第四章 指数函数与对数函数（复习讲义）高一数学人教A版2019必修第一册

第四章 指数函数与对数函数（复习讲义） 1、理解n次方根的概念和性质,理解分数指数幂、实数指数幂的意义；掌握根式与分数指数幂的互化、简单根式的化简,会利用实数指数幂运算法则进行简单的指数幂的运算,提升数学运算素养. 2、通过指数函数的实际背景,理解指数函数的概念,通过借助计算工具画出指数函数的图象；归纳指数函数的性质,掌握指数函数图象和性质的简单应用,提升直观想象和逻辑推理素养. 3、通过指数式定义对数,理解对数的概念和基本性质,知道自然对数和常用对数；掌握指数式与对数式的互化,理解对数的运算性质和换底公式,能进行对数式的化简求值和证明,提升逻辑推理和数学运算素养. 4、通过对数函数的概念及对数函数图象和性质的学习,提升逻辑推理、数学运算素养. 5、通过比较对数函数、一次函数、指数函数增长的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的含义. 6、通过在实际情境中,选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,提升数学抽象和数学建模素养. 7、结合学过的函数图象与性质,了解函数零点与方程解的关系；了解零点的存在定理,会判断零点的个数及零点所在的大致区间,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 8、根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；了解二分法的含义及近似思想、逼近思想的应用,提升数学抽象、逻辑推理的核心素养. 9、通过建立合适的函数模型提升数学数据分析、数学建模的核心素养. 1、n次方根的定义与性质 （1）定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且． （2）性质： ①当n是奇数时，，的值仅有一个，记为； ②当n是偶数，时，的有两个值，且互为相反数，记为；时，不存在； ③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）； ④0的任何次方根都是0，记作． 2、根式的定义与性质 （1）定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）性质：（，且） a； 3、分数指数幂 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 注：在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如有意义，但就没有意义． 4、实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 5、指数函数的概念 （1）指数函数的定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． （2）指数函数的结构特征 指数函数表达式中，需满足：（1）系数必须为1；（2）自变量出现在指数位置上；（3）底数为大于0，且不等于1的常数，不能是自变量；（4）整个式子仅有一项，例如就不是指数函数． 6、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 7、底数a对指数函数图象的影响 函数，，和，，的图象如图所示． （1）当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”． （2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”． 8、对数的概念与性质 （1）对数的概念：如果（且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作， 其中a叫作对数的底数，N叫作真数． （2）常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数 （3）对数的性质 ①当，且时，； ②负数和0没有对数，即； ③特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）； ④对数恒等式：； ⑤． 9、对数运算性质与换底公式 （1）运算性质：,且， ①； ②； ③ （2）换底公式 Ⅰ 换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． Ⅱ 可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 10、对数函数的概念 （1）对数函数的概念：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）两种特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数． ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数． 11、对数函数及其性质 （1）对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 （2）底数a对函数图象的影响 ①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势； ②函数与（，且）的图象关于轴对称； ③底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 12、反函数 （1）反函数的定义 一般地，函数，设它的值域为，根据这个函数中的关系，用把表示出来，得到．如果在中的任何取值，通过，在中都有唯一值和它对应，则就表示是关于自变量的函数．这样的函数叫做的反函数，记作． 例如，对数函数(,且)是指数函数(,且)的反函数，对比如下： （2）反函数的性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； ②若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立； ③互为反函数的两个函数的单调性相同； ④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域； ⑤单调函数必有反函数． 13、函数的零点 （1）函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值． 【要点辨析】 ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． （2）函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 14、函数零点存在定理 （1）函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 【要点辨析】 ①定义不能确定零点的个数； ②不满足定理条件时依然可能有零点； ③定理中的“连续不断”是必不可少的条件； ④定理反之是不成立的． （2）函数零点存在定理的几何意义 在闭区间上有连续不断的曲线，且曲线的起始点与终点分别在轴的两侧，则连续曲线与轴至少有一个交点． （3）函数零点存在定理的重要推论 ①推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． ②推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 15、二分法 （1）二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法． （2）二分法要点辨析 ①二分法的求解原理是函数零点存在定理； ②函数图象在零点附近连续不断； ③用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反， 比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解． （3）二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证； ②求区间的中点； ③计算，进一步确定零点所在的区间： Ⅰ 若（此时），则就是函数的零点； Ⅱ 若（此时），则令； Ⅲ 若（此时），则令. Ⅳ 判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）； 否则重复Ⅱ~Ⅳ 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． （4）关于精确度 ①“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即； “精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算，精确到0.01，即0.33． ②精确度表示当区间的长度小于时停止二分； 此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 16、几种常见的函数模型 （1）一次函数模型：（，为常数，） （2）二次函数模型：（为常数，） （3）指数函数模型：（为常数，，且） （4）对数函数模型：（为常数，，且） （5）幂函数模型：（为常数，） （6）分段函数模型：． 题型一 指数式的化简、求值 1．（25-26高一上·江苏南京·月考）（多选题）下列等式中正确的是（   ） A． B． C．（） D．（） 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选题）已知，则（   ） A． B． C． D． 3．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·全国·课后作业）方程的解为 ． 5．（24-25高一上·浙江金华·期中）化简： (1)； (2)； 6．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值. 题型二 指数函数的图像辨析 1．如图所示，若，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知，则函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（   ） A． B． C． D． 题型三 指数型函数过定点问题 1．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数且的图像经过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·云南·期中）已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 4．若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ． 5．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）已知函数且无论a取何值时，的图象恒过定点A，且A在直线上，则的最小值为 . 题型四 指数型函数的定义域与值域 1．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广西南宁·月考）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·湖南常德·月考）已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D．3，1 5．（24-25高一上·江西南昌·期中）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 6．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 题型五 指数型函数的单调性与最值（含比较大小） 1．（24-25高一上·广西河池·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东东莞·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数 C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数 4．若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·江西宜春·期末）设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 6．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．当，时，函数的图象过点 B．当时，函数的单调递增区间为 C．当时，函数的值域为 D．当时，若函数有最大值2，则 7．（25-26高一上·全国·课前预习）若，其中，则的值域为 ． 8．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数单调递减区间是 ；值域为 ． 9．函数且的值域是，则实数 . 题型六 指数型函数与不等式 1．已知函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．函数单调递增，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 4．若关于的函数（且）是上的偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较 5．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·上海徐汇·期末）试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为 . 题型七 对数式的化简与求值 1．（24-25高一下·北京·期末）已知，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 2．（24-25高一上·江苏连云港·月考）若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·北京·期中）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中数量级上与最接近的是（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高一上·新疆·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天. （参考数据：，， A．9 B．15 C．25 D．35 5．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）以下运算中正确的是（　　） A．若，则 B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则 ． 7．若正实数m，n，t满足，且，则 . 8．（25-26高一上·全国·课前预习）求下列各式的值； (1)； (2)； (3)． 题型八 对数函数的图像辨析 1．（24-25高一上·全国·课前预习）函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．  B．  C．  D．   2．（24-25高一上·天津·期末）在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象可能为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 4．（24-25高一上·河南商丘·月考）已知且，则函数的图象必经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 5．（24-25高一上·河北沧州·月考）若函数的大致图象如图所示，其中，（且）为常数，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   题型九 对数型函数过定点问题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数（，且）恒过点（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南·开学考试）已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D．8 3．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数（且）的图象必过定点 ． 题型十 对数型函数的定义域与值域 1．（24-25高一上·湖北恩施·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·广东广州·月考）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京房山·期末）函数的定义域为 . 5．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域是 ． 6．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）函数的值域为 ． 7．函数的值域是 . 题型十一 对数型函数的单调性与最值（含比较大小） 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 2．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数（，且）是对数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·天津·月考）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·北京·期中）比较，，的大小关系，结果为（    ） A． B． C． D． 5．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·湖南·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值为 ． 9．（24-25高一上·河北·期末）函数的最小值为 ． 10．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 题型十二 对数型函数与不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·甘肃平凉·月考）已知函数在上单调递增，且，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·陕西汉中·月考）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 6．不等式的解集为 . 7．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数． (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求实数x的取值范围． 题型十三 函数中的恒成立和有解问题 1．（24-25高一上·湖南长沙·期末）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是 . 2．（25-26高一上·江西景德镇·月考）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 3．已知命题，若为假命题，则的取值范围是 4．（24-25高一上·广东阳江·月考）已知函数，.若对于任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 . 5．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，，若对存在，存在，使，则实数的取值范围是 ． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数，若存在，满足，则实数的最小值为 ． 7．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）已知函数. (1)诺为偶函数，求的值； (2)若为奇函数，求的值； (3)在（2）的情况下，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 8．（24-25高一上·天津·月考）已知函数 且. (1)当时，求函数的定义域; (2)当 时，若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 9．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 10．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若成立，求实数的取值范围. 题型十四 函数图像问题（含对称、平移变换问题） 1．（24-25高一上·广东广州·月考）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（   ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 2．（2025高一·全国·专题练习）若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的图象为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一上·甘肃庆阳·期中）（多选题）如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知，请作出，，的图象，并说说你是怎么作出的. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）画出函数的图象，并写出函数的值域及单调区间. 题型十五 函数的零点及参数问题 1．已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 3．（23-24高一下·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则方程的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 6．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（24-25高一上·安徽亳州·月考）函数的图象与的图象的交点个数为（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 8．（24-25高一上·天津河东·月考）函数 的零点的个数为 9．（24-25高一上·天津·月考）已知函数 ，则方程 有 个不同的实数根． 基础巩固通关测 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）函数（且）的图象所过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·全国·课前预习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 6．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数图象如右图所示，则的图象是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25高一下·湖南永州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高一上·湖北·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 11．（24-25高一上·全国·课后作业）如图是底数取不同值时指数函数与对数函数的图象，已知取，则图中曲线表示的函数式中对应的值依次为（    ）    A． B． C． D． 12．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 13．（24-25高一上·安徽·期中）若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 14．（24-25高一下·河北保定·月考）已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 15．（24-25高一上·江苏南通·月考）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 16．（23-24高一下·湖北·开学考试）下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 17．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 18．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 19．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 20．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 21．（24-25高一上·河南南阳·期中）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 22．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 23．若在区间上递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 24．（25-26高一上·河南南阳·期中）（多选题）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 25．（24-25高一下·江苏扬州·月考）（多选题）已知函数有两个零点，则零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 26．（25-26高一上·江苏南京·月考）（多选题）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 27．（多选题）若正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 28．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为 ． 29．（24-25高一下·山西·月考）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是 ． 30．（2025高一·全国·专题练习）函数的零点个数是 ． 31．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）“阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：，） 32．函数的值域为： . 33．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ． 34．若函数（且）的最小值为－4，则实数a的值为 . 35．已知函数，若任意，存在，使得，则实数的取值范围为 ． 36．（24-25高一上·安徽·月考）已知，则 ． 37．（24-25高一下·河北衡水·开学考试）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是 ． 38．（24-25高一上·福建南平·期中）（1）计算； （2）化简. 39．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期中）求值： (1) (2) 40．（24-25高一上·全国·课后作业）若将函数更换为，并得到如下图象，试根据函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3). 41．计算： (1)； (2)； (3)已知，试用表示． 42．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 43．（25-26高一上·全国·课堂例题）函数，当时，求该函数的值域. 44．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数． (1)解方程； (2)若恒成立，求m的取值范围． 45．已知函数，. (1)判断函数的奇偶性并予以证明； (2)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 46．（23-24高一上·安徽六安·月考）已知函数． (1)当，求函数的值域； (2)解不等式． 47．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知是定义在上的奇函数，且． (1)求实数，的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 能力提升进阶练 1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）素数也叫质数，部分素数可写成“（为素数”的形式，法国数学家马林梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“为素数”形式的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·重庆·月考）已知，则等于（    ） A．4 B．6 C．9 D．25 3．（24-25高一上·山东青岛·期中）关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·黑龙江黑河·开学考试）已知函数（，且）图象经过定点，若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·安徽合肥·期中）对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）函数的图象与的图象的交点个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 7．已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．（23-24高一下·河南漯河·期中）（多选题）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 10．（多选题）若，则以下大小关系可能成立的有（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）已知函数若存在四个不同的值，，使得，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 12．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则是增函数 C．不存在实数，使得为偶函数 D．若的值域为，则的取值范围为 13．（24-25高一上·云南昆明·月考）已知函数（，且）的值域为，则的最大值是 14．（24-25高一上·江苏南通·月考）若定义域为的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集 . 15．（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知函数，则使得不等式成立的的取值集合为 . 16．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 . 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为． (1)设，求的取值范围； (2)若恒成立，求的范围． 18．已知，函数的最大值为3，最小值为. (1)求的值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 19．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知函数 (1)当时，求的最小值； (2)若为偶函数，求的值； (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 20．（24-25高一下·四川南充·月考）已知函数. (1)存在使得不等式有解，求实数k的取值范围； (2)若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 指数函数与对数函数（复习讲义） 1、理解n次方根的概念和性质,理解分数指数幂、实数指数幂的意义；掌握根式与分数指数幂的互化、简单根式的化简,会利用实数指数幂运算法则进行简单的指数幂的运算,提升数学运算素养. 2、通过指数函数的实际背景,理解指数函数的概念,通过借助计算工具画出指数函数的图象；归纳指数函数的性质,掌握指数函数图象和性质的简单应用,提升直观想象和逻辑推理素养. 3、通过指数式定义对数,理解对数的概念和基本性质,知道自然对数和常用对数；掌握指数式与对数式的互化,理解对数的运算性质和换底公式,能进行对数式的化简求值和证明,提升逻辑推理和数学运算素养. 4、通过对数函数的概念及对数函数图象和性质的学习,提升逻辑推理、数学运算素养. 5、通过比较对数函数、一次函数、指数函数增长的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的含义. 6、通过在实际情境中,选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律,提升数学抽象和数学建模素养. 7、结合学过的函数图象与性质,了解函数零点与方程解的关系；了解零点的存在定理,会判断零点的个数及零点所在的大致区间,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 8、根据具体函数图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解；了解二分法的含义及近似思想、逼近思想的应用,提升数学抽象、逻辑推理的核心素养. 9、通过建立合适的函数模型提升数学数据分析、数学建模的核心素养. 1、n次方根的定义与性质 （1）定义：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中，且． （2）性质： ①当n是奇数时，，的值仅有一个，记为； ②当n是偶数，时，的有两个值，且互为相反数，记为；时，不存在； ③负数没有偶次方根（负数的偶次方根无意义）； ④0的任何次方根都是0，记作． 2、根式的定义与性质 （1）定义：式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． （2）性质：（，且） a； 3、分数指数幂 （1）正分数指数幂：规定： （2）负分数指数幂：规定： （3）性质：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 注：在保证相应的根式有意义的前提下，负数也存在分数指数幂， 如有意义，但就没有意义． 4、实数指数幂的运算性质 ①． ②． ③． 5、指数函数的概念 （1）指数函数的定义：一般地，函数（且）叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是指数函数的底数． （2）指数函数的结构特征 指数函数表达式中，需满足：（1）系数必须为1；（2）自变量出现在指数位置上；（3）底数为大于0，且不等于1的常数，不能是自变量；（4）整个式子仅有一项，例如就不是指数函数． 6、指数函数的图象与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 7、底数a对指数函数图象的影响 函数，，和，，的图象如图所示． （1）当且时，底数越大，图象越“陡”； 当且时，底数越小，图象越“陡”． （2）在轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，即“底数大图象高”； 在轴左侧，图象从上到下相应的底数由小变大，即“底数大图象低”． 8、对数的概念与性质 （1）对数的概念：如果（且），那么数x叫做以a为底N的对数，记作， 其中a叫作对数的底数，N叫作真数． （2）常用对数与自然对数 名称 定义 记法 常用对数 以10为底的对数叫做常用对数 自然对数 以无理数为底的对数称为自然对数 （3）对数的性质 ①当，且时，； ②负数和0没有对数，即； ③特殊值：1的对数是0，即0（，且）； 底数的对数是1，即（，且）； ④对数恒等式：； ⑤． 9、对数运算性质与换底公式 （1）运算性质：,且， ①； ②； ③ （2）换底公式 Ⅰ 换底公式：(a＞0，且a1；c＞0，且c1；b＞0)． Ⅱ 可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③； ④； ⑤. 10、对数函数的概念 （1）对数函数的概念：函数（，且）叫做对数函数，其中x是自变量，定义域为． （2）两种特殊的对数函数 ①常用对数函数：以10为底的对数函数． ②自然对数函数：以无理数e为底的对数函数． 11、对数函数及其性质 （1）对数函数的图象与性质 a＞1 0＜a＜1 图象 性质 定义域 (0，＋∞) 值域 R 过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0 函数值的变化 当0＜x＜1时，y＜0； 当x＞1时，y＞0 当0＜x＜1时，y＞0； 当x＞1时，y＜0 单调性 是(0，＋∞)上的增函数 是(0，＋∞)上的减函数 （2）底数a对函数图象的影响 ①底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当时，图象呈上升趋势；当时，图象呈下降趋势； ②函数与（，且）的图象关于轴对称； ③底数的大小决定了图象相对位置的高低：无论还是，在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大． 12、反函数 （1）反函数的定义 一般地，函数，设它的值域为，根据这个函数中的关系，用把表示出来，得到．如果在中的任何取值，通过，在中都有唯一值和它对应，则就表示是关于自变量的函数．这样的函数叫做的反函数，记作． 例如，对数函数(,且)是指数函数(,且)的反函数，对比如下： （2）反函数的性质 ①互为反函数的两个函数的图象关于直线对称； ②若函数的图象上有一点，则点必在其反函数的图象上，反之也成立； ③互为反函数的两个函数的单调性相同； ④反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域； ⑤单调函数必有反函数． 13、函数的零点 （1）函数零点的概念：对于一般函数，我们把使的实数叫做函数的零点．即函数的零点就是使函数值为零的自变量的值． 【要点辨析】 ①函数的零点是一个实数，当函数的自变量取这个实数时，其函数值等于零； ②函数的零点也就是函数的图象与轴交点的横坐标； ③函数的零点就是方程的实数根． （2）函数的零点与方程的解的关系 函数的零点就是方程的实数解，也就是函数的图象与轴的公共点的横坐标．所以方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点． 14、函数零点存在定理 （1）函数零点存在定理 如果函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，且，那么，函数在区间内至少有一个零点，即存在，使得，这个也就是方程的解． 【要点辨析】 ①定义不能确定零点的个数； ②不满足定理条件时依然可能有零点； ③定理中的“连续不断”是必不可少的条件； ④定理反之是不成立的． （2）函数零点存在定理的几何意义 在闭区间上有连续不断的曲线，且曲线的起始点与终点分别在轴的两侧，则连续曲线与轴至少有一个交点． （3）函数零点存在定理的重要推论 ①推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，，且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点． ②推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则． 15、二分法 （1）二分法的定义：对于区间上图象连续不断且的函数，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到近似值的方法． （2）二分法要点辨析 ①二分法的求解原理是函数零点存在定理； ②函数图象在零点附近连续不断； ③用二分法只能求变号零点，即零点在左右两侧的函数值的符号相反， 比如，该函数有零点0，但不能用二分法求解． （3）二分法求函数零点近似值的步骤 给定精确度，用二分法求函数零点的近似值的步骤 ①确定零点的初始区间，验证； ②求区间的中点； ③计算，进一步确定零点所在的区间： Ⅰ 若（此时），则就是函数的零点； Ⅱ 若（此时），则令； Ⅲ 若（此时），则令. Ⅳ 判断是否达到精确度：若，则得到零点近似值（或）； 否则重复Ⅱ~Ⅳ 【注意】初始区间的确定要包含函数的变号零点． （4）关于精确度 ①“精确度”与“精确到”不是一回事， 这里的“精确度”是指区间的长度达到某个确定的数值，即； “精确到”是指某讴歌数的数位达到某个规定的数位，如计算，精确到0.01，即0.33． ②精确度表示当区间的长度小于时停止二分； 此时除可用区间的端点代替近似值外，还可选用该区间内的任意一个数值作零点近似值． 16、几种常见的函数模型 （1）一次函数模型：（，为常数，） （2）二次函数模型：（为常数，） （3）指数函数模型：（为常数，，且） （4）对数函数模型：（为常数，，且） （5）幂函数模型：（为常数，） （6）分段函数模型：． 题型一 指数式的化简、求值 1．（25-26高一上·江苏南京·月考）（多选题）下列等式中正确的是（   ） A． B． C．（） D．（） 【答案】ACD 【分析】根据分数指数幂与根式的转化判断各个选项. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：当时，，B选项不正确； 对于C：时，C选项正确； 对于D：时，D选项正确； 故选：ACD. 2．（24-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（多选题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】由知，利用完全平方公式求解A、B、D，利用求解C. 【详解】因为，所以， 对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，因为，所以，故D错误. 故选：ABC. 3．（多选题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用指数运算逐项计算判断. 【详解】对于A，由，得，则，A正确； 对于B，由，得，则，B正确； 对于C，由，得，于是，C错误； 对于D，，D正确. 故选：ABD 4．（25-26高一上·全国·课后作业）方程的解为 ． 【答案】 【分析】根据指数幂的化简计算即可. 【详解】 ． 故答案为：. 5．（24-25高一上·浙江金华·期中）化简： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）将根式化为分数指数幂，再结合指数运算求解即可. 【详解】（1）原式. （2）原式. 6．（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期中）（1）求值：； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）用指数幂运算法则化简各项再计算； （2）对指数变形后代入已知求值. 【详解】（1）原式 （2），所以 题型二 指数函数的图像辨析 1．如图所示，若，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的单调性以及与轴的交点即可判断. 【详解】因为，所以指数函数在上单调递减，故排除A和D； 对于，当时，，所以的图象过点， 因为，故B错误，C正确. 故选：C. 2．（24-25高一上·山西吕梁·期末）已知且，则在同一直角坐标系中，函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】易得两个函数的图象都经过定点，即可排除B；再分和两种情况讨论即可得解. 【详解】题目所给的两个函数的图象都经过定点，故B错误； 因为且，所以为增函数， 当时，为增函数，此时的零点，故A错误； 当时，为减函数，此时的零点，故C正确，D错误. 故选：C. 3．（24-25高一上·黑龙江大庆·期中）已知，则函数与在同一平面直角坐标系中的图像可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数与幂函数的图象性质逐项判断即可. 【详解】因为，所以指数函数过定点，且单调递增，故B不符合和不符合， 因为，所以幂函数在上单调递增，且增加的越来越快，， 故A符合，C不符合. 故选：A. 题型三 指数型函数过定点问题 1．（23-24高一上·江苏南通·期末）已知函数且的图像经过定点A，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数，令解出，进而得的定点. 【详解】令，，所以过定点. 故选：B. 2．（25-26高一上·全国·单元测试）当且时，的图象恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，求的值和对应的函数值，即得图象所过的定点． 【详解】对于函数，令，解得， 则， 所以的图象恒过点． 故选：C. 3．（24-25高一下·云南·期中）已知指数函数，则函数的图象过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数过定点可得. 【详解】因为指数函数，所以，且，得. 所以函数. 因过定点，所以过定点. 故选：A. 4．若函数（且）的图象过定点A，且点A在幂函数上，则 ． 【答案】 【分析】根据幂函数的定义得到，，根据指数函数的性质得到定点为，从而代入求解，得到. 【详解】是幂函数，则，所以，． 在中，令，得，所以定点为， 故，又，解得． 故答案为： 5．（24-25高一上·贵州贵阳·期末）已知函数且无论a取何值时，的图象恒过定点A，且A在直线上，则的最小值为 . 【答案】9 【分析】由函数的的解析式，可得函数恒过定点A的坐标，再由点A在直线上，可得m，n满足的条件，由“1”的活用及基本不等式，可得的最小值． 【详解】函数且，当时， 可得，可得的图象恒过定点， 而A在直线上，所以， 所以， 当且仅当，即，即，时，取等号， 所以的最小值为 故答案为： 题型四 指数型函数的定义域与值域 1．（23-24高一上·四川成都·期中）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 2．（2025高一上·全国·专题练习）函数的定义域为，则函数的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得，然后利用指数函数的单调性求得，即可求解值域. 【详解】因为，所以．即，则， 所以函数的值域为． 故选：B 3．（24-25高一上·广西南宁·月考）已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数可得：若，，由题意可知：若，的取值范围包含，结合一次函数性质列式求解即可. 【详解】若，则，可得， 若，则， 由题意可知：此时的取值范围包含， 则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：C. 4．（24-25高一上·湖南常德·月考）已知函数，若，则的最大值和最小值分别是（    ） A． B． C． D．3，1 【答案】B 【分析】利用换元法，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】由，得到，令， 则，对称轴， 当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值和最小值分别是. 故选：B． 5．（24-25高一上·江西南昌·期中）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．函数的定义域为 B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】BC 【分析】根据分母不为求出函数的定义域，即可判断A；再将函数解析式变形为，即可求出函数的值域，从而判断B；根据指数幂的运算判断C，根据函数值的特征判断D. 【详解】对于函数，则，解得，所以函数的定义域为， 故A错误； 因为， 又，当时，则， 当时，则， 所以函数的值域为，故B正确； 又，故C正确； 当时，当时，所以不会是减函数，故D错误. 故选：BC 6．（24-25高一上·全国·课前预习）求下列函数的定义域与值域 (1)； (2)． 【答案】(1)定义域为，值域为. (2)定义域为，值域为 【分析】（1）根据指数函数的性质和分母不为0进行求解即可. （2）根据指数函数的定义域和性质进行求解即可. 【详解】（1）由，得， 函数的定义域为． ， ．的值域为． （2）函数的定义域为． ． 故的值域为． 题型五 指数型函数的单调性与最值（含比较大小） 1．（24-25高一上·广西河池·期末）若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用函数在上单调递减，所以在上单调递增，即可得结论. 【详解】 ，在上单调递减，，故，所以， 又，在上单调递增，，故， 即，所以. 故选：A. 2．已知，，，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用指数函数和的性质，即可求解. 【详解】因为是增函数，又，所以， 又是减函数，所以，则， 故选：C. 3．（24-25高一上·广东东莞·期末）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．单调递增且是偶函数 B．单调递增且是奇函数 C．单调递减且是偶函数 D．单调递减且是奇函数 【答案】B 【分析】根据奇函数定义结合指数运算判断奇偶性，应用指数函数及复合函数的单调性判断单调性即可判断. 【详解】由，其定义域为R，关于原点对称， ，所以是奇函数. 又， 因为指数函数在R上单调递增，且，那么在R上单调递增，且， 所以在R上单调递减，则在R上单调递增， 那么在R上单调递增. 故单调递增且是奇函数. 故选： 4．若函数（且）在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数单调性求解即可. 【详解】由题意知，函数（且）在上单调递增， 要使函数（且）在上单调递减， 则，解得. 故选：B. 5．（23-24高一上·江西宜春·期末）设且，函数在区间上的最小值为－8，则a的取值范围为（　　） A．或 B．或 C．或 D．前面三个答案都不对 【答案】C 【分析】首先换元令，则函数等价于，根据题意能取到，分 和两种情况讨论即可. 【详解】设，则函数等价于， 因为函数函数在区间上的最小值为－8， 所以能取到， 当时，， 所以，可得， 当时，， 所以，可得， 故选：C 6．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）已知函数，则下列叙述正确的是（    ） A．当，时，函数的图象过点 B．当时，函数的单调递增区间为 C．当时，函数的值域为 D．当时，若函数有最大值2，则 【答案】CD 【分析】明确函数解析式，代入验证可判断A的真假；利用指数函数的单调性，结合复合函数单调性的有关结论，可判断B的真假；明确函数解析式，求函数值域，可判断C的真假；分情况讨论，根据函数的最大值，求参数的值，可判断D的真假. 【详解】对A：当，时，． 将代入可得，， 所以函数的图象不经过点．故A错误； 对B：当时，． 令，二次函数图象的对称轴为，在区间上单调递增，在上单调递减． 又因为指数函数是减函数，所以根据复合函数“同增异减”的原则，可知的单调递增区间为．故B错误； 对C：当时，，令． 因为函数是减函数，所以. 所以函数的值域为．故C正确； 对D：当时，． 若，则，此时函数无最大值． 若，令， 要使有最大值2，则在t取最小值时取最大值，所以． 对于二次函数，其图象的对称轴为， 当时，， 因为的最大值为2，所以，所以，解得．故D正确. 故选：CD 7．（25-26高一上·全国·课前预习）若，其中，则的值域为 ． 【答案】 【分析】先根据求出的值域，再求出的值域即可. 【详解】因，且在上单调递增，则， 因在上单调递增，则， 故的值域为. 故答案为： 8．（25-26高一上·浙江嘉兴·期中）函数单调递减区间是 ；值域为 ． 【答案】 【分析】利用复合函数的单调性求解即可，令，求得的范围，结合指数函数的性质可求得值域. 【详解】令， 可知函数在上单调递减，在上单调递增， 又在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增； 又因为，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：；. 9．函数且的值域是，则实数 . 【答案】或 【分析】根据指数函数的单调性，按和两种情况求出值域，列式求解即可 【详解】当时，函数且是增函数， 其值域为，则，解得； 当时，函数且是减函数， 其值域是，则，解得， 所以实数或. 故答案为：或 题型六 指数型函数与不等式 1．已知函数，则满足的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数性质即可得到其单调性，则得到不等式，解出即可. 【详解】因为均为上的增函数，则为上的增函数， 所以若，则，解得. 故选：D. 2．函数单调递增，且，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据分段函数的单调性求的范围，然后在解抽象不等式. 【详解】根据指数函数的单调性可得，在上单调递增， 于是单调递增时只需，则； 又因为在上单调递增， 且，则，即 于是. 故选：C 3．已知是上的奇函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本函数的单调性以及奇函数的性质，可得在上单调递增，即可利用单调性求解. 【详解】由于均为上的单调递增函数，故在上单调递增， 由于是上的奇函数，故在上单调递增， 又，故， 则即，等价于，所以，解得. 故选：A 4．若关于的函数（且）是上的偶函数，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】首先根据函数是偶函数求得，再根据复合函数的单调性，即可比较大小. 【详解】根据题意，有，即，可得， 则， 设，，当时，又由，为增函数且恒成立， 所以在上单调递增，易得在上递增，故. 故选：B. 5．（24-25高一上·四川泸州·期末）已知定义域为R的函数满足，当时，，则满足 的实数x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据偶函数概念得是定义域为的偶函数，再根据指数函数的单调性及偶函数性质将不等式转化为，即可求解. 【详解】因为函数满足，所以是定义域为的偶函数， 当时，，此时在上单调递减， 则在上单调递增， 所以，即，解得. 故选：D 6．（24-25高一上·上海徐汇·期末）试用函数观点解不等式，则该不等式的解集为 . 【答案】 【分析】令函数，再根据指数函数和幂函数的单调性得函数的单调性，结合特殊点即可求解. 【详解】令函数，定义域为， 因为为定义域内的增函数，为定义域内的减函数， 所以在定义域内单调递增，且， 对应不等式即为，从而得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 题型七 对数式的化简与求值 1．（24-25高一下·北京·期末）已知，则（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】由指数、对数运算即可求解. 【详解】已知，则. 故选：A. 2．（24-25高一上·江苏连云港·月考）若实数、满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用指数式与对数式的互化可得出、，再利用换底公式以及对数的运算性质化简可得结果. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：D. 3．（25-26高一上·北京·期中）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中数量级上与最接近的是（参考数据：）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件有，利用对数的运算性质得到，即可求解. 【详解】由题知，则， 又，所以，所以， 故选：D. 4．（25-26高一上·新疆·期中）荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”所以说学习是日积月累的过程，每天进步一点点，前进不止一小点.我们可以把看作是每天的“进步”率都是，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是，一年后是；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的倍.那么当“进步”的值是“退步”的值的2倍，大约经过（    ）天. （参考数据：，， A．9 B．15 C．25 D．35 【答案】D 【分析】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，根据题设可得，求解出，即可求解. 【详解】设经过天“进步”的值是“退步”的值的2倍，则， 所以， 故选：D. 5．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选题）以下运算中正确的是（　　） A．若，则 B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A利用对数换底公式以及对数运算即可判断，对于B利用对数运算即可判断，对于C根据指数和对数运算即可判断，对于D利用指数和对数的换底公式即可判断. 【详解】对于A：由，得，故A正确； 对于B：原式，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，故D正确． 故选：ACD. 6．（25-26高一上·全国·单元测试）若，则 ． 【答案】15 【分析】利用对数的运算性质计算即可. 【详解】由题意得，则，解得． 故答案为：15. 7．若正实数m，n，t满足，且，则 . 【答案】 【分析】根据对数和指数的互化方法，求出参数的表达式，根据换底公式列出方程，根据对数运算公式，求出参数值. 【详解】已知，则， 根据换底公式可得，则， 变形得，解得. 故答案为：. 8．（25-26高一上·全国·课前预习）求下列各式的值； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数的运算法则、换底公式，直接化简，即可求出结果. （2）根据对数的运算法则，直接化简，即可求出结果. （3）根据对数的运算法则、换底公式，直接化简，即可求出结果. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. 题型八 对数函数的图像辨析 1．（24-25高一上·全国·课前预习）函数与的图象只可能是下图中的（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】由一次函数图象得出的取值范围，利用对数函数的图象和性质逐项判断可得. 【详解】A中，由的图象知，则为增函数，A错； B中，由的图象知，则为减函数，B错； C中，由的图象知，则为减函数，所以C对； D中，由的图象知，此时无意义，D错． 故选：C. 2．（24-25高一上·天津·期末）在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数过定点，以及函数的单调性，排除选项. 【详解】指数函数与轴没有交点，过点，故排除AC， 两个函数的底数互为倒数，一个在，另一个就在， 所以两个函数的单调性相反，故排除B. 故选：D 3．（24-25高一上·广东茂名·期末）如图，①②③④中不属于函数的一个是（    ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据对数函数的图象性质与底数之间的关系判断即可. 【详解】根据题意函数中两个底数，图象单调递增，故③，④满足题意. 根据增长规律，“在定点右边，顺时针底数越来越大”，知道③对应，④对应. 由于函数，则它与关于x轴对称，且①与④关于x轴对称.故函数图象为①. 则②不属于函数的一个. 故选：B. 4．（24-25高一上·河南商丘·月考）已知且，则函数的图象必经过（    ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】A 【分析】分，两种情况讨论可求得结论. 【详解】当时，函数的图象经过第一、二、四象限； 当时，函数的图象经过第一、二、三象限， 综上可知，函数的图象必经过第一、二象限． 故选：A． 5．（24-25高一上·河北沧州·月考）若函数的大致图象如图所示，其中，（且）为常数，则函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据已知对数函数图形求得，再根据指数函数的单调性及与y轴交点位置判断图象. 【详解】函数的大致图象可知函数为减函数， 所以，又，所以， 所以函数单调递减，且， 故只有B选项的图象符合题意. 故选：B. 6．（25-26高一上·全国·单元测试）函数的图象大致为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】利用的奇偶性与特殊区间处的函数值正负排除错误选项. 【详解】方法一：易知函数定义域是，又， 故是奇函数，图象关于原点对称，排除C，D， 当时，，排除B； 方法二：当时，，则，排除B，D， 当时，，则，排除C， 故选：A 题型九 对数型函数过定点问题 1．（25-26高一上·全国·课前预习）函数（，且）恒过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用即可求解. 【详解】令，则，解得， 则函数（，且）恒过点． 故选：C. 2．（24-25高一下·河南·开学考试）已知为正实数，函数的图象经过点，则的最小值为（   ） A． B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】由函数的图象经过点，得到，再结合基本不等式“1”的妙用求解即可. 【详解】函数的图象经过点， 则，即， 又，. 当且仅当时取等号， 即时取等号. 故选：D. 3．（24-25高一上·安徽亳州·期末）函数（且）的图象必过定点 ． 【答案】 【分析】根据，即可得到定点. 【详解】由，， 所以当时，， 所以函数过定点. 故答案为：. 题型十 对数型函数的定义域与值域 1．（24-25高一上·湖北恩施·期中）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数特征得到不等式，求出定义域. 【详解】由题意得， 由①得，由②得，故， 故所求函数定义域为. 故选：C 2．函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数解析式，建立不等式组，可得答案. 【详解】由题意可得，解得. 故选：A. 3．（24-25高一上·广东广州·月考）函数，的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，，由换元法可得，利用二次函数的单调性即可求解. 【详解】令，因为，所以， 因为 ， 所以，， 函数在区间上单调递增， 所以，， 所以函数，的值域为. 故选：. 4．（24-25高一上·北京房山·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据分母不为,根号内要大于等于且对数函数的定义域列不等式组，解不等式可得. 【详解】由题可知，解得 故答案为：. 5．（24-25高一下·北京·期中）函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据对数的性质及分式不等式的解法求定义域. 【详解】由对数的性质知， 所以函数定义域为. 故答案为： 6．（24-25高一上·安徽芜湖·期末）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】由及对数函数的性质，可得到的取值范围，进而得到的取值范围，从而得到的取值范围，即可求得函数的值域. 【详解】因为，所以，， 所以，即的值域为． 故答案为：. 7．函数的值域是 . 【答案】 【分析】先得到二次函数的值域，再结合对数函数的单调性，即可得到结果. 【详解】对于，对称轴为， 所以， 又在上单调递增，其中， 所以当时，取得最小值，即， 所以，即函数的值域为. 故答案为： 题型十一 对数型函数的单调性与最值（含比较大小） 1．（25-26高一上·安徽合肥·期中）函数在上的最大值与最小值的和为1，则（   ） A． B．2 C．3 D． 【答案】C 【分析】分和，结合函数的单调性得到方程，求出答案. 【详解】若，则在上单调递增， 故，解得，满足要求； 若，则在上单调递减， 故，解得，不符合要求； 综上，. 故选：C 2．（25-26高一上·全国·单元测试）若函数（，且）是对数函数，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对数函数的定义及单调性求解即可. 【详解】由对数函数的概念得，解得或， 由，得，即在单调递减， 则，所以． 故选：B. 3．（24-25高一上·天津·月考）已知，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构建函数，，利用两函数的单调性进行比较. 【详解】由是上的减函数，所以有，则； 函数为上的减函数，所以有， 所以，故. 故选：D 4．（24-25高一上·北京·期中）比较，，的大小关系，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用指数函数，对数函数的性质，在中插入中间值进行比较. 【详解】根据指数函数的性质知， 因为是增函数，所以，故； 因为是减函数，所以， 于是，即. 故选：B. 5．函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义域和复合函数的单调性求解. 【详解】由，，解得或， 所以函数的定义域为， 令，则函数在上单调递减，在上单调递增， 而函数在上为增函数，由复合函数单调性可得的单调递减区间为． 故选：C. 6．（24-25高一下·湖南·期中）已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的单调性判断大小即可. 【详解】由，， 且， 所以. 故选：D. 7．（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助复合函数单调性计算即可得. 【详解】由函数在上单调递减， 则函数在上单调递减， 且在上恒成立， 则有，解得， 故实数的取值范围为. 故选：D. 8．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值为 ． 【答案】 【分析】利用对数型函数的单调性求解即可. 【详解】由，解得：或 所以的定义域为， 因为在区间内单调递增，所以函数在区间内单调递减， 函数在区间内的最大值为． 故答案为：. 9．（24-25高一上·河北·期末）函数的最小值为 ． 【答案】1 【分析】先求出函数的定义域，再判断出函数的单调性，根据单调性可得函数的最小值. 【详解】由得，则的定义域为． 因为在上都是增函数， 所以在上是增函数， 所以的最小值为． 故答案为：1. 10．（23-24高一上·山西长治·期末）已知函数的最大值为2，则 ． 【答案】6 【分析】根据二次函数与对数函数的性质计算可得. 【详解】因为函数由与复合而成， 而在定义域上单调递增，所以当取最大值时，函数取得最大值， 由二次函数的性质易知当时，，此时，所以，解得． 故答案为： 题型十二 对数型函数与不等式 1．（25-26高一上·全国·课后作业）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：利用，根据对数型函数的单调性和定义域要求，列不等式求解即可，方法二：特殊值法． 【详解】方法一：因为，所以不等式化为， 又在上是增函数， 所以，解得， 即不等式的解集为． 方法二：当时，无意义，排除C，D； 当时，无意义，排除B. 故选：A. 2．（24-25高一下·甘肃平凉·月考）已知函数在上单调递增，且，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分段函数的单调性结合指数和对数函数的单调性求出a，再由单调性解抽象函数不等式即可. 【详解】因为函数在上单调递增， 则，所以， 又，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：C 3．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知函数值及对数的运算性质求得，不等式化为，利用对数函数的单调性解不等式求解. 【详解】由题意得，，解得， 所以， 所以， 所以，即， 从而，解得， 故不等式的解集为. 故选：A 4．（24-25高一下·陕西汉中·月考）已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性结合给定区间上的函数解析式，确定函数的单调性，借助于特殊值替代，利用单调性即可求解抽象不等式. 【详解】因为当时，，则，且函数在上单调递增， 则由可得，利用函数的单调性可得； 又是定义在R上的奇函数，故； 当时，，则，因，则， 函数在上单调递增且， 则由可得，利用单调性可得. 综上可得，不等式的解集是. 故选：A. 5．（24-25高一下·广西柳州·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减.若实数a满足，则实数a的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知得到，结合偶函数的对称性及区间单调性得，即可求参数范围. 【详解】由题意，知，所以， 又函数是定义在上的偶函数，且在区间上单调递减， 所以，即或，所以或. 故选：B 6．不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用对数函数的单调性结合函数的定义域可求解. 【详解】由，得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 7．（2025高一上·全国·专题练习）已知函数． (1)判断并证明函数的单调性； (2)若，求实数x的取值范围． 【答案】(1)在上单调递增，证明见解析 (2) 【分析】（1）由单调性的定义说明即可； （2）首先说明是奇函数，再结合函数的单调性解不等式即可. 【详解】（1）在上单调递增． 证明如下：令，解得，所以的定义域为．设， 得． 因为，所以， 得，所以在上单调递增． （2），定义域为，，所以是奇函数． 所以原不等式可化为，即， 又在上单调递增，所以，解得， 所以x的取值范围为． 题型十三 函数中的恒成立和有解问题 1．（24-25高一上·湖南长沙·期末）若命题“，使得”为真命题，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】问题化为时能成立，结合指数函数的性质求参数范围. 【详解】由题设命题为真命题，即时能成立，故能成立， 所以. 故答案为： 2．（25-26高一上·江西景德镇·月考）若，不等式恒成立，则实数m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】令，根据x的范围，可得y的范围，由题意即可，代入计算，即可得答案. 【详解】令， 因为，所以，则， 由恒成立，得的最小值， 又， 所以，即实数m的取值范围是. 故答案为：. 3．已知命题，若为假命题，则的取值范围是 【答案】 【分析】根据全称命题的真假可知为真命题，由此构造函数，结合单调性求得最值，即可求得答案. 【详解】由题意知命题为假命题， 则为真命题， 设，则， 由于在R上单调递增，故在上单调递减， 则，故， 故答案为： 4．（24-25高一上·广东阳江·月考）已知函数，.若对于任意，不等式恒成立，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【分析】参变分离得到，令，故只需，换元法得到，利用对勾函数性质得到，得到答案. 【详解】对于任意恒成立， 故对于任意恒成立， 令，故只需， 令， 则， 其中在上单调递减，在上单调递增， 又， 故，所以， 所以. 故答案为： 5．（24-25高一上·四川成都·期中）已知函数，，若对存在，存在，使，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意可知只需，易求出的值域，进而只需有解即可，用分离参数的方法即可． 【详解】， 所以在时单调递减， 所以，，即； 因为对存在，存在，使， 所以， 所以存在，使得， 即，即能成立， 令，则要使在能成立， 只需使， 根据增函数减减函数易知：函数在上单调增， 所以， 故只需，所以的取值范围是． 故答案为：． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）设函数，若存在，满足，则实数的最小值为 ． 【答案】/0.8 【分析】先确定最大值与最小值，再将存在性问题转化为最值问题，最后解不等式得的取值范围，即得的最小值. 【详解】函数在上单调递减，函数在单调递增， 则函数在上单调递减， 由存在，满足，得， 即，则， 因此，解得，所以 故答案为： 7．（23-24高一上·贵州黔东南·期末）已知函数. (1)诺为偶函数，求的值； (2)若为奇函数，求的值； (3)在（2）的情况下，若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据偶函数的定义求参数； （2）根据奇函数的定义求参数； （3）将问题转化为函数最值问题，然后利用单调性求函数最值即可. 【详解】（1）若为偶函数，则， 即， 则，解得. （2）若为奇函数，则， 即， 则，解得. （3）由题意可得，则， 因为函数在上单调递增， 所以， 则，故的取值范围为. 8．（24-25高一上·天津·月考）已知函数 且. (1)当时，求函数的定义域; (2)当 时，若不等式对任意实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先写成函数解析式，再根据对数的真数大于得到不等式，解得即可； （2）利用函数表达式将条件转化为不等式形式，然后对和分类讨论即可得到答案. 【详解】（1）此时，而不等式等价于，此即，故函数的定义域为. （2）此时，从而条件即为对任意成立. ①若，则对有，不满足条件； ②若，则对任意，有，所以. 故，满足条件. 综上，的取值范围是. 9．（24-25高一上·辽宁沈阳·月考）已知函数． (1)解关于的不等式； (2)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合对数函数的性质即可求解不等式； （2）由已知结合不等式恒成立与最值关系的转化即可求解． 【详解】（1）由题意有：可得， 所以，解得， 故不等式的解集为； （2）因为和在上分别是增函数和减函数， 所以在上为增函数， 所以在上的最小值为， 由题知对恒成立，即对恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围是． 10．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的图象经过点. (1)求的值； (2)求不等式的解集； (3)若成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入点的坐标可得解析式； （2）判断奇偶性和单调性，利用性质可解不等式； （3）利用单调性转化为，结合基本不等式可求答案. 【详解】（1）因为函数的图象经过点，所以，解得. （2），定义域为，，即为奇函数； 因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 等价于，即， 所以，解得或，故解集为. （3）由（2）可知函数为增函数，，所以； 等价于，即在恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 题型十四 函数图像问题（含对称、平移变换问题） 1．（24-25高一上·广东广州·月考）要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（   ） A．向左平移1个单位长度 B．向右平移1个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【分析】根据指数函数解析式说明图象平移过程即可. 【详解】向右平移个单位， 则. 故选：. 2．（2025高一·全国·专题练习）若定义在上的函数的图象如图所示，则函数的图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解法一：利用函数对称和平移直接求解即可； 解法二：先求出的定义域即可排除BD，再结合特殊值排除A，即可求解. 【详解】解法一：将函数的图象关于轴对称，可得函数的图象， 再向右平移2个单位长度得函数的图象，即的图象． 解法二：由的定义域可知，，则， 即的定义域是，排除BD， 由题图可知，所以在中，时，， 排除A，而C满足题意. 故选：C． 3．（25-26高一上·甘肃庆阳·期中）（多选题）如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据函数图象平移的规则进行判断即可. 【详解】对于A，因为函数的图象无法通过平移后得到函数的图象，故A错误； 对于B，因为将函数的图象向右平移一个单位， 可得函数的图象，故B正确； 对于C，因为将函数的图象向上平移一个单位， 可得函数的图象，故C正确； 对于D，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故D正确. 故选：BCD. 4．（24-25高一上·四川成都·开学考试）已知，请作出，，的图象，并说说你是怎么作出的. 【答案】作图见解析. 【分析】利用函数利用变换法作出图象，并叙述作图过程. 【详解】当时，，此时的图象为函数图象在轴及右侧图象， 当时，，此时的图象为函数在轴右侧图象关于轴对称而得， 函数的图象，如图， 当时，，此时的图象为函数图象在轴及上方图象， 当时，，此时的图象为函数在轴下方图象关于对称而得， 函数的图象，如图： 函数的图象是将函数图象向右平移1个单位而得，如图. 5．（24-25高一上·全国·课前预习）画出函数的图象，并写出函数的值域及单调区间. 【答案】作图见解析，答案见解析 【分析】根据图象变换，由对数函数通过平移、对称变换即可得出函数图象，由图可得函数的值域及单调区间. 【详解】函数的图象向左平移1个单位后得的图象， 把的图象中在轴下方的图象，向上翻折可得的图象，如图， 由图象知，其值域为，单调递减区间是，单调递增区间是. 题型十五 函数的零点及参数问题 1．已知函数y=f(x)的图象是连续不间断的，有如下对应表： x 1 2 3 4 5 6 y 122.5 21.4 -7.4 4.5 -53.1 -125.5 那函数f(x)在区间[1，6]上的零点个数是（    ） A．只有2个 B．至多3个 C．只有3个 D．至少3个 【答案】D 【分析】结合题意，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】 因为函数的图象是连续不间断的,且 所以根据零点存在性定理,函数在区间上至少存在一个零点； 同理，由,得函数在区间上至少存在一个零点； 由,得函数在区间上至少存在一个零点. 但不能判断函数在其它区间上是否有零点. 因此，函数在区间上至少存在3个零点. 故选：D. 2．（24-25高一上·安徽铜陵·期末）某同学用二分法求函数的零点时，用计算器算得部分函数值如下表所示： 则该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是（    ） A．1.2 B．1.21 C．1.27 D．1.32 【答案】C 【分析】观察数据，由零点存在性定理得到区间内存在零点，得到答案. 【详解】，， 由零点存在性定理得，区间内存在零点， 由于，， 故该函数零点的近似值（精确度为0.1）可以是1.27，其他选项不正确. 故选：C 3．（23-24高一下·云南昭通·期末）函数的所有零点之和为（    ） A．8 B．7 C．5 D．4 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的零点即可. 【详解】当时，，解得；当时，，解得， 所以函数的零点和为7. 故选：B 4．（25-26高一上·全国·单元测试）已知函数，则方程的根的个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】转化问题为函数和函数的图象在上的交点问题，进而结合图象求解即可. 【详解】原方程即为，变形得， 要求方程根的个数， 即求函数和函数的图象在上的交点个数， 作出两函数的图象如图所示，    由图可知，两函数图象在上共有2个交点，故原方程共有2个根． 故选：C. 5．（25-26高一上·全国·课前预习）函数的零点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】由和都在上连续且单调递增，得在上连续且单调递增，所以函数最多有1个零点．再根据,可知函数有且只有一个零点. 【详解】解：由和 都在上连续且单调递增，得 在上连续且单调递增，所以函数最多有1个零点． 因为,,所以函数有且只有一个零点. 故选：B. 6．（24-25高一下·贵州黔东南·期中）已知是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据指对数转化计算求解. 【详解】由题意可得，即， 则，故. 故选：D. 7．（24-25高一上·安徽亳州·月考）函数的图象与的图象的交点个数为（   ） A．6 B．4 C．2 D．1 【答案】C 【分析】画出和的图象，根据图象来确定正确答案. 【详解】依题意，， ，与的图象关于轴对称， 在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象， 由图可知，两函数的图象的交点个数为2． 故选：C． 8．（24-25高一上·天津河东·月考）函数 的零点的个数为 【答案】2 【分析】令，转化为两个函数图象交点个数，来判断出零点的个数. 【详解】令，得，即， 作出与的图象，可知它们只有2个交点. 故答案为：2. 9．（24-25高一上·天津·月考）已知函数 ，则方程 有 个不同的实数根． 【答案】6 【分析】设求，再解方程即可. 【详解】设， 若，则； 若或. 由； 由或或； 由或. 所以方程共有6个不同实根. 故答案为：6 基础巩固通关测 1．函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据偶次根式被开方数非负，分母不为0，对数真数正数构造不等式组求解即可. 【详解】由题意得：得定义域为. 故选：D. 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期末）函数（且）的图象所过定点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令即可求得定点坐标. 【详解】令，得，此时，故定点坐标为. 故选：A 3．已知函数（，）的图象经过点，那么这个函数的图象也必定经过点（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将点代入函数表达式得出的值，从而得出函数解析式，依次代入各选项坐标计算求解. 【详解】已知函数（，）的图象经过点， ，解得， ∴， 依次代入各选项坐标： 当时，，故A错误； 当时，，故B错误； 当时，，故C正确； 当时，，故D错误. 故选：C. 4．（24-25高一上·全国·课前预习）不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用对数函数的单调性可得答案. 【详解】由已知得， 解得. 故选：D. 5．（25-26高一上·全国·单元测试）用二分法求方程的近似解时，求得的部分函数值数据如表所示： x 1 2 1.5 1.75 1.875 1.8125 3 1.342 0.5793 则当精确度为0.1时，方程的近似解可取（    ） A．1.6 B．1.7 C．1.8 D．1.9 【答案】C 【分析】由二分法，结合表格可知函数的零点在区间内，然后根据选项判断即可. 【详解】由表格可得，函数的零点在区间内， 且，结合选项可知，方程的近似解可取1.8． 故选：C. 6．（25-26高一上·浙江宁波·期中）设，，，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合指数函数与幂函数的性质进行比较即得. 【详解】由指数函数的单调性，可得， 即， 因为函数在上为增函数，且， 则，即. 故. 故选：D. 7．（24-25高一上·江苏连云港·期中）已知函数图象如右图所示，则的图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据与的图象关于轴对称，再将的图象向右平移1个单位即可求解. 【详解】将与的图象关于轴对称，再将的图象向右平移1个单位得到，因此D符合， 故选：D 8．（24-25高一下·湖南永州·期中）已知，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数和指数函数的单调性判断大小即可. 【详解】由函数是内的单调减函数，， 所以， ， 由函数是上的单调增函数，所以， 而，， 所以． 故选：A. 9．（23-24高一上·北京海淀·期末）在同一个坐标系中，函数的部分图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数、对数函数和幂函数的图象与性质，结合排除法即可求解. 【详解】因为在同一坐标系中， 所以的单调性一定相反，且图象均不过原点，故排除AD； 在BC选项中，过原点的图象为幂函数的图象， 由图象可知，所以单调递减，单调递增，故排除B， 故选：C. 10．（24-25高一上·湖北·期末）函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，分析该函数的奇偶性及在上的函数值符号，以及与的大小关系，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】易知函数的定义域为， 因为，所以，函数为奇函数，排除D. 又当时，，则，排除C. 又，排除B. 故选：A. 11．（24-25高一上·全国·课后作业）如图是底数取不同值时指数函数与对数函数的图象，已知取，则图中曲线表示的函数式中对应的值依次为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和对数函数底数和单调性关系规律，结合特值解答即可. 【详解】曲线是指数函数的图象，且其图象在上单调递增，所以， 当时，的函数值大于，故对应的值分别为； 曲线，是对数函数的图象，且其图象在区间上单调递减， 所以对应的值的取值范围为， 当时，对应的函数值大于，故对应的值依次为． 故选：C. 12．（24-25高一上·浙江绍兴·期末）已知函数，则（    ） A．在上单调递增且值域为 B．在上单调递减且值域为 C．在上单调递增且值域为 D．在上单调递减且值域为 【答案】B 【分析】利用指数函数，二次函数，复合函数的性质求解单调性和值域即可. 【详解】令， 则视为由和构成的复合函数， 由二次函数性质得在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数性质得在上单调递增， 由复合函数性质得在上单调递减， 而，故，故B正确. 故选：B 13．（24-25高一上·安徽·期中）若对任意实数，恒成立，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将问题转化为不等式对恒成立，结合不等式在R上恒成立问题计算即可求解. 【详解】由，得原不等式可转化为， 即对恒成立， 当时，，解得，不符合题意； 当时，，解得， 即实数a的取值范围为. 故选：B 14．（24-25高一下·河北保定·月考）已知曲线（且）过定点，若且，，则的最小值为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出指数型函数求出所过定点，再利用基本不等式求出最小值. 【详解】当时，恒有，因此曲线过定点，， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D 15．（24-25高一上·江苏南通·月考）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出函数的定义域，再利用二次函数、对数函数单调性，结合复合函数单调性求出递减区间. 【详解】由，即，解得，则函数的定义域为， 令，函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减，所以的单调递减区间为. 故选：B 16．（23-24高一下·湖北·开学考试）下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】变形得到，根据函数单调性得到，故，由于是的真子集，故A正确，其他选项不合要求. 【详解】，， 即，， ∴，其中在上单调递减， 在上单调递增， 其中时，，当时，， 故，即， 由于是的真子集，故“”的必要不充分条件为“”， 其他选项均不合要求. 故选：A 17．（24-25高一上·全国·课后作业）函数在区间内的最大值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】先求的定义域，再判断在区间上的单调性即可求最大值. 【详解】由已知可得，解得定义域为， 又在上单调递减，则在上单调递增， 所以函数在上单调递增，即函数在区间内单调递增， 所以在区间内的最大值为． 故选：B. 18．（23-24高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，值域为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据题意画出函数图象，结合指数函数图象相关性质和对数的运算法则进行计算即可. 【详解】由题意得，， 作出函数图象如图所示，    令，解得或， 则当，时，取得最大值， 此时. 故选：B 19．（24-25高一下·安徽·开学考试）已知a，b，c分别是函数的零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在同一坐标系中作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】令， 得， 在同一坐标系中作出函数的图象， 如图所示： 由图象知：即 故选：B 20．（24-25高一上·山东日照·期末）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性求解判断. 【详解】令，对称轴为，又是R上增函数， 因为是上的增函数， 所以，即， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 21．（24-25高一上·河南南阳·期中）若是定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性与奇偶性求解即可. 【详解】当时，为增函数， 又是定义在上的奇函数，当时，， 故在上为增函数. 故则， 故，即，解得. 故选；A 22．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是由与复合而成，先分析外层函数单调性，再根据复合函数单调性确定内层函数单调性，进而求出的取值范围. 【详解】是由与复合而成， 在中，，，所以在上单调递减. 因为在上单调递减，且外层函数在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，可知内层函数在上单调递增. 对于二次函数，其图象开口向上，对称轴为. 二次函数在对称轴右侧单调递增，要使在上单调递增， 则对称轴需满足，解得. 故选：A. 23．若在区间上递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数函数是增函数，可得要使函数在上递减，则函数在上单调递减以及函数值总大于零，由此联立不等式组求解． 【详解】令，其对称轴方程为，对数函数是增函数， 要使函数在上递减，则， 解得，实数的取值范围是． 故选：B. 24．（25-26高一上·河南南阳·期中）（多选题）已知且，，则函数与在同一坐标系内的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线，根据选项由一次函数图象性质及指数型函数图象性质依次判断即可. 【详解】因为为一次函数，所以函数的图象为一条直线， 而为指数型函数， 对于A，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递增，故A符合题意； 对于B，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减，故B符合题意； 对于C，由图象结合一次函数图象性质可知，， 当时，单调递减其图象与的图象关于轴对称，故C符合题意； 对于D，由图象结合一次函数图象性质可知，， 而恒成立，所以图象在轴上方，故D不符合题意. 故选：ABC 25．（24-25高一下·江苏扬州·月考）（多选题）已知函数有两个零点，则零点所在区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据零点存在性定理求解即可. 【详解】因为的定义域为，所以函数是连续不间断函数， 又，， ，， ， 且，， 所以由零点存在性定理可知函数在和上有零点. 故选：AD. 26．（25-26高一上·江苏南京·月考）（多选题）已知实数满足，则下列选项中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂的运算结合完全平方公式，立方和公式依次讨论各选项即可得答案. 【详解】对于A，由，得，化简得，故A错误； 对于B，因为，所以， 所以，所以，故B正确； 对于C，由A，，所以，所以，故C错误； 对于D，由， 由B，，，故D正确. 故选：BD. 27．（多选题）若正实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据指数函数的单调性，可以用中间值求出和的范围，验证选项A不正确，再通过指数对数互化，，，结合换底公式，得到，，再考虑与的范围可以验证BCD选项正确. 【详解】由可得，由可得，则，可知选项A错误； 由指对数互化可得，，则，即可知选项B正确； 又，由，可知等号不成立，即，可知选项C正确； 由得， 令，由，，则在上单调递增，故，选项D正确． 故选：BCD 28．（24-25高一上·新疆伊犁·期末）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用函数有意义列出不等式组，求解即得定义域. 【详解】函数的意义，则，解得且， 所以原函数的定义域为. 故答案为： 29．（24-25高一下·山西·月考）若命题“，”为真命题，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由命题为真得，结合指数函数的性质求右侧最大值，即可得参数范围. 【详解】由题意，得在上恒成立，则， 又当时，，所以． 故答案为： 30．（2025高一·全国·专题练习）函数的零点个数是 ． 【答案】2 【分析】作出与的函数图象，根据图象交点个数得出答案. 【详解】令，， 则原函数的零点个数问题就转化为两个新函数图象的交点个数问题． 由图，可知原函数的零点个数为2． 故答案为：2. 31．（24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末）“阿秒光脉冲”是年诺奖物理学获奖项目，主要用于研究物质中的电子动力学.已知阿秒为时间单位，且阿秒等于秒，光速约为米/秒.将米长的木棒每天截取它的一半，按照此法，要使木棒长度小于光经阿秒所走的距离，至少需要经过的天数是 .（参考数据：，） 【答案】 【分析】设至少需要经过天，根据题意可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】设至少需要经过天，木棒第一天剩余的长度为米， 木棒第二天剩余的长度为米，木棒第三天剩余的长度为米，， 以此类推可知，木棒第天剩余的长度为米， 由题意可得，可得， 所以，， 所以，，则， 故至少需要天. 故答案为：. 32．函数的值域为： . 【答案】 【分析】根据指数函数和对数函数的值域求解. 【详解】因为， 所以， 所以函数的值域为. 故答案为： 33．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最小值为 ． 【答案】 【分析】利用二次函数和对数函数的性质得到与的单调性，再利用复合函数单调性的求法得到，再求解最值即可. 【详解】令，， 则由与复合而成， 首先令，解得， 则定义域为， 而对称轴为，其开口向下， 由二次函数性质得在单调递增，在单调递减， 由对数函数性质得在上单调递减， 由复合函数单调性得在单调递减， 在单调递增，所以当时，取得最小值， 此时最小值为. 故答案为： 34．若函数（且）的最小值为－4，则实数a的值为 . 【答案】/ 【分析】结合复合函数的单调性、最值以及二次函数的性质即可求出. 【详解】由题意知，，解得， 因为， 因为，则，又因为的最小值为－4， 则，所以， 即，得，因为，所以. 故答案为：. 35．已知函数，若任意，存在，使得，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据函数的单调性求出、在给定区间上的值域，依题意，即可求出参数的取值范围. 【详解】因为在上单调递增，所以， 又在上单调递增，所以， 因为任意，存在，使得， 所以，即，解得，即实数的取值范围为. 故答案为： 36．（24-25高一上·安徽·月考）已知，则 ． 【答案】8 【分析】利用指数与对数的互化可得出，再利用对数的运算法则求解即可. 【详解】根据指数与对数的互化公式可得： ， 所以． 故答案为：8. 37．（24-25高一下·河北衡水·开学考试）已知函数在R上单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数，对数函数与一次函数的性质建立不等式组，求解参数范围即可. 【详解】当时，由指数函数性质得单调递增， 当时，由对数函数性质得单调递增， 故单调递增， 因为在R上单调递增，所以由题意可得， 化简得，即得， 解得，则，故的取值范围是. 故答案为： 38．（24-25高一上·福建南平·期中）（1）计算； （2）化简. 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）（2）应用有理数指数幂的运算性质、根式与指数幂的关系化简求值； 【详解】（1）原式； （2）原式. 39．（24-25高一上·宁夏石嘴山·期中）求值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数运算的知识求得正确答案. （2）根据根式运算的知识求得正确答案. 【详解】（1） . （2） . 40．（24-25高一上·全国·课后作业）若将函数更换为，并得到如下图象，试根据函数的图象，作出下列各函数的图象： (1)； (2)； (3). 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】运用指数函数图像，和平移对称变换规律作图即可. 【详解】（1）将已知图象向右平移一个单位即可， （2）将已知图象向下平移一个单位即可， （3）作已知图象关于x轴对称的图象即可， 41．计算： (1)； (2)； (3)已知，试用表示． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）、（2）利用对数法则计算出答案即可； （3）利用指数式化为对数式、换底公式进行化简即可. 【详解】（1） . （2） . （3）由，得， 由，得， 所以 ． 42．（24-25高一上·全国·课后作业）求下列各式中的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （2）根据和以及指数与对数的互化求值即可； （3）根据指数与对数的互化求值即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以，解得； （2）因为，所以， 所以，解得； （3）因为，所以， 所以，解得. 43．（25-26高一上·全国·课堂例题）函数，当时，求该函数的值域. 【答案】 【分析】根据对数的运算性质，结合换元法、对数的单调性，二次函数的性质，即可进行求解. 【详解】由， 令，则有， 因为，所以，因此， 所以函数的值域为. 44．（24-25高一下·浙江·期中）已知函数． (1)解方程； (2)若恒成立，求m的取值范围． 【答案】(1)或． (2)． 【分析】（1）令，将方程转换成一元二次方程即可求解； （2）先将不等式等价转化为，再结合基本不等式求出即可得解. 【详解】（1）即 令，则或或． （2）， ， 故，即， 又，当且仅当即时等号成立， 所以. 45．已知函数，. (1)判断函数的奇偶性并予以证明； (2)若存在使得不等式成立，求实数的最大值. 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2)1 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义判断并证明即可； （2）转化问题为，进而根据函数的单调性求解即可. 【详解】（1）函数为偶函数，证明如下： ， 由，解得， 的定义域为，关于原点对称， ， 为偶函数. （2）若存在使得不等式成立， ， 而，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在上单调递增，在上单调递减， ， ，即， 实数的最大值为1. 46．（23-24高一上·安徽六安·月考）已知函数． (1)当，求函数的值域； (2)解不等式． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）将函数合理变形，视为二次函数求最值即可； （2）将指数函数视为二次函数，求解不等式即可. 【详解】（1）当，， ， 所以当，求函数的值域为， （2）， 所以，即，得或，得或， 所以不等式的解集为或． 47．（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知是定义在上的奇函数，且． (1)求实数，的值； (2)试判断的单调性，并用定义证明； (3)若对任意实数，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)是单调递减函数，证明见解析 (3) 【分析】（1）根据题意，由，求得，再由，求得，联立方程组，即可求得的值；. （2）由（1）知，函数，利用函数单调性的定义和判定方法，即可得证； （3）根据题意，把不等式，不等式恒成立，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数是定义在上的奇函数，可得，即， 又由，可得，即， 联立方程组，解得. （2）解：函数是定义域上的单调递减函数. 证明如下：由（1）知，函数，可函数的定义域为， 任取，且， 则， 因为，所以，可得， 所以，即， 所以函数是定义域上的单调递减函数. （3）解：因为函数是上的奇函数， 则不等式，即为， 由（2）知函数是定义域上的单调递减函数，可得， 又因为对任意实数，不等式恒成立， 即对任意实数，不等式恒成立， 因为， 所以，即实数的取值范围为. 能力提升进阶练 1．（23-24高一上·江苏连云港·期中）素数也叫质数，部分素数可写成“（为素数”的形式，法国数学家马林梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“为素数”形式的素数称为梅森素数．已知第20个梅森素数为，第19个梅森素数为，则下列各数中与最接近的数为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，再结合以及指数、对数互换运算即可得解, 【详解】由题意， 又，所以， 从而对比各个选项可知，各数中与最接近的数为. 故选：B. 2．（24-25高一上·重庆·月考）已知，则等于（    ） A．4 B．6 C．9 D．25 【答案】D 【分析】根据题意，由条件，以及指数与对数的转换关系，可求出，，由换底公式可得，从而计算的值. 【详解】因为，所以，， 所以， 所以 . 故选：D. 3．（24-25高一上·山东青岛·期中）关于x的函数的定义域是， 则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由定义域可得定义域，后结合对数函数性质可得答案. 【详解】因的定义域是，则定义域为. 则定义域满足. 故选：A 4．（24-25高一下·黑龙江黑河·开学考试）已知函数（，且）图象经过定点，若正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的图象经过的定点的坐标，再利用基本不等式中“1”的代换即可求解. 【详解】函数， 令，可得，代入函数可得，所以定点的坐标为， 代入可得，且， 则， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 故选：C. 5．（25-26高一上·安徽合肥·期中）对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数的运算性质和特殊值法判断即可. 【详解】对于A，取，，， ，， 则，故A错误； 对于B，取，，， ，， 则，故B错误； 对于C，由对数的运算性质可知，，故C正确； 对于D，对数的底数不能为负数，则表示错误，故D错误； 故选：C. 6．（24-25高一上·黑龙江牡丹江·期中）函数的图象与的图象的交点个数为（   ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】画出函数图像即可求解. 【详解】在同一直角坐标系中，作出两个函数与的图象，      由图可知，两函数的图象的交点个数为4. 故选：C. 7．已知函数则的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先判断函数为奇函数，再根据函数单调性解抽象不等式即可. 【详解】当时，，，； 当时，，，； 且当时，， 所以为奇函数， 易知为上的递减函数， 则， 所以原不等式的解集为. 故选：A 8．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 9．（23-24高一下·河南漯河·期中）（多选题）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，进而判断各选项即可. 【详解】函数的定义域为， 而，则函数为奇函数， 又函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增， 由，则，所以， 即，，故AC正确，BD错误. 故选：AC. 10．（多选题）若，则以下大小关系可能成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先对等式取对数，可得到类似的式子，通过都是正数，和都是负数，讨论即可. 【详解】当都是正数，由可得（其中）， 因为，所以，故， 所以，即，故A选项可能成立， 当都是正数，由于，取常用对数得：， 则，同时由于对数函数在定义域上是增函数， 进而，所以； 同理，进而，所以； 所以，故C选项可能成立， 当都是负数，由于，取常用对数得：， 同时由于对数函数在定义域上是增函数， 则，则， 则，则， 即，故B选项可能成立， 故选：ABC 11．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）已知函数若存在四个不同的值，，使得，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】作出函数的图象，设，则直线与的图象4个交点的横坐标分别为，可得出，再结合对称性与对数运算即可得正确选项. 【详解】作出的图象，设， 则直线与的图象4个交点的横坐标分别为， 函数的图象如图所示， 对于A，因为的图象关于直线对称，所以．A错误； 对于B，因为，由图象可得， 所以，解得．B错误； 对于C，由图象可得，所以．C正确； 对于D，由图象可知，又，， 所以．D正确. 故选：CD. 12．（25-26高一上·全国·单元测试）（多选题）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A． B．若，则是增函数 C．不存在实数，使得为偶函数 D．若的值域为，则的取值范围为 【答案】ABC 【分析】应用对数运算计算判断A；应用复合函数单调性判断B；反证法判断偶函数即可求参判断C；应用对数函数值域计算得出参数判断D. 【详解】对于A：，A选项正确； 对于B：若，函数，函数，都是定义域上的增函数， 则由复合函数的单调性知，在定义域内是增函数，B选项正确； 对于C：若存在实数，使得为偶函数，则， 即， ， 而偶函数定义要求等式对定义域内所有成立，不仅仅是， 故不存在实数使得为偶函数， 所以不存在实数，使得为偶函数，C选项正确； 对于D：若的值域为，则要取遍所有正数， 所以或，解得，D选项错误； 故选：ABC. 13．（24-25高一上·云南昆明·月考）已知函数（，且）的值域为，则的最大值是 【答案】4 【分析】分两种情况讨论，结合单调性求出指数型函数与二次函数的值域，进而得到不等式，解出即可. 【详解】当时，则在上单调递减，此时， 而开口向下，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减， 所以，所以； 当时， 则在上单调递增，此时， 而开口向下，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减， 此时， 所以要使值域为，则， 解得：，则的最大值是4. 故答案为：4. 14．（24-25高一上·江苏南通·月考）若定义域为的偶函数在上是增函数，且，则不等式的解集 . 【答案】 【分析】由偶函数得到对称区间上的单调性，及，从而知道的解集，即可由得或，从而解出答案. 【详解】因为函数为偶函数，且在上是增函数，则函数在上单调递减， 所以， 所以的解集为， 所以当时，或， 所以或，即不等式的解集为. 故答案为： 15．（24-25高一上·四川绵阳·期末）已知函数，则使得不等式成立的的取值集合为 . 【答案】 【分析】判断函数的奇偶性和单调性，把函数不等式转化为代数不等式，解不等式可得答案. 【详解】因为函数的定义域为， 且，所以函数为偶函数； 当时，，因为当时，为增函数，为减函数， 所以在上为增函数，在上为减函数. 所以， 所以. 故答案为： 16．（24-25高一上·江苏常州·期末）已知函数是定义域为的偶函数，且当时，.若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】首先可得的单调性，再由，即可得到对任意的，恒成立，从而得到对任意的，恒成立，再分、、三种情况讨论，分别解出，即可得到不等式组，从而求出参数的取值范围. 【详解】因为当时，，所以在上单调递增且， 又函数是定义域为的偶函数， 则当时，，所以在上单调递减且， 所以，， 因为对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立， 显然，即； 所以对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立， 即对任意的，恒成立， 当时，不等式，解得，显然不成立； 当时，不等式，解得，则，解得； 当时，不等式，解得，则，解得； 综上可得：实数的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键是根据函数的单调性与奇偶性将函数不等式转化为对任意的，恒成立. 17．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数的定义域为． (1)设，求的取值范围； (2)若恒成立，求的范围． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据指数函数的单调性求出函数的值域； （2）依题意在上恒成立，利用基本不等式求出的最小值，即可得解. 【详解】（1）∵，，在上单调递增， ∴当时，取最小值为，当时，取最大值为2， ∴的取值范围为． （2）∵在上恒成立， 又，当且仅当即时取等号， ∴的最小值为，∴． 18．已知，函数的最大值为3，最小值为. (1)求的值； (2)若不等式在上有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用对数运算法则化简函数，再利用对数函数单调性及二次函数性质列式求出. （2）由（1）求出并化简给定不等式，分离参数并利用对勾函数单调性求出最大值即得. 【详解】（1）依题意，， 由，得，，又， 因此，， 所以，. （2）由（1）知，则， 即，依题意，不等式在上有解， 因此，不等式成立， 函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，则，于是， 所以k的取值范围是. 19．（24-25高一下·陕西西安·期中）已知函数 (1)当时，求的最小值； (2)若为偶函数，求的值； (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1)的最小值为 (2) (3)的取值范围是 【分析】（1）根据复合函数单调性确定函数的单调性即可得最值； （2）根据函数的奇偶性求参数即可； （3）由题意可得恒成立，利用换元法可得，则在上恒成立，由对数函数的单调性及参变量分离法可得在上恒成立，利用基本不等式可得的最小值，从而可得的取值范围． 【详解】（1），由于恒成立， 所以函数的定义域为， 又函数在上单调递减，在上单调递增，函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 故的最小值为； （2）若为偶函数，则， 所以， 即恒成立，所以； 当时，函数定义域为，满足， 故若为偶函数，则； （3）若对于任意，存在，使得不等式成立， 则恒成立， 令，当时，， 所以，所以当时，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，则在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为，当且仅当，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 20．（24-25高一下·四川南充·月考）已知函数. (1)存在使得不等式有解，求实数k的取值范围； (2)若函数满足，若对任意且，不等式恒成立，求实数m的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先判断的单调性，由题意，由参数分离和二次函数的最值，可得的范围； （2）由条件求得，运用换元法和基本不等式，计算可得的最大值. 【详解】（1）.对任意， 有， 因为，所以，即， 所以，因此在上递增. 因为，所以，即在时有解. 当时，的最大值为2，所以； （2）因为，所以， 所以，不等式恒成立， 即， 令，则在时恒成立， 因为，由基本不等式可得：，当且仅当时，等号成立， 所以，则实数的最大值为. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $