第四单元专项07 圆的面积的认识及应用（典例专项训练）六年级数学上册典例专项精讲（人教版 新教材）

**基本信息** 聚焦圆的面积计算及应用，通过基础概念、图形关系、实际情境、组合计算四类题型，系统覆盖半径-直径-周长-面积转化逻辑，培养几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|选择1-2、填空14-15|已知周长/直径求面积，圆与方/长方形成积比较|从圆的基本要素（半径、直径）推导面积公式，建立量的转化关系| |图形关系比较|选择3-4、7|等周长图形面积比较，最大圆/半圆截取|通过对比强化“周长一定时圆面积最大”的空间观念，培养推理意识| |实际情境应用|填空13、18-19、解答22-25|环形面积、喷灌射程、树干横截面计算|将面积公式应用于生活场景，构建数学模型解决实际问题| |组合图形计算|解答26-27、35|正方形与半圆组合、运动场（圆+长方形）面积|综合运用圆与多边形面积公式，发展空间组合与运算能力|

第四单元专项07 圆的面积的认识及应用（典例专项训练） 一、选择题 1．胡师傅将一块圆形钢板锯成两个半圆形备用，这时周长增加了24cm，原来圆形钢板的面积是（    ）。 A．113.04 B．226.08 C．452.16 D．56.52 2．《九章算术》对圆的面积计算有这样的记载：“半周半径相乘得积步”。意思是利用圆周长的一半乘圆的半径得到圆的面积。利用这个方法计算：一个周长是31.4厘米的圆的面积是（    ）平方厘米。 A．78.5 B．157 C．314 D．31400 3．李叔叔用三段一样长的铁丝网，分别围了圆形、正方形和长方形三块地给鸡、鸭、羊活动。这三块地的面积相比，结果是（    ）。 A．圆形地的面积最大 B．正方形地的面积最大 C．长方形地的面积最大 D．三块地的面积一样大 4．下面面积最大的圆是（    ）。 A．半径是5厘米的圆。 B．周长是18.84厘米的圆。 C．直径是8厘米的圆。 D．在边长是12厘米的正方形里画一个最大的圆。 5．图中长方形和圆的面积相等，长方形的长是12.56cm，圆的面积是（    ）cm2。 A．50.24 B．25.12 C．12.56 D．200.96 6．乐乐家的圆形餐桌（如图），桌面面积大约是110平方分米，妈妈要为这个餐桌配一块正方形桌布，把桌面全覆盖上，商店有以下三种规格的桌布，她应该选择边长至少是（    ）的桌布。 A．18厘米 B．6分米 C．12分米 7．小明用同一根绳子首尾相接去围一块地，围出的（    ）的面积最大。 A．正方形 B．长方形 C．等边三角形 D．圆 8．某圆形草坪的面积为，现需在其中心安装自动旋转喷灌装置。若可选装置的射程分别为10m、15m、18m、20m，则选择（    ）的装置最合适。 A．10m B．15m C．18m D．20m 9．小强要剪一个面积是50.24平方厘米的圆形纸片。选择下面的纸片最合适的是（    ）。 A．长是8厘米，宽是6厘米的长方形 B．边长是4厘米的正方形 C．长是9厘米，宽是8厘米的长方形 D．周长是28厘米的正方形 10．小丽绕着一个圆形草坪的边缘走了一圈，一共走了50.24米，这个圆形草坪的占地面积是（    ）平方米。 A．401.92 B．200.96 C．100.48 D．50.24 二、填空题 11．一根绳子刚好可以围成一个边长为3.14dm的正方形，若用这根绳子围成一个圆，这个圆的半径是（ ）dm，面积是（ ）。 12．一个圆形花坛的周长是62.8m，如果把它的半径增加1m，这个花坛的面积会增加（ ）。 13．雨滴落在平静的水面上，对水面产生冲击力会激起一圈圈的涟漪。雨滴落入一个边长是8m的正方形水池中，所形成的最大的整圆波纹周长是（ ）m，面积是（ ）m2。 14．一个圆的直径是8厘米，它的半径是（ ）厘米，周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。（π取3.14） 15．如图，两条平行线间有正方形，平行四边形和圆。 图（ ）的面积最小，图（ ）的周长最长。（填序号） 16．妈妈准备了两张长是8cm、宽是6cm的长方形纸片。军军在这张纸片上画一个最大的圆，那么这个圆的周长是（ ）cm。欢欢在这张纸片上画一个最大的半圆形，这个半圆形的周长是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 17．把一个直径是20厘米的圆形纸片连续对折3次，得到（ ）个同样大小的扇形，每个扇形的圆心角是（ ）度，每个扇形的面积是（ ）平方厘米。 18．如图所示为一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场。若篱笆长9.42m，则这个养鸡场的面积是（ ）。 19．伊丽莎白塔俗称大本钟，其分针长约4m。从9：00到9：45，分针尖端走过的路程约是（ ）m，分针扫过的面积约是（ ）。 20．小花用一根长12.56厘米的丝带，在自己的圆形头饰上刚好绕一圈。则圆形头饰的半径是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 三、计算题 21．求涂色部分的面积。 （1）    （2） 四、解答题 22．公园里有一个直径为10米的圆形花圃，现计划在花圃外围修一条2米宽的环形石子路。这条石子路的面积是多少平方米？ 23．“千顷烟波一亩池，柳堤收得小涟漪”，这句诗描绘了雨滴在水面激起圆形波纹的景象。现有一个长7米、宽6米的长方形水池，若波纹从池中心向外扩散，直至碰到池边，所形成的最大圆的周长和面积分别是多少？ 24．在一个长6米、宽4米的长方形花圃里修建一个最大的圆形水池。水池的占地面积是多少平方米？剩下的花圃的面积是多少平方米？ 25．小明经常在自家小区圆形的花坛边散步。这天，他以每分钟62.8米的速度绕花坛边缘走了一圈，恰好用了5分钟。这个花坛的占地面积是多少平方米？ 26．海棠门是一种形似四瓣海棠花的经典中式门洞，广泛应用在传统和现代空间的设计中，它可以看成是由一个正方形和四个半圆组合而成的图形，如图，图中这个海棠门的面积是多少平方米？ 27．如图是一个学校运动场的平面图，两端是半圆形，中间是长方形。这个运动场的面积是多少平方米？ 28．阳光小学课间增加了跳跳球活动，玩跳跳球时需要一只脚在圈内，将跳跳球旋转起来，另一只脚跳起躲避球。如下图，如果站在圈内的脚在跳动时位置不变，那么每个人的活动面积至少是多少平方米？ 29．冬季，环卫工人给树木的树干缠绕草绳来保温保湿。一棵大树树干的横截面近似圆形、用一根长10米的草绳缠绕树干3圈还剩0.58米。 （1）这棵大树树干的横截面半径是多少米？ （2）这棵大树树干的横截面面积是多少平方米？ 30．小区里有一个周长是50.24米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷水器进行喷灌。现有射程为6米、8米、12米的三种装置。 （1）你认为选哪种比较合适？安装在什么位置？（写出推算过程） （2）射程为6米的喷水器比射程为8米的喷水器，浇灌的面积少多少平方米？ 31．李叔叔要在一块长8米，宽6米的空地上铺设一个圆形或半圆形鱼池，要使鱼池的占地面积尽可能大，请你帮他设计一下，在图中画一画，你建议李叔叔选择哪个方案，为什么？ 32．许多美丽的图案是将图形按一定的规律排列而成的。现用若干个相等的圆在长方形纸带上设计图案，每个圆都经过前一个圆的圆心（如图所示），若每个圆的周长为8πcm。 （1）若整个图案需要10个这样的圆，则至少需要多长的纸带？ （2）在（1）的条件下，若把前两个圆的重合部分面积记为S1，且是其中一个圆面积的，整个图案面积是多少cm2？ 33．李芳和张倩同住一个小区，小区旁边有一个圆形活动场。她俩从这个活动场的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，李芳每分钟走72米，张倩每分钟走85米。 （1）这个活动场地的周长是多少米？ （2）这个活动场的占地面积是多少平方米？ 34．海海和园园从圆形场地的同一点出发，沿着场地边缘相背而行，10分钟后两人相遇。海海每分钟走64m，园园每分钟走61.6m。 （1）这个场地的直径是多少米？ （2）这个场地的占地面积是多少平方米？ 35．刘爷爷十分擅长水墨画，他想把自己的作品装裱后挂在家中，现在有两种装裱方式，都使用边框内长为20厘米的正方形框，图1是一联画，画面为框内最大的圆形；图2是四联画，每个圆的直径相同，且圆和圆、圆和框都相接无缝隙。 （1）图2的四联画中，画面所占面积有多大？ （2）两种装裱方式相比，框内空白面积哪个大？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四单元专项07 圆的面积的认识及应用（典例专项训练） 一、选择题 1．胡师傅将一块圆形钢板锯成两个半圆形备用，这时周长增加了24cm，原来圆形钢板的面积是（    ）。 A．113.04 B．226.08 C．452.16 D．56.52 【答案】A 【分析】把圆形锯成两个半圆形，增加的周长等于2条直径的长度，先求出直径，再计算半径，最后根据圆的面积公式计算面积即可。 【解答】求圆形的直径：（厘米） 求圆形的半径：（厘米） 求圆形的面积： （平方厘米） 2．《九章算术》对圆的面积计算有这样的记载：“半周半径相乘得积步”。意思是利用圆周长的一半乘圆的半径得到圆的面积。利用这个方法计算：一个周长是31.4厘米的圆的面积是（    ）平方厘米。 A．78.5 B．157 C．314 D．31400 【答案】A 【分析】先根据圆的周长公式C＝2πr，π取3.14，分别求出周长的一半和圆的半径，再按照题目给出的“半周乘半径得面积”方法计算即可。 【解答】周长的一半：31.4÷2＝15.7（厘米） 圆的半径：31.4÷（2×3.14） ＝31.4÷6.28 ＝5（厘米） 圆的面积：15.7×5＝78.5（平方厘米） 3．李叔叔用三段一样长的铁丝网，分别围了圆形、正方形和长方形三块地给鸡、鸭、羊活动。这三块地的面积相比，结果是（    ）。 A．圆形地的面积最大 B．正方形地的面积最大 C．长方形地的面积最大 D．三块地的面积一样大 【答案】A 【分析】周长相等的长方形和正方形，长方形的长与宽越接近，面积越大，而正方形可以看成长与宽是相等的，因此正方形面积大于长方形面积。 先假设铁丝的长度，然后根据公式计算圆和正方形的面积，最后比较大小即可解决。 根据圆的周长＝π×半径×2，正方形周长＝边长×4，据此求出圆的半径和正方形边长；再根据圆的面积＝π×，正方形面积＝边长×边长，计算圆和正方形的面积。 【解答】设铁丝长为3.14， 圆：3.14÷3.14÷2 ＝1÷2 ＝0.5 3.14×＝3.14×0.25＝0.785 正方形：3.14÷4＝0.785 0.785×0.785＝0.616225 长与宽越接近，长方形的面积越大，当长与宽相等时（成正方形），面积最大；所以周长相同，正方形面积大于长方形面积。 0.785＞0.616225＞长方形面积，面积最大的是圆。 这三块地的面积相比，圆形地的面积最大。 4．下面面积最大的圆是（    ）。 A．半径是5厘米的圆。 B．周长是18.84厘米的圆。 C．直径是8厘米的圆。 D．在边长是12厘米的正方形里画一个最大的圆。 【答案】D 【分析】根据圆的面积公式πr2可知：圆的半径越大，面积就越大，先求出每个选项中圆的半径，再比较大小即可；正方形里画最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。圆的周长公式C＝2πr，半径＝直径÷2。 【解答】A．圆的半径为5厘米； B．18.84÷（2×3.14）＝18.84÷6.28＝3（厘米），圆的半径为3厘米； C．8÷2＝4（厘米），圆的半径为4厘米； D．12÷2＝6（厘米），圆的半径为6厘米。 6＞5＞4＞3 所以面积最大的圆是在边长是12厘米的正方形里画一个最大的圆。 5．图中长方形和圆的面积相等，长方形的长是12.56cm，圆的面积是（    ）cm2。 A．50.24 B．25.12 C．12.56 D．200.96 【答案】A 【分析】根据图形，圆的半径恰好是长方形的宽，可以设圆的半径是rcm。根据长方形的面积＝长×宽，得出长方形的面积是（12.56r），圆的面积＝＝3.14。再根据长方形和圆的面积相等，列出方程，得出半径，再根据圆的面积公式得出面积。 【解答】解：设圆的半径为rcm。 12.56r＝3.14 12.56r÷r＝3.14÷r 12.56＝3.14r r＝12.56÷3.14 r＝4 圆的面积： 3.14×＝3.14×16＝50.24（） 则圆的面积是50.24。 6．乐乐家的圆形餐桌（如图），桌面面积大约是110平方分米，妈妈要为这个餐桌配一块正方形桌布，把桌面全覆盖上，商店有以下三种规格的桌布，她应该选择边长至少是（    ）的桌布。 A．18厘米 B．6分米 C．12分米 【答案】C 【分析】根据题意，选择的桌布面积至少要比桌面面积大。根据正方形的面积＝边长×边长，算出各规格的桌布面积，再结合实际情况，选择恰当的桌布。 【详解】A．18×18＝324（平方厘米），324平方厘米＝3.24平方分米。比110平方分米小，不能把桌面全覆盖上。该选项不符合题意。 B．6×6＝36（平方分米），比110平方分米小，不能把桌面全覆盖上。该选项不符合题意。 C．12×12＝144（平方分米），比110平方分米大，能把桌面全覆盖上且不浪费。该选项符合题意。 故答案为：C 7．小明用同一根绳子首尾相接去围一块地，围出的（    ）的面积最大。 A．正方形 B．长方形 C．等边三角形 D．圆 【答案】D 【分析】根据题意，用同一根绳子围成长方形、正方形、等边三角形和圆，那么图形的周长等于铁丝的长度，可以设绳子长6.28米； A．根据正方形的边长＝周长÷4；再根据正方形的面积＝边长×边长，求出正方形的面积； B．根据长方形的长、宽之和＝周长÷2，由此假设出长方形的长、宽，再根据长方形的面积＝长×宽，求出长方形的面积； C．等边三角形的三条边相等，用周长除以3，求出等边三角形的边长；等边三角形的高小于边长，由此假设出高，根据三角形的面积＝底×高÷2，求出等边三角形的面积； D．根据圆的周长公式C＝2πr可知，r＝C÷π÷2，由此求出圆的半径；再根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆的面积； 最后比较长方形、正方形、等边三角形和圆的面积大小，得出哪个图形的面积最大。 【解答】设绳子长6.28米。 A．正方形的边长：6.28÷4＝1.57（米） 正方形的面积：1.57×1.57＝2.4649（平方米） B．长方形的长、宽之和：6.28÷2＝3.14（米） 假设长方形的长是1.64米，宽是1.5米； 长方形的面积：1.64×1.5＝2.46（平方米） C．等边三角形的边长：6.28÷3≈2.09（米） 等边三角形的高小于边长2.09，设高为1.8； 等边三角形的面积：2.09×1.8÷2＝1.881（平方米） D．圆的半径：6.28÷3.14÷2＝1（米） 圆的面积：3.14×12＝3.14（平方米） 3.14＞2.4649＞2.46＞1.881 圆的面积＞正方形的面积＞长方形的面积＞等边三角形的面积 所以，面积最大的是圆。 8．某圆形草坪的面积为，现需在其中心安装自动旋转喷灌装置。若可选装置的射程分别为10m、15m、18m、20m，则选择（    ）的装置最合适。 A．10m B．15m C．18m D．20m 【答案】B 【分析】自动旋转喷灌装置的射程对应喷灌范围圆形的半径，要选择喷灌面积不小于草坪面积且最接近草坪面积的装置最合适。取，根据圆的面积公式计算各选项对应的喷灌面积，然后找出最合适的装置。 【解答】A．，，无法覆盖草坪。 B．，，且最接近草坪面积。 C．，1017.36远大于700，资源浪费多。 D．，1256远大于700，资源浪费多。 所以，选择15m的装置最合适。 9．小强要剪一个面积是50.24平方厘米的圆形纸片。选择下面的纸片最合适的是（    ）。 A．长是8厘米，宽是6厘米的长方形 B．边长是4厘米的正方形 C．长是9厘米，宽是8厘米的长方形 D．周长是28厘米的正方形 【答案】C 【分析】圆的面积＝，圆的面积÷，计算出圆的半径。如果要从纸片里剪出一个圆形纸片，则纸片的短边不小于圆的直径，据此分析。 【解答】50.24÷3.14＝16，4×4＝16 所以面积是50.24平方厘米的圆形纸片，它的半径是4厘米，直径是8厘米。 A．6＜8，长是8厘米，宽是6厘米的长方形，无法剪出一个直径8厘米的圆形； B．4＜8，边长是4厘米的正方形，无法剪出一个直径8厘米的圆形； C．8＝8，长是9厘米，宽是8厘米的长方形，可以剪出一个直径8厘米的圆形； D．28÷4＝7，周长是28厘米的正方形，它的边长是7厘米，7＜8，无法剪出一个直径8厘米的圆形。 10．小丽绕着一个圆形草坪的边缘走了一圈，一共走了50.24米，这个圆形草坪的占地面积是（    ）平方米。 A．401.92 B．200.96 C．100.48 D．50.24 【答案】B 【分析】根据圆周长公式：（π取3.14，r为半径），则r＝C÷π÷2，把数据代入公式计算后即可得出该圆形草坪的半径，又因为圆面积公式为：，把计算得出的半径代入公式计算即可。 【解答】 （米） （平方米） 这个圆形草坪的占地面积是200.96平方米。 二、填空题 11．一根绳子刚好可以围成一个边长为3.14dm的正方形，若用这根绳子围成一个圆，这个圆的半径是（ ）dm，面积是（ ）。 【答案】2 12.56 【分析】因为绳子长度不变，所以首先根据正方形边长，利用正方形周长公式计算出绳子的总长度，也就是后续围成的圆的周长。 得到圆的周长后，结合圆的周长C＝πd公式，反推计算出圆的半径。 求出半径后，代入圆的面积公式，计算出圆的面积。 【解答】3.14×4÷2÷3.14＝2（dm） 3.14×＝3.14×4＝12.56（） 12．一个圆形花坛的周长是62.8m，如果把它的半径增加1m，这个花坛的面积会增加（ ）。 【答案】65.94 【分析】因为已知圆形花坛的周长，所以根据圆的周长公式，可先求出花坛原来的半径。 因为要计算半径增加1米后的面积增加量，所以根据圆环面积的计算思路，用半径增加后的圆面积减去原来的圆面积即可，会用到圆的面积公式。 【解答】 （m） （m） （m2） 这个花坛的面积会增加65.94m2。 13．雨滴落在平静的水面上，对水面产生冲击力会激起一圈圈的涟漪。雨滴落入一个边长是8m的正方形水池中，所形成的最大的整圆波纹周长是（ ）m，面积是（ ）m2。 【答案】25.12 50.24 【分析】若要形成最大的整圆，雨滴要落到正方形的正中央，此时正方形的边长就是圆的直径。 【解答】周长：3.14×8＝25.12（m） 面积： 3.14×（8÷2）2 ＝3.14×42 ＝3.14×16 ＝50.24（m2） 14．一个圆的直径是8厘米，它的半径是（ ）厘米，周长是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。（π取3.14） 【答案】4 25.12 50.24 【分析】半径＝直径÷2，圆的周长C＝πd，圆的面积S＝πr2，据此代入数据计算即可。 【解答】8÷2＝4（厘米） 3.14×8＝25.12（厘米） 3.14×42＝50.24（平方厘米） 15．如图，两条平行线间有正方形，平行四边形和圆。 图（ ）的面积最小，图（ ）的周长最长。（填序号） 【答案】③ ② 【分析】由图知，正方形的边长等于平行四边形的高等于圆的直径。据此代入正方形面积S＝边长×边长，平行四边形面积S＝底×高，圆的面积，计算并比较三个图形面积的关系；再根据直角三角形的斜边大于直角边，以及正方形周长＝边长×4，圆的周长C＝πd，计算并比较三个图形周长的关系。 【解答】（1）正方形面积：3×3＝9（平方厘米） 平行四边形面积：3×3＝9（平方厘米） 圆的面积： 3.14×（3÷2）2 ＝3.14×1.52 ＝3.14×2.25 ＝7.065（平方厘米） 因为9＝9＞7.065， 所以可得正方形面积等于平行四边形面积，圆的面积最小。 （2）正方形周长：3×4＝12（厘米） 圆的周长：3.14×3＝9.42（厘米） 因为平行四边形的底＝正方形的边长，另一斜边的长度大于正方形的边长，可知平行四边形的周长一定大于正方形的周长。因此，平行四边形周长最大，其次是正方形周长，圆的周长最小。 16．妈妈准备了两张长是8cm、宽是6cm的长方形纸片。军军在这张纸片上画一个最大的圆，那么这个圆的周长是（ ）cm。欢欢在这张纸片上画一个最大的半圆形，这个半圆形的周长是（ ）cm，面积是（ ）cm2。 【答案】18.84 20.56 25.12 【分析】长方形内画最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，根据圆的周长＝π×直径，求出圆的周长；长方形内画最大的半圆，如果半圆的直径等于宽那么半径是6cm，直径是6×2＝12cm，长度不够。所以半圆的直径等于长方形的长，根据半圆的周长＝π×半径＋直径，据此求出半圆的周长，再根据圆的面积＝π×半径2，据此求出半圆的面积。 【解答】3.14×6＝18.84（cm） 8÷2＝4（cm） 3.14×4＋8 ＝12.56＋8 ＝20.56（cm） 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝50.24÷2 ＝25.12（cm2） 17．把一个直径是20厘米的圆形纸片连续对折3次，得到（ ）个同样大小的扇形，每个扇形的圆心角是（ ）度，每个扇形的面积是（ ）平方厘米。 【答案】8 45 39.25/ 【分析】把一张圆形纸对折1次，平均分成2份，所对的圆周角是360°除以2，对折2次，平均分成4份，所对的圆周角是360°除以4， 对折3次，平均分成8份，所对的圆心角是360°除以8，每个扇形的面积用圆的面积除以8，据此解答。 【解答】 （个） （度） （平方厘米） 把一个直径是20厘米的圆形纸片连续对折3次，得到8个同样大小的扇形，每个扇形的圆心角是45度，每个扇形的面积是39.25平方厘米。 18．如图所示为一个一面靠墙，另一面用篱笆围成的半圆形养鸡场。若篱笆长9.42m，则这个养鸡场的面积是（ ）。 【答案】14.13 【分析】根据图形可知篱笆长度为圆周长的一半。圆的周长，据此算出半径。养鸡场的面积为圆面积的一半。圆的面积，据此计算即可。 【解答】 19．伊丽莎白塔俗称大本钟，其分针长约4m。从9：00到9：45，分针尖端走过的路程约是（ ）m，分针扫过的面积约是（ ）。 【答案】18.84 37.68 【分析】分针走一圈是60分钟，从9：00到9：45，分针走了45分钟，走了＝圈，分针尖端走过的路程为半径4m的圆的周长的，分针扫过的面积为半径4m的圆的面积的，圆的周长：C＝2πr，圆的面积：S＝πr2；把数据代入公式计算即可。 【解答】9：45－9：00＝45（分钟） 45÷60＝＝ 2×3.14×4× ＝（2×3.14）×（4×） ＝6.28×3 ＝18.84（m） 3.14×42× ＝3.14×16× ＝3.14×（16×） ＝3.14×12 ＝37.68（m2） 20．小花用一根长12.56厘米的丝带，在自己的圆形头饰上刚好绕一圈。则圆形头饰的半径是（ ）厘米，面积是（ ）平方厘米。 【答案】2 12.56 【分析】根据圆的周长＝2πr，可得r＝圆的周长÷π÷2，圆的面积＝，代入数据即可求解。 【解答】12.56÷3.14÷2＝4÷2＝2（厘米） 3.14×＝3.14×4＝12.56（平方厘米） 即圆形头饰的半径是2厘米，面积是12.56平方厘米。 三、计算题 21．求涂色部分的面积。 （1）    （2） 【答案】（1）12.5平方厘米 （2）34.74平方厘米 【分析】（1）先确定图形的构成，明确涂色部分可通过割补法转化为规则图形。因为下方两个扇形的半径和上方半圆的半径相同，且两个扇形可拼接为和上方半圆面积相等的图形，所以可将涂色部分转化为正方形面积的一半，利用正方形面积＝边长×边长计算。 （2），圆的面积。先判断涂色部分为直角梯形减去四分之一圆的面积。因为已知圆的半径等于梯形的高和上底，梯形下底已知，所以先分别计算直角梯形面积和四分之一圆的面积，再作差得到涂色部分面积。 【解答】（1）如图， 5×5÷2＝12.5（平方厘米） 阴影部分的面积是12.5平方厘米。 （2）（6＋15）×6÷2 ＝21×6÷2 ＝63（平方厘米） （平方厘米） 63－28.26＝34.74（平方厘米） 阴影部分的面积是34.74平方厘米。 四、解答题 22．公园里有一个直径为10米的圆形花圃，现计划在花圃外围修一条2米宽的环形石子路。这条石子路的面积是多少平方米？ 【答案】75.36平方米 【分析】石子路的形状是环形，圆环面积公式为：圆环面积＝外圆面积－内圆面积，圆的面积公式是，据此计算即可。 【解答】10÷2＝5（米） 5＋2＝7（米） 3.14×（72－52） ＝3.14×（49－25） ＝3.14×24 ＝75.36（平方米） 答：这条石子路的面积是75.36平方米。 23．“千顷烟波一亩池，柳堤收得小涟漪”，这句诗描绘了雨滴在水面激起圆形波纹的景象。现有一个长7米、宽6米的长方形水池，若波纹从池中心向外扩散，直至碰到池边，所形成的最大圆的周长和面积分别是多少？ 【答案】周长18.84米，面积28.26平方米 【分析】波纹从池中心扩散至池边形成的最大圆，其直径等于长方形水池的较短边，所以圆的直径为6米，半径为6÷2＝3（米），圆的周长：C＝2πr，圆的面积：S＝πr2；把数据代入圆的周长、面积公式计算即可。 【解答】长方形水池长7米、宽6米，，因此最大圆的直径等于长方形的宽，为6米。 6÷2＝3（米） （米） （平方米） 答：最大圆的周长是18.84米，面积是28.26平方米。 24．在一个长6米、宽4米的长方形花圃里修建一个最大的圆形水池。水池的占地面积是多少平方米？剩下的花圃的面积是多少平方米？ 【答案】12.56平方米 11.44平方米 【分析】长方形内最大的圆的直径等于长方形的宽，先据此求出圆的半径，再计算圆的面积，最后用长方形面积减去圆的面积得到剩余花圃面积。 【解答】圆形水池的半径：（米） 水池的占地面积：（平方米） 长方形花圃的面积：（平方米） 剩下的花圃面积：（平方米） 答：水池的占地面积是12.56平方米，剩下的花圃的面积是11.44平方米。 25．小明经常在自家小区圆形的花坛边散步。这天，他以每分钟62.8米的速度绕花坛边缘走了一圈，恰好用了5分钟。这个花坛的占地面积是多少平方米？ 【答案】7850平方米 【分析】先根据“速度×时间＝路程”算出圆的周长，再通过r＝C÷（2π）求出半径，最后通过S＝πr2计算出圆的面积。 【解答】周长： 62.8×5＝314（米） 半径： 314÷（2×3.14） ＝314÷6.28 ＝50（米） 面积：S＝ ＝3.14× ＝3.14×2500 ＝7850（平方米） 答：这个花坛的占地面积是7850平方米。 【点睛】理解路程就是圆的周长，根据周长计算圆的半径，最后计算圆的面积。 26．海棠门是一种形似四瓣海棠花的经典中式门洞，广泛应用在传统和现代空间的设计中，它可以看成是由一个正方形和四个半圆组合而成的图形，如图，图中这个海棠门的面积是多少平方米？ 【答案】2.57平方米 【分析】根据题意，海棠门由一个边长为1米的正方形和四个半圆组成，四个半圆可拼成两个完整的圆，圆的直径为1米，半径为0.5米；先计算正方形面积，再计算两个圆的面积，最后相加得到总面积（圆的面积＝πr2，正方形面积＝边长×边长），据此解答。 【解答】正方形面积：1×1＝1（平方米） 圆的半径：1÷2＝0.5（米） 2个圆的面积： π×0.52×2 ＝π×0.25×2 ＝0.25π×2 ＝0.5π（平方米） 海棠门面积： 1＋0.5π ＝1＋1.57 ＝2.57（平方米） 答：图中这个海棠门的面积是2.57平方米。 27．如图是一个学校运动场的平面图，两端是半圆形，中间是长方形。这个运动场的面积是多少平方米？ 【答案】9615.36平方米 【分析】这个运动场左右两个半圆可以组成一个圆，所以运动场的面积等于一个长方形的面积与一个圆的面积的和。根据圆的面积公式S＝πr2，以及长方形的面积＝长×宽，列式解答。 【解答】3.14×（64÷2）2＋100×64 ＝3.14×322＋6400 ＝3.14×1024＋6400 ＝3215.36＋6400 ＝9615.36（平方米） 答：这个运动场的面积是9615.36平方米。 28．阳光小学课间增加了跳跳球活动，玩跳跳球时需要一只脚在圈内，将跳跳球旋转起来，另一只脚跳起躲避球。如下图，如果站在圈内的脚在跳动时位置不变，那么每个人的活动面积至少是多少平方米？ 【答案】2.5434平方米 【分析】站在圈内的脚位置不变，跳跳球旋转形成一个圆，绳长90 厘米就是圆的半径，活动面积就是这个圆的面积，先把单位换算成米，再根据圆的面积公式S＝πr2，π取3.14，代入数值即可解答。 【解答】90厘米＝0.9米 3.14×0.92 ＝3.14×0.81 ＝2.5434（平方米） 答：每个人的活动面积至少是2.5434平方米。 29．冬季，环卫工人给树木的树干缠绕草绳来保温保湿。一棵大树树干的横截面近似圆形、用一根长10米的草绳缠绕树干3圈还剩0.58米。 （1）这棵大树树干的横截面半径是多少米？ （2）这棵大树树干的横截面面积是多少平方米？ 【答案】（1）0.5米 （2）0.785平方米 【分析】（1）用10米减去还剩下的0.58米，为3个圆的周长，用其除以3，即可求得一个圆的周长。根据圆的周长＝2πr，即可求得这棵大树树干的横截面半径是多少米。 （2）根据圆的面积＝πr2，代入即可求得这棵大树树干的横截面面积是多少平方米。 【解答】（1）10－0.58＝9.42（米） 9.42÷3＝3.14（米） 3.14÷2÷3.14 ＝1.57÷3.14 ＝0.5（米） 答：这棵大树树干的横截面半径是0.5米。 （2）3.14×0.52 ＝3.14×0.25 ＝0.785（平方米） 答：这棵大树树干的横截面面积是0.785平方米。 30．小区里有一个周长是50.24米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷水器进行喷灌。现有射程为6米、8米、12米的三种装置。 （1）你认为选哪种比较合适？安装在什么位置？（写出推算过程） （2）射程为6米的喷水器比射程为8米的喷水器，浇灌的面积少多少平方米？ 【答案】（1）射程为8米的装置；安装在圆心位置 （2）87.92平方米 【分析】解答这道题需明确：知道周长时，圆的半径。圆的面积。 （1）题目已知小区里有一个周长是50.24米的圆形草坪，准备为它安装自动旋转喷水器进行喷灌。现有射程为6米、8米、12米的三种装置，射程是喷水装置进行喷灌时形成的圆的半径。应先利用周长求出圆的半径，看哪种装置的射程和圆的半径相等，就选哪种射程的装置。将装置安装在圆心的位置。 （2）利用面积公式，分别算出射程为6米和射程为8米的浇灌的面积，再相减即可求出浇灌的面积少多少平方米。 【解答】（1） （米） 答：我认为选射程8米的装置比较合适，安装在圆心位置。 （2） （平方米） （平方米） （平方米） 答：浇灌的面积少87.92平方米。 31．李叔叔要在一块长8米，宽6米的空地上铺设一个圆形或半圆形鱼池，要使鱼池的占地面积尽可能大，请你帮他设计一下，在图中画一画，你建议李叔叔选择哪个方案，为什么？ 【答案】； 方案一；方案一的圆形鱼池的面积是28.26平方米，方案二的半圆形鱼池的面积是25.12平方米。28.26＞25.12，建议李叔叔选择方案一。 【分析】方案一：在长方形里画一个最大的圆，那么这个圆的直径等于长方形的宽；连接长方形的两条对角线，以交点作为圆的圆心，宽的一半长度作为圆的半径，据此画出这个圆形鱼池； 根据圆的面积公式S＝πr2，求出圆形鱼池的占地面积； 方案二：在长方形里画一个最大的半圆，那么这个半圆的直径等于长方形的长；以一条长边的中心为圆心，以长的一半长度为半圆的半径，据此画出这个半圆形鱼池； 根据半圆的面积公式S＝πr2÷2，求出半圆形鱼池的占地面积； 比较两种方案鱼池的占地面积，建议选择面积大的鱼池。 【解答】图略 方案一： 圆形鱼池的直径是6米，半径是6÷2＝3（米） 圆形鱼池的面积： 3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方米） 方案二： 半圆形鱼池的直径是8米，半径是8÷2＝4（米） 半圆形鱼池的面积： 3.14×42÷2 ＝3.14×16÷2 ＝25.12（平方米） 28.26＞25.12 答：我建议李叔叔选择方案一。因为在同样大小的长方形空地上，方案一的鱼池占地面积更大。 32．许多美丽的图案是将图形按一定的规律排列而成的。现用若干个相等的圆在长方形纸带上设计图案，每个圆都经过前一个圆的圆心（如图所示），若每个圆的周长为8πcm。 （1）若整个图案需要10个这样的圆，则至少需要多长的纸带？ （2）在（1）的条件下，若把前两个圆的重合部分面积记为S1，且是其中一个圆面积的，整个图案面积是多少cm2？ 【答案】（1）44厘米； （2）115π平方厘米； 【分析】（1）依据题意结合图示，利用圆的周长＝π×半径×2，计算出圆的半径，从第二个圆开始，每个圆与前一个圆重合的部分是圆的半径，后面9个圆每个圆实际占的长度是圆的半径，由此解答本题； （2）利用圆的面积＝π×半径×半径，整个图案的面积等于10个圆的面积减去9个S1，由此解答本题。 【解答】（1）圆的半径：8π÷π÷2 ＝8÷2 ＝4（cm） 4×（10－1）＋4×2 ＝4×9＋8 ＝36＋8 ＝44（厘米） 答：至少需要44厘米的纸带。 （2）4×4×π＝16π（cm2） 10×16π－9××16π ＝160π－9×（×16π） ＝160π－9×5π ＝160π－45π ＝115π（平方厘米） 答：整个图案面积是115π平方厘米。 33．李芳和张倩同住一个小区，小区旁边有一个圆形活动场。她俩从这个活动场的同一地点出发，沿着场地的边相背而行，4分钟后两人相遇，李芳每分钟走72米，张倩每分钟走85米。 （1）这个活动场地的周长是多少米？ （2）这个活动场的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）628米； （2）31400平方米 【分析】（1）根据题意可知，两人的路程和正好就是这个活动场地的周长。速度×时间＝路程，据此分别求出两人的路程，再相加即可； （2）活动场地是圆形的，圆半径＝圆周长÷3.14÷2，据此列式求出圆形活动场的半径，再根据“圆面积＝πr2”列式求出这个活动场的占地面积。 【解答】（1）72×4＋85×4 ＝288＋340 ＝628（米） 答：这个活动场的周长是628米。 （2）628÷3.14÷2 ＝200÷2 ＝100（米） 3.14×1002 ＝3.14×10000 ＝31400（平方米） 答：这个活动场的占地面积是31400平方米。 34．海海和园园从圆形场地的同一点出发，沿着场地边缘相背而行，10分钟后两人相遇。海海每分钟走64m，园园每分钟走61.6m。 （1）这个场地的直径是多少米？ （2）这个场地的占地面积是多少平方米？ 【答案】（1）（64＋61.6）×10＝1256（m） 1256÷3.14＝400（m） （2） 【分析】由题意知，海海和园园每分钟分别走64m和61.6m，相遇时间为10分钟，根据路程＝速度和×相遇时间，可计算出圆的周长。圆的周长公式：，则直径，据此可求出圆的直径。半径：，圆的面积公式：，据此求出面积即可。 【解答】（1）周长： 直径：（米） 答：这个场地的直径是400米。 （2）面积： 答：这个场地的占地面积是125600平方米。 35．刘爷爷十分擅长水墨画，他想把自己的作品装裱后挂在家中，现在有两种装裱方式，都使用边框内长为20厘米的正方形框，图1是一联画，画面为框内最大的圆形；图2是四联画，每个圆的直径相同，且圆和圆、圆和框都相接无缝隙。 （1）图2的四联画中，画面所占面积有多大？ （2）两种装裱方式相比，框内空白面积哪个大？ 【答案】（1）314平方厘米 （2）一样大 【分析】（1）图2中圆的直径＝正方形的边长÷2＝20÷2＝10厘米。根据圆的面积：S＝πr2，代入数据计算出一个圆的面积，再乘4即可。 （2）在图1中圆的直径＝正方形的边长＝20厘米，正方形的面积＝边长×边长。分别代入数据计算求出圆的面积和正方形的面积。框内空白面积＝正方形的面积－画面所占面积。分别计算出图1和图2的框内空白面积，再比较即可。 【解答】（1）20÷2÷2＝5（厘米） 3.14×52×4 ＝3.14×25×4 ＝314（平方厘米） 答：图2的四联画中，画面所占面积有314平方厘米。 （2）一联画空白面积： 20×20－3.14×（20÷2）2 ＝20×20－3.14×102 ＝20×20－3.14×100 ＝400－314 ＝86（平方厘米） 四联画空白面积： 20×20－314 ＝400－314 ＝86（平方厘米） 86＝86 答：两种装裱方式相比，框内空白面积一样大。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $