4.2三角形相似的性质（讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦初中数学相似三角形核心知识点，系统梳理从定义（对应角相等、对应边成比例）到性质（对应线段、周长比等于相似比，面积比等于相似比平方），再到重心性质（分中线2:1，对应线段比等于相似比）的递进学习支架。 资料通过分层次设计（基础知识点+随学随练+拓展+题型分类），结合动态几何探究培养推理意识，网格作图发展几何直观，综合题型提升应用意识，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

第4章 相似三角形 4.2三角形相似的性质 课标要点 1. 对应线段成比例：相似三角形对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。 2. 周长比：相似三角形周长的比等于相似比。 3. 面积比：相似三角形面积的比等于相似比的平方。 4. 重心性质：三角形的重心是三条中线交点，重心分每条中线的比为2∶1（重心到顶点距离:重心到对边中点距离=2:1）；相似三角形的重心是对应点，重心与对应顶点、中点构成的线段比也等于相似比。 学习重难点 重点： 掌握相似三角形对应边、对应角的关系，理解对应高、中线、角平分线的比等于相似比。 牢记相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，并能直接用于计算。 掌握三角形重心的性质：重心分中线为 2:1，会结合相似进行线段计算。 难点： 区分周长比与面积比，已知面积比时，会开平方求出相似比，容易直接将面积比当作边长比。 在复杂图形中准确识别相似三角形的对应边、对应线段，找对对应关系再列式计算。 综合运用重心性质和相似三角形性质，解决线段长度的综合推理计算题。 知识点 相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，△ABC与△A'B'C'相似记作△ABC∽△A'B'C'。相似三角形对应边的比叫做相似比，也叫相似系数 特别提醒 书写三角形相似时，对应顶点的字母通常写在对应位置，方便快速找到对应角和对应边；相似比具有顺序性，如果△ABC与△A'B'C'的相似比是k，那么△A'B'C'与△ABC的相似比是。 随学随练 1. 下列各组图形中，一定是相似三角形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 B. 两个等边三角形 D. 两个钝角三角形 2. 已知甲三角形的三边长分别为2，3，4，乙三角形的三边长分别为4，6，8，判断这两个三角形是否相似，并说明理由。 知识点相似三角形的性质 1. 对应角性质相似三角形的对应角相等。若△ABC∽△A'B'C'，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。 2. 对应边性质相似三角形的对应边成比例。若△ABC∽△A'B'C'，则（k为相似比）。 3. 对应线段性质相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。即相似三角形一切对应线段的比都等于相似比。若△ABC∽△A'B'C'，对应高分别为h、h'，对应中线分别为m、m'，对应角平分线分别为n、n'，则（k为相似比）。 4. 周长性质相似三角形周长的比等于相似比。若△ABC∽△A'B'C'，△ABC周长为C，△A'B'C'周长为C'，则（k为相似比）。 5. 面积性质相似三角形面积的比等于相似比的平方。若△ABC∽△A'B'C'，△ABC面积为S，△A'B'C'面积为S'，则（k为相似比）。 特别提醒 若已知面积比求相似比，需要对面积比开算术平方根，不要直接等同于面积比。 随学随练 1．如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 4．中，E，F分别是的中点，连接，则______． 5．已知，和是对应的角平分线，若，的周长为16，则的周长是____________． 知识点 重心 1.定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 2.性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1；重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等；重心到三角形一边的距离等于这条边所对顶点到该边距离的三分之一 特别提醒 重心是三条中线的交点，不要和三角形的垂心（三条高的交点）、内心（三条角平分线的交点）、外心（三边垂直平分线的交点）概念混淆；任意三角形的重心都在三角形内部，且重心分中线为2:1两段，这个比例关系是常用结论，不要记反比例 随学随练 1．如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 2．在中，边上的中线等于，那么这个三角形的重心到顶点的距离是________． 3．如图，点是的重心，如果，，，那么__________． 4．在 中， ， ， ，那么 的重心G到斜边 的中点的距离是_____________． 5．若O为的重心，的面积为4，则的面积为___． 拓展 基于比例性质的线段转移与几何推理 相似三角形核心是线段成比例关系，常规应用是直接利用比例求边长，深度规律可拓展为：利用相似比实现不同线段组的比例转移，搭建未知量与已知量的逻辑关联。规律探究：若，相似比为k，在AB上取点P，DE上取对应点Q，满足，则恒成立；进一步推广可得：两个相似三角形中，对应位置的分点连线比始终等于相似比，分点比例不改变这一性质。这一探究过程需要从基础的“对应边成比例”出发，通过拆分比例、合比性质推导一般结论，打破“只有特殊线段满足比等于相似比”的思维局限，锻炼从特殊结论推广到一般规律的逻辑推理能力。 活学活用 1．如图，在中，为延长线上一点，为上一点，．若，，则的长是（    ） A． B． C．6 D． 2．如图，，，，点、分别在、上，要使且为直角三角形，则的长为______． 3．如图，将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为，已知，若以为顶点的三角形与相似，那么的长度是___________． 拓展相似性质在动态几何中的不变性探究 将静态的相似三角形拓展到动态场景，探究性质的不变规律：比如：固定，点D在AB上移动，过D作DE // BC交AC于E，无论D如何移动，始终成立，周长比始终等于AD:AB，面积比始终等于，这一不变性是解决动态几何中最值、定值问题的核心依据。 更深度的规律：若两个三角形形状固定（三个角对应相等），无论位置如何平移、旋转、放缩，只要相似比确定，所有对应量的比例关系都保持不变，可以将“形状不变”抽象为“相似关系不变”，建立放缩变换的数学模型，解决实际中的测量、缩放作图等问题，帮助学生理解相似变换本质是“保角变换”，只改变图形大小不改变形状，提升数学抽象和建模素养。 活学活用 1．如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，当时，则的长为（　　）    A．2 B． C．3 D． 2．如图，中，，，，动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，分别与交于点E，F，连接，设动点P与动直线同时出发，运动时间为t秒．当t为__________时，与相似． 3．如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时，______cm． 题型利用相似三角形性质求线段长度 解题贴士 先找准相似三角形的对应边，结合已知比例关系列方程求解，注意对应边不要混淆。 ▌例1如图，已知，若的长度为5，则的长度为（   ） A．10 B．12.5 C．7.5 D．15 ▌例2．如图，在等边中，点分别在边上，，若，则的长度为（    ）    A．1 B． C．2 D． ▌对点练1-1如图，中，，，，，则的长度为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 ▌对点练1-2．将三角形纸片（）按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，，若以点为顶点的三角形与相似，那么的长度是________． ▌对点练1-3．如图，长度如图标注，则的长为________． 题型 利用相似三角形性质求周长/面积 解题贴士 牢记周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，注意已知面积比求相似比时要开平方，已知面积求未知面积时要先通过相似比平方得到面积比。 ▌例1．已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 ▌例2．如图，的三个顶点D，E，F分别为三边的中点，若的面积，则的面积（    ） A．18 B．20 C．24 D．30 ▌对点练1-1．两个相似三角形的相似比是，其中较小的三角形的面积是，则较大三角形的面积是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．两个相似三角形的一对对应边分别是，它们周长相差，则较小三角形的周长为___________． ▌对点练1-3．两个相似三角形相似比为，且面积之和为，则它们的面积分别为___________、___________． 题型 利用相似三角形求角度 解题贴士 1. 核心本质：相似三角形对应角完全相等 找到两组相似三角形，直接把未知角替换成已知相等角，无需计算边长，角度等量代换是解题关键。 2. 先找公共角、对顶角、直角作为相似判定突破口 公共角天然相等，搭配一组平行线同位角、直角，就能快速判定两三角形相似，进而推导剩余角度一致。 3. 易错提醒：分清对应顶点，避免角度匹配错位** 书写相似顺序必须一一对应，顶点顺序错乱会导致对应角找错；无明显相似时，可作平行线构造相似三角形转换角度。 ▌例1已知，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． ▌例2如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，已知．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图所示，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为______． ▌对点练1-3如图，已知．则的度数为______° 题型证明三角形的对应线段成比例 解题贴士 1. 要证明三角形对应线段成比例，首要证明两个三角形相似，相似三角形所有对应线段的比值均等于相似比。 2. 常依靠平行线、公共角、等角推导三角形相似，以此搭建线段比例关系。 3. 书写相似务必对齐顶点顺序，保证高、中线、角平分线等线段一一对应。 4. 线段繁杂时可等量代换转换线段，简化比例式子完成求证。 ▌例1如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． ▌例2《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． ▌对点练1-2如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC上，若 DE∥BC，AD=2BD，则 DE：BC 等于_______．    ▌对点练1-3如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC=________．    题型 利用相似求坐标 解题贴士 1. 先根据坐标轴点的坐标算出线段长度，借助直角、公共角判定三角形相似。 2. 依照相似比列出线段比例式，代入已知边长列式计算未知线段长短。 3. 结合横轴、纵轴方向距离，推算点的横、纵坐标数值。 4. 留意象限正负，分清左右上下方向，避免坐标符号出现差错。 ▌例1如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④   ▌例2如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） ▌对点练1-1在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是______． ▌对点练1-2如图，平面直角坐标系中，已知和点，点是的中点，点在轴上，若以为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是_______. 题型 在网格中画相似三角形 解题贴士 1. 网格里优先用勾股定理算出三角形三边长度，依靠三边对应成比例判定相似最稳妥。 2. 找准公共角、直角这类相等夹角，再验证夹角两边比值一致，即可判定两边成比例且夹角相等相似。 3. 借助网格平行线找相等锐角，利用两组角分别对应相等快速判断三角形相似。 4. 画图时把控边长缩放倍数，保持角度不变，就能画出原三角形的相似图形。 ▌例1以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． ▌例2如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． ▌对点练1-1如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． ▌对点练1-2在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．请按下列要求画出格点三角形． (1)在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点全等； (2)在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点的一条边重合，且与相似． 题型 动点问题 解题贴士 1. 先设动点运动时间为未知数，用路程公式把线段长度用含未知数的式子表示出来。 2. 抓住两组角对应相等、两边成比例夹角相等两类相似判定条件，分情况罗列对应边组合。 3. 依照相似边长比例列方程求解，算出结果后带回题目检验是否符合动点取值范围。 4. 遇多解题型要分类讨论对应顶点不同的情形，避免漏解或算出不符合题意的答案。 ▌例1如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 ▌对点练1-1如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． ▌对点练1-2如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，与相似？ ▌对点练1-3如图，在中，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求的长； (2)当为何值时，与相似？ (3)连接，当为何值时，？ 基础通关 1．已知两个相似三角形相似比为，其中较小的三角形的面积为12，则另一个三角形的面积为（    ） A．8 B．16 C．27 D．24 2．若，相似比为，则与对应角平分线的比为（    ） A． B． C． D． 3．已知两个相似三角形对应高之比为，那么这两个三角形的周长之比（    ） A． B． C． D． 4．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最长边长为，则它的最短边为（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．9 6．如图，已知，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．如图，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 8．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在中，，且，则________． 10．在 中， ，那么它的重心G到C点的距离是______． 11．已知点A，B，C，D的坐标如图，E是图中两条虚线的交点，若和相似，则点E的坐标是_________. 12．如图，已知，且，，，．求的大小和的长． 13．如图，D、E分别是上的点，，且，，，，求的长. 14．在如图所示的网格图中，画出一个与相似但不全等的三角形． 15．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)在如图所示的网格图中描出边的中点． (2)连接，在线段上描出一点，使得． 素养提升 1．如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 2．如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 3．的三边长分别为3，4，5，另有一个与它相似的，其最长边为15，则的周长是（     ） A． B． C． D． 4．要将邻边为2和3的矩形按下图的方式向外放大，得到与矩形位似的矩形，根据所标数据，a的值应为（     ） A．3 B． C．2 D． 5．如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（   ） A． B．7 C． D．8 6．如图，，，，，则的长为_______． 7．如图，在中，D，E分别是边，上的点，且．若与的周长之比为，，则_____． 8．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点和（顶点均为网格线的交点）． (1)判断和是否相似，并说明理由； (2)在上找一点F，使得． 9．在中，，，，D是线段上一点，且，以A，D，E为顶点的三角形与相似，求的长． (1)写出正确的比例式及后续解答； (2)指出另一个错误，并给予正确解答． 10．如图，已知，分别是它们对应的高线，已知，若，求的长． 迁移创新 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）试探究t为何值时，△BPQ是等腰三角形； （3）试探究t为何值时，CP＝CQ； （4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值． 2．综合探究 我们定义：在内有一点，连接、，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的内似点． 【概念理解】 (1)如图1，若P是的内似点且，则与存在怎样的数量关系，并给出证明． (2)在中，，P是的内似点．则________． 【深入探究】 (3)已知，点D是线段的中点，如图2，延长到点M，使得，延长到点N，使得，连接． ①证明： ②请你判断点N是否是的内似点，并说明理由． 【操作应用】 (4)如图3，已知四边形，在四边形内找一点P，使得，请你用无刻度直尺和圆规作出该点．（不写作法，保留作图痕迹） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 相似三角形 4.2三角形相似的性质 课标要点 1. 对应线段成比例：相似三角形对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比。 2. 周长比：相似三角形周长的比等于相似比。 3. 面积比：相似三角形面积的比等于相似比的平方。 4. 重心性质：三角形的重心是三条中线交点，重心分每条中线的比为2∶1（重心到顶点距离:重心到对边中点距离=2:1）；相似三角形的重心是对应点，重心与对应顶点、中点构成的线段比也等于相似比。 学习重难点 重点： 掌握相似三角形对应边、对应角的关系，理解对应高、中线、角平分线的比等于相似比。 牢记相似三角形周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，并能直接用于计算。 掌握三角形重心的性质：重心分中线为 2:1，会结合相似进行线段计算。 难点： 区分周长比与面积比，已知面积比时，会开平方求出相似比，容易直接将面积比当作边长比。 在复杂图形中准确识别相似三角形的对应边、对应线段，找对对应关系再列式计算。 综合运用重心性质和相似三角形性质，解决线段长度的综合推理计算题。 知识点 相似三角形的定义 对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于”，△ABC与△A'B'C'相似记作△ABC∽△A'B'C'。相似三角形对应边的比叫做相似比，也叫相似系数 特别提醒 书写三角形相似时，对应顶点的字母通常写在对应位置，方便快速找到对应角和对应边；相似比具有顺序性，如果△ABC与△A'B'C'的相似比是k，那么△A'B'C'与△ABC的相似比是。 随学随练 1. 下列各组图形中，一定是相似三角形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 B. 两个等边三角形 D. 两个钝角三角形 答案：C 解析：根据相似三角形的定义，需要同时满足对应角相等、对应边成比例两个条件。 A选项，两个等腰三角形的顶角不一定相等，因此对应角不一定相等，不符合定义； B选项，两个直角三角形只有直角相等，另外两个锐角不一定相等，对应角不满足相等要求，不符合定义；C选项，等边三角形的每个内角都是60°，因此对应角一定相等，且三条边都相等，对应边的比一定相等（对应边成比例），完全符合相似三角形的定义； D选项，两个钝角三角形只有一个钝角相等，另外两个内角不一定对应相等，不符合定义。因此选C。 2. 已知甲三角形的三边长分别为2，3，4，乙三角形的三边长分别为4，6，8，判断这两个三角形是否相似，并说明理由。 答案：两个三角形相似 解析：分别计算两组对应边的比：，，，可得两个三角形的对应边成比例。根据三角形三边对应成比例可推出三个对应角分别相等，同时满足相似三角形“对应角相等、对应边成比例”的两个要求，因此两个三角形相似。 知识点相似三角形的性质 1. 对应角性质相似三角形的对应角相等。若△ABC∽△A'B'C'，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'。 2. 对应边性质相似三角形的对应边成比例。若△ABC∽△A'B'C'，则（k为相似比）。 3. 对应线段性质相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比。即相似三角形一切对应线段的比都等于相似比。若△ABC∽△A'B'C'，对应高分别为h、h'，对应中线分别为m、m'，对应角平分线分别为n、n'，则（k为相似比）。 4. 周长性质相似三角形周长的比等于相似比。若△ABC∽△A'B'C'，△ABC周长为C，△A'B'C'周长为C'，则（k为相似比）。 5. 面积性质相似三角形面积的比等于相似比的平方。若△ABC∽△A'B'C'，△ABC面积为S，△A'B'C'面积为S'，则（k为相似比）。 特别提醒 若已知面积比求相似比，需要对面积比开算术平方根，不要直接等同于面积比。 随学随练 1．如图，，且，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据相似三角形的对应角相等求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 2．如图，，，则下列结论一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵，， ∴相似三角形对应边成比例可得，故选项A错误； 相似三角形对应角相等可得，故选项B错误； 相似三角形面积比等于相似比的平方可得，故选项C错误； 相似三角形周长比等于相似比可得，故选项D正确． 3．若与的相似比为，则对应边上的高之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形对应边上高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：∵相似三角形对应边上的高之比等于相似比， 又∵与的相似比为， ∴与对应边上的高之比为． 4．中，E，F分别是的中点，连接，则______． 【答案】 【分析】由中位线的性质得，，再证，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，即可求解． 【详解】解：中，E，F分别是的中点， 是的中位线， ，， ，， ， ． 5．已知，和是对应的角平分线，若，的周长为16，则的周长是____________． 【答案】12 【分析】相似三角形对应角平分线的比等于相似比，相似三角形周长之比等于相似比，据此列出比例式计算即可． 【详解】解：，、是对应角平分线， 相似比， 又相似三角形周长之比等于相似比， ， 已知周长为16，代入得：， 解得：． 知识点 重心 1.定义：三角形三条中线的交点叫做三角形的重心 2.性质：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比是2:1；重心和三角形任意两个顶点组成的3个三角形面积相等；重心到三角形一边的距离等于这条边所对顶点到该边距离的三分之一 特别提醒 重心是三条中线的交点，不要和三角形的垂心（三条高的交点）、内心（三条角平分线的交点）、外心（三边垂直平分线的交点）概念混淆；任意三角形的重心都在三角形内部，且重心分中线为2:1两段，这个比例关系是常用结论，不要记反比例 随学随练 1．如图，用一根细绳将一块质地均匀的三角形薄板悬挂在支架上，发现三角形薄板正好保持水平，则三角形上的悬挂点应是（     ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条高线的交点 D．分别过三角形三边中点且垂直于三边的直线的交点 【答案】A 【详解】解：由三角形薄板保持水平可知悬挂点应是三角形的重心，三条中线的交点就是三角形的重心． 2．在中，边上的中线等于，那么这个三角形的重心到顶点的距离是________． 【答案】4 【分析】根据三角形重心的性质，三角形的重心将中线分为长度比为的两段，重心到顶点的距离为对应中线长度的，代入中线的长度即可计算得到结果． 【详解】解：是的重心，是边上的中线， ， ， ． 3．如图，点是的重心，如果，，，那么__________． 【答案】10 【分析】利用重心得到中线，根据中线平分面积得到，再利用勾股定理逆定理和直角三角形斜边中线的性质得到的长度，从而得到答案． 【详解】解：延长交于点M，设点A到边的距离为，点B到边的距离为，点A到边的距离为， ∵点是的重心， ∴、都是的中线， 即，， ∴，，，， ∴，， 同理，，， ∴， 即， ∴， 即， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， 根据勾股定理逆定理得，是直角三角形， 即， 在中，， ∴， ∴． 4．在 中， ， ， ，那么 的重心G到斜边 的中点的距离是_____________． 【答案】 【分析】连接并延长交于点，即为的中点，先利用勾股定理求出斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出中线的长，最后根据重心的性质计算的长即可得到结果． 【详解】解：连接并延长交于点 ， ∵是的重心， ∴是的中线，即为的中点， ∵ ， ∴ ， 在 中，， ， ， ∴由勾股定理得： ， ∴， 根据重心的性质可知， ∴， 即的重心到斜边中点的距离是． 5．若O为的重心，的面积为4，则的面积为___． 【答案】12 【分析】、、，交、、于点D、E、F，根据三角形重心的定义得到、、是的中线，根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两个三角形进行解答． 【详解】解：如图，分别延长、、，交、、于点D、E、F， ∵O是的重心， ∴、、是的中线， ∴，， 又∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∴的面积为：． 拓展 基于比例性质的线段转移与几何推理 相似三角形核心是线段成比例关系，常规应用是直接利用比例求边长，深度规律可拓展为：利用相似比实现不同线段组的比例转移，搭建未知量与已知量的逻辑关联。规律探究：若，相似比为k，在AB上取点P，DE上取对应点Q，满足，则恒成立；进一步推广可得：两个相似三角形中，对应位置的分点连线比始终等于相似比，分点比例不改变这一性质。这一探究过程需要从基础的“对应边成比例”出发，通过拆分比例、合比性质推导一般结论，打破“只有特殊线段满足比等于相似比”的思维局限，锻炼从特殊结论推广到一般规律的逻辑推理能力。 活学活用 1．如图，在中，为延长线上一点，为上一点，．若，，则的长是（    ） A． B． C．6 D． 【答案】A 【分析】先利用平行四边形的性质结合已知证得，利用相似三角形的性质得到，进而求出的长，最后求出问题得解． 【详解】解：如图 ∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∵，， ∴． ∴， ∴，（舍去）． ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查的是相似三角形的判定和性质，合理的选择恰当的三角形相似，并学会利用相似三角形的性质求解线段是解决问题的关键． 2．如图，，，，点、分别在、上，要使且为直角三角形，则的长为______． 【答案】或 【分析】分两种情形分别求解：①如图1中，当，时，②当，时；由相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：，，， ， ①如图中，当，时，设， ， ， ， ， ， ． ②当，时，如图，设． ，， ， ， ， ． 综上所述，满足条件的的值为或． 【点睛】本题考查勾股定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． 3．如图，将三角形纸片按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为，已知，若以为顶点的三角形与相似，那么的长度是___________． 【答案】或 【分析】根据折叠得到，根据相似三角形的性质得到或，设，则，即可求出x的长，得到的长． 【详解】解：∵沿折叠B和重合， ∴， 设，则， ∵当时，， ∵， ∴， 解得：， 则； 当时，，即， 解得：， 则． 故的长度是或． 故答案是：或． 【点睛】本题主要考查了翻折变换（折叠问题），相似三角形的性质，解此题的关键是设，根据相似三角形的性质列出比例式． 拓展相似性质在动态几何中的不变性探究 将静态的相似三角形拓展到动态场景，探究性质的不变规律：比如：固定，点D在AB上移动，过D作DE // BC交AC于E，无论D如何移动，始终成立，周长比始终等于AD:AB，面积比始终等于，这一不变性是解决动态几何中最值、定值问题的核心依据。 更深度的规律：若两个三角形形状固定（三个角对应相等），无论位置如何平移、旋转、放缩，只要相似比确定，所有对应量的比例关系都保持不变，可以将“形状不变”抽象为“相似关系不变”，建立放缩变换的数学模型，解决实际中的测量、缩放作图等问题，帮助学生理解相似变换本质是“保角变换”，只改变图形大小不改变形状，提升数学抽象和建模素养。 活学活用 1．如图，在中，，，点D是边上的一个动点，点E在上，点D在运动过程中始终保持，当时，则的长为（　　）    A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】先利用等腰三角形的性质可得，再利用等量代换可得，然后利用两角相等的两个三角形的相似证明，从而利用相似三角形的性质可求出的长，进而求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 2．如图，中，，，，动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，动直线从开始以每秒的速度向上平行移动，分别与交于点E，F，连接，设动点P与动直线同时出发，运动时间为t秒．当t为__________时，与相似． 【答案】6或 【分析】分别用t表示OP与OE的长度，根据与都是直角，当与相似时，O与O是对应点，因此分∽与∽两种情况讨论,根据相似列方程解之即可． 【详解】解：∵动点P从点A出发在线段上以每秒的速度向O运动，， ∴AP=2tcm，OP=(20-2t)cm， 又∵动直线从开始以每秒的速度向上平行移动， ∴OE=tcm， 根据与都是直角，O与O是对应点，因此分∽与∽两种情况讨论， 当∽，即时，， 解得：， 当∽，即时，， 解得：， 综上所述：当t=6或时，与相似， 故答案时：6或． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据三角形相似进行讨论分析是解题的关键． 3．如图，已知等腰三角形ABC中，，，点从点出发沿BA以的速度向点运动；同时点从点出发沿CB以的速度向点运动，在运动过程中，当与相似时，______cm． 【答案】或20 【分析】本题考查了相似三角形的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是解题的关键．分两种情况进行讨论．由等腰三角形的性质得出和对应相等，那么就要分成和为对应边以及和为对应边两种情况． 【详解】解：∵， ． ①当时，有， 即， 解得， ∴； ②当时，有， 即， 解得，（舍去）， ∴． 综上，当与相似时，或20 ． 题型利用相似三角形性质求线段长度 解题贴士 先找准相似三角形的对应边，结合已知比例关系列方程求解，注意对应边不要混淆。 ▌例1如图，已知，若的长度为5，则的长度为（   ） A．10 B．12.5 C．7.5 D．15 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的长度为5， ∴， ∴． 故选：C ▌例2．如图，在等边中，点分别在边上，，若，则的长度为（    ）    A．1 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用等边三角形的性质和相似三角形的判定与性质解答即可得出结论． 【详解】解：为等边三角形， ． ． ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质． ▌对点练1-1如图，中，，，，，则的长度为（    ） A．6 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】根据可得，根据相似三角形对应边成比例即可进行解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形对应边成比例． ▌对点练1-2．将三角形纸片（）按如图所示的方式折叠，使点B落在边上，记为点，折痕为．已知，，若以点为顶点的三角形与相似，那么的长度是________． 【答案】2或 【分析】由于折叠前后的图形不变，要考虑与相似时的对应情况，分两种情况根据相似三角形的性质讨论即可． 【详解】解：根据与相似时的对应关系，有两种情况： ①时， ， 又∵， ∴ 解得； ②时， ， ， 而，即 解得． 故的长度是2或． ▌对点练1-3．如图，长度如图标注，则的长为________． 【答案】6 【分析】题目主要考查相似三角形的性质，根据相似三角形的对应边成比例求解即可，熟练掌握相似三角形的性质是解题关键． 【详解】解：∵， ∴即， 解得：， 故答案为：6． 题型 利用相似三角形性质求周长/面积 解题贴士 牢记周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，注意已知面积比求相似比时要开平方，已知面积求未知面积时要先通过相似比平方得到面积比。 ▌例1．已知，相似比为，若的周长为8，则的周长为（     ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】A 【分析】利用相似三角形周长的比等于相似比计算即可求解． 【详解】解：∵，相似比为， ∴的周长的周长， ∵的周长为，设的周长为， ， 即， 解得， 即的周长为12． ▌例2．如图，的三个顶点D，E，F分别为三边的中点，若的面积，则的面积（    ） A．18 B．20 C．24 D．30 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，根据三角形的中位线的定理得到，进而得到，根据面积比等于相似比的平方，进行求解即可． 【详解】解：∵D，E，F分别为三边的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． ▌对点练1-1．两个相似三角形的相似比是，其中较小的三角形的面积是，则较大三角形的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题关键是理解相似三角形的面积比等于相似比的平方．设较大三角形的面积是，根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”可得，求解即可获得答案． 【详解】解：设较大三角形的面积是， 根据题意，两个相似三角形的相似比是， 则两个相似三角形的面积比是， 所以可有，解得， 经检验：是方程的解， 即较大三角形的面积是． 故选：B． ▌对点练1-2．两个相似三角形的一对对应边分别是，它们周长相差，则较小三角形的周长为___________． 【答案】 【分析】本题考查相似三角形的性质，利用相似三角形的周长比等于相似比，由对应边长度求出相似比，再根据周长差列方程求解即可． 【详解】解：两个相似三角形的对应边分别为和， 则相似比为． 故两个三角形的周长比为． 设较小三角形的周长为，则较大三角形的周长为 ．由题意， ， 解得． 故较小三角形的周长为． 故答案为：． ▌对点练1-3．两个相似三角形相似比为，且面积之和为，则它们的面积分别为___________、___________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由相似比得到它们的面积比，设这两个三角形的面积分别为，依题意得，求解即可，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵两个相似三角形相似比为， ∴它们的面积比为：， 设这两个三角形的面积分别为，依题意得： ， 解得：， ∴它们的面积分别为：， 故答案为：． 题型 利用相似三角形求角度 解题贴士 1. 核心本质：相似三角形对应角完全相等 找到两组相似三角形，直接把未知角替换成已知相等角，无需计算边长，角度等量代换是解题关键。 2. 先找公共角、对顶角、直角作为相似判定突破口 公共角天然相等，搭配一组平行线同位角、直角，就能快速判定两三角形相似，进而推导剩余角度一致。 3. 易错提醒：分清对应顶点，避免角度匹配错位** 书写相似顺序必须一一对应，顶点顺序错乱会导致对应角找错；无明显相似时，可作平行线构造相似三角形转换角度。 ▌例1已知，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质与三角形内角和定理，先利用三角形内角和求出中的度数，再根据相似三角形对应角相等得到的度数即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故选：A． ▌例2如图，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质以及三角形内角和定理，关键是利用相似三角形对应角相等的性质，结合三角形内角和求出对应角的度数． 【详解】解：在中，∵，， ∴． ∵， ∴． 故选：C． ▌对点练1-1如图，已知．若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的性质及三角形内角和定理，根据相似三角形对应角相等求出的度数，再利用三角形内角和为计算的度数． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，∵，， ∴； 故选：D． ▌对点练1-2如图所示，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，由图可得，再根据相似三角形的性质即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可得，， ∵， ∴， 故答案为：． ▌对点练1-3如图，已知．则的度数为______° 【答案】70 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理的应用，是基础知识，要熟练掌握．先根据相似三角形的性质得出，然后再根据三角形内角和定理求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故答案是：70． 题型证明三角形的对应线段成比例 解题贴士 1. 要证明三角形对应线段成比例，首要证明两个三角形相似，相似三角形所有对应线段的比值均等于相似比。 2. 常依靠平行线、公共角、等角推导三角形相似，以此搭建线段比例关系。 3. 书写相似务必对齐顶点顺序，保证高、中线、角平分线等线段一一对应。 4. 线段繁杂时可等量代换转换线段，简化比例式子完成求证。 ▌例1如图，，直线，相交于点，与这三条平行线分别相交于点，，和点，、、下列比例式中错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，熟记平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定与性质，数形结合写出线段比例关系是解决问题的关键． 根据平行线分线段成比例及相似三角形判定与性质逐项判断即可得到答案． 【详解】解：， 由平行线分线段成比例定理可知， A选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ， B选项是正确的，不符合题意； ， ． ， ， ，即， D选项是正确的，不符合题意， C选项是错误的，符合题意； 故选：C． ▌例2《笛卡尔几何学》一书中引入单位线段1来表示线段的乘除．如图，已知，则，若规定为单位线段1，则，若规定为单位线段1，则为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，可得，根据比例的性质可得，即，由于规定为单位线段1，则，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵规定为单位线段1， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形的性质，比例的性质，读懂题意，正确使用比例的性质是解题的关键． ▌对点练1-1如图，在中，点D、E分别在AB、AC边上，，BE与CD相交于点F，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平行线的性质可得内错角相等，即可得出和，在根据相似三角形的性质及等量代换即可得出答案． 【详解】解：， ，，， ， ， 由， ， ， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形相似的判定及性质，考查学生对相似三角形对应边成比例知识点及等量代换技巧的掌握情况． ▌对点练1-2如图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC上，若 DE∥BC，AD=2BD，则 DE：BC 等于_______．    【答案】2：3 【分析】根据DE∥BC得出△ADE∽△ABC，结合AD=2BD可得出相似比即可求出DE：BC． 【详解】解：∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴， ∵AD=2BD， ∴， ∴DE：BC=2：3， 故答案为：2：3． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，属于基础题型，解题的关键是熟悉相似三角形的判定及性质，灵活运用线段的比例关系． ▌对点练1-3如图，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=120°，AD⊥AC 交 BC 于点 D，AD=3，则BC=________．    【答案】9 【分析】根据勾股定理求出AB，再利用相似即可求解. 【详解】∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠C=30°， 又∵AD⊥AC，AD=3 ∴∠DAC=90°，CD=6 勾股定理得AC=AB=3， 由图可知△ABD∽△BCA， ∴BC=9 【点睛】本题考查了勾股定理和相似三角形，属于简单题．证明相似是解题关键. 题型 利用相似求坐标 解题贴士 1. 先根据坐标轴点的坐标算出线段长度，借助直角、公共角判定三角形相似。 2. 依照相似比列出线段比例式，代入已知边长列式计算未知线段长短。 3. 结合横轴、纵轴方向距离，推算点的横、纵坐标数值。 4. 留意象限正负，分清左右上下方向，避免坐标符号出现差错。 ▌例1如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    ▌例2如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【答案】A 【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解 【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC ∴△AOC∽△BOA 即 ∴OC=1 ∴点C的坐标是（0，1）． 故选A 【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质． ▌对点练1-1在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是______． 【答案】 【分析】先通过条件证明，然后根据相似三角形对应边成比例即可求出CO，从而得到点C的坐标． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴, 由点的坐标为，点的坐标为，可知AO=4，BO=2， ∴，即CO=1， ∴点C的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标系内点的坐标，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． ▌对点练1-2如图，平面直角坐标系中，已知和点，点是的中点，点在轴上，若以为顶点的三角形与相似，那么点的坐标是_______. 【答案】或 【分析】设P（x，0），可表示出AP的长，分△APC∽△AOB和△ACP∽△AOB，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得P点的坐标． 【详解】解：∵和点， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴，设，由题意可知点在点的左侧， ∴， ∵以为顶点的三角形与相似， ∴有和两种情况， 当时，则，即，解得， ∴； 当时，则，即，解得， ∴； 综上可知点坐标为或. 故答案为或. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意分类讨论． 题型 在网格中画相似三角形 解题贴士 1. 网格里优先用勾股定理算出三角形三边长度，依靠三边对应成比例判定相似最稳妥。 2. 找准公共角、直角这类相等夹角，再验证夹角两边比值一致，即可判定两边成比例且夹角相等相似。 3. 借助网格平行线找相等锐角，利用两组角分别对应相等快速判断三角形相似。 4. 画图时把控边长缩放倍数，保持角度不变，就能画出原三角形的相似图形。 ▌例1以下三角形的顶点均在格点上，那么下列三角形中（    ）与第一个三角形相似． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的判定，根据勾股定理求出各三角形的三边长，根据各边对应成比例的两个三角形相似，进行判断即可． 【详解】解：的三边长分别为， ∴； 的三边长分别为，则， 故； 同理可得，剩余的3个三角形均不满足三边比为，不能与相似，不符合题意； 故选A． ▌例2如图，是的方格，已知4个格点，，，，点也在格点上，若以，，为顶点的三角形与相似，则符合条件的点共有________个． 【答案】6 【分析】根据网格结构得出为直角三角形，且两直角边，，比值为．由相似三角形的性质可知也应为直角三角形，且两直角边之比为．已知且在竖直格线上，分和两种情况讨论，结合分别对应短直角边或长直角边计算或的长度，确定点的位置并验证是否在网格范围内． 【详解】如图所示： 设小正方形的边长为，在中，，，，． ∵与相似， ∴是直角三角形，且两直角边之比为． 由图可知，在同一条竖直格线上，．若，则在以为直径的圆上，此时为等腰直角三角形，与不相似， 故排除． ∴直角顶点为或． 当时，，即在水平格线上．若对应，则， 解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 当时，，即在水平格线上．若对应，则，解得，点在左侧个单位处（右侧超出网格），符合题意． 若对应，则， 解得，点在左侧或右侧个单位处，均符合题意． 综上所述，符合条件的点E共有个． ▌对点练1-1如图，的三个顶点都在格点上，请在图的网格内画出一个，使，相似比为，且各顶点都在格点上． 【答案】如图所示，即为所求； 【分析】根据相似三角形的性质和相似比，即可画出． 【详解】解：根据网格得： ，，， 若要，且相似比为， ∴，，， 如图2，即为所画三角形． ▌对点练1-2在正方形网格图中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的三角形称为格点三角形．请按下列要求画出格点三角形． (1)在图1中画一个格点三角形，使该三角形与格点全等； (2)在图2中画一个格点三角形，使该三角形的一条边与格点的一条边重合，且与相似． 【答案】(1)如图，即为所求 (2)如图，即为所求 【分析】（1）根据三边相等的三角形是全等三角形作图即可； （2）根据三边对应成比例的三角形是相似三角形作图即可； 【详解】（1）解：如图， 则， ∴； （2）解：如图， 则， ∴， ∴． 题型 动点问题 解题贴士 1. 先设动点运动时间为未知数，用路程公式把线段长度用含未知数的式子表示出来。 2. 抓住两组角对应相等、两边成比例夹角相等两类相似判定条件，分情况罗列对应边组合。 3. 依照相似边长比例列方程求解，算出结果后带回题目检验是否符合动点取值范围。 4. 遇多解题型要分类讨论对应顶点不同的情形，避免漏解或算出不符合题意的答案。 ▌例1如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，t秒后，与相似，则t的值是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．注意分两种情况讨论求解．设t秒后，与相似，可表示出，，再分与是对应边和与是对应边两种情况，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：设t秒后，与相似，则，， 当与是对应边时，则， ， 解得， 当与是对应边时，则， ， 解得， 故t的值为或时，与相似， 故选：C． ▌对点练1-1如图，在中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点Q从点B开始沿边以的速度向点C运动，如果P、Q两点同时出发，经过______s，与相似． 【答案】4或 【分析】首先在运动过程中，与的公共角始终保持相等， 但另外两组角的对应关系不确定，因此需分情况讨论．然后就每种情况利用相似三角形的对应边成比例求解即可． 【详解】解：设运动时间为t,由题意可知，，， ①当时， 则，即， 解得． ∴经过，． ②当时， 则，即， 解得． ∴经过，． 综上，经过或，与相似． ▌对点练1-2如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，与相似？ 【答案】或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．利用分类讨论思想解答是解题的关键． 分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设运动时间为t秒， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∵，， ∴， 解得：； 当时，， ∵，， ∴， 解得：； 综上所述，运动或秒后，与相似． ▌对点练1-3如图，在中，，，，点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)求的长； (2)当为何值时，与相似？ (3)连接，当为何值时，？ 【答案】(1)10 (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理： （1）直接利用勾股定理解答即可； （2）分两种情况，结合相似三角形的性质解答即可； （3）根据当时，可得，即可求解． 【详解】（1）解：在中，∵，，， ∴． （2）解：由题意得，，， 因此， 与相似有两种情况， ①当时，， 即， 解得； ②当时，， 即， 解得； 综上所述，当为或时，与相似； （3）解：当时，， 由（2）可知，． 所以当为时，． 基础通关 1．已知两个相似三角形相似比为，其中较小的三角形的面积为12，则另一个三角形的面积为（    ） A．8 B．16 C．27 D．24 【答案】C 【分析】利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合已知条件即可计算出另一个三角形的面积． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比为， ∴两个三角形的面积比为 设另一个三角形的面积为， ∵较小三角形的面积为， ∴， 解得， 即另一个三角形的面积为27． 2．若，相似比为，则与对应角平分线的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相似三角形对应角平分线的比等于相似比即可解答． 【详解】解：∵，相似比为， 又∵相似三角形对应角平分线的比等于相似比， ∴与对应角平分线的比为． 3．已知两个相似三角形对应高之比为，那么这两个三角形的周长之比（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用相似三角形对应高之比等于相似比，周长之比等于相似比求解． 【详解】解：∵两个相似三角形对应高之比为， ∴两个三角形的相似比为， ∴这两个三角形的周长之比为． 4．要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为，和，另一个三角形的最长边长为，则它的最短边为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的对应边成比例，求解即可． 【详解】解：设另一个三角形的最短边长为． ∵ 两个三角形形状相同，即相似， ∴ 对应边成比例． 另一个三角形的最长边对应第一个三角形的最长边，且第一个三角形的最短边 ∴， 解得， ∴它的最短边为， 故选：B． 5．如图，在中，，，，，则的长为（   ） A．5 B．6 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是通过两角对应相等判定三角形相似，并利用相似三角形对应边成比例建立等量关系求解． 利用公共角 和已知，判定；设长为x，表达出的长度；根据相似三角形对应边成比例列出关于x的方程，求解得到的长． 【详解】解：∵（公共角） ∴（两角分别相等的两个三角形相似） （相似三角形对应边成比例） 设则 已知代入比例式得： 交叉相乘得： 化简： 解得： 故选： C． 6．如图，已知，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是学会利用相似三角形的性质解决问题．利用三角形内角和定理求出，再利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 7．如图，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形的性质和三角形定理，根据三角形内角和定理求出，再由相似三角形的性质可得 ，即可得出结论． 【详解】解：在中，且 ∴ 又， ∴ 即的度数是， 故选：B． 8．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用三边对应成比例的三角形相似进而得出符合题意的答案．正确利用网格得出三角形各边长是解题关键． 【详解】解：由网格可知：，， A、，，，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； B、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； C、，，，因为，所以与相似，故该选项是正确的； D、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； 故选：C． 9．如图，在中，，且，则________． 【答案】3∶5 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．由可得到，根据可得，最后根据相似三角形的性质可得结论． 【详解】解：， ， ， ，，， ． 10．在 中， ，那么它的重心G到C点的距离是______． 【答案】 【分析】延长 交 于 ，根据三角形重心的性质可得 为 边上的中线， ，结合直角三角形斜边上的中线性质可得 ，再利用勾股定理计算出 的长度，即可求出重心 到 点的距离． 【详解】解：如图所示，延长 交 于点 ， 为 的重心， 为 边上的中线， ， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得 ， ， 即重心 到 点的距离是． 11．已知点A，B，C，D的坐标如图，E是图中两条虚线的交点，若和相似，则点E的坐标是_________. 【答案】 【分析】根据两相似三角形的对应边成比例求得DE的长度，然后由两点间的距离公式可以求得点E的坐标． 【详解】解：∵点A、B、C、D的坐标分别为（-5，3）、（1，3）、（1，-1）、（4，3）， ∴AB=6，AD=9，BC=4， 又∵， ∴，BC∥DE， ∴DE=6，E点横坐标与D点相同， 设点E的坐标为（4，y）， ∴3-y=6， 解得，y=-3， ∴点E的坐标为（4，-3）． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、坐标与图形的性质．解答该题的关键是根据相似三角形的对应边成比例求得线段DE的长度． 12．如图，已知，且，，，．求的大小和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．利用相似三角形的性质得到，再利用相似三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，，， ∴，， ∴． 13．如图，D、E分别是上的点，，且，，，，求的长. 【答案】， 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：，， ， ， ，即， 解得，． 14．在如图所示的网格图中，画出一个与相似但不全等的三角形． 【答案】 如图，即为所求（答案不唯一）． 【分析】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 根据相似三角形的性质画出图形即可解得此题． 【详解】略 15．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)在如图所示的网格图中描出边的中点． (2)连接，在线段上描出一点，使得． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据网格的特点，连接的网格的对角线，与交于点； （2）根据三角形重心的性质，连接边上的中线，交于点，则． 【详解】（1）略 （2）略 素养提升 1．如图，，且，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得出相似比，进而求出与的面积比，利用面积差求出四边形的面积，最后计算比值即可； 【详解】解：，且， ， ， ， ， ， ． 2．如图，，，下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴，， ∴，故A正确， ∴， ∴，，故B、C正确， ∴，故D错误． 3．的三边长分别为3，4，5，另有一个与它相似的，其最长边为15，则的周长是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据相似三角形的性质确定相似比，再根据相似三角形的周长比等于相似比求解即可． 【详解】解：∵∽，的最长边长为，的最长边长为， ∴两三角形的相似比为， ∵的周长为，且相似三角形周长比等于相似比， ∴的周长为． 4．要将邻边为2和3的矩形按下图的方式向外放大，得到与矩形位似的矩形，根据所标数据，a的值应为（     ） A．3 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】先表示出放大后的矩形的长和宽，再由位似图形的性质得出，即可得解． 【详解】解：∵原矩形的长和宽分别为和， ∴由图形知，放大后的矩形宽为，长为， ∵矩形位似于矩形， ∴， ∴． 5．如图，矩形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若的长为3，则的长为（   ） A． B．7 C． D．8 【答案】C 【分析】本题考查位似图形的性质．根据位似图形的对应边成比例，利用点和点的坐标求出位似比，进而求出的长． 【详解】解：矩形与矩形是以坐标原点为位似中心的位似图形， ， ． 点的坐标为，点的坐标为 ， ， ． ， ， ． 6．如图，，，，，则的长为_______． 【答案】4 【分析】根据图形发现，代入已知条件得的值，再根据条件，，结合三角形相似判定定理可证明，根据相似三角形的性质求出的长，再根据，代入数据计算即可求出的长. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为4. 7．如图，在中，D，E分别是边，上的点，且．若与的周长之比为，，则_____． 【答案】2 【分析】首先证明，根据相似三角形的周长之比等于相似比得到，据此求出的长，则可求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵与的周长之比为， ∴， ∵， ∴， ∴． 8．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，已知格点和（顶点均为网格线的交点）． (1)判断和是否相似，并说明理由； (2)在上找一点F，使得． 【答案】(1)和相似，见解析 (2)见详解 【分析】（1）结合图形及勾股定理确定，的长度，进而可得，即可得解； （2）取格点，连接，易得，结合即可证明． 【详解】（1）解：和相似，理由如下： 根据图形可知，， ， ∴， ∴； （2）如下图，点即为所求： 理由如下：连接， ∵， ∴， 又∵， ∴． 9．在中，，，，D是线段上一点，且，以A，D，E为顶点的三角形与相似，求的长． (1)写出正确的比例式及后续解答； (2)指出另一个错误，并给予正确解答． 【答案】(1)，解答见解析 (2)另一个错在没有进行分类讨论，解答见解析 【分析】（1）根据相似三角形对应边成比例列出比例式，进而计算即可； （2）有一个没有进行分类讨论，过点D作，则，仿照（1）可得出结论． 【详解】（1）解：过点D作，交于点E，则， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：另一个错在没有进行分类讨论， 如图，过点D作，交于点E，则， ∴， ∵，， ∴， ∴． 综合以上可得，或． 10．如图，已知，分别是它们对应的高线，已知，若，求的长． 【答案】8 【分析】根据，分别是它们对应的高线，得出，结合，，即可求出． 【详解】解：∵，分别是它们对应的高线， ∴， ∵，， ∴， 解得：． 迁移创新 1．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（0＜t＜2），连接PQ． （1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值； （2）试探究t为何值时，△BPQ是等腰三角形； （3）试探究t为何值时，CP＝CQ； （4）连接AQ，CP，若AQ⊥CP，求t的值． 【答案】（1）1或；（2）或或；（3）；（4）． 【分析】（1）根据勾股定理即可得到结论；分两种情况：①当△BPQ∽△BAC时，BP：BA＝BQ：BC；当△BPQ∽△BCA时，BP：BC＝BQ：BA，再根据BP＝5t，QC＝4t，AB＝10cm，BC＝8cm，代入计算即可； （2）分三种情况：①当PB＝PQ时，过P作PH⊥BQ，则BHBQ＝4﹣2t，PB＝5t，根据平行线分线段成比例定理得到，即：解得t，②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t，解得t，③当BQ＝PQ时，过Q作QG⊥AB于G，则BGPBt，BQ＝8﹣4t，通过，得到比例式，解得：t； （3）先利用勾股定理表示出CP2，建立方程求解即可求出时间t； （4）过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N，则有PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t，根据△ACQ∽△CMP，得出AC：CM＝CQ：MP，代入计算即可． 【详解】解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm， ∴AB10cm； 分两种情况讨论： ①当△BPQ∽△BAC时，， ∵BP＝5t，QC＝4t，AB＝10，BC＝8， ∴，解得，t＝1， ②当△BPQ∽△BCA时，， ∴，解得，t； ∴t＝1或时，△BPQ∽△BCA； （2）分三种情况： ①当PB＝PQ时，如图，过P作PH⊥BQ， 则BHBQ＝4﹣2t，PB＝5t， ∴PH∥AC， ∴，即解得：t； ②当PB＝BQ时，即5t＝8﹣4t， 解得：t； ③当BQ＝PQ时，如图，过Q作QG⊥AB于G， 则BGPBt，BQ＝8﹣4t， ∵，， ∴， ∴即， 解得：t； 综上所述：△BPQ是等腰三角形时t的值为：或或； （3）如图，过P作PM⊥BC于点M，则PB＝5t， ∵AC⊥BC，， ∴， ∴△PMB∽△ACB， ∴， ∴PM＝3t，MC＝8﹣4t，CQ＝4t， 根据勾股定理得，CP2＝PM2＋MC2＝25t2﹣64t＋64， ∵CP＝CQ， ∴25t2﹣64t＋64＝16t2， ∴t（不符题意，舍去）或t， ∴CP＝CQ时，t； （4）如图，过P作PM⊥BC于点M，AQ，CP交于点N， 由（3）可知，PB＝5t，PM＝3t，MC＝8﹣4t， ∵∠NAC＋∠NCA＝90°，∠PCM＋∠NCA＝90°， ∴∠NAC＝∠PCM， ∵∠ACQ＝∠PMC， ∴△ACQ∽△CMP， ∴， ∴，解得t． 【点评】此题是相似形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，由三角形相似得出对应边成比例是解题的关键． 2．综合探究 我们定义：在内有一点，连接、，，在所得的，，中，有且只有两个三角形相似，则称点为的内似点． 【概念理解】 (1)如图1，若P是的内似点且，则与存在怎样的数量关系，并给出证明． (2)在中，，P是的内似点．则________． 【深入探究】 (3)已知，点D是线段的中点，如图2，延长到点M，使得，延长到点N，使得，连接． ①证明： ②请你判断点N是否是的内似点，并说明理由． 【操作应用】 (4)如图3，已知四边形，在四边形内找一点P，使得，请你用无刻度直尺和圆规作出该点．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】(1)， 证明：如图， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴； (2)或或 (3)①证明：如图， ∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②点N是否是的内似点，理由如下： ∵点为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴点N是否是的内似点； (4)如图，点即为所求 【分析】（1）由相似得到，，而，故，即可求解； （2）分三种情况讨论求解即可； （3）①根据两边对应成比例且夹角相等证明即可；②先证明，则，再通过，进行线段替换证明即可； （4）连接并延长交于点，连接，则，由作垂线可得，，故，故，同理可得，故． 【详解】（1）略 （2）解：在中，， ∴， ∴ 当时，同理可得， ∴； 当时，同理可得，； 当时，同理可得，， ∴， 综上：或或； （3）略 （4）解：过点作直线的垂线，作线段的垂直平分线，两直线交于点，以点为圆心，为半径作圆，过点作直线的垂线，作线段的垂直平分线，两直线交于点，以点为圆心，为半径作圆，两圆交点即为点． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $