精品解析：四川绵阳市东辰中学2025-2026学年高二下学期第二学月考试数学试题

2026年春绵阳东辰中学高2024级第二学月考试 数学 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：邓波 审题人：乔胜玉 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据导函数的正负确定原函数的单调性，即可结合图形求解. 【详解】由的图象可知：当和时，，故在单调递减， 当和时，，故在，单调递增， 故B正确， 故选：B 2. 若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】根据排列数和组合数公式求解即可. 【详解】由， 得， 即，所以. 故选：B. 3. 已知数列，则该数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过逐项验证即可判断. 【详解】对于A，，错误； 对于B，，错误； 对于C，，错误， 对于D，，符合，故正确. 4. 曲线在处的切线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 【答案】B 【解析】 【详解】由函数，求导得， 因此曲线在处的切线斜率， 所以所求倾斜角为45°. 5. 给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（ ） A. 320 B. 630 C. 720 D. 1560 【答案】B 【解析】 【详解】现有6种不同的花可供选择，要求每个区域只种1种花且相邻区域的花不同， 则四块区域最少种2种花，最多种4种花，所以分三类： 若种2种花，则A和C相同，B和D相同，有种方法； 若种3种花，则需要其中两块区域种同一种花，A和C相同或B和D相同，有种； 若种4种花，有种， 则不同的种法总数为． 6. 函数的图象关于点(1,0)对称，当时，成立，若，则的大小关系是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】通过已知可以判断函数是奇函数，由给出的不等式， 可以构造一个新函数，判断出新构造函数的单调性，根据单调性判断出三个数的大小． 【详解】函数的图象关于点(1,0)对称，所以函数是奇函数． 构造函数， 函数在上单调递减． = ，= = = = = 在上单调递减 即也就是，故本题选C． 【点睛】函数的性质是高考必考的内容之一，构造新函数，利用新函数的单调性，比较数的大小是常见的题目．解决此类问题的关键是要牢牢掌握常见初等函数的性质，再通过已知条件构造新函数． 7. 定义:对于正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m，记作.已知正整数t满足，将符合条件的所有t的值按从小到大的顺序排列，构成数列.设数列的前n项和为，则的最小值为（ ） A. B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出数列的通项及前项和为，再借助单调性求解即得. 【详解】由正整数t满足， 正整数t除以6的余数与17除以6的余数为5相等， 则数列是以首项为5，公差为6的等差数列， 得， 则， 可得， 当且仅当时，取得最小值. 8. 已知函数的四个零点，恰好成递增的等差数列，则m的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】化简函数，利用偶函数得四零点，从小到大排序，依等差数列公差相等列式，换元运算，解得对数结果. 【详解】函数，定义域为.又， 所以函数为偶函数. 当时，， 令，得，显然，，解得或. 由有四个零点，且函数为偶函数，故四个零点为. 因零点成递增等差数列，故排序为， 设公差为，则：，， 即，化简得， 两边同乘得，故. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 武当太极拳又称武当内家拳，是我国的一项传统武术拳种，修习太极拳可以养生祛病、强身健体、延年益寿.若张爷爷早上带着孙子小张在健身广场练习武当太极拳十三式，张爷爷按照拳法顺序从第一式打到第十三式，每种招式打一遍，小张随机打了十三式，则（ ） A. 若招式可以重复，则小张练习的可能情况数为13! B. 若招式不可重复，则小张练习的可能情况数为13! C. 若招式可以重复，小张仅有第一式与爷爷相同的可能情况数为12! D. 若招式不可重复，小张和爷爷恰有三种招式顺序不同的概率为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据排列数的公式，以及古典摡型的计算公式，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，若招式可以重复，则小张练习的可能情况数为，所以A不正确； 对于B中，若招式不可重复，则小张练习的可能情况数为，所以B正确； 对于C中，若招式可以重复，小张仅有第一式与爷爷相同的可能情况数为，所以C错误； 对于D中，若招式不可重复，小张和爷爷恰有三种招式顺序不同的概率为，所以D正确. 故选：BD. 10. 已知数列满足是公差为-2的等差数列，是首项为8的等比数列，且，则（ ） A. B. 与都是递减数列 C. 的前项和有最大值 D. 的前项积有最大值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据等差数列、等比数列的通项公式和性质逐项计算判断即可. 【详解】设，则是公差为-2的等差数列， 所以是首项为8的等比数列，所以. 因为，且，所以. 因为，所以，所以， 所以，所以. 因为，所以，故A正确. 因为，所以是递减数列.因为， 所以当时，，当时，，当时，， 所以不是递减数列，故B错误. 因为是首项为8，公差为-2的等差数列，所以前项和有最大值，故C正确. 因为是首项为8，公比为的等比数列，所以前项积有最大值，故D正确. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 和的图象不存在公切线 B. 在上是增函数 C. 若恒成立，则整数的最大值为2 D. 若，且，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知分别写出、在、处的切线方程判断A，应用导数分析、的单调性，结合复合函数的单调性判断B，问题化为恒成立，应用导数研究左侧的最小值判断C，根据已知得、，进而化简目标式得，再应用导数求其最小值判断D. 【详解】由，则，且，则在处的切线为， 由，则，且，则在处的切线为， 综上，和的图象存在公切线，A错； 在上，则单调递增，且， 在上，则单调递增， 综上，结合复合函数的单调性知，在上是增函数，B对； 由，令且， 显然在上单调递增，且， 所以，使，即， 在上，在上， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，又在上单调递减， 所以，而恒成立，则整数的最大值为2，C对； 由，则，故， 由，则， 又及在上单调递增，则，即， 所以，则， 综上，， 令且，则， 所以在上单调递增，则，D对. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是增函数，则实数a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为， 由题可知恒成立，故， 当时，，当且仅当时等号成立，故． 13. 勒让德猜想是数论中最著名的猜想之一，内容如下：对于任意正整数，存在质数，满足，我们把区间称为正整数的质数分布区间．现从集合中任取两个元素，则它们在其质数分布区间上的质数个数之和为5的选取方案有_________种．（用数字作答） 【答案】4 【解析】 【分析】根据给定条件，求出给定集合中各数的质数分布区间内质数个数，再利用列举法求出方案种数. 【详解】依题意，1的质数分布区间内的质数有两个；2的质数分布区间内的质数有两个； 3的质数分布区间内的质数有两个；4的质数分布区间内的质数有三个； 5的质数分布区间内的质数有两个；6的质数分布区间内的质数有四个， 因此从中任取两个元素，则它们在其质数分布区间上的质数个数之和为5的选取方案 有、、、，共4种方案. 故答案为：4 14. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即第一项，接下来的两项，，再接下来的三项，，，…，以此类推，若该数列的前（）项和为2的整数幂，则符合条件的的最小值为______. 【答案】95 【解析】 【分析】先分析数列的分组结构，分别求出每组的和与项数，再结合“和为的整数幂”的条件，构造方程抵消常数项，最后结合的限制条件，检验并找到满足条件的最小项数. 【详解】解：由题意知：第一项为； 第二项为，； 第三项为，，， 第项为，，，，， 根据等比数列前项和的公式，求得每项的和分别为： ，，，，； 每组含有的项数分别为：，，，，； 前个完整项，总共的项数为； 前个完整项，所有项的总和为 ， 由题可知，为2的整数幂，若直接取前个完整组，和为， 不是2的整数幂， 因此，需要在第组中再取若干项，与相抵消，才能使其为2的整数幂. 设再从第组中取前项，则这项的和为： ， 此时，前项的总和为：, 令，则，此时，为的整数幂，对应的总项数为： ，很显然不合题意， ①当时，，解得，总项数项，不满足； ②当时，，时，解得，总项数项，不满足； ③当时，，解得，总项数项，满足， 的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）1 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，从而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为. 因为，所以， 所以函数在上的最小值为1. 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求解，进而可得结果； （2）先求，讨论的符号去绝对值，结合运算求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由题意可得，即，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 令，解得，且， 当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：. 17. 已知函数（为自然对数的底数）． （1）讨论的单调性； （2）若有最小值，证明：． 【答案】（1）时在单调递减；时在单调递减， 在单调递增； （2） 由（1）知：时单调递减，无最小值，仅当时存在最小值， 则 对求导：，设，， 故在单调递减， 又，， 故存在唯一，满足，即. 因此：时，，单调递增； 时，，单调递减； 故的最大值为，代入化简： 在上单调递增，， 故：， 因此，得证. 【解析】 【分析】（1）对求导，然后根据参数的不同取值范围，判断导数的正负，进而确定函数的单调区间； （2）先结合（1）的单调性结论，找到取得最小值时的值，代入得到的表达式；再通过分析的单调性证明即可. 【小问1详解】 分母，，导数符号由决定，分情况讨论： 若：恒成立，，故在上单调递减； 若：令得： 时，，，单调递减； 时，，，单调递增. 所以时在单调递减， 时在单调递减，在单调递增； 【小问2详解】 略 18. 已知函数的定义域为R，导函数. （1）求的单调区间； （2）已知. （i）比较与的大小关系，并说明理由； （ii）曲线在处的切线与直线交于点，在处的切线与直线交于点，比较与的大小关系，并说明理由. 【答案】（1）单减区间为，单增区间为 （2） （i），理由： 设， 于是． 当时，，于是．因此． 于是在上递减，． 因此． （ii），理由： 曲线在处的切线方程为 ， 与交点纵坐标为 ， 因此：， ， 作差得：； 由于包含一次式和，设，其中为待定常数， 对设定的原函数求导利用乘法求导法则： ， 对比系数， 得： 即，，则 ()， 代入化简得： 令 ，，， 求导得： 当时，由不等式， 得： ， 因此，在单调递增，，因此，故. 【解析】 【分析】（1）由导函数的符号入手，令其为零得，列表分析各区间的导数正负，即得单调递减区间和递增区间； （2）（i）令，求导并结合指数函数单调性判定，从而利用递减且推出大小关系；（ii）由导数的几何意义写出切线方程，还原原函数 ，代入作差得到的表达式，再构造函数并利用导数及时进行放缩，证明从而得. 【小问1详解】 函数的定义域为R，令，解得．于是 - 0 + 极小值 于是单减区间为，单增区间为． 【小问2详解】 略 19. 已知函数，，设的零点为. （1）求的值； （2）证明：为单调数列，并求中的最小项； （3）证明：. 【答案】（1） （2）证明：的零点为，得， 则， 两式相减，得， 所以， 令，由（1）分析可知在上单调递增，所以， 故为递增数列，且中的最小项为. （3）证明：令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，当且仅当时等号成立， 又，所以， 因为的零点为，则， 移项得，则， 当时，有，则， 所以， 又，所以当时，， 当时，， 综上所述. 【解析】 【分析】（1）当时，通过求导证明从而得到在上单调递增，再根据即可求出； （2）根据的零点为，将代入中，两式作差得到，令，通过求导证明在上单调递增，即可证明，即可证明为递增数列； （3）令，通过求导证明，进而得到，即，通过放缩得到时， ，即可证明. 【小问1详解】 当时，的定义域为， 因，则此时在上单调递增， 又， 所以在内的唯一零点为，所以. 【小问2详解】 证明略；中的最小项为. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春绵阳东辰中学高2024级第二学月考试 数学 总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：邓波 审题人：乔胜玉 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知函数的导函数的图象如图所示，则该函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 6 B. 7 C. 12 D. 13 3. 已知数列，则该数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 4. 曲线在处的切线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 5. 给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（ ） A. 320 B. 630 C. 720 D. 1560 6. 函数的图象关于点(1,0)对称，当时，成立，若，则的大小关系是 A. B. C. D. 7. 定义:对于正整数a，b，若它们除以正整数m所得的余数相等，则称a与b对于模m同余或a同余于b模m，记作.已知正整数t满足，将符合条件的所有t的值按从小到大的顺序排列，构成数列.设数列的前n项和为，则的最小值为（ ） A. B. C. 16 D. 8. 已知函数的四个零点，恰好成递增的等差数列，则m的值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 武当太极拳又称武当内家拳，是我国的一项传统武术拳种，修习太极拳可以养生祛病、强身健体、延年益寿.若张爷爷早上带着孙子小张在健身广场练习武当太极拳十三式，张爷爷按照拳法顺序从第一式打到第十三式，每种招式打一遍，小张随机打了十三式，则（ ） A. 若招式可以重复，则小张练习的可能情况数为13! B. 若招式不可重复，则小张练习的可能情况数为13! C. 若招式可以重复，小张仅有第一式与爷爷相同的可能情况数为12! D. 若招式不可重复，小张和爷爷恰有三种招式顺序不同的概率为 10. 已知数列满足是公差为-2的等差数列，是首项为8的等比数列，且，则（ ） A. B. 与都是递减数列 C. 的前项和有最大值 D. 的前项积有最大值 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 和的图象不存在公切线 B. 在上是增函数 C. 若恒成立，则整数的最大值为2 D. 若，且，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是增函数，则实数a的取值范围是________． 13. 勒让德猜想是数论中最著名的猜想之一，内容如下：对于任意正整数，存在质数，满足，我们把区间称为正整数的质数分布区间．现从集合中任取两个元素，则它们在其质数分布区间上的质数个数之和为5的选取方案有_________种．（用数字作答） 14. 已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，即第一项，接下来的两项，，再接下来的三项，，，…，以此类推，若该数列的前（）项和为2的整数幂，则符合条件的的最小值为______. 四、解答题：本题共5小题，共60分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最小值. 16. 记为等差数列的前项和，已知． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 17. 已知函数（为自然对数的底数）． （1）讨论的单调性； （2）若有最小值，证明：． 18. 已知函数的定义域为R，导函数. （1）求的单调区间； （2）已知. （i）比较与的大小关系，并说明理由； （ii）曲线在处的切线与直线交于点，在处的切线与直线交于点，比较与的大小关系，并说明理由. 19. 已知函数，，设的零点为. （1）求的值； （2）证明：为单调数列，并求中的最小项； （3）证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $