专题01 圆中经典必考5大几何模型（压轴题专项训练）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 以“解题通法+模型归纳+压轴挑战”构建圆专题训练体系，聚焦核心模型方法迁移与知识逻辑递进，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|1套通法|三步法：找基本要素→位置与数量关系→转化计算|从圆的要素判定到位置关系应用，构建问题解决路径| |模型一至五|每模型1典例+3变式|垂径定理构直角三角形、圆周角倒角、内接四边形对角互补等|从单一模型到综合应用，覆盖圆的性质与定理核心考法| |压轴挑战|15题|综合运用多模型解决复杂几何问题|衔接中考压轴题，提升空间观念与创新意识|

专题01 经典必考圆模型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 模型一、垂径定理模型 模型二、圆周角倒角模型 模型三、圆内接四边形模型 模型四、相交弦定理模型（圆内两弦相交 模型五、三角形外接圆模型（外心） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 看到圆相关模型题第一步先找圆的基本要素：确定圆心与半径，若涉及动点要先判断动点轨迹是否为圆（满足到定点距离等于定长、对角互补的四边形顶点共圆、定线段对定角这三类特征的动点轨迹都是圆）；接着找位置关系与数量关系：直线和圆关注圆心到直线的距离d和半径r的大小关系，圆和圆关注圆心距和两半径和差的大小关系，涉及弦长用垂径定理结合勾股定理计算，涉及切线必连圆心和切点得垂直关系，涉及直径立刻想到直径所对的圆周角是直角；最后结合所求转化问题计算：把最值、范围、距离等问题转化为圆上点到定点/定直线的距离问题，利用圆心到定点/定直线的距离加减半径得结果，涉及交点个数直接根据位置关系的判定规则判断，涉及角度计算利用圆周角定理和圆心角定理转化推导即可。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 模型一、垂径定理模型 典例1 如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 模型模版 1.特征：有圆的直径（半径）垂直于一条弦，出现垂直、平分弦、平分弧条件。 2.方法：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，用勾股定理计算半径、弦长、弦心距。 变式1-1如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 变式1-2如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 变式1-3如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 模型二、圆周角倒角模型 典例2 如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：同圆中多条弦、多个圆周角，存在共弧或等弧，角度需要转化推导. 2.方法：利用同弧 / 等弧圆周角相等，直径得直角，进行角度等量代换完成倒角。 变式2-1如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式2-2如图，在中，，，则______． 变式2-3如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 模型三、圆内接四边形模型 典例3 如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：四边形四个顶点全部落在圆上，出现对角或外角相关角度条件。 2.方法：运用对角互补、外角等于内对角，实现角度之间的转换计算。 变式3-1如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 变式3-2如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． 变式3-3如图，是的内接三角形，延长至点D，平分交于点E，连接，．求证：． 模型四、相交弦定理模型（圆内两弦相交） 典例4 如图，圆中两条弦AC，BD相交于点P．点D是的中点，连结AB，BC，CD，若BP＝，AP＝1，PC＝3．则线段CD的长为（    ） A． B．2 C． D． 题型模版 1.特征：圆内两条弦相交于圆内一点，产生线段乘积类条件或待求。 2.方法：利用相交弦的线段乘积相等，转化线段进行计算。 变式4-1如图，圆的两条弦相交于点和的延长线交于点，下列结论中成立的是（ ） A． B． C． D． 变式4-2已知：的两条弦相交于点M． (1)如图1，若，连接．求证：． (2)如图2，若，在弧BD上取一点E，使，交于点F，连．若，求的大小． 变式4-3⊙O的两条弦AB，CD交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，求CD的长． 题型五、三角形外接圆模型（外心） 典例5 如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：三角形三个顶点都在圆上，圆心为三边垂直平分线交点。 2.方法：利用外心到三顶点距离相等，结合直角三角形性质求外接圆半径。 变式5-1如图，是的外接圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式5-2如图，O是的外心，则________． 变式5-3如图，内接于，．连接并延长，交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的半径为5，，求的长． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 2．如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 4．如图，是的两条弦，且，于点E，连接．若的半径为5，则弦的长为（    ） A．5 B． C． D．10 5．如图，是的外接圆，外角的度数为，则的度数为（  ） A． B． C． D． 6．如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 7．如图，，都是的半径，，平分，则________°． 8．如图，是的直径，点B，C在上，若，则的度数为____________． 9．如图，的两条弦和相交于点，若弧、弧的度数分别为、，则的度数为______． 10．如图，已知是的外接圆，是的直径，若，则的度数是_________． 11．《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长． 12．如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 13．已知：如图，是圆内接四边形的一个外角，并且．求证：平分． 14．如图1，圆O的两条弦交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为． (1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： 的度数 的度数 的度数 猜想：、、的度数之间的等量关系，并说明理由． (2)如图2，若，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D重合，同时B落在圆O上的G点，连接． ①求的度数； ②求． 15．如图，已知中设的外接圆为，的平分线交于点D，点E在的延长线上且，连接，． (1)尺规作图：作的外接圆为的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 经典必考圆模型 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 模型一、垂径定理模型 模型二、圆周角倒角模型 模型三、圆内接四边形模型 模型四、相交弦定理模型（圆内两弦相交 模型五、三角形外接圆模型（外心） 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 看到圆相关模型题第一步先找圆的基本要素：确定圆心与半径，若涉及动点要先判断动点轨迹是否为圆（满足到定点距离等于定长、对角互补的四边形顶点共圆、定线段对定角这三类特征的动点轨迹都是圆）；接着找位置关系与数量关系：直线和圆关注圆心到直线的距离d和半径r的大小关系，圆和圆关注圆心距和两半径和差的大小关系，涉及弦长用垂径定理结合勾股定理计算，涉及切线必连圆心和切点得垂直关系，涉及直径立刻想到直径所对的圆周角是直角；最后结合所求转化问题计算：把最值、范围、距离等问题转化为圆上点到定点/定直线的距离问题，利用圆心到定点/定直线的距离加减半径得结果，涉及交点个数直接根据位置关系的判定规则判断，涉及角度计算利用圆周角定理和圆心角定理转化推导即可。 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 模型一、垂径定理模型 典例1 如图，是的弦，半径于点D．若，．则的长是（     ） A．5 B．6 C．8 D．10 【答案】D 【分析】通过垂直弦这一条件想到垂径定理得到，再利用勾股定理构造方程求解即可． 【详解】解： 连接， ∵，且， ∴， 设圆的半径为R， ∵， 则在中，有即， 解得，即， 故选项D符合题意． 模型模版 1.特征：有圆的直径（半径）垂直于一条弦，出现垂直、平分弦、平分弧条件。 2.方法：过圆心作弦的垂线，构造直角三角形，用勾股定理计算半径、弦长、弦心距。 变式1-1如下图所示，为上两点，且，弦于D点，则弦的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂径定理得出，由，知是等边三角形，，从而得出，再由勾股定理计算得出即可． 【详解】解： ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ． 变式1-2如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 变式1-3如图是一个管道的横截面，圆心O到水面的距离是3，水面宽．求这个管道横截面的半径． 【答案】 【分析】根据垂径定理，可知是等腰直角三角形，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ． ， 是等腰直角三角形， 在中，． 这个管道横截面的半径为． 模型二、圆周角倒角模型 典例2 如图，是的直径，，是上的两点，连接，，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用圆周角定理得出，根据直径所对圆周角为直角得出，利用直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵与都是所对的圆周角， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：同圆中多条弦、多个圆周角，存在共弧或等弧，角度需要转化推导. 2.方法：利用同弧 / 等弧圆周角相等，直径得直角，进行角度等量代换完成倒角。 变式2-1如图，是的直径，点、在圆周上，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直径所对的圆周角是直角可得，在中利用内角和求出，再根据同弧所对的圆周角相等得出 【详解】解：是的直径 与所对的弧相同 ． 变式2-2如图，在中，，，则______． 【答案】 【分析】先由弧、弦、圆心角的关系得，所以，再通过三角形内角和定理可得，最后由圆周角定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴．． 变式2-3如图，为的直径，，为上两点，，则的度数为_________． 【答案】 【分析】由圆周角定理得到，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴． 模型三、圆内接四边形模型 典例3 如图，在中，所对的圆心角为，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于点E，连接，首先利用等边对等角得到，然后利用三角形内角和定理求出，然后结合圆周角定理和圆内接四边形对角互补求解即可． 【详解】解：如图，连接并延长交于点E，连接 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴． 题型模版 1.特征：四边形四个顶点全部落在圆上，出现对角或外角相关角度条件。 2.方法：运用对角互补、外角等于内对角，实现角度之间的转换计算。 变式3-1如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 【详解】解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 变式3-2如图，为的一条弦，且，C为劣弧上一点，连接，则的度数为_____． 【答案】/120度 【分析】在优弧上构造圆周角，利用同弧所对圆周角等于圆心角的一半求出该角，再利用圆内接四边形对角互补求出． 【详解】解：在优弧上任取一点，连接，． ， ． 四边形内接于 ， ， ． 变式3-3如图，是的内接三角形，延长至点D，平分交于点E，连接，．求证：． 【答案】 证明：平分， ， ∵， ， 四边形为的内接四边形， ， ， ， ， ． 【分析】首先根据同弧所对的圆周角相等可得，根据圆内接四边形的对角互补可得，根据邻补角定义可得，根据同角的补角相等可得，等量代换可证，根据等角对等边可证． 【详解】略 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、同弧所对的圆周角相等、等角对等边、角平分线的定义．解决本题的关键是根据图形的性质得到角之间的关系，利用角之间的关系得到边之间的关系． 模型四、相交弦定理模型（圆内两弦相交） 典例4 如图，圆中两条弦AC，BD相交于点P．点D是的中点，连结AB，BC，CD，若BP＝，AP＝1，PC＝3．则线段CD的长为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】连接OD交AC于H，如图，先利用垂径定理得到OD⊥AC，AH＝CH＝2，则PH＝1，再根据相交弦定理计算出PD＝，然后利用勾股定理先计算出DH，在计算CD即可得到答案． 【详解】解：连接OD交AC于H，如图， ∵点D是的中点， ∴OD⊥AC，AH＝CH＝2（垂径定理）， ∴PH＝1， ∵AP•PC＝BP•PD， ∴PD＝＝， 在Rt△PDH中，DH＝（勾股定理）， 在Rt△DCH中，CD＝（勾股定理）， 故选：A． 【点睛】本题考查了相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．也考查了垂径定理和勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键． 题型模版 1.特征：圆内两条弦相交于圆内一点，产生线段乘积类条件或待求。 2.方法：利用相交弦的线段乘积相等，转化线段进行计算。 变式4-1如图，圆的两条弦相交于点和的延长线交于点，下列结论中成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据相交弦定理和割线定理即可求解. 【详解】解： 由相交弦定理知，由割线定理知, 所以D正确， 故选D . 【点睛】本题考查了相交弦定理和割线定理，熟记定理是解题关键. 变式4-2已知：的两条弦相交于点M． (1)如图1，若，连接．求证：． (2)如图2，若，在弧BD上取一点E，使，交于点F，连．若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，通过证明即可进行证明； （2）连接，根据同弧所对的圆周角相等，可得，再求出的度数，最后根据同圆中，等弧所对的圆周角相等，即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， ∵，都为弦所对的圆周角， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 【点睛】本题主要考查了圆和三角形的综合，解题的关键是掌握三角形全等的判定和性质，同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角相等． 变式4-3⊙O的两条弦AB，CD交于点P，已知AP＝4，BP＝6，CP＝3，求CD的长． 【答案】的长是． 【分析】根据已知条件及相交弦定理求得PD的长，即可求得CD的长. 【详解】∵圆的弦，相交于， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 即：的长是． 【点睛】本题主要考查的是相交弦定理的应用，根据相交弦定理求出PD的长是解题的关键． 题型五、三角形外接圆模型（外心） 典例5 如图，，O是的外接圆圆心，连接并延长，交于点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等腰三角形的性质得出，根据圆周角定理得出，根据得出，即可求出，利用三角形外角的性质即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵，， ∴， ∵是的外接圆圆心， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型模版 1.特征：三角形三个顶点都在圆上，圆心为三边垂直平分线交点。 2.方法：利用外心到三顶点距离相等，结合直角三角形性质求外接圆半径。 变式5-1如图，是的外接圆，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质，根据等腰三角形的性质可知，根据三角形内角和定理可知，根据圆周角定理即可求出的度数． 【详解】解：是的外接圆， ， ， ， 是所对的圆周角，是所对的圆心角， ． 故选：C． 变式5-2如图，O是的外心，则________． 【答案】/90度 【分析】根据圆的外心定义和等腰三角形的性质得到，，，再根据三角形的内角和定理和周角定义求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴，，， ∴，，， ∵， ∴， ∴，则． 变式5-3如图，内接于，．连接并延长，交于点． (1)求证：垂直平分； (2)若的半径为5，，求的长． 【答案】(1) 证明：如图1，连接、， ∵内接于， ∴， ∵， ∴， ∵到线段两端点距离相等的点在垂直平分线上， ∴垂直平分； (2) 【分析】本题考查了外心，垂径定理，勾股定理，垂直平分线的判定与性质等知识．对知识的熟练掌握与灵活运用是解题的关键． （1）如图，连接、，由内接于，可知，再证明，进而可知垂直平分； （2）由（1）知，，，由垂径定理可得，，由勾股定理得，，则，然后根据求解即可． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）知，，， 由垂径定理可得，， 由勾股定理得，， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 1．如图，为直径，弦于E，，则长为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题考查垂径定理及勾股定理，根据垂径定理求出的长，再在中利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：为直径，，， ， 在中，． 2．如图，点，，，在上，四边形是菱形，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用菱形性质得到，结合半径相等推导出、为等边三角形，求出圆心角，再依据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 同理可得， ∴， ∴． 3．如图，在中，，，为上的任意一点，，，，是上的四个点，则的角度为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质求出的度数，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 4．如图，是的两条弦，且，于点E，连接．若的半径为5，则弦的长为（    ） A．5 B． C． D．10 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，勾股定理，连接，可证明，，再由，可得，则，据此由勾股定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B ． 5．如图，是的外接圆，外角的度数为，则的度数为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了邻补角的性质，圆内接四边形的性质及圆周角定理． 在优弧上取一点D，连接，，先分析外角与内角的邻补角关系，再构造圆内接四边形，利用对角互补性质推导出与的关系，最后利用圆周角定理即可求得的度数． 【详解】解：如图，在优弧上取一点D，连接，， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，在中，为直径，弦于点H，若，则的半径长为______． 【答案】// 【分析】连接，设圆的半径为，根据垂径定理可得，在中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， 设圆的半径为， ∵， ∴， 在中，，， ∴ 解得， ∴半径为． 7．如图，，都是的半径，，平分，则________°． 【答案】 【分析】设，先利用圆周角定理求出，根据，求出，再利用等边对等角以及角平分线的定义列方程求解即可． 【详解】解：设， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 解得， ∴． 8．如图，是的直径，点B，C在上，若，则的度数为____________． 【答案】 【分析】根据题意可得，则可求出的度数，再根据圆内接四边形对角互补可得答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴． 9．如图，的两条弦和相交于点，若弧、弧的度数分别为、，则的度数为______． 【答案】/50度 【分析】本题考查的是圆周角定理、三角形的外角的性质，掌握圆周角定理和三角形的外角的性质定理是解题的关键．连接，根据圆周角定理得，再根据三角形的外角的性质即可求解． 【详解】解：连接， 的度数， ． 故答案为：． 10．如图，已知是的外接圆，是的直径，若，则的度数是_________． 【答案】20 【分析】连接，由直径所对的圆周角是直角和同弧所对的圆周角相等可得的度数，据此可求出的度数． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．《九章算术》是中国古代数学重要的著作之一，其中第九卷《勾股》中记载了一个“圆材埋壁”的问题：“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述如下：如图，是的直径，弦于点E，寸，寸，求直径的长． 【答案】寸 【分析】如图，连接，设寸．利用勾股定理构建方程求解． 【详解】解：连接，设寸． ，是直径， 寸． 在中，则有， 解得 寸． 12．如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为． (1)求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； （2）如图，过点作于点，根据等角对等边推出，证明得，然后根据勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； （2）解：如图，过点作于点， ∵， ∴， 由（1）知：，， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 13．已知：如图，是圆内接四边形的一个外角，并且．求证：平分． 【答案】证明：∵， ∴． ∵， ． 又， ， 即平分． 【详解】略 14．如图1，圆O的两条弦交于点E，两条弦所成的锐角或者直角记为． (1)点点同学通过画图和测量得到以下近似数据： 的度数 的度数 的度数 猜想：、、的度数之间的等量关系，并说明理由． (2)如图2，若，将以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D重合，同时B落在圆O上的G点，连接． ①求的度数； ②求． 【答案】(1)的度数（的度数的度数），理由见解析． (2)①；② 【分析】(1)连接BC，如图1，先利用三角形外角性质得到，再利用圆周角与它所对弧的度数之间的关系得到的度数， 的度数，所以的度数=（的度数+的度数） (2) ①连接OG、OC、AG，作于H，于F，如图2， 利用旋转的性质得，，结合（1）的结论即可推出的度数； ②由的度数推出，利用含30度角的直角三角形中三边的关系即可算得的长． 【详解】（1）解：的度数（的度数的度数），理由如下： 连接BC，如图1， ，而的度数， 的度数 的度数（的度数的度数） （2）解：①连接OG、OC、AG，作于H，于F，如图2， 将AB以圆心为中心顺时针旋转，直至点A与点D重合，同时B落在圆O上的点G， ， 由（1）得的度数的度数 ， 的度数的度数 ， ， 而 ． ②， ， 在中，， ，， 在中，． 【点睛】本题考查了圆的综合题，熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系、圆周角定理、垂径定理和旋转的性质；合理构建直角三角形，利用含30度的直角三角形三边的关系计算线段的长是解决问题的关键． 15．如图，已知中设的外接圆为，的平分线交于点D，点E在的延长线上且，连接，． (1)尺规作图：作的外接圆为的圆心O（保留作图痕迹，不写作法）； (2)求证：． 【答案】(1) 作图如下，则点O即为所求． (2) 证明：连接， 则；， ∵的平分线交于点D， ∴， ∴； ∴； ∵四边形内接于， ∴； ∵ ∴， ∴． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的基本作图，圆周角定理，圆的性质，等腰三角形的判定和性质，圆的内接四边形性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握作图，圆的性质是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，交点即为所求； （2）连接，证明即可证明． 【详解】（1）略 （2）略 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $