4.5相似多边形与图形的位似（讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦相似多边形与位似图形核心知识点，从相似多边形定义（各角相等、各边成比例）、判定（双条件缺一不可）、性质（周长比等于相似比，面积比等于相似比平方），到特殊相似的位似图形（对应顶点连线交于中心、对应边平行）及坐标变换规律，构建基础到应用的学习支架。 资料通过“随学随练”“题型分类”强化理解，如矩形相似判定实例培养数学眼光，位似坐标公式推导发展推理意识，实际缩放问题提升应用意识。课中辅助分层教学，课后助力查漏补缺，结构清晰实用。

第4章 相似三角形 4.5相似多边形与图形的位似 课标要点 1. 掌握相似多边形定义：各角分别相等、各边成比例；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 2. 明晰位似属于特殊相似，位似图形不仅满足相似性质，对应顶点连线交于同一位似中心，对应边互相平行。 3. 会依据位似中心、相似比放大或缩小图形，能在平面直角坐标系中根据坐标规律写出位似变换后的点坐标。 4. 分清相似和位似区别：位似一定相似，相似未必位似；位似自带位置关系，可实现图形缩放作图。 5. 能运用位似知识解决实际缩放绘图、测量估算问题，熟练区分周长、面积的缩放倍数差异。 学习重难点 重点： 牢记相似多边形性质，周长比等于相似比，面积比为相似比的平方，熟练进行换算计算。 理解位似图形的特征，对应顶点连线交于位似中心、对应边平行，掌握位似和相似的从属关系。 掌握平面直角坐标系中位似坐标变化规律，能依照相似比画出放大、缩小后的图形。 难点： 区分相似多边形与位似图形，理清二者联系与差异，辨别普通相似图形不具备位似位置特点。 位似中心位置多变（原点、坐标轴上、图形内外），容易混淆坐标正负缩放规律，计算时常出错。 综合题型里结合面积、周长换算，容易误用面积比直接当作相似比列式计算。 知识点 相似多边形的定义与判定 定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。 判定：依据定义判定：同时满足“对应角相等”、“对应边成比例”两个条件的多边形是相似多边形。 特殊结论：所有边数相等的正多边形都相似（正多边形各角相等、各边相等，天然满足相似多边形定义） 特别提醒 不存在“角相等的多边形一定相似”或“边成比例的多边形一定相似”的结论，例如所有矩形对应角都相等，但边不一定成比例，因此矩形不一定相似；所有菱形对应边成比例，但角不一定相等，因此菱形不一定相似。 随学随练 1．下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 2．现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 3．下列图形中有可能与图相似的是（    ） A．B． C． D． 4．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 5．下列各组多边形中，一定相似的是___________（填序号）． ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形． 知识点 相似多边形的性质 1. 相似多边形的对应角相等，对应边成比例； 2. 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 特别提醒 性质应用时必须明确“对应”关系，只有对应角才相等，对应边才成比例；计算面积比时不要遗漏平方运算。 随学随练 1．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．若两个相似矩形的周长比是，则这两个相似矩形的面积比是（   ） A． B． C． D． 3．两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 4．如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 5．如图，四边形四边形，则的度数是 ______． 知识点 位似图形的定义 如果两个相似图形的对应顶点连线相交于一点，并且对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时两个图形的相似比又叫做位似比。 特别提醒 位似图形首先是相似图形，满足相似图形的所有性质；对应顶点连线必须交于同一点，这是判断位似的核心条件，仅仅相似、对应边平行不能直接判定为位似。 随学随练 1．下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C． D． 2．下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 3．下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 4．视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 知识点 位似图形的性质 1. 位似图形一定是相似图形，对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于位似比； 2. 位似图形对应顶点的连线都经过位似中心，对应点到位似中心的距离之比等于位似比； 3. 位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。 特别提醒 位似中心的位置可以在图形内部、图形外部，也可以在图形的边上或顶点上；两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧。 随学随练 1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 2．如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 3．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 4．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为_____． 5．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 拓展位似中心位置分类与坐标规律探究 在平面直角坐标系中探究位似变换的坐标规律时，多数基础结论仅针对位似中心在原点的情况，本拓展可进一步归纳不同位置位似中心的坐标变换规律：设位似中心为，位似比为k，原图形任意一点坐标为A(x,y)，变换后对应点为A'(x',y')，可推导出通用坐标公式：从这个公式可以得到两类规律： 1. 位似比符号的几何意义：当(k>0)时，对应点和位似中心在同侧，图形同向位似；当(k<0)时，对应点和位似中心在异侧，图形反向位似，(|k|)仍为位似图形的相似比； 2. 特殊位置简化结论：若位似中心在x轴上，公式简化为，；若位似中心在顶点，则对应顶点坐标满足，可快速计算缩放后其余顶点坐标。 这个拓展点落实了逻辑推理素养，从特殊结论推导通用规律，理解位似变换作为“以定点为中心的缩放变换”本质，避免死记硬背原点位似结论，提升坐标变换的迁移应用能力。 活学活用 1．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，将线段放大，得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大得到，且，若点的坐标是，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 题型相似多边形的判定与识别 解题贴士 判定相似多边形必须同时满足两个条件：①所有对应角相等；②所有对应边成比例，二者缺一不可。特殊多边形中，所有正n边形都相似（对应角相等，对应边比等于边长比）；矩形对应角都相等但对应边不一定成比例，因此矩形不一定相似；菱形对应边成比例但对应角不一定相等，因此菱形不一定相似；所有正方形都相似。 ▌例1如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 ▌例2．下列图形一定相似的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个直角三角形 C．两个矩形 D．两个菱形 ▌对点练1-1下列图形中，阴影部分的多边形与原多边形相似的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（    ）    A．三个矩形都不相似 B．乙与丙 C．甲与乙 D．甲与丙 题型 相似多边形的性质求边长、角度 解题贴士 ①首先准确找出对应边，只有对应边才满足比例关系，不要混淆不对应边的比例；②相似多边形的对应边之比等于相似比，周长之比也等于相似比，因此已知周长比可以直接转化为相似比，再列比例式（k为相似比）求解未知边长；③注意相似比的顺序，相似比是第一个多边形对应边比第二个多边形对应边，顺序改变后相似比变为倒数，计算时不要颠倒。 ▌例1．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． ▌例2．如图，以点为位似中心的与的相似比为．若的长为6，则的长为（   ） A．9 B．6 C．3 D．2 ▌对点练1-1．五边形∽五边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，这两个四边形相似，则的度数是______． ▌对点练1-3．已知五边形五边形，，则的度数为______ 题型 相似多边形的性质求周长、面积 解题贴士 ①核心关系记清：周长比 = 相似比，面积比 = (相似比)2，不能将面积比错误记为等于相似比； ②已知面积比求相似比/周长比时，需要对面积比开平方，不要直接将面积比当作相似比使用； ③若已知两个相似多边形的周长和为C、周长比为k，可设两个多边形周长分别为、，列方程求解；面积问题同理，面积分别为、，结合和差关系列方程计算即可。 ▌例1两个相似多边形的相似比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（     ） A．60 B．40 C．36 D．16 ▌例2如图，已知五边形，以点为位似中心画出五边形，使五边形与五边形位似，相似比为．若五边形的周长为，则五边形的周长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 ▌对点练1-1如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，四边形的周长是1，则四边形的周长是（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 ▌对点练1-2如图所示，若四边形四边形，，，四边形的面积是，则四边形的面积是___________． ▌对点练1-3如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的面积是_____．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是_____． 题型 判断两个图形是否位似 解题贴士 先判断两个图形是否相似，再验证对应点的连线是否经过同一点，对应边是否互相平行（或共线），三个条件同时满足才是位似图形，缺一不可 ▌例1下列各组的两个图形中，不是位似的为（    ） A． B． C． D． ▌例2下列图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． ▌对点练1-1观察下列各组图形，其中属于位似图形的是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-3下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 题型 确定位似中心 解题贴士 连接两组对应点，得到两条直线，两条直线的交点就是位似中心；注意位似中心可在图形外、图形上、图形内部多个位置。 ▌例1如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 ▌例2如如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 ▌对点练1-1在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 ▌对点练1-2如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 ▌对点练1-3如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 题型 画位似图形，确定位似比 解题贴士 先找准位似中心，依据位似比算出对应顶点的缩放长度，顺着中心与顶点的连线截取新端点，依次连线就能画出位似图形。 位似比大于 1 图形放大，小于 1 图形缩小，前后图形形状始终保持一致。 ▌例1如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 ▌例2总结画位似图形的一般步骤： （1）确定______； （2）分别连接并延长______和能代表原图的关键点； （3）根据______，确定能代表所作的位似图形的关键点； （4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． ▌对点练1-1如图，在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； (2)写出各顶点的坐标． ▌对点练1-2如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点、、、均为网格线的交点． (1)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的相似比为． (2)的面积为_____． 题型 根据位似变换求点的坐标 解题贴士 先确认位似中心是否为原点：若位似中心为原点，位似比为k，则对应点坐标的比等于k或-k，直接将原坐标乘以k（或-k）得到新坐标；若位似中心不是原点，需要先根据位似的定义和相似关系，结合坐标系中点的平移规律计算对应坐标。 ▌例1在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 ▌例2如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，在中，三个顶点的坐标分别是．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_________． ▌对点练1-3如图，平面直角坐标系中，点，，，以原点O为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，则点C的对应点的坐标为 _____． 题型 求位似比、周长比或面积比 解题贴士 1. 位似图形属于相似图形，位似比就是相似比，直接等于对应边长的比值。 2. 周长比永远和位似比相等，套用数值直接换算即可。 3. 面积比是位似比的平方，切记不要和周长比混淆。 4. 看清图形放大还是缩小，区分前后顺序，避免比值颠倒出错。 ▌例1如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． ▌例2如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若的面积为4，则的面积为（     ）    A．12 B．18 C．36 D．48 ▌对点练1-1如图，与是位似图形，其位似中心为点O，且，若的周长为4，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．36 ▌对点练1-2如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． ▌对点练1-3在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，则与的面积比为______． 基础通关 1．下列图形中，一定是相似图形的是（   ）． A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个三角形 D．两个正方形 2．如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（     ） A． B． C． D． 3．如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影多边形与原正多边形相似的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．如图，四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的周长比是（ ） A． B． C． D． 6．如图，与位似，点为位似中心，若，则（     ） A． B． C． D． 7．2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（     ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似 8．如图，与是位似图形，且位似中心为点O，，则等于（     ） A． B． C． D． 9．如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，若与位似，位似中心为点O，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 10．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 11．如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 12．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若为的中点，则与的面积比是___________． 13．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 14．在的网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 15．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 素养提升 1．如图，四边形与四边形是以点为位似中心的位似图形，且四边形与四边形的周长之比为，则为（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 3．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，若，四边形的面积是100，则四边形的面积是（    ） A．4 B．16 C． D． 4．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 5．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 6．在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把按相似比为2放大得到，则的顶点的坐标为________． 7．如图，平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为坐标原点．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 8．如图所示，已知，，． (1)求证：四边形与四边形位似． (2)若，，求． 9．如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列任务． (1)作图：以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到． (2)以点O为位似中心，在网格内作的位似图形，使与的位似比为． (3)的面积为______． 10．如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画出三角形，使它与的相似比为； (2)直接写出的外心坐标． 迁移创新 1．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． (1)阿明在学习了特殊四边形后，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． ①两个大小不同的菱形相似．（ 命题） ②两个大小不同的长方形相似．（ 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图1，在四边形和四边形中，，，．求证：四边形与四边形相似． (3)如图2，四边形中，．与相交于点，过点作分别交．于点，．若四边形与四边形相似，求证：． 2．平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形是平行四边形，． 【初步感知】 (1)如图1，连接，，则 度； 【变化探寻】 (2)如图2，，，固定点，当为何值时，在移动点的过程中，始终有与相等． 【深入探究】 (3)如图3，固定点，若移动点到点，则点随之移动到点． ①判断线段与的位置关系与数量关系，并说明理由； ②在点处安装一支描图针，在点处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形，求图形的面积．（用含的代数式表示） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 相似三角形 4.5相似多边形与图形的位似 课标要点 1. 掌握相似多边形定义：各角分别相等、各边成比例；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 2. 明晰位似属于特殊相似，位似图形不仅满足相似性质，对应顶点连线交于同一位似中心，对应边互相平行。 3. 会依据位似中心、相似比放大或缩小图形，能在平面直角坐标系中根据坐标规律写出位似变换后的点坐标。 4. 分清相似和位似区别：位似一定相似，相似未必位似；位似自带位置关系，可实现图形缩放作图。 5. 能运用位似知识解决实际缩放绘图、测量估算问题，熟练区分周长、面积的缩放倍数差异。 学习重难点 重点： 牢记相似多边形性质，周长比等于相似比，面积比为相似比的平方，熟练进行换算计算。 理解位似图形的特征，对应顶点连线交于位似中心、对应边平行，掌握位似和相似的从属关系。 掌握平面直角坐标系中位似坐标变化规律，能依照相似比画出放大、缩小后的图形。 难点： 区分相似多边形与位似图形，理清二者联系与差异，辨别普通相似图形不具备位似位置特点。 位似中心位置多变（原点、坐标轴上、图形内外），容易混淆坐标正负缩放规律，计算时常出错。 综合题型里结合面积、周长换算，容易误用面积比直接当作相似比列式计算。 知识点 相似多边形的定义与判定 定义：各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比。 判定：依据定义判定：同时满足“对应角相等”、“对应边成比例”两个条件的多边形是相似多边形。 特殊结论：所有边数相等的正多边形都相似（正多边形各角相等、各边相等，天然满足相似多边形定义） 特别提醒 不存在“角相等的多边形一定相似”或“边成比例的多边形一定相似”的结论，例如所有矩形对应角都相等，但边不一定成比例，因此矩形不一定相似；所有菱形对应边成比例，但角不一定相等，因此菱形不一定相似。 随学随练 1．下列每个选项中的两个图形一定相似的是（   ） A．两个等腰三角形 B．两个正方形 C．两个矩形 D．两个平行四边形 【答案】B 【分析】本题考查相似图形的判定，需依据相似图形“对应角相等、对应边成比例”的定义逐项分析判断． 【详解】解： ∵相似图形的定义为对应角相等且对应边成比例． A选项：两个等腰三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． B选项：两个正方形的每个内角均为，对应角相等，且各边都相等，对应边的比为定值， ∴一定相似． C选项：两个矩形的对应角相等，但对应边不一定成比例， ∴不一定相似． D选项：两个平行四边形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例， ∴不一定相似． 故选：B． 2．现有甲、乙、丙三个矩形，矩形甲的一组邻边长为4与9，矩形乙的一组邻边长为3与2，矩形丙的一组邻边长为与2，那么三个矩形间相似关系判断正确的是（   ）． A．甲、乙相似 B．乙、丙相似 C．丙、甲相似 D．甲、乙、丙都不相似 【答案】C 【分析】本题考查相似多边形的判定，掌握好相关知识是关键． 判断矩形相似需比较长宽比是否相等，通过计算各矩形的长宽比进行判断． 【详解】解：矩形甲的长宽比为，矩形乙的长宽比为，矩形丙的长宽比为， ∵，且矩形各内角都是， ∴甲、丙相似，和乙不相似． 故选：C． 3．下列图形中有可能与图相似的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似图形的定义直接得到答案即可． 此题考查了相似图形的定义，解题的关键是能够了解相似图形的定义：对应角相等，对应边的比也相等的多边形是相似形． 【详解】解：原图为四边形，与之相似的只可能是四边形， 故选：B． 4．如图，有三个矩形，其中是相似图形的是________． 【答案】甲和丙 【分析】本题主要考查相似图形的判断，特别是矩形的相似条件． 根据题干信息，分别计算每个矩形长与宽的比值，若比值相等，则矩形相似． 【详解】解：由题图可知，甲、乙、丙都是矩形， 每个内角都为． 甲和乙不相似． 甲和丙相似． 乙和丙不相似 故答案为：甲和丙． 5．下列各组多边形中，一定相似的是___________（填序号）． ①两个正方形；②两个菱形；③两个矩形；④两个正五边形；⑤两个等腰梯形． 【答案】①④/④① 【分析】根据相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，它们的各角对应相等，且各边对应成比例．对各选项分析判断后利用排除法解答．本题考查了相似多边形的定义，解题的关键是熟练掌握相似多边形的定义，从而完成求解． 【详解】解：①两个正方形的四个角对应相等，四条边也对应成比例，故一定相似； ②两个菱形的内角不一定相等，故不一定相似； ③两个矩形的对应边不一定成比例，故不一定相似； ④两个正五边形的每个角都为，各边长度也都对应成比例，故一定相似； ⑤两个等腰梯形同一底上的角不一定相等，对应边不一定成比例，故不一定相似； 故答案为：①④ 知识点 相似多边形的性质 1. 相似多边形的对应角相等，对应边成比例； 2. 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 特别提醒 性质应用时必须明确“对应”关系，只有对应角才相等，对应边才成比例；计算面积比时不要遗漏平方运算。 随学随练 1．如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵， ∴． 2．若两个相似矩形的周长比是，则这两个相似矩形的面积比是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，利用相似多边形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：∵两个相似矩形的周长比是， ∴它们的相似比为， 又∵相似多边形的面积比等于相似比的平方， ∴这两个相似矩形的面积比是， 故选：D． 3．两个相似多边形的面积之比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（    ） A．60 B．40 C．36 D．16 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的性质． 利用相似多边形面积比与相似比的关系求出周长比，再结合周长差列方程求解即可． 【详解】解：∵相似多边形的面积比等于相似比的平方，且两个相似多边形的面积之比为， ∴它们的相似比为． ∵相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为． 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴， 解得， ∴较大多边形的周长为． 故选：A． 4．如图，矩形中，，，点E，F分别在，上，若矩形矩形，则的长为____． 【答案】 【分析】根据相似多边形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵矩形矩形， ∴， 由矩形的性质可知，， ∴， ∴． 5．如图，四边形四边形，则的度数是 ______． 【答案】 【分析】根据相似多边形的对应角相等求出的度数，进而根据四边形的内角和求出即可． 【详解】解：四边形四边形， ， ． 知识点 位似图形的定义 如果两个相似图形的对应顶点连线相交于一点，并且对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心，这时两个图形的相似比又叫做位似比。 特别提醒 位似图形首先是相似图形，满足相似图形的所有性质；对应顶点连线必须交于同一点，这是判断位似的核心条件，仅仅相似、对应边平行不能直接判定为位似。 随学随练 1．下列选项中属于位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的定义，对应边互相平行（或共线）且每对对应顶点所在的直线都经过同一点的两个相似多边形叫做位似图形． 根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：A、不属于位似图形，故本选项不符合题意； B、属于位似图形，故本选项符合题意； C、不属于位似图形，故本选项不符合题意； D、不属于位似图形，故本选项不符合题意； 故选：B 2．下列图形中是位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个三角形是相似三角形，是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； D、对应点连线不交于一点，不是位似图形，不符合题意； 故选：B． 3．下列图形变化属于位似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是位似图形，两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似图形的定义判断即可． 【详解】解：选项A的图形属于位似图形，符合题意； 选项B、C、D的图形都不属于位似图形，不符合题意； 故选：A． 4．视力表用来测试一个人的视力，如图是视力表的一部分，图中的“  ”均是相似图形，其中不是位似图形的是（    ）    A．①和② B．②和③ C．①和④ D．②和④ 【答案】B 【分析】位似图形必须同时满足两个条件：（1）两个图形是相似图形；（2）两个相似图形每组对应点连线所在的直线都经过同一个点，对应边互相平行（或共线），据此逐项判断即可得． 【详解】解：A、①和②是位似图形，则此项不符合题意； B、②和③对应点的连线不在同一个点，不是位似图形，则此项符合题意； C、①和④是位似图形，则此项不符合题意； D、②和④是位似图形，则此项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了位似图形，熟记定义是解题关键． 知识点 位似图形的性质 1. 位似图形一定是相似图形，对应角相等，对应边成比例，对应线段的比等于位似比； 2. 位似图形对应顶点的连线都经过位似中心，对应点到位似中心的距离之比等于位似比； 3. 位似图形的周长比等于位似比，面积比等于位似比的平方。 特别提醒 位似中心的位置可以在图形内部、图形外部，也可以在图形的边上或顶点上；两个位似图形可能位于位似中心的两侧，也可能位于位似中心的同侧。 随学随练 1．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法不正确的是（     ） A． B．点A，O，三点在同一条直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似的性质对各选项进行判断后即可解答．本题考查了位似变换：如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心．位似的性质：两个图形必须是相似形；对应点的连线都经过同一点；对应边平行（或共线）． 【详解】解：∵以点O为位似中心，把的各边长放大为原来的2倍得到， ∴，，，点A，O，三点在同一条直线上． ∴， 综上，只有选项C错误，符合题意． 2．如图所示格点图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在格点上，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点C的对应点的坐标为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分两种情况：点C的对应点在第一象限和点C的对应点在第三象限，根据所给的相似比求解即可． 【详解】解：∵，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小， ∴当点C的对应点在第一象限时，点的坐标为，即， 当点C的对应点在第三象限时，点的坐标为，即， 综上所述，点C的对应点的坐标为或． 3．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的面积比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据位似图形的性质可得，相似比为，根据相似图形的面积比等于相似比的平方即可得出答案． 【详解】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形，， ∴，相似比为， ∴四边形与四边形的面积比为． 4．如图，线段两个端点的坐标分别为，，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段，则端点D的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质，对应点的坐标之比等于位似比，确定位似中心为原点，位似比为，且点对应点，利用坐标运算求解． 【详解】解： 以原点为位似中心，在第一象限内将线段缩小为原来的后得到线段 ∴点与点是对应点，且位似比为 ∴点的横、纵坐标分别为点横、纵坐标的 ∵ ∴点的横坐标为，纵坐标为 ∴． 5．如图，与是位似图形，且位似中心为O，，若的周长为4，则的周长为________． 【答案】6 【分析】根据位似图形的性质得到，且相似比为，再根据相似三角形的周长之比等于相似比即可得到答案． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为O， ∴，且相似比为， ∴的周长与的周长之比为， ∵的周长为4， ∴的周长为6． 拓展位似中心位置分类与坐标规律探究 在平面直角坐标系中探究位似变换的坐标规律时，多数基础结论仅针对位似中心在原点的情况，本拓展可进一步归纳不同位置位似中心的坐标变换规律：设位似中心为，位似比为k，原图形任意一点坐标为A(x,y)，变换后对应点为A'(x',y')，可推导出通用坐标公式：从这个公式可以得到两类规律： 1. 位似比符号的几何意义：当(k>0)时，对应点和位似中心在同侧，图形同向位似；当(k<0)时，对应点和位似中心在异侧，图形反向位似，(|k|)仍为位似图形的相似比； 2. 特殊位置简化结论：若位似中心在x轴上，公式简化为，；若位似中心在顶点，则对应顶点坐标满足，可快速计算缩放后其余顶点坐标。 这个拓展点落实了逻辑推理素养，从特殊结论推导通用规律，理解位似变换作为“以定点为中心的缩放变换”本质，避免死记硬背原点位似结论，提升坐标变换的迁移应用能力。 活学活用 1．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．点B的坐标是，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作轴于点，轴于点，证明， 然后根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点，轴于点，   ∴， ∵以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，且把的边长放大到原来的2倍， ∴点在一条直线上， ， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵点B的坐标是，点的坐标是， ∴， ， ∴，， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是． 2．如图，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，将线段放大，得到线段，若点的对应点的坐标是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了位似图形的性质，根据位似图形的性质，将的横纵坐标乘以，即可得出答案． 【详解】解：∵，两点的坐标分别为，．以原点为位似中心，将线段放大，得到线段，若点的对应点的坐标是， ∴的对应点的坐标是， 故选：D． 3．如图，在平面直角坐标系中，以原点为位似中心，将扩大得到，且，若点的坐标是，则点的坐标是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查利用位似求坐标，掌握位似比与相似比的关系以及位似图形对应点的坐标与位似比的关系是解决问题的关键．根据位似定义，结合图象直接求解即可得出结论． 【详解】解：如图所示，， 又∵， ， ， ，即， 故选：C． 题型相似多边形的判定与识别 解题贴士 判定相似多边形必须同时满足两个条件：①所有对应角相等；②所有对应边成比例，二者缺一不可。特殊多边形中，所有正n边形都相似（对应角相等，对应边比等于边长比）；矩形对应角都相等但对应边不一定成比例，因此矩形不一定相似；菱形对应边成比例但对应角不一定相等，因此菱形不一定相似；所有正方形都相似。 ▌例1如图，下列三个矩形相似的是（     ） A．甲和乙 B．甲和丙 C．乙和丙 D．甲、乙、丙 【答案】B 【分析】根据相似图形对应边成比例即可解答． 【详解】解：∵， ∴甲和乙不相似； ∵，且甲和丙都是矩形，四个角都相等， ∴甲和丙相似； ∵， ∴乙和丙不相似； 故选：B． ▌例2．下列图形一定相似的是（    ） A．两个等边三角形 B．两个直角三角形 C．两个矩形 D．两个菱形 【答案】A 【分析】本题考查相似多边形的定义，掌握知识点是解题的关键． 根据相似图形的定义（对应角相等、对应边成比例的图形相似），结合各选项图形的性质逐一分析判断即可． 【详解】解：相似图形需满足对应角相等且对应边成比例， A选项：∵等边三角形的三个内角均为，且各边长度相等， ∴任意两个等边三角形对应角相等，对应边的比值为定值， ∴两个等边三角形一定相似，该项正确； B选项：∵两个直角三角形仅直角相等，另外两个锐角不一定相等，对应边也未必成比例， ∴两个直角三角形不一定相似，该项错误； C选项：∵两个矩形的对应角均为，但对应边的比值不一定相等， ∴两个矩形不一定相似，该项错误； D选项：∵两个菱形的对应边成比例，但对应角不一定相等， ∴两个菱形不一定相似，该项错误； 故选A． ▌对点练1-1下列图形中，阴影部分的多边形与原多边形相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似多边形的判定，掌握相似多边形的判定方法是解题的关键． 根据相似多边形的定义逐项进行判断即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意； B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； 故选：A． ▌对点练1-2．如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（    ）    A．三个矩形都不相似 B．乙与丙 C．甲与乙 D．甲与丙 【答案】D 【分析】本题主要考查相似多边形的判定，根据图形得到对应边的比值，进而问题可求解． 【详解】解：甲图矩形的长宽之比为，乙图矩形的长宽之比为，丙图矩形的长宽之比为， ∴甲与丙是相似矩形； 故选D． 题型 相似多边形的性质求边长、角度 解题贴士 ①首先准确找出对应边，只有对应边才满足比例关系，不要混淆不对应边的比例；②相似多边形的对应边之比等于相似比，周长之比也等于相似比，因此已知周长比可以直接转化为相似比，再列比例式（k为相似比）求解未知边长；③注意相似比的顺序，相似比是第一个多边形对应边比第二个多边形对应边，顺序改变后相似比变为倒数，计算时不要颠倒。 ▌例1．小明用投影仪将平板电脑屏幕的画面投屏到墙上，画面形状保持不变．已知该平板电脑屏幕的画面是相邻两边长之比为∶的矩形．若墙上投影画面的短边长为，则投影画面的长边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】投屏后形状不变，投影矩形与原屏幕矩形是相似图形，对应边成比例，根据原矩形边长比列比例式即可求出投影长边长． 【详解】解：∵投屏后画面形状保持不变， ∴投影矩形与原屏幕矩形相似，对应边成比例， ∵原矩形相邻两边长之比为，即长边短边，设投影长边长为， 可得， 解得， 即投影画面长边长为 ▌例2．如图，以点为位似中心的与的相似比为．若的长为6，则的长为（   ） A．9 B．6 C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质，解题的关键是利用位似比等于对应点到位似中心的距离比． 根据位似比得到，代入求解的长度． 【详解】解：∵与是以点为位似中心的位似图形，且相似比为， ∴， ∵， ∴， 解得． 故选：A． ▌对点练1-1．五边形∽五边形，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多边形内角和，相似多边形的性质． 根据相似五边形的对应角相等，且五边形内角和为，通过计算未知角即可得解． 【详解】解：∵五边形∽五边形， ∴． ∵五边形内角和为，， ∴， ∴． 故选：B． ▌对点练1-2如图，这两个四边形相似，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查了相似图形的性质，多边形内角和．根据相似图形的性质可知左图第四个角的度数，根据多边形内角和求出四边形内角和，进而可求的度数． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， 故答案为：． ▌对点练1-3．已知五边形五边形，，则的度数为______ 【答案】 【分析】本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应角相等的性质即可求解的度数． 【详解】解：∵五边形五边形． ∴根据相似多边形的性质，对应角相等，即． 又∵． ∴． 故答案为：． 题型 相似多边形的性质求周长、面积 解题贴士 ①核心关系记清：周长比 = 相似比，面积比 = (相似比)2，不能将面积比错误记为等于相似比； ②已知面积比求相似比/周长比时，需要对面积比开平方，不要直接将面积比当作相似比使用； ③若已知两个相似多边形的周长和为C、周长比为k，可设两个多边形周长分别为、，列方程求解；面积问题同理，面积分别为、，结合和差关系列方程计算即可。 ▌例1两个相似多边形的相似比为，且它们的周长之差为20，则较大多边形的周长为（     ） A．60 B．40 C．36 D．16 【答案】A 【分析】利用相似多边形周长比等于相似比得到两个多边形的周长比，再结合周长差列方程求解即可． 【详解】解：∵两个相似多边形的相似比为，相似多边形的周长比等于相似比， ∴它们的周长比为， 设较大多边形的周长为，较小多边形的周长为， ∵它们的周长之差为20， ∴， 解得， ∴较大多边形的周长为， 故选：A． ▌例2如图，已知五边形，以点为位似中心画出五边形，使五边形与五边形位似，相似比为．若五边形的周长为，则五边形的周长为（　　） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】本题考查了相似多边形的性质，求两个位似图形的相似比等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据相似比为，列出式子求解． 【详解】解：设五边形的周长为， ∵五边形，以点为位似中心画出五边形，相似比为， ∴， 即， 故选：D． ▌对点练1-1如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形，若，四边形的周长是1，则四边形的周长是（   ） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】B 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点为位似中心的位似图形， ，． ∴． ∴． ∴四边形的周长∶四边形的周长． ∵四边形的周长为1， ∴四边形的周长为3． 故选：B． ▌对点练1-2如图所示，若四边形四边形，，，四边形的面积是，则四边形的面积是___________． 【答案】18 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，相似多边形面积的比等于相似比的平方，熟练掌握相似图形的性质是解题的关键． 由，可得四边形与四边形的面积比等于，已知四边形的面积是，代入即可求解． 【详解】解：∵四边形四边形， ∴，即， ∴， 故答案为：18． ▌对点练1-3如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，四边形的面积是_____．若四边形与四边形相似，则四边形的面积是_____． 【答案】 【分析】连接BD，由勾股定理分别求出AB、AD的长，由勾股定理的逆定理得出△ABD为等腰直角三角形，继而由，利用面积公式进行计算即可得 四边形的面积；由相似的性质可得出，代入值即可得出四边形的面积． 【详解】连接BD，如图， 由图可知，，，，， ∵， ∴ △ABD为等腰直角三角形， ∴ ，， ∴； ∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， 由（1）求得， ∴； 故答案为：； 【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，相似三角形的性质，能灵活运用相关定理和性质进行推理和计算是解题的关键．相似三角形对应线段（对应高、对应中线、对应角平分线）的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方． 题型 判断两个图形是否位似 解题贴士 先判断两个图形是否相似，再验证对应点的连线是否经过同一点，对应边是否互相平行（或共线），三个条件同时满足才是位似图形，缺一不可 ▌例1下列各组的两个图形中，不是位似的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的概念，熟练掌握位似图形的概念是解题的关键． 根据位似图形的概念判断即可． 【详解】解：如果两个相似多边形，它们的对应顶点所在的直线相交于一点，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫做位似中心．按照定义可判断选项A、C、D的图形都是位似图形，均不符合题意． 故选：B． ▌例2下列图形中，不是位似图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了位似图形，正确把握位似图形的定义是解题关键．根据位似图形的定义，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，根据位似图形的定义逐项判断即可得出答案． 【详解】解：、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、是位似图形，故本选项不符合题意； 、不是位似图形，故本选项符合题意． 故选：． ▌对点练1-1观察下列各组图形，其中属于位似图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了位似图形的识别，对应点连线交于一点的两个相似图形是位似图形，据此求解即可． 【详解】解：A、两个图形不相似，故不是位似图形，不符合题意； B、对应点连线交于一点，且两个图形是相似图形，故是位似图形，符合题意； C、对应点连线不交于一点，故不是位似图形，不符合题意； D、两个图形不是相似图形，故不是位似图形，不符合题意； 故选：B． ▌对点练1-2如图，在正方形网格中，以点为位似中心，的位似图形可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换，如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行，那么这样的两个图形叫做位似图形．根据位似变换的概念判断即可． 【详解】解：∵由网格知，， ∴与是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行， ∴与是位似图形， 故选：C． ▌对点练1-3下列每个选项的两个图形中，不是位似图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似的两图形必须是相似形且对应点的连线都经过同一点、对应边平行或共线是解题的关键． 根据位似图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：选项A、B、D中两个图形中是位似图形；选项C中两个图形中不是位似图形． 故选：C． 题型 确定位似中心 解题贴士 连接两组对应点，得到两条直线，两条直线的交点就是位似中心；注意位似中心可在图形外、图形上、图形内部多个位置。 ▌例1如图，已知与位似，点A，E，B，D在同一直线上，则其位似中心在（     ） A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质，位似中心是对应顶点连线的交点. 观察图形可知两个三角形位于直线异侧，属于反向位似，确定对应点后即可判断位似中心的位置． 【详解】解：∵与 位似， ∴对应顶点的连线相交于一点，该点即为位似中心， 由图可知，与分别位于直线的两侧，属于反向位似， ∴点与点是对应点，点与点是对应点，点与点是对应点， ∵反向位似图形的位似中心位于对应点之间， ∴位似中心在线段上，且在线段上， ∵点在同一直线上，且顺序为， ∴位似中心在线段上． ▌例2如如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（     ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． ▌对点练1-1在如图所示的的方格中，是格点，线段是由线段位似放大得到的，则它们的位似中心可以是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】B 【分析】本题考查位似中心的定义，解题关键是理解“位似中心是对应顶点连线的交点”，通过找到对应顶点并分析其连线的交点来确定答案．需找到线段与线段对应顶点（如A与C、B与D）连线的交点，该交点即为位似中心． 【详解】解：位似中心是位似图形中对应顶点连线的交点， 观察方格图中各点位置，连接A与C、B与D，发现这两条线段的交点为点， 因此位似中心是点． 故选：B． ▌对点练1-2如图，与是位似图形，则位似中心为（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了位似中心，根据位似中心的性质，通过连接，，，三者的连线交点就是位似中心． 【详解】解：与是位似图形， 和是对应点，和是对应点，和是对应点， 连接，，， 可得三者的连线交于点， 则就是位似中心． 故选：A． ▌对点练1-3如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，根据位似变换的定义，找到对应顶点连线的交点即为位似中心，由此即可得解，熟练掌握位似变换的定义是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 题型 画位似图形，确定位似比 解题贴士 先找准位似中心，依据位似比算出对应顶点的缩放长度，顺着中心与顶点的连线截取新端点，依次连线就能画出位似图形。 位似比大于 1 图形放大，小于 1 图形缩小，前后图形形状始终保持一致。 ▌例1如图，在正方形网格中，以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点，则点的对应点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【分析】本题考查了位似变换，掌握位似图形的对应点连线相交于一点以及位似图形的性质是解题的关键．连接并延长，根据位似变换的性质判断即可． 【详解】解：如图所示，连接，，连接并延长， 以点为位似中心，作的位似图形，若点是点的对应点， 位似比为， 点的对应点是． 故选：D ． ▌例2总结画位似图形的一般步骤： （1）确定______； （2）分别连接并延长______和能代表原图的关键点； （3）根据______，确定能代表所作的位似图形的关键点； （4）顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 【答案】 位似中心 位似中心 相似比 【解析】略 ▌对点练1-1如图，在网格图中，已知和点． (1)以点为位似中心，在轴右侧画出，使它与位似，且位似比为； (2)写出各顶点的坐标． 【答案】(1)如图，即为所求． (2)，， 【分析】（1）根据位似图形的性质画图即可； （2）根据位似图形的性质，结合位似比及各点坐标解答即可． 【详解】（1）解：略 （2）解：由网格图可知，，， ∵与位似，点为位似中心， ∴， ∵位似比为，， ∴， ∴，，． ▌对点练1-2如图，在由边长为个单位长度的小正方形组成的网格中，已知点、、、均为网格线的交点． (1)以点为位似中心，在网格中画出的位似图形，使原图形与新图形的相似比为． (2)的面积为_____． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求； (2) 【分析】（1）根据位似图形的性质画出图形即可； （2）利用割补法计算即可求解； 【详解】（1）略 （2）解：， 故答案为：． 题型 根据位似变换求点的坐标 解题贴士 先确认位似中心是否为原点：若位似中心为原点，位似比为k，则对应点坐标的比等于k或-k，直接将原坐标乘以k（或-k）得到新坐标；若位似中心不是原点，需要先根据位似的定义和相似关系，结合坐标系中点的平移规律计算对应坐标。 ▌例1在直角坐标平面上有、两点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段，那么的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查以原点为位似中心的位似变换的坐标规律，在平面直角坐标系中，若位似变换以原点为位似中心，相似比为，则位似图形对应点的坐标等于原坐标乘或，据此计算即可得到结果． 【详解】解：∵已知点，以原点为位似中心把线段缩小到原来的一半，得到线段， ∴相似比，的坐标为或， ∴的坐标为或． ▌例2如图，以点为位似中心，将按相似比缩小，得到，则点的对应点D的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平移，位似比的意义，解答即可； 【详解】解：点为位似中心，将按相似比缩小，得到， 将点向下平移１个单位长度，得到位似中心为，点的对应点为，按相似比缩小，得到对应点， 再将点向上平移１个单位长度就得到点的对应点D的坐标为； ▌对点练1-1如图，已知线段的两个端点坐标分别为，，以原点为位似中心在第一象限内画线段．若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换的相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， 以原点为位似中心， 线段在第一象限内的位似图形为线段， 线段和线段的位似比为， 点的坐标为，即． ▌对点练1-2如图，在中，三个顶点的坐标分别是．以点C为位似中心，在x轴下方作的位似图形，并把的边长放大为原来的2倍，那么点的坐标为_________． 【答案】 【分析】建立以C为坐标原点的新平面直角坐标系，根据位似变换的性质解答即可． 【详解】解：以C为坐标原点建立平面直角坐标系，如图， 则点A在新坐标系中的坐标为，即点A向右平移1个单位，向上平移一个单位， 与以点C为位似中心，在位似中心异侧把的边长放大为原来的2倍， 点A在新坐标系中的横、纵坐标都乘， 点在新坐标系中的坐标为， 则点向左平移1个单位，向下平移一个单位后的坐标为， 即点在原坐标系中的坐标为． ▌对点练1-3如图，平面直角坐标系中，点，，，以原点O为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，则点C的对应点的坐标为 _____． 【答案】或 【详解】解：∵以原点O为位似中心，把缩小为，且与的相似比为，且， ∴点C的对应点的坐标为或，即或． 题型 求位似比、周长比或面积比 解题贴士 1. 位似图形属于相似图形，位似比就是相似比，直接等于对应边长的比值。 2. 周长比永远和位似比相等，套用数值直接换算即可。 3. 面积比是位似比的平方，切记不要和周长比混淆。 4. 看清图形放大还是缩小，区分前后顺序，避免比值颠倒出错。 ▌例1如图，以点为位似中心，作的位似图形，若点B的横坐标是，点B的对应点的横坐标是3，则与的周长之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对应点到位似中心的距离之比等于位似比，位似图形的周长比等于位似比，即可得出结果． 【详解】解：∵点为位似中心，点的横坐标是，点的对应点的横坐标是3， ∴点到位似中心点的水平距离为，点到位似中心点的水平距离为， ∴与的位似比为， ∴与的周长之比为． ▌例2如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点O是位似中心．若的面积为4，则的面积为（     ）    A．12 B．18 C．36 D．48 【答案】C 【分析】由题意可得，，由位似图形的性质可得与相似，相似比为，再由相似三角形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵与位似，原点O是位似中心， ∴与相似，相似比为， ∴， ∵的面积为4， ∴的面积为． ▌对点练1-1如图，与是位似图形，其位似中心为点O，且，若的周长为4，则的周长为（   ） A．8 B．12 C．16 D．36 【答案】B 【分析】根据题意求出位似比，然后根据位似图形的周长比等于相似比可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴与的位似比为， ∵的周长为4， ∴的周长为． ▌对点练1-2如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，．若的长为10，则的长为______． 【答案】16 【分析】根据位似图形的性质得到，再证明即可． 【详解】解：∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，( ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． ▌对点练1-3在平面直角坐标系中，把以原点为位似中心放大，得到．若点和它的对应点的坐标分别为，则与的面积比为______． 【答案】/ 【分析】先根据对应点坐标求出相似比，再计算面积比即可． 【详解】解：以原点为位似中心放大得到， ， 点和对应点的坐标分别为， 与的相似比为， 相似三角形的面积比等于相似比的平方， 与的面积比为 ． 基础通关 1．下列图形中，一定是相似图形的是（   ）． A．两个矩形 B．两个菱形 C．两个三角形 D．两个正方形 【答案】D 【分析】对应角相等，对应边成比例的两个图形是相似图形，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A ：两个矩形对应角都为直角相等，但对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项B ：两个菱形对应边一定成比例，但对应角不一定相等，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项C ：两个三角形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，因此不一定是相似图形，不符合要求； 对于选项D ：两个正方形的所有内角都是，对应角相等，且所有对应边的比值相等，即对应边成比例，因此一定是相似图形，符合要求． 2．如图，王老师利用复印机将一张长为，宽为的矩形等比例缩小，缩小后矩形的长为，则缩小后矩形的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据相似多边形的对应边成比例求出缩小后的宽，再利用矩形面积公式计算即可． 【详解】设缩小后的宽是， ∵缩小前后的两个矩形相似， ∴， 解得， ∴缩小后的宽是， ∴缩小后的矩形的面积为． 3．如图，平行于正多边形一边的直线，将正多边形分割成两部分，则阴影多边形与原正多边形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是相似多边形的判定，根据相似多边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、阴影三角形与原三角形的对应角相等、对应边的比相等，符合相似多边形的定义，符合题意； B、阴影矩形与原矩形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； C、阴影五边形与原五边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； D、阴影六边形与原六边形的对应角相等，但对应边的比不相等，不符合相似多边形的定义，不符合题意； 故选：A． 4．如图，在矩形中，点，分别在，上，四边形是正方形，矩形矩形，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似多边形的性质，正方形和矩形的性质，设，根据相似多边形的性质，列出比例式求出的值，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， 设， 矩形矩形，， ． ， 或（舍弃）， ， 故选：． 5．如图，四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形，若，则四边形与四边形的周长比是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了位似图形，位似图形属于相似多边形，相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边成比例；相似多边形对应对角线的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比；相似多边形中的对应三角形相似，相似比等于多边形的相似比；相似多边形的面积比等于相似比的平方．位似图形周长比为相似比，故四边形与四边形的周长比为． 【详解】解：∵四边形和四边形是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形四边形， ∵， ∴四边形与四边形的相似比为， ∴四边形与四边形的周长比为． 故选：A． 6．如图，与位似，点为位似中心，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵与位似， ∴， ∴， ∴． 7．2026年央视春晚的图标如图所示，其可以看作是由其中一个基本图形经过下面哪种图形变换得到（     ） A．平移 B．翻折 C．旋转 D．位似 【答案】A 【分析】根据平移只改变位置，不改变大小，形状和方向，即可得到结果．翻折、旋转可以改变方向，位似可以改变大小． 【详解】解：可以看作由如下的基本图形经过平移得到． 8．如图，与是位似图形，且位似中心为点O，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似图形的性质，相似三角形的性质，由题意可得，且相似比为，结合相似三角形的性质即可得解，熟练掌握相似三角形的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，且位似中心为点O，， ∴，且相似比为， ∴； 9．如图，方格纸中每个小方格的边长均为1，若与位似，位似中心为点O，则与的周长比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意知，，， ∵与位似，位似中心为点O， ∴与的位似比为， ∴与的周长比为． 10．在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点与成位似关系，则位似中心的坐标为__________． 【答案】 【分析】对应顶点连线的交点即为位似中心，由此可解． 【详解】解：如图，与的交点D即为位似中心，坐标为， 11．如图，和是位似三角形，位似中心为点O，，则和的位似比为________． 【答案】 【详解】解：∵和是位似三角形，位似中心为点O，， ∴和的位似比为． 12．如图，和是以点为位似中心的位似图形，若为的中点，则与的面积比是___________． 【答案】 【详解】解：由和是以点为位似中心的位似图形，可知：， ∵为的中点， ∴， ∴与的面积比是． 13．如图，以的顶点A为位似中心，作的位似图形．若，则______． 【答案】 【分析】根据位似图形的性质可知位似图形一定是相似图形，再根据相似三角形的对应角相等即可求解． 【详解】解：以的顶点为位似中心，作的位似图形． ． ． ． ． 14．在的网格图中，已知和点． (1)以点M为位似中心，位似比为2，画出的位似图形； (2)写出的各顶点坐标． 【答案】(1)如图，即为所求： (2)，， 【分析】（1）连接并延长至点，使，则即为点的对应点，同样的方法作出，的对应点，，从而得到； （2）利用（1）所画图形就可以得到各顶点坐标． 【详解】（1）略 （2）略 15．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均在格点上（网格线的交点）． (1)画出先向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度得到的； (2)以原点为位似中心，在轴的上方画出，使与位似，且位似比为； (3)和关于点位似，直接写出点的坐标为______________． 【答案】(1) 解：如图，即为所求； (2) 解：如图，即为所求； (3) 【分析】（1）利用平移的性质即可解答； （2）利用位似三角形的概念即可解答； （3）连接，，交于点即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图，点即为所求． 可得． 素养提升 1．如图，四边形与四边形是以点为位似中心的位似图形，且四边形与四边形的周长之比为，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据位似图形的性质可知，位似图形一定是相似图形，且相似多边形的周长比等于相似比，对应点到位似中心的距离之比也等于相似比，据此即可求解． 【详解】四边形与四边形是以点为位似中心的位似图形， 四边形 四边形， 四边形与四边形的周长之比为， 四边形与四边形的相似比为， 位似图形对应点到位似中心的距离之比等于相似比， ． 2．如图，四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若四边形的面积为8，则四边形的面积为（   ） A．12 B．18 C．24 D．27 【答案】B 【分析】本题考查位似图形的性质、相似图形的性质，先根据位似图形的性质求得相似比，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，， ∴，， ∵四边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，是相似图形，相似比为， ∴四边形，的面积比为， ∵四边形的面积为8， ∴四边形的面积为， 故选：B． 3．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心，若，四边形的面积是100，则四边形的面积是（    ） A．4 B．16 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了位似图形的性质，比例的性质，相似多边形的性质， 掌握性质，能根据性质求出相似比是解题的关键． 先根据位似的性质得到，四边形与四边形相似，再利用比例的性质得，然后根据相似多边形的面积比等于相似比的平方求解即可； 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心， ， 四边形与四边形相似， ， ， ， ， 解得； 故选：B． 4．如图，以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到，以下说法中错误的是（    ） A． B．点C、点O、点三点在同一直线上 C． D． 【答案】C 【分析】根据位似图形的概念、相似三角形的性质判断即可． 【详解】解：A、以点O为位似中心，把放大为原图形的2倍得到， 则，本选项说法正确，不符合题意； B、与是位似图形， 三点在同一直线上，本选项说法正确，不符合题意； C、，相似比为， ， ，本选项说法错误，符合题意； D、与是位似图形， ，本选项说法正确，不符合题意． 5．如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的面积是4，则的面积是_______． 【答案】 9 【分析】根据位似图形的性质得到，由求出位似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方计算即可． 【详解】解： ， ， 与是以点为位似中心的位似图形， ，， ∴， ∴， ， 的面积是4， ， ． 6．在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，以原点为位似中心，把按相似比为2放大得到，则的顶点的坐标为________． 【答案】或 【分析】以原点为位似中心，相似比为时，位似图形对应点的坐标为原对应点坐标乘以或． 【详解】解：以原点为位似中心，把按相似比为放大得到，点的坐标为， 的坐标为或， 即或． 7．如图，平面直角坐标系中，与是位似图形，位似中心为坐标原点．已知点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据位似三角形的性质求解即可． 【详解】与是位似图形，位似中心为坐标原点，点的对应点为， 位似比为， 点的对应点为点， ，， 点的坐标为． 8．如图所示，已知，，． (1)求证：四边形与四边形位似． (2)若，，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查位似图形的判定与性质、平行线分线段成比例定理，同时运用相似图形面积比等于相似比的平方的性质及线段比例的转化计算，关键是位似图形判定与性质的综合应用． （1）借助已知的各组对应边分别平行的条件，结合平行线分线段成比例定理推导出两个四边形所有对应边的比相等，再结合两四边形对应顶点的连线相交于同一点，依据位似图形的判定定理即可完成证明； （2）先由转化得到，确定四边形与四边形的相似比为4：3，再根据相似图形的面积比等于相似比的平方，结合已知的，通过比例计算即可求出四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴． 又∵四边形与四边形的对应顶点的连线相交于点， ∴四边形与四边形位似． （2）解：∵， ∴， ∴四边形与四边形的相似比为． ∵， ∴． 9．如图，在边长为1的小正方形网格中，的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列任务． (1)作图：以点C为旋转中心，将逆时针旋转得到． (2)以点O为位似中心，在网格内作的位似图形，使与的位似比为． (3)的面积为______． 【答案】(1)解：如图所示，即为所求作的图形． (2)解：如图所示，即为所求作的图形． (3)8 【分析】（1）根据旋转作图的步骤，逐步作图即可； （2）根据位似作图的步骤，逐步作图即可； （3）根据割补法求三角形的面积进行计算求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：∴． 10．如图，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)以原点O为位似中心，画出三角形，使它与的相似比为； (2)直接写出的外心坐标． 【答案】(1)如图，即为所求； (2) 【分析】（1）把A、B、C点的横、纵坐标都乘以得到、、的坐标，然后描点顺次连接即可； （2）作和的垂直平分线得到的外心，再写出它的坐标． 【详解】（1）略 （2）解：如图，的外心为点P，坐标为． 迁移创新 1．根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比． (1)阿明在学习了特殊四边形后，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”）． ①两个大小不同的菱形相似．（ 命题） ②两个大小不同的长方形相似．（ 命题） ③两个大小不同的正方形相似．（ 命题） (2)如图1，在四边形和四边形中，，，．求证：四边形与四边形相似． (3)如图2，四边形中，．与相交于点，过点作分别交．于点，．若四边形与四边形相似，求证：． 【答案】(1)假，假，真 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）依据相似四边形“角分别相等、边成比例”的定义，结合菱形、长方形、正方形的内角与边长比例特性直接判断真假； （2）通过连接对角线构造相似三角形，先证推导出角相等和边的比例关系，再证，最后得四边形对应角分别相等、对应边成比例，即可证明； （3）先由相似四边形得对应边成比例，设公共比值为，推出，再由，得到​，​，两式相除消去和，推出即，可得，解得，故． 【详解】（1）解：①假：菱形边成比例，但内角不一定相等（如菱形和菱形不相似）； ②假：长方形角相等，但边不一定成比例（如和长方形不相似）； ③真：正方形四个角都是，四条边都相等，必然满足“角分别相等、边成比例”； （2）证明：如图1中，连接， ∵，且， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，，， ∴，，，， ， ∴四边形与四边形相似； （3）证明：∵四边形与四边形相似， ∴​， 设这个公共比值为，则，，， ∴， ∵， ∴，， ∴​，​， ∴，即， ∴即， ∴， ∵，， ∴两边同除以得，， ∴， ∴． 2．平行四边形连杆是机械结构中常见的一种部件．这种连杆在移动时，两对边始终保持平行且连杆的长度保持不变，能方便地进行往复运动．如图，四边形是平行四边形，． 【初步感知】 (1)如图1，连接，，则 度； 【变化探寻】 (2)如图2，，，固定点，当为何值时，在移动点的过程中，始终有与相等． 【深入探究】 (3)如图3，固定点，若移动点到点，则点随之移动到点． ①判断线段与的位置关系与数量关系，并说明理由； ②在点处安装一支描图针，在点处安装一支绘图针，当描图针沿着一个直角边长为2的等腰直角三角形描摹时，绘图针随之绘出一个平面几何图形，求图形的面积．（用含的代数式表示） 【答案】(1) (2) (3)①，，理由如下： 如图，连接， 同（1）可得 ∴，三点共线， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，， ∴，； ②． 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，根据可得，进而证，可得，又，可得； （2）设，，则，，证明，得出，证明得出，即可求解； （3）①连接，证明，，根据相似三角形的性质，即可得出结论； ②依题意，与是关于点的位似图形，且位似比为，则面积比为，求得的面积，即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∵， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 设，，则，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当时，在移动点的过程中，始终有与相等． （3）①略 ②由①可得， 依题意，与是关于点的位似图形，且位似比为，则面积比为， ∵等腰直角三角形的边长为，面积为， ∴图形的面积为． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $