26.2.2二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质第3课时 课件 2026--2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数顶点式y=a(x-h)²+k的图象特征、平移规律、性质及应用。课堂导入通过复习y=ax²+k和y=a(x-h)²的单一平移，引导猜想复合平移，搭建从旧知到新知的学习支架。 其特色是采用探究式教学，通过画图象、推导平移路径培养几何直观和推理意识，喷水池实例渗透模型意识。小结分图象、性质、平移规律三部分，结构清晰。学生能深化数形结合，教师可高效开展教学。

26.2.2二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 第3课时 1 1.综合掌握完整顶点式y=a(x-h)2+k 的图象特征：顶点 (h,k)，对称轴直线 x=h。 2.整合平移规律：由 y=ax2先左右平移 |h|个单位，再上下平移 |k|个单位得到该函数图象。 3.熟练根据 a、h、k三个参数，完整分析开口方向、顶点、对称轴、最值、增减性。 4.能根据顶点坐标和一点坐标，求出二次函数顶点式解析式；能解决简单实际最值问题。 5.整合前三节课平移知识，综合推导顶点式图象变换过程，构建完整知识链条。 6.利用顶点式快速画草图，借助图象解决函数比较、取值范围、最值类题型，深化数形结合思想。 学习目标 一、 复习回顾：知识回顾 问题1.抛物线y=ax2+k与抛物线y=a(x-h)2由抛物线y=ax2怎样平移得到? 问题2 猜想：抛物线y=a(x-h)2+k由抛物线y=ax2怎样平移得到? 1.7.2013 在开始新知识的学习之前，我们先来快速回顾一下前两节课的内容。我们学习了二次函数的基础形式y=ax²，以及它经过上下平移得到的y=ax²+k和左右平移得到的y=a(x-h)²。大家还记得它们的顶点坐标分别是什么吗？没错，分别是(0,0)，(0,k)和(h,0)。 ‹#› 二、课题引入 我们已经掌握了二次函数单独进行上下或左右平移的基本规律。如果将这两种平移方式结合起来，函数的图象会发生怎样的变化？它的解析式又会呈现出怎样的形式？ 1.7.2013 很好，看来大家对之前的知识掌握得很牢固。那么，现在请大家思考一个新问题：如果我们把上下平移和左右平移结合起来，会得到一个什么样的函数呢？它的图象又会是什么样子？这就是我们这节课要解决的核心问题——探究二次函数的一般顶点式y=a(x-h)²+k。 ‹#› 列表、描点、光滑连线， 三、 探究新知：画出函数 y = -(x + 1)² - 1 的图象 x ... -4 -3 -2 -1 0 1 2 ... y = -(x + 1)² - 1 ... -5.5 -3 -1.5 -1 -1.5 -3 -5.5 ... 列表、描点、光滑连线， y=-(x+1)2-1 开口向下，对称轴是直线x=-1，顶点坐标是(-1, -1) 三、 探究新知：画出函数 y = -(x + 1)² - 1 的图象 三、 探究新知：平移路径的探索 路径一：先左右平移，再上下平移 1. 基础：y = -x²，顶点 (0, 0) 2. 左移1：y = -(x + 1)²，顶点 (-1, 0) 3. 下移1：y = -(x + 1)² - 1，顶点 (-1, -1) 路径二：先上下平移，再左右平移 1. 基础：y = -x²，顶点 (0, 0) 2. 下移1：y = -x² - 1，顶点 (0, -1) 3. 左移1：y = -(x + 1)² - 1，顶点 (-1, -1) 两种不同的平移顺序，最终得到的函数解析式完全相同。 1.7.2013 我们已经画出了函数图象。现在，让我们来探究它与基础抛物线y=-½x²的关系。它是如何通过平移得到的呢？我们可以有两种路径：第一种是先左右平移，再上下平移；第二种是先上下平移，再左右平移。大家可以看到，无论哪种路径，最终得到的图象是完全相同的。这说明平移的顺序并不影响最终结果。 ‹#› 三、 探究新知：归纳总结 y = a(x - h)² + k 的性质 y=a(x-h)2+k a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大. 向上 直线x=h （h,k） x=h时，y最小值=k 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. 向下 直线x=h （h,k） x=h时，y最大值=k 四、典例讲解：利用顶点式求解析式 例 1已知一个二次函数的图象顶点为 (2, -3)，且经过点 (3, -1)，求这个二次函数的解析式。 解：设函数解析式为：y = a(x - 2)² - 3 由题知，将已知点 (3, -1) 代入所设解析式，得： -1 = a(3 - 2)² - 3 解得：a = 2 ∴函数的解析式为：y = 2(x - 2)² - 3 1.7.2013 理论学习完了，我们来看一个例题。题目告诉我们二次函数的顶点是(2,-3)，并且经过点(3,-1)，要求我们求出解析式。因为已知顶点坐标，所以我们可以直接设顶点式y=a(x-h)²+k，其中h=2，k=-3。然后将另一个点(3,-1)代入，就可以解出a=2。所以，最终的解析式就是y=2(x-2)²-3。 ‹#› 四、典例讲解 例2修建圆形喷水池，水柱在离池中心1.6m处达到最高点3m，落地处离池中心3.6m。若以池中心为原点建立平面直角坐标系，试求水管的出水高度（即x=0时的y值）。 解：设解函数析式为：y = a(x - 1.6)² + 3 将(3.6, 0)代入方程：0 = a(3.6-1.6)² + 3 解得 a = -0.75。令 x=0 代入解析式： y = -0.75×(1.6)² + 3得， y = 1.08。 答：水管的出水高度（长度）为1.08 米。 1.7.2013 我们再来看一个实际应用问题。喷水池的水柱轨迹是一条抛物线。我们可以建立坐标系，将池中心设为原点。题目告诉我们顶点坐标是(1.6, 3)，以及与x轴的交点(3.6, 0)。我们设顶点式，代入交点坐标求出a，然后令x=0，求出的y值就是水管的长度。 ‹#› 1.说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况： （1）y=2(x+3)2+5； （2）y=-3(x-1)2-2； （3）y=4(x-3)2+7； （4）y=-5(x+2)2-6. 教材P41练习第1题 开口向上，对称轴为x=-3，顶点坐标为（-3，5），当x<-3时，y随x的增大而减小，当x>-3时，y随x的增大而增大. 开口向下，对称轴为x=1，顶点坐标为（1，-2），当x<1时，y随x的增大而增大，当x>1时，y随x的增大而减小. 开口向上，对称轴为x=3，顶点坐标为（3，7），当x<3时，y随x的增大而减小，当x>3时，y随x的增大而增大. 开口向下，对称轴为x=-2，顶点坐标为（-2，-6），当x<-2时，y随x的增大而增大，当x>-2时，y随x的增大而减小. 五、 课堂练习 教材P41练习第2题 2.说出下列二次函数的最大值或最小值： (1) y= (x+2)²－2; (2) y= － (x － 1)²+2. 当x=-2时， y最小值=-2. 当x=1时， y最大值=2. 六、 当堂检测 1.抛物线 y = -5(x - 1)² + 3 的顶点坐标是（ ） A. (-1, 3) B. (1, 3) C. (-1, -3) D. (1, -3) 2.将抛物线 y = x² 向左平移 2 个单位，再向上平移 5 个单位，得到的新抛物线解析式是：__________ B y = (x+2)² + 5 1.7.2013 为了检验大家本节课的学习成果，我们来进行一个快速的当堂检测。请大家独立完成屏幕上的三道题目。时间有限，大家要抓紧哦。好，时间到，我们一起来看答案。第一题选B。第二题，向左平移2个单位是x+2，向上平移5个单位是+5，所以解析式是y=(x+2)²+5。第三题，因为a>0，所以函数有最小值，最小值就是k的值-4，所以是对的。 ‹#› 3.小明在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y=- x2+3.5的一部分（如图），若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l是( ). A.3.5 m B.4 m C.4.5 m D.4.6 m B 六、 当堂检测 图象 1.开口方向由a的符号决定； 2.顶点坐标是(h, k)； 3.对称轴是直线x=h. 性质 平移规律 左右平移：自变量左加右减 上下平移：常数项上加下减 增减性结合开口方向和对称轴才能确定. 七、 课堂小结： 八：课后作业 基础巩固练习从教材习题中选取； 思维拓展探究（思考题） 尝试推导：如何利用“配方法”将二次函数一般式y = ax2 + bx + c 转化为顶点式 y = a(x - h)2 + k ？ 1.7.2013 除了知识本身，我们在学习过程中还运用了一些重要的数学思想方法，如数形结合、从特殊到一般、数学建模。这些方法对于我们今后学习更复杂的函数非常有帮助。课后请大家完成教材上的练习题，并思考一个问题：如何将一般式y=ax²+bx+c转化为顶点式y=a(x-h)²+k？我们下节课将继续探讨。 ‹#› $