则函数在区间内有零点，B正确； 已知函数，，，画出图像为： 如图符合题意，而，所以C错误； 对于D： 令，则，令，则. 因为函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，， 所以①，②，假设，则. 将其代入①式中得，与②式相同，所以D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）化简：___________． 【答案】 【分析】利用换底公式以及对数运算的性质，可得答案. 【详解】 . 故答案为：. 13．（本题5分）函数在上的值域是______． 【答案】 【分析】利用换元法及二次函数的性质计算可得. 【详解】令，因为，所以， 则， 令，， 所以当时取得最小值，且，又，， 所以，即函数在上的值域是. 故答案为： 14．（本题5分）已知正实数满足，则__________. 【答案】 【分析】根据题设均为方程的根，由解析式判断的单调性，利用零点存在性定理确定零点唯一性，结合对数运算性质求参数值. 【详解】， 均为方程的根， 在上单调递增，且， 有唯一零点，即， . 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）逆用指数运算法则计算即可. （2）化指数式为对数式，再利用换底公式及对数运算法则求解. 【详解】（1）由，，得. （2）由，，得， 所以. 16．（本题15分）一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. (1)求m的值； (2)若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 【答案】(1) (2)4. 【分析】（1）由题意可得，求解即可； （2）由题意可得，代入，结合指数函数的性质求解即可. 【详解】（1）由题意可得， 即， 解得； （2）由题意可得， 即， 代入, 得， 所以，，， 因为为单调递增函数， 且，， 所以，， 所以整数n的最小值为4. 17．（本题15分）已知函数为偶函数． (1)求实数k的值； (2)设，若函数与图象有2个公共点，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据偶函数的定义及性质直接化简求值； （2）由函数与图象有2个公共点，可得有两个实数根，再利用换元法转化为二次方程有两个根，利用判别式求参数范围． 【详解】（1）函数的定义域为R，因为函数为偶函数． 所以，即， 所以，所以； （2）因为函数与图象有2个公共点， 所以， 即，， 设，则，即. 又在R上单调递增，所以方程有两个不等的正根； 所以，解得， 所以a的取值范围为． 18．（本题17分）有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放（，）个单位的该洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次个单位的洗衣液，当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升，求的值； (2)若只投放一次6个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ (3)若第一次投放3个单位的洗衣液，9分钟后再投放3个单位的洗衣液，问能否使接下来的6分钟内持续有效去污？说明理由. 【答案】(1) (2)12分钟 (3)能持续有效去污，理由见解析 【分析】（1）利用所给函数，令，解出即可得； （2）分及讨论即可得； （3）当时，计算的最小值是否大于即可得. 【详解】（1）由， 则当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升时， 可得，即，解得； （2）由题意可得，则， 则当时，由，解得，即， 当时，由，解得，即， 综上所述，得，即有效去污时间可达12分钟； （3）则当时， ， 当且仅当时，等号成立， 即9分钟后再投放3个单位的洗衣液能使接下来的6分钟内持续有效去污. 19．（本题17分）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若关于的方程的两根为，，且，求的值； (3)若，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)或. (3). 【分析】（1）构造方程，解方程组即可求出函数解析式； （2）由一元二次方程根与系数的关系求解即可； （3）由不等式恒成立转化为判别式不大于0求解即可. 【详解】（1）由，① 得，② ②①，得， 所以. （2）由（1）得，由，得， 则，得或， ，. 由， 化简得，解得或. （3）由，得， 因为，，所以， 解得，所以的取值范围为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第四章 指数函数与对数函数（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）已知，则（   ） A． B．1 C． D． 2．（本题5分）的值是（    ） A．2 B． C． D． 3．（本题5分）若，则（    ） A．－16 B．－15 C．－14 D．－13 4．（本题5分）若函数（，且）满足，则的值为（　　） A．± B．±3 C． D．3 5．（本题5分）已知函数为定义在上的奇函数，且当时，，则当时，等于（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）已知函数（）的图象过函数图象的定点，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C．8 D．9 7．（本题5分）已知函数且，对任意的，且时，满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（本题6分）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）（多选）下列命题为真命题的是（   ） A．“，”的否定为“，” B．若函数的定义域为，则“”是“为奇函数”的必要不充分条件 C．函数在区间上的值域为 D．用二分法求方程在区间内的实根，下一个有根区间是 11．（本题6分）已知函数，，.则下列说法正确的是（   ） A．函数与函数互为反函数 B．函数在区间内有零点 C．若，，均为正实数，且满足，则 D．若函数的图象与函数的图象和函数的图象在第一象限内交点的横坐标分别为，，则 三、填空题 12．（本题5分）化简：___________． 13．（本题5分）函数在上的值域是______． 14．（本题5分）已知正实数满足，则__________. 四、解答题 15．（本题13分）已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 16．（本题15分）一食品生产厂第年生产某食品的年产量y（单位：吨）满足关系式.已知该厂第2年比第1年多生产了8.75吨该食品. (1)求m的值； (2)若该厂第年生产该食品的年产量比第年增加的量不低于12.5吨，求整数n的最小值. 17．（本题15分）已知函数为偶函数． (1)求实数k的值； (2)设，若函数与图象有2个公共点，求实数a的取值范围． 18．（本题17分）有一种新型的洗衣液，去污速度特别快，已知每投放（，）个单位的该洗衣液在一定量水的洗衣机中，它在水中释放的浓度（克/升）随着时间（分钟）变化的函数关系式近似为，其中，若多次投放，则某一时刻水中的洗衣液浓度为每次投放的洗衣液在相应时刻所释放的浓度之和，根据经验，当水中洗衣液的浓度不低于6（克/升）时，它才能起到有效去污的作用. (1)若只投放一次个单位的洗衣液，当3分钟时水中洗衣液的浓度为2.5克/升，求的值； (2)若只投放一次6个单位的洗衣液，则有效去污时间可达几分钟？ (3)若第一次投放3个单位的洗衣液，9分钟后再投放3个单位的洗衣液，问能否使接下来的6分钟内持续有效去污？说明理由. 19．（本题17分）已知函数满足. (1)求的解析式； (2)若关于的方程的两根为，，且，求的值； (3)若，，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $