4.4三角形相似的应用（讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦相似三角形的应用，系统梳理从判定定理（依托平行线、公共角等模型）到性质应用（边长、周长、面积计算），再到实际测量（高度、宽度）的知识脉络，通过分知识点讲解与随学随练搭建学习支架。 资料特色在于结合生活实例（如测量火炬塔高度、河宽）和古题（《孙子算经》），培养数学眼光，通过模型归纳（平行投影、镜面反射）与解题贴士发展推理思维，课中例题辅助教学，课后分层练习帮助查漏补缺，提升应用意识。

第4章 相似三角形 4.4三角形相似的应用 课标要点 1. 会运用相似三角形判定定理判定三角形相似，依托平行线、公共角、对顶角等常见模型搭建相似关系。 2. 熟练运用相似三角形性质求解边长、周长、高线、中线长度，区分线段比与面积平方比的差异。 3. 能借助相似知识解决实际测量问题，比如测算高度、宽度、距离等不易直接丈量的长度。 4. 可将比例式、乘积式题型转化为相似三角形对应边比例，完成几何计算与简单证明。 5. 结合直角三角形、射影定理等综合题型，梳理基本几何模型，规范推理书写步骤。 学习重难点 重点： 熟练掌握三种相似判定方法，能依据公共角、平行线、对顶角快速找出相似三角形。 牢记相似三角形线段比、周长比等于相似比，面积比为相似比平方，并灵活计算边长与面积。 运用相似解决实物测距、测高等生活实际问题，会把乘积式变形为比例式解题。 难点： 复杂图形里分辨重叠、嵌套的三角形，精准找准对应角和对应边，极易出现对应关系混淆。 区分线段比值与面积平方比值，做题时常误用面积直接等于相似比。 综合几何题型需要构造辅助线创造相似条件，思路难以快速建立 知识点 利用三角形相似测量不能直接到达的物体高度 1. 原理：同一时刻，太阳光线平行，构造两个共角的直角三角形，利用“两角分别相等的两个三角形相似”，得到对应边成比例，通过可测量的物高、影长计算未知物体高度 2. 基本公式： 特别提醒 该结论仅适用于同一时刻、同一地理位置测量，不同时刻太阳入射角不同，比例关系不成立。 随学随练 1．有一棵不知道高度的笔直大树矗立在平地上，量得它在太阳下的影子长为4米，同时在这块平地上竖直立一根长米的标杆，测量得它在太阳下的影子长为米，这棵大树的高度为（    ） A．25米 B．20米 C．15米 D．10米 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据同一时刻，物长与其影长的比值相同建立方程求解即可． 【详解】解：设这棵大数的高度为米， 由题意得，， 解得， ∴这棵大树的高度为20米， 故选：B． 2．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长短，度其影得二丈．别立一表，长一尺，影得五寸，问竿长几何，大致意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长20尺，同时立一根1尺的小标杆，它的影长是0.5尺（1丈尺，1尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（    ） A．30尺 B．35尺 C．40尺 D．45尺 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键．根据同一时刻物高与影长成正比可得出结论． 【详解】解：设竹竿的长度为尺，依题意， ， 解得， 故选：C． 3．如图，路边有一根电线杆 AB 和一块正方形广告牌(不考虑牌子的厚度)．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端 A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点 G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上点 E 处，已知 BC=6 米，正方形边长为 3米，DE=5 米．则电线杆 AB 的高度是（    ）米． A． B．13 C． D． 【答案】C 【分析】过点G作GH∥BC，可得四边形BCGH是矩形，然后且△AHG与△FDE相似，然后根据相似三角形对应边成比例列式求出AH的长度，再加上BH即可． 【详解】解：过点G作GH∥BC，GM⊥BE， 根据题意，四边形BMGH是矩形， ∴BH=GM=3米， 根据题意可得△AHG∽△FDE， ∴， ， ∴AH=4.5， ∴AB=AH+BH=4.5+3=米， 故选：C． 【点睛】本题考查相似三角形性质的应用．解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 4．在同一时刻太阳光下，身高的小颖在地面上形成的影长是，她所在学校的科技楼在同一水平地面上的影长为，科技楼的实际高度为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题． 根据平行投影原理，同一时刻太阳光下物高与影长成正比，设科技楼高度为h米，建立比例方程求解． 【详解】解：设科技楼的实际高度为h米， 由题意得：， 解得， 故答案为：． 5．成都大运会火炬塔塔身造型由12条螺旋形空间曲线构成，取自金沙遗址太阳神鸟金饰上的12道太阳光芒．这12束光芒穿过蓉城三千年发展变迁，螺旋升腾汇聚于火炬塔顶部，托举着古蜀先民对太阳和光明的永恒向往，小明想测量火炬塔的高度，他设计了一种测量方案如下：如图，在阳光下小明站到点E处时，刚好使自己落在地面的影子与火炬塔的影子重叠，且端点恰好重合于C处．此时，小明测得自己的影子长度，（点B，E，C在同一直线上），已知小明的身高是，则火炬塔高_______m． 【答案】31 【分析】利用相似三角形的对应边的比相等列式计算即可． 【详解】解：由题意可知， ∴， ∵，，， ∴m， ∴， 解得m． 故答案为：31． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中抽象出相似三角形． 知识点利用三角形相似测量不能直接到达的物体宽度/距离 1. 原理：构造对顶角相等、对应角平行的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，将不可直接测量的长度转化为可测量长度计算 2. 常见构造方法：利用“X型”相似构造，即两条直线相交得到对顶角，再通过一组平行线得到两组对应角相等，证明三角形相似后列比例式 特别提醒 构造相似三角形时，必须保证对应角相等的条件成立，不能默认平行，需结合实际测量场景验证平行关系。 随学随练 1．如图，小位用两根长度不等的木条可测得花瓶内口径的宽度．如果，且量得，则的宽度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质和判定， 先连接，先根据“两边成比例且夹角相等”得∽，进而得出，此题可解． 【详解】解：连接， ， ∴， 即． ， ∽， ． 又， ， 即宽度为： 故选：． 2．下表是某次实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河的宽度为（   ） 题目 测量小河的宽度 测量目标示意图 相关数据 ，，米，米，米 A．4米 B．米 C．米 D．20米 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． 设米，证明，进而证明，进而根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：设米， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：． 即河的宽度为米． 故选：B． 3．图是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图所示，此时液面宽度为（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，过作于点，则点三点共线，则有，，，，通过线段和差得到，，由，证明，最后由相似三角形的性质得出即可求解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】如图，过作于点，则点三点共线，    由题意得：，，，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即此时液面宽度为， 故选：． 4．为了估算河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得米，米，米，则河的大致宽度是________米． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质，证明，得到，代入数值即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴ ∴， 即， ∴， 则河的大致宽度是米， 故答案为：． 5．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 【答案】 【分析】先判断栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形，再列方程求解即可． 【详解】解：设长臂端点升高x米， 由题意可知，栏杆长短臂在升降过程中将形成两个相似三角形， 则， 解得， 即长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是． 知识点 利用三角形相似解决图形中的面积问题 1. 核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，若两个三角形相似，相似比为k，则面积比为k2 2. 常见应用：已知部分图形面积，利用相似性质求整体或剩余部分面积；解决图形分割、比例尺相关面积计算问题 特别提醒 不要混淆相似比和面积比的关系，面积比是相似比的平方，已知面积比求相似比需要开平方，而非直接相等。 随学随练 1．如图1所示，小明发现乒乓球正上方的灯泡发出的光线照射乒乓球后，在地面上形成圆形的影子，它的简化示意图（如图2所示，点表示灯泡）．已知乒乓球的直径为，如果乒乓球的球心距离地面（即），若灯泡距离地面（即），则地面上阴影部分的面积（即的面积）为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心投影中相似三角形的性质，根据题可知：两条光线与两圆直径构成的两个三角形相似，根据相似三角形的性质可求出阴影部分的半径解题即可． 【详解】解：如图2所示，由图形知道， ， 而， ， ， ， ， 即地面上阴影部分的面积为． 故选：B． 2．大唐芙蓉园位于古都西安大雁塔东侧，是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园．该园占地面积约为800000m2，小明按比例尺1∶2000缩小后画出该园示意图，其面积大约相当于(　　) A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台面的面积 C．《人民日报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 【答案】C 【详解】试题解析：∵比例尺1：2000， ∴面积约为800 000m2，缩小后为800000×=0.2（m2）， ∴其面积大约相当于《人民日报》一个版面的面积． 故选C． 3．某校计划在一块三角形的空地上修建一个面积最大的正方形水池，使得水池的一边在的边上，中边，高，则水池的边长应为（ ） A．10m B．20m C．30m D．40m 【答案】B 【分析】根据相似三角形的性质即可解答． 【详解】如图：设水池的边长为xm ∵四边形EFGH是正方形 ∴EF∥BC ∴△AEF∽△ABC ∴ ∴（30-x）：30=x：60 ∴x=20m ∴水池的边长应为20m． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，根据对应高线的比等于相似三角形的相似比，列出方程，即可得出水池的边长． 4．如图是三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子，现测得，这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是______．    【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．先根据相似三角形对应边成比例求出三角尺与影子的相似比，再根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵三角尺与影子是相似三角形， ∴三角尺的周长与它在墙上形成的影子的面积的比是， 故答案为：． 5．如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知灯泡距离地面2.4m，桌面距离地面0.8m（桌面厚度不计算），若桌面的面积是1.2m2，则地面上的阴影面积是________ m2 ． 【答案】2.7 【详解】分析：本题考查的是相似三角形的性质和判定. 解析：本题的主试图为下图，根据题意得，因为DE∥BC,∴ AG=2.4m,FG=0.8m,∴AF=1.6m,所以 圆桌的面积与它的阴影的面积比为4：9，∵桌面的面积是1.2m²，∴地面上的阴影面积是2.7 m². 故答案为2.7 m². 定睛：本题的关键是把圆桌的和他的阴影面积的比转化为它的主视图的相似比，这个关键问题解决了，就可以根据相似三角形的性质得出结论. 拓展利用相似三角形解决测量类实际问题 规律归纳 测量不可直接到达的高度、宽度时，核心是构造相似三角形转化比例，常用模型与规律可归纳为： 1. 平行投影模型（阳光下的影子）：同一时刻，所有物体的高度与影长成正比，本质是太阳光线平行，得到直角三角形相似； 2. 镜面反射模型：利用反射角等于入射角得到两个直角三角形相似； 3. 视点视线模型：借助标杆构造相似，通过视点、标杆顶端、物体顶端三点共线得到相似三角形，对应高的比等于相似比，进而推导物体高度。 深度拓展 这类问题的本质是将实际测量问题抽象为相似三角形模型，把不可直接度量的长度转化为可测量长度的比例计算，体现了数学建模素养，凸显了相似三角形“转段为比、化难为测”的应用价值。 活学活用 1．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，他们制订了两种不同的测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量方案与数据如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 皮尺、标杆等 测量方案 方案一（用太阳光测） 方案二（用眼观测） 示意图 说明 E，G，A，C四点共线，，，均垂直于，且． A，E，C三点共线，D，F，B三点共线，，，均垂直于 测量数据 标杆，影长，同时旗杆落在地上的影长，落在墙上的影长 标杆，小明的眼睛距地面高，， 请选择其中一个方案及其数据求出学校旗杆的高度． 【答案】 【分析】方案一：将向右平移至点A，得到，过点D作于点H，则，，是矩形，进而得，，，，证明，根据相似三角形的性质得，即可求出，再根据即可求解； 方案二：过D作于M交于N，四边形，四边形是矩形，则，，，进而可求、，证明，根据相似三角形的性质得，即可求出，再根据即可求解； 【详解】解：方案一： 如图，将向右平移至点A，得到，过点D作于点H， ∴，，四边形是矩形， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴； 方案二： 过D作于M交于N， ∵，，， ∴四边形，四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 答：学校旗杆的高度是 2．飞云楼位于山西省运城市万荣县东岳庙内，被誉为“中华第一木楼”，与应县木塔并称为“南楼北塔”．1988年，飞云楼被列入中华人民共和国国务院公布的第三批全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完飞云楼后，准备用所学知识测量飞云楼的高度，简化示意图如图所示，昕昕在地面上的点处测得飞云楼顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案． 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行； 条件二：昕昕备有的测量工具：①一根标杆；②一面平面镜；③一卷足够长的皮尺；④测角仪． (1)你所选用的测量工具是__________；（填序号） (2)请在图中补全测量示意图并写出测量数据；（不要求写出测量过程，线段长度用，，表示） (3)根据你的测量数据，计算飞云楼的高度．（用含，，的代数式表示） 【答案】(1)①③ (2)测量示意图如解图所示． 测量数据：标杆，标杆影长； (3) 【分析】（1）选用的测量工具是①一根标杆；③一卷足够长的皮尺； （2）根据题意，测量数据：标杆，标杆影长； （3）证明，利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：选用的测量工具是①一根标杆；③一卷足够长的皮尺； （2）略 （3）解：，， 为等腰直角三角形， ， ，， ， ，即， ． 答：飞云楼的高度为．（答案不唯一） 3．为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 (1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 【答案】(1)一 (2)解：选择第二组的方案， 延长交的延长线于点G，如图所示： 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴教学大楼的高度为； 选择第三组的方案， 根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴教学大楼的高度为． 【分析】（1）第一组方案，可证明，得到，已知数据中只有的长，没有的长，无法求出的长，即数据不完整；第二组的方案，延长交的延长线于点G，可证明，根据相似三角形的性质求解即可；第三组的方案，可证明，根据相似三角形的性质求解即可； （2）选择第二组的方案，延长交的延长线于点G，根据相似三角形的判定和性质求解即可；选择第三组的方案，直接利用相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 题型利用相似三角形测高度 解题贴士 核心是利用“同一时刻物高与影长成正比”构造相似三角形，找准对应边的比例关系，注意区分物体影长与影子延伸长度的计算，优先确定两个直角三角形的对应顶点 ▌例1小李在学习了相似三角形的知识后，用标杆来测量学校旗杆的高度．如图所示，已知标杆高度，人与标杆的水平距离，人的眼睛距离地面的高度，标杆与旗杆的水平距离，则旗杆的高度为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，由题意可知，，，，得，，，进而根据可得，再根据线段的和差关系即可求解． 【详解】解：如图，由题意可知，，，， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故选：C． ▌例2．如图，为测量灯杆的高度，小强在脚下水平放置一平面镜C，然后向后退，保持脚、平面镜C与灯杆底端D在同一直线上，直到他刚好在镜子C中看到灯杆的顶端E．已知小强的眼睛离地面的高度，小强与镜子的水平距离，镜子与灯杆的水平距离，则灯杆的高度约为（   ） A．6.5m B．7m C．7.5m D．8m 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键在于熟练掌握镜面反射的基本性质和相似三角形的性质．根据镜面反射性质，可求出，再利用垂直求，最后根据三角形相似的性质，即可求出答案． 【详解】解：如图所示，过点C作， 由图可知，，， ， 根据镜面的反射性质， ， ， ， ， ， ，，， ， ， 故选：C． ▌对点练1-1医圣祠位于河南省南阳市城东温凉河畔，为纪念东汉医学家张仲景而建，为了纪念医圣张仲景，某中医药文化广场有一尊张仲景雕像．数学兴趣小组的同学为测量雕像的高度（顶端到水平地面的距离），在雕像旁的水平地面C处放置一面镜子，组员小明沿直线后退到点处，此时恰好在镜子里看到雕像的顶端．已知米，米，小明的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度（    ）米 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了利用相似三角形测高，根据已知条件证明三角形相似是解题的关键． 根据处是一面镜子可得，再根据，得到，得到，代入求值即可； 【详解】由题可得：，， ， ， 米，米，米， ， （米）； 故选． ▌对点练1-2．如图，某同学用下面的方法测量学校操场旗杆AB的高度．如图所示，在水平面上E点处放一面平面镜，镜子与旗杆的距离米，当他与镜子的距离米时，他正好能从镜子中看到旗杆的顶端A．已知他的眼睛距地面的高度米，这位同学计算出旗杆AB的高度是_______米． 【答案】 12 【分析】根据光的反射定律可得入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角，结合垂直定义可证得人与镜子构成的三角形和旗杆与镜子构成的三角形相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，，， , 根据光的反射定律，入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角， ，，， ． ▌对点练1-3．如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是_____． 【答案】/厘米 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握A字模型相似三角形是解题的关键． 过点B作，垂足为C，再证明A字模型相似，从而可得，过点A作，垂足为D，然后证明A字模型相似，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：如图：过点B作，垂足为C， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， 如图：过点A作，垂足为D， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ， ， ， 解得：， ∴跷跷板的支撑点O到地面的高度是， 故答案为：． 题型 利用相似三角形测宽度 解题贴士 常见构造方式为“对顶角型相似”或“平行截线型相似”，将不可测量的目标边放到相似三角形的对应边位置，通过已知陆地边长列比例式求解，注意不要混淆对应边，计算前先标注相等的角确定对应关系。 ▌例1．如图，为估算某河的宽度（河两岸平行），在河对岸选定一个目标点，在近岸取点B、C、D，使得，点在上，并且点在同一条直线上，若测得，则河的宽度等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．易证，即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． ▌例2．下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度． 题目 测量河流宽度 目标示意图 测量数据 ，， 则（   ）m A． B． C．40 D．50 【答案】D 【分析】本题主要考查相似三角形的应用，先根据平行线的判定得到，再由平行的性质得，利用相似三角形对应边成比例，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， 故答案为：D． ▌对点练1-1．为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的应用，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．根据垂直定义可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 故选：A． ▌对点练1-2．如图，身高为的小明站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树的高度，在水中的倒影为，、、、在一条直线上如果小河的宽度为，，那么这棵树的高为______ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，利用相似，求对应线段，是相似中经常考查极为普遍的类型题，关键是找准对应边．首先判定，再根据相似三角形的性质可得，然后再代入数据计算即可． 【详解】解：，均垂直于地面，所以， ， 在水中的倒影为， ， ， 又，，， ， ， 故答案为：． ▌对点练1-3．要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 【答案】 【分析】由，得，则有，所以，然后代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴他们测量的河宽为． 题型 网格中判断三角形相似并计算相关边长/角度 解题贴士 先利用勾股定理计算两个三角形各边的长度，再验证三边是否成比例，若成比例即可判定相似，对应角相等可直接由相似性质得到，计算时注意网格单位长度不要看错。 ▌例1如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在网格线的交点上，点分别是边与网格线的交点，连接，则的长为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．取格点M、N，由网格的性质可知，，，得到，，求得，，据此计算即可求解． 【详解】解：取格点M、N， ∵网格中各小正方形边长为1，由网格性质得，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． ▌例2如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B都在格点（小正方形的顶点）上，点C为与网格水平线的交点，则的长为（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先在中，利用勾股定理求出的长，然后再利用相似三角形的判定与性质可得，从而进行计算即可解答． 【详解】解：在中，，， ， ， ， ， ， ， 故选：C．      【点睛】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． ▌对点练1-1如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两个相似三角形可知三角形中的两个钝角相等，然后借助网格可得答案． 【详解】解：∵和相似， ∴． ▌对点练1-2在如图所示的网格中，每个小正方形边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长为________． 【答案】2 【分析】根据网格结构特征可得，进而证明，利用相似三角形对应边的比等于对应边上的高之比即可求解． 【详解】解：由网格图可知， 与 均在竖直网格线上， ， ， 等于边上的高 与边上的高之比， 观察网格可知，边上的高为4，边上的高为6，， ， 解得． ▌对点练1-3如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、都在格点上，点是线段与网格线的交点，则的长为_________． 【答案】 【分析】本题考查了相似的判定与性质，勾股定理． 先利用勾股定理求出，再证明，问题即可求解． 【详解】解：根据网格线有：， ，，， 又， ， ，即， ， ，即． 题型遮挡问题（盲区问题）利用相似计算 解题贴士 根据视点、遮挡物顶点、被遮挡物体顶点三点共线构造相似三角形，找准相似三角形的对应边，根据共线条件得到平行关系进而推出相似，再计算盲区范围或被遮挡物体的位置。 ▌例1在日常驾驶中，驾驶员的视线存在盲区，这是行车安全需要关注的点．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，则车宽的长度为（    ）米． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质，熟练掌握矩形的判定方法和相似三角形的对应边成比例性质是解题的关键． 通过作辅助线构造相似三角形，利用矩形性质和相似三角形的性质，结合题目中给出的线段关系建立方程，从而求解车宽的长度． 【详解】解：过点作于，交于，由题意可得米，米， ∵车头近似为矩形， ∴， ∵， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故选：A． ▌例2如图左右并排的两棵大树的高度分别是AB=8米，CD=12米，两树的水平距离BD=5米，一观测者的眼睛高EF=1.6米，且E、B、D在一条直线上，当观测者的视线FAC恰好经过两棵树的顶端时，四边形ABDC的区域是观测者的盲区，则此时观测者与树AB的距离EB等于（　　） A．8米 B．7米 C．6米 D．5米 【答案】A 【分析】先设FH=x，则FK=FH+FK=x+5，再根据AH∥CD，可得出△AFH∽△CFK，由相似三角形的对应边成比例即可求出x的值，进而得出EB的长． 【详解】解：∵AB=8米，CD=12米，两树的水平距离BD=5米，一观测者的眼睛高EF=1.6米， ∴EB=FH，BD=HK=5米，HB=KD=EF=1.6米， 设FH=x，则FK=FH+FK=x+5，AH=AB﹣BH=8﹣1.6=6.4米，CK=CD﹣KD=12﹣1.6=10.4米， ∵AH∥CD， ∴△AFH∽△CFK， ∴，即， 解得x=8米， 即EB=8米． 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的性质.正确运用由相似三角形的对应边成比例是解决本题的关键. ▌对点练1-1如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为________米．    【答案】/ 【分析】过点作，垂足为，交于点，根据题意，设米，由得，，证明，得出，根据列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：如图，过点作，垂足为，交于点，    则， 设米， 由得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， 解得，， ∴车宽的长度为米， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． ▌对点练1-2如图，小刚在高18 m的塔AB上看远方，离塔5 m的D处有一高12 m的障碍物，小刚的盲区（DE）是________m（小刚的身高忽略不计）． 【答案】10 【分析】由题意得△ECD∽△EAB，由相似三角形对应边成比例即可求得DE的长． 【详解】由题意知：CD∥AB， ∴△ECD∽△EAB， ∴， 即． ∵AB=18m，CD=12m，BD=5m，BE=BD+DE=5+DE， ∴12×(5+DE)=18DE， 解得：DE=10， 即小刚的盲区为10m． 故答案为：10 【点睛】本题考查了相似三角形的实际应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是关键． ▌对点练1-3如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则小明在y轴上的盲区（即OE的长度）为_____米．    【答案】2.5 【详解】首先作出BM⊥EO，得出△BND∽△BME，即可得出，再利用已知得出BN，BM，DN的长，即可求出EM，进而求出EO即可． 解：过点B作BM⊥EO，交CD于点N， ∵CD∥EO， ∴△BND∽△BME， ∴， ∵点A（﹣10，0）， ∴BM=10米， ∵眼睛距地面1.5米， ∴AB=CN=MO=1.5米， ∵DC=2米， ∴DN=2﹣1.5=0.5米， ∵他的前方5米处有一堵墙DC， ∴BN=5米， ∴， ∴EM=1米， ∴EO=1+1.5=2.5米． 故答案为2.5．    题型 路灯投影问题（动态行走影子变化） 解题贴士 1. 路灯顶端、人影顶端连成直线，可构造一大一小两个直角相似三角形。 2. 固定路灯高度与地面距离不变，找准人身高、行走距离、影子长三组对应边列比例式。 3. 人移动时分清初始位置和移动后位置，区分总水平距离与人自身行走路程，避免边长混淆。 4. 若影子叠加、前后两段影子，分开构建两组相似依次计算即可。 ▌例1如图，在水平路段上，为一根垂直于地面的路灯，C为路灯的光源．小明（图中为）从H出发，沿着方向前行20米至点F，发现影子缩短了5米．已知小明原来影子长15米，小明身高1.6米，那么路灯的高度为（    ）米． A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查相似三角形，根据题意得到有用的信息和利用相似三角形求得关系式是解题的关键． 首先根据得到，再根据得到，即可得到并求解的长，最后根据求解的长即为路灯的高度． 【详解】解：由题意可知：米，米，（米），米， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即，解得：米， ∴米， ∵，即，解得：米， ∴路灯的高度为8米， 故选：B． ▌例2如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为，把路灯看成一个点光源，身高的小明站在点处，且，当小明向路灯移动时，影长的变化是（   ） A．伸长了 B．伸长了 C．缩短了 D．缩短了 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，由题意可得，即得，得到，求出变化前后的长度即可判断求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由题意可知，， ∴， ∴， ∴， ∴， 当小明向路灯移动时，， 由得，， ∴， ∴影长缩短了， 故选：． ▌对点练1-1如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（    ） A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米 【答案】B 【分析】如图，证明，，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：如图，由题意，得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 即：路灯A的高度等于米． ▌对点练1-2如图，甲、乙两盏路灯相距30米，当小刚从路灯甲底部向路灯乙底部直行25米时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部，已知小刚的身高为米，那么路灯甲的高为___________米．    【答案】9 【分析】由于人和地面是垂直的，即人和路灯平行，构成相似三角形．根据对应边成比例，列方程解答即可． 【详解】：如图，设路灯甲高为，路灯乙底部为点C，小刚身高为米．则米，米，米．      根据题意知，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：（米） 故答案为：9． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是将具体问题数学化，利用相似三角形的性质求解． 基础通关 1．如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点A作垂直地面于点H，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图，过点A作垂直地面于点H，则， ∴， ∴， ， 由题意地面知， ，即， ． 2．无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．无人机镜头距地面的垂直高度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则目标线段的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：， ， ． 3．如图1，皮影戏利用灯光将皮影投射到幕布上形成影像．如图2，灯光可看作点光源O，皮影经照射在幕布上形成影像．嘉淇测出O到，的距离以及的长度，就能求出的长度，其依据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．相似三角形对应边的比等于相似比 C．全等三角形的对应边相等 D．平行线间的距离处处相等 【答案】B 【分析】根据题意可得，利用相似三角形对应边的比等于相似比即可得出的长度． 【详解】设O到，的距离分别为， 由题意可得，， ∴， ∴依据是相似三角形对应边的比等于相似比． 4．铁路道口的栏杆如图所示，m，m，要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离为4m，则栏杆左端应下降的垂直距离为（    ） A．2m B．1.5m C．1m D．0.5m 【答案】C 【分析】利用相似三角形的性质解答即可． 【详解】解：由题可知,, ∴, ∴, ∴, 解得． 5．如图，小明用长为的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，证明，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， 即， 解得． 6．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】利用相似三角形的性质即可求解，注意，正确找出对应边． 【详解】解：由题意可知，， ∴， ∴，即， 解得：． 7．小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 【答案】/ 【分析】同一时刻阳光下的平行投影中，物体高度与影长成比例，据此设未知数列方程求解即可． 【详解】解：设小强的影长为米，根据题意得 解得 经检验是原方程的解. ∴小强的影长为米． 8．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 【答案】 【分析】根据相似三角形的对应高的比等于相似比． 【详解】解：设小孔到的距离为， ， ， ， ，即小孔到的距离为． 9．如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 【答案】 【分析】根据已知证明，进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵的长为， ∴两地的距离为 10．如图，为测量某棵树的高度，小明用长为竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端影子与树的顶端影子恰好落在地面同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为____米． 【答案】6 【分析】如图，先证明，再利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图： 由题意知：，， ∴， ∴， ∴，即， ∴树的高度． 11．如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，点P到的距离是，则点P到的距离是 _____ m． 【答案】6 【分析】本题考查了相似三角形的性质，解题关键是熟练掌握相似三角形对应高的比等于相似比． 根据平行线，得出，再根据相似三角形对应高的比等于相似比求解即可． 【详解】解：， ∴， ， ∵点P到的距离是， ∴点P到的距离是． 故答案为：． 12．如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则球拍击球的高度h为________． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的应用．先根据题意可得：，，从而可得，然后证明，从而利用相似三角形的性质进行计算即可解答． 【详解】解：如图： 由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 故答案为：． 13．如图，小明站在离路灯处（即），这时测得他的影长为（即），已知小明的身高为（即），求路灯的高度． 【答案】 【分析】先求出的长，再证出即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由题意得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：路灯的高度为． 14．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 【答案】136步 【分析】先计算两组对应边的比值，结合对顶角相等证明，再利用相似三角形对应边成比例求出长度． 【详解】解：已知，，，， ， ， 与是对顶角， ， 两边对应成比例且夹角相等，故， ， 已知步，代入得：， 之间相距136步． 15．学校“数学建模小分队”为了测量校园里水平地面上一棵树的高度，做了如下的探索：根据《物理》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：①把一面很小的镜子放在离树底B距离米的点E处；②沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A；③用皮尺量得米；④观察者目高米，则树（）的高度约为多少米（精确到米）． 【答案】米 【分析】证明，得出，即，求出结果即可． 【详解】解：∵，， ∴， ， ， ， 米，米，米， ， （米）． 答：树的高度约为米． 素养提升 1．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可证，根据相似三角形对应边成比例即可求出旗杆的高度． 【详解】解：，， ， ， ， ，，， ， ， ． 2．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得出，再得出，则，进而可得，然后得出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴四边形是矩形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 3．如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 【答案】C 【分析】先根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得，再根据“相似三角形的对应边成比例”得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 4．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意易得，则有，然后可得，则，进而根据进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 【答案】 【分析】将实际问题转化为几何模型，利用相似三角形对应边成比例的性质列方程求解即可． 【详解】解：如图，过作，分别交标杆、树于点， 设树高为尺，由题意可知（尺），步，（步），尺， ∵标杆、大树均与地面垂直， ∴， ∴， ∴， 解得． 6．大雁塔是西安的标志性古建筑，世界文化遗产．小明学习了《周髀算经》中的“偃矩以望高”，想用直角曲尺测量大雁塔高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，交于点．测得，，，则大雁塔的高度为__________． 【答案】 【分析】根据题意可得，，从而证得，进而得到，利用相似三角形对应边成比例列出方程求解即可． 【详解】解：由题意可知 ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ． 7．真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 【答案】 【分析】根据题意得，，从而可得，，四边形为矩形，再由相似三角形的性质以及矩形的性质计算即可得出结果． 【详解】解：根据题意得，， ∴，，四边形为矩形， ∴，，． ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． 故真身宝塔的高度为． 8．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 【答案】(1)证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． (2)连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上 【分析】（1）根据，得出，根据可得，根据相似三角形的性质得出，即可证明； （2）过点作于，过点作于，根据等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理求出，根据，证明，得出，即可证明，根据相似三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：略 （2）解：如图，过点作于，过点作于， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， ∴连衣裙总长度小于时，连衣裙才不会拖在地面上． 9．某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米． 【分析】先证明，由此求得，进而求得；再证明，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：旗杆的高度为12米． 10．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 【答案】(1)旗杆的高度为 (2)旗杆的高度米 【分析】（1）根据题意得出，进而利用相似三角形的性质得出答案． （2）证明四边形为矩形，则和，进一步证明，则，即可求得，结合即可． 【详解】（1）解：根据光的反射的性质，， 又∵， ∴， ∴， 将，，，代入上式， 得， 解得， 故旗杆的高度为； （2）解：∵， ∴四边形为矩形， ∵目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴， 解得， ∴， 答：旗杆的高度米． 迁移创新 1．综合与实践：如影随形． 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图①，竖立的两根灯杆中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子全部落在地面上时，他的影长是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出满足的等量关系；若不存在，请说明理由； (3)【探究3】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小明和小亮的身高，他们在两根灯杆之间走动（小明在小亮的左侧），且点B、F、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小明和小亮的影子全部落在地面上时，他们的影长分别是和． ①若点M、Q重合，请求出他们之间的距离； ②若点M、Q不重合，是否存在特殊的等量关系？若存在，请直接写出满足的等量关系；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②存在，或． 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的直线互相平行，可得．由平行线可以推导出相似三角形；根据相似三角形对应边成比例，代入数据即可得出； （2）由题意得，利用相似三角形建立比例关系，根据相似三角形对应边成比例，推导的关系； （3）①利用相似三角形比例关系，结合线段和差，通过设未知数建立方程，最终求出； ②由（2）得，同理，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：能，理由如下： 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将，代入上式得， 即， 整理得， 解得； （2）解：存在，、满足的等量关系为， 理由：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴； （3）解：①∵点M、Q重合， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 化简得， ∴， ∴； ②点M、Q不重合时，如图，点M在点Q左侧时， 同理，， 由（2）得， 同理， ∴， ∴； 如图，点M在点Q右侧时， 同理，， ∴； 综上，或． 2．综合与实践 【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像．某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古代智慧的项目式学习． 【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2），其中小孔为，烛焰（其中为烛焰顶端，为烛焰底端）在屏幕上的像为，小孔到烛焰的距离为，小孔到屏幕的距离为，烛焰与屏幕上的平行． 【初始实验数据】已知，，． 【直观感知】（1）证明：； 【初步探究】（2）求的高度； 【深入探究】（3）保持不变，将蜡烛向小孔方向靠近，使变为，同时将屏幕远离小孔，使变为，通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当减小、增大时，的高度如何变化？ 【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于，现保持，不变，若要求，请直接写出的取值范围． 【答案】（1）如图，， ∴， ∴， ∴； （2）； （3）当减小、增大时，的高度变大； （4） 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键： （1）证明，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，列出比例式进行求解即可； （3）根据相似三角形的性质，求出此时的长，进行判断即可； （4）求出时，的长，结合（3）中结论，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）∵，，，， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴； ∵， ∴当减小、增大时，的高度变大； （4）当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， 由（3）可知：当减小、增大时，的高度变大， ∴当时，， 又∵烛焰与小孔的距离一般要求不小于， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 相似三角形 4.4三角形相似的应用 课标要点 1. 会运用相似三角形判定定理判定三角形相似，依托平行线、公共角、对顶角等常见模型搭建相似关系。 2. 熟练运用相似三角形性质求解边长、周长、高线、中线长度，区分线段比与面积平方比的差异。 3. 能借助相似知识解决实际测量问题，比如测算高度、宽度、距离等不易直接丈量的长度。 4. 可将比例式、乘积式题型转化为相似三角形对应边比例，完成几何计算与简单证明。 5. 结合直角三角形、射影定理等综合题型，梳理基本几何模型，规范推理书写步骤。 学习重难点 重点： 熟练掌握三种相似判定方法，能依据公共角、平行线、对顶角快速找出相似三角形。 牢记相似三角形线段比、周长比等于相似比，面积比为相似比平方，并灵活计算边长与面积。 运用相似解决实物测距、测高等生活实际问题，会把乘积式变形为比例式解题。 难点： 复杂图形里分辨重叠、嵌套的三角形，精准找准对应角和对应边，极易出现对应关系混淆。 区分线段比值与面积平方比值，做题时常误用面积直接等于相似比。 综合几何题型需要构造辅助线创造相似条件，思路难以快速建立 知识点 利用三角形相似测量不能直接到达的物体高度 1. 原理：同一时刻，太阳光线平行，构造两个共角的直角三角形，利用“两角分别相等的两个三角形相似”，得到对应边成比例，通过可测量的物高、影长计算未知物体高度 2. 基本公式： 特别提醒 该结论仅适用于同一时刻、同一地理位置测量，不同时刻太阳入射角不同，比例关系不成立。 随学随练 1．有一棵不知道高度的笔直大树矗立在平地上，量得它在太阳下的影子长为4米，同时在这块平地上竖直立一根长米的标杆，测量得它在太阳下的影子长为米，这棵大树的高度为（    ） A．25米 B．20米 C．15米 D．10米 2．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有竿不知长短，度其影得二丈．别立一表，长一尺，影得五寸，问竿长几何，大致意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长20尺，同时立一根1尺的小标杆，它的影长是0.5尺（1丈尺，1尺寸），示意图如图所示，则这根竹竿的长度为（    ） A．30尺 B．35尺 C．40尺 D．45尺 3．如图，路边有一根电线杆 AB 和一块正方形广告牌(不考虑牌子的厚度)．有一天，小明突然发现，在太阳光照射下，电线杆顶端 A的影子刚好落在正方形广告牌的上边中点 G处，而正方形广告牌的影子刚好落在地面上点 E 处，已知 BC=6 米，正方形边长为 3米，DE=5 米．则电线杆 AB 的高度是（    ）米． A． B．13 C． D． 4．在同一时刻太阳光下，身高的小颖在地面上形成的影长是，她所在学校的科技楼在同一水平地面上的影长为，科技楼的实际高度为________． 5．成都大运会火炬塔塔身造型由12条螺旋形空间曲线构成，取自金沙遗址太阳神鸟金饰上的12道太阳光芒．这12束光芒穿过蓉城三千年发展变迁，螺旋升腾汇聚于火炬塔顶部，托举着古蜀先民对太阳和光明的永恒向往，小明想测量火炬塔的高度，他设计了一种测量方案如下：如图，在阳光下小明站到点E处时，刚好使自己落在地面的影子与火炬塔的影子重叠，且端点恰好重合于C处．此时，小明测得自己的影子长度，（点B，E，C在同一直线上），已知小明的身高是，则火炬塔高_______m． 知识点利用三角形相似测量不能直接到达的物体宽度/距离 1. 原理：构造对顶角相等、对应角平行的相似三角形，利用相似三角形对应边成比例，将不可直接测量的长度转化为可测量长度计算 2. 常见构造方法：利用“X型”相似构造，即两条直线相交得到对顶角，再通过一组平行线得到两组对应角相等，证明三角形相似后列比例式 特别提醒 构造相似三角形时，必须保证对应角相等的条件成立，不能默认平行，需结合实际测量场景验证平行关系。 随学随练 1．如图，小位用两根长度不等的木条可测得花瓶内口径的宽度．如果，且量得，则的宽度为（    ） A． B． C． D． 2．下表是某次实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河的宽度为（   ） 题目 测量小河的宽度 测量目标示意图 相关数据 ，，米，米，米 A．4米 B．米 C．米 D．20米 3．图是装满红酒的高脚杯示意图，装酒的杯体可看作一个三角形，液面宽度为，其它数据如图所示，喝掉一部分后的数据如图所示，此时液面宽度为（    ）．    A． B． C． D． 4．为了估算河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得米，米，米，则河的大致宽度是________米． 5．如图，铁路道口的栏杆短臂长，长臂长．当短臂端点下降时，长臂端点上升（杆的宽度忽略不计）的高度是________ ． 知识点 利用三角形相似解决图形中的面积问题 1. 核心性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方，若两个三角形相似，相似比为k，则面积比为k2 2. 常见应用：已知部分图形面积，利用相似性质求整体或剩余部分面积；解决图形分割、比例尺相关面积计算问题 特别提醒 不要混淆相似比和面积比的关系，面积比是相似比的平方，已知面积比求相似比需要开平方，而非直接相等。 随学随练 1．如图1所示，小明发现乒乓球正上方的灯泡发出的光线照射乒乓球后，在地面上形成圆形的影子，它的简化示意图（如图2所示，点表示灯泡）．已知乒乓球的直径为，如果乒乓球的球心距离地面（即），若灯泡距离地面（即），则地面上阴影部分的面积（即的面积）为（    ） A． B． C． D． 2．大唐芙蓉园位于古都西安大雁塔东侧，是中国第一个全方位展示盛唐风貌的大型皇家园林式文化主题公园．该园占地面积约为800000m2，小明按比例尺1∶2000缩小后画出该园示意图，其面积大约相当于(　　) A．一个篮球场的面积 B．一张乒乓球台面的面积 C．《人民日报》的一个版面的面积 D．《数学》课本封面的面积 3．某校计划在一块三角形的空地上修建一个面积最大的正方形水池，使得水池的一边在的边上，中边，高，则水池的边长应为（ ） A．10m B．20m C．30m D．40m 4．如图是三角尺在灯泡的照射下在墙上形成的影子，现测得，这个三角尺的面积与它在墙上形成的影子的面积的比是______．    5．如图，圆桌面正上方的灯泡发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）．已知灯泡距离地面2.4m，桌面距离地面0.8m（桌面厚度不计算），若桌面的面积是1.2m2，则地面上的阴影面积是________ m2 ． 拓展利用相似三角形解决测量类实际问题 规律归纳 测量不可直接到达的高度、宽度时，核心是构造相似三角形转化比例，常用模型与规律可归纳为： 1. 平行投影模型（阳光下的影子）：同一时刻，所有物体的高度与影长成正比，本质是太阳光线平行，得到直角三角形相似； 2. 镜面反射模型：利用反射角等于入射角得到两个直角三角形相似； 3. 视点视线模型：借助标杆构造相似，通过视点、标杆顶端、物体顶端三点共线得到相似三角形，对应高的比等于相似比，进而推导物体高度。 深度拓展 这类问题的本质是将实际测量问题抽象为相似三角形模型，把不可直接度量的长度转化为可测量长度的比例计算，体现了数学建模素养，凸显了相似三角形“转段为比、化难为测”的应用价值。 活学活用 1．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，他们制订了两种不同的测量方案，并利用课余时间完成了实地测量．测量方案与数据如下表： 课题 测量学校旗杆的高度 测量工具 皮尺、标杆等 测量方案 方案一（用太阳光测） 方案二（用眼观测） 示意图 说明 E，G，A，C四点共线，，，均垂直于，且． A，E，C三点共线，D，F，B三点共线，，，均垂直于 测量数据 标杆，影长，同时旗杆落在地上的影长，落在墙上的影长 标杆，小明的眼睛距地面高，， 请选择其中一个方案及其数据求出学校旗杆的高度． 2．飞云楼位于山西省运城市万荣县东岳庙内，被誉为“中华第一木楼”，与应县木塔并称为“南楼北塔”．1988年，飞云楼被列入中华人民共和国国务院公布的第三批全国重点文物保护单位．昕昕某次参观完飞云楼后，准备用所学知识测量飞云楼的高度，简化示意图如图所示，昕昕在地面上的点处测得飞云楼顶端的仰角，请你根据下列条件，帮助昕昕完成测量方案． 条件一：测量可以在有阳光的晴日里进行； 条件二：昕昕备有的测量工具：①一根标杆；②一面平面镜；③一卷足够长的皮尺；④测角仪． (1)你所选用的测量工具是__________；（填序号） (2)请在图中补全测量示意图并写出测量数据；（不要求写出测量过程，线段长度用，，表示） (3)根据你的测量数据，计算飞云楼的高度．（用含，，的代数式表示） 3．为了测量学校教学大楼的高度，三个数学小组设计了不同的方案，测量方案与数据如下表： 课题 测量教学大楼（）的高度 测量小组 第一组 第二组 第三组 测量示意图       说明 人站在大楼影子的顶端，为人的影长 为标杆，人的眼睛与标杆顶端与大楼顶端在同一条直线上 点处放一个平面镜，人的眼睛恰好在平面镜中看到大楼的顶端 测量数据 ， ，，， ，， 说明：图中所有点都在同一平面内 (1)交流反思时，老师发现三组中有一组测量数据不完整，是第_________________组； (2)请你在正确的方案中选择一种，求教学大楼的高度． 题型利用相似三角形测高度 解题贴士 核心是利用“同一时刻物高与影长成正比”构造相似三角形，找准对应边的比例关系，注意区分物体影长与影子延伸长度的计算，优先确定两个直角三角形的对应顶点 ▌例1小李在学习了相似三角形的知识后，用标杆来测量学校旗杆的高度．如图所示，已知标杆高度，人与标杆的水平距离，人的眼睛距离地面的高度，标杆与旗杆的水平距离，则旗杆的高度为（ ） A． B． C． D． ▌例2．如图，为测量灯杆的高度，小强在脚下水平放置一平面镜C，然后向后退，保持脚、平面镜C与灯杆底端D在同一直线上，直到他刚好在镜子C中看到灯杆的顶端E．已知小强的眼睛离地面的高度，小强与镜子的水平距离，镜子与灯杆的水平距离，则灯杆的高度约为（   ） A．6.5m B．7m C．7.5m D．8m ▌对点练1-1医圣祠位于河南省南阳市城东温凉河畔，为纪念东汉医学家张仲景而建，为了纪念医圣张仲景，某中医药文化广场有一尊张仲景雕像．数学兴趣小组的同学为测量雕像的高度（顶端到水平地面的距离），在雕像旁的水平地面C处放置一面镜子，组员小明沿直线后退到点处，此时恰好在镜子里看到雕像的顶端．已知米，米，小明的眼睛距地面的高度米，则雕像的高度（    ）米 A． B． C． D． ▌对点练1-2．如图，某同学用下面的方法测量学校操场旗杆AB的高度．如图所示，在水平面上E点处放一面平面镜，镜子与旗杆的距离米，当他与镜子的距离米时，他正好能从镜子中看到旗杆的顶端A．已知他的眼睛距地面的高度米，这位同学计算出旗杆AB的高度是_______米． ▌对点练1-3．如图，不等臂跷跷板的一端A碰到地面时，另一端B到地面的高度为；当的一端B碰到地面时，另一端A到地面的高度为，则跷跷板的支撑点O到地面的高度是_____． 题型 利用相似三角形测宽度 解题贴士 常见构造方式为“对顶角型相似”或“平行截线型相似”，将不可测量的目标边放到相似三角形的对应边位置，通过已知陆地边长列比例式求解，注意不要混淆对应边，计算前先标注相等的角确定对应关系。 ▌例1．如图，为估算某河的宽度（河两岸平行），在河对岸选定一个目标点，在近岸取点B、C、D，使得，点在上，并且点在同一条直线上，若测得，则河的宽度等于（   ） A． B． C． D． ▌例2．下表是小明填写的综合实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算河流的宽度． 题目 测量河流宽度 目标示意图 测量数据 ，， 则（   ）m A． B． C．40 D．50 ▌对点练1-1．为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标作为点A．再在河的这一边选定点B和C，使，然后再选定点E，使，用视线确定与交于点D．此时，测得，，，则两岸间的距离为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2．如图，身高为的小明站在小河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树的高度，在水中的倒影为，、、、在一条直线上如果小河的宽度为，，那么这棵树的高为______ ． ▌对点练1-3．要“像保护眼睛一样保护自然和生态环境”．如图，现在小明门前的小河清澈透明．为了测量这条河的宽度，小明数学兴趣小组在对岸岸边点处观察到一根柱子，再在他们所在的这一侧岸上选点和点，使得，，在同一条直线上，且与河岸垂直，随后确定点，点，使，，由观测可以确定与的交点．他们测得，，，从而确定河宽，他们测量的河宽为______． 题型 网格中判断三角形相似并计算相关边长/角度 解题贴士 先利用勾股定理计算两个三角形各边的长度，再验证三边是否成比例，若成比例即可判定相似，对应角相等可直接由相似性质得到，计算时注意网格单位长度不要看错。 ▌例1如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点均在网格线的交点上，点分别是边与网格线的交点，连接，则的长为（   ） A．1 B． C． D． ▌例2如图是由边长为1的小正方形组成的网格，点A，B都在格点（小正方形的顶点）上，点C为与网格水平线的交点，则的长为（　　）    A． B． C． D． ▌对点练1-1如图，在正方形网格上有两个相似三角形和，则的度数为（   ） A． B． C． D． ▌对点练1-2在如图所示的网格中，每个小正方形边长均为，的三个顶点均在网格线的交点上，点，分别是边，与网格线的交点，连接，则的长为________． ▌对点练1-3如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点、都在格点上，点是线段与网格线的交点，则的长为_________． 题型遮挡问题（盲区问题）利用相似计算 解题贴士 根据视点、遮挡物顶点、被遮挡物体顶点三点共线构造相似三角形，找准相似三角形的对应边，根据共线条件得到平行关系进而推出相似，再计算盲区范围或被遮挡物体的位置。 ▌例1在日常驾驶中，驾驶员的视线存在盲区，这是行车安全需要关注的点．如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头近似成一个矩形，且满足，若盲区的长度是米，则车宽的长度为（    ）米． A． B． C． D． ▌例2如图左右并排的两棵大树的高度分别是AB=8米，CD=12米，两树的水平距离BD=5米，一观测者的眼睛高EF=1.6米，且E、B、D在一条直线上，当观测者的视线FAC恰好经过两棵树的顶端时，四边形ABDC的区域是观测者的盲区，则此时观测者与树AB的距离EB等于（　　） A．8米 B．7米 C．6米 D．5米 ▌对点练1-1如图，为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点处与地面的距离为米，车头可近似看成一个矩形，且满，盲区的长度是6米，车宽的长度为________米．    ▌对点练1-2如图，小刚在高18 m的塔AB上看远方，离塔5 m的D处有一高12 m的障碍物，小刚的盲区（DE）是________m（小刚的身高忽略不计）． ▌对点练1-3如图，直角坐标平面内，小明站在点A（﹣10，0）处观察y轴，眼睛距地面1.5米，他的前方5米处有一堵墙DC，若墙高DC＝2米，则小明在y轴上的盲区（即OE的长度）为_____米．    题型 路灯投影问题（动态行走影子变化） 解题贴士 1. 路灯顶端、人影顶端连成直线，可构造一大一小两个直角相似三角形。 2. 固定路灯高度与地面距离不变，找准人身高、行走距离、影子长三组对应边列比例式。 3. 人移动时分清初始位置和移动后位置，区分总水平距离与人自身行走路程，避免边长混淆。 4. 若影子叠加、前后两段影子，分开构建两组相似依次计算即可。 ▌例1如图，在水平路段上，为一根垂直于地面的路灯，C为路灯的光源．小明（图中为）从H出发，沿着方向前行20米至点F，发现影子缩短了5米．已知小明原来影子长15米，小明身高1.6米，那么路灯的高度为（    ）米． A．6 B．8 C．10 D．12 ▌例2如图，广场上有一盏路灯挂在高的电线杆顶上，记电线杆的底部为，把路灯看成一个点光源，身高的小明站在点处，且，当小明向路灯移动时，影长的变化是（   ） A．伸长了 B．伸长了 C．缩短了 D．缩短了 ▌对点练1-1如图所示，王华晚上由路灯A下的B处走到C处时，测得影子的长为1米，继续往前走3米到达E处时，测得影子的长为2米，已知王华的身高是1.5米，那么路灯A的高度等于（    ） A．4.5米 B．6米 C．7.5米 D．8米 ▌对点练1-2如图，甲、乙两盏路灯相距30米，当小刚从路灯甲底部向路灯乙底部直行25米时，发现自己的身影顶部正好接触到路灯乙的底部，已知小刚的身高为米，那么路灯甲的高为___________米．    基础通关 1．如图1，舂臼（）是利用了杠杆原理给谷物种子进行脱壳的一种传统工具，图2是该舂臼的侧面简易示意图，点O是支点，点O到地面的距离，且，则点A到地面的距离是（    ） A． B． C． D． 2．无人机进行空中航拍测绘作业时，其相机镜头的成像过程可简化为一组相似三角形模型．如图所示，地面上的目标线段在相机传感器上的成像为线段，．无人机镜头距地面的垂直高度为，的长度为，若此时该相机镜头距离成像传感器的距离为，则目标线段的长度为（   ） A． B． C． D． 3．如图1，皮影戏利用灯光将皮影投射到幕布上形成影像．如图2，灯光可看作点光源O，皮影经照射在幕布上形成影像．嘉淇测出O到，的距离以及的长度，就能求出的长度，其依据是（    ） A．等腰三角形三线合一 B．相似三角形对应边的比等于相似比 C．全等三角形的对应边相等 D．平行线间的距离处处相等 4．铁路道口的栏杆如图所示，m，m，要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离为4m，则栏杆左端应下降的垂直距离为（    ） A．2m B．1.5m C．1m D．0.5m 5．如图，小明用长为的竹竿做测量工具，测量学校旗杆的高度，移动竹竿，使竹竿与旗杆的距离，则旗杆的高为（   ） A． B． C． D． 6．《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的办法，如图所示，在井口处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端观测井水水面，视线与井口的直径交于点，若测得米，米，米，则水面以上深度为（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 7．小明和小强在同一时刻并排站立在阳光下，测得小明的身高为1.8米，其影长为2米，小强的身高为1.6米，则小强的影长为________米． 8．物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔O在屏幕（竖直放置）上成像．设，．小孔到的距离为，则小孔到的距离为__________． 9．如图，、两地被假山阻隔，为测量、两地的距离，在地面上选一点，连接、，分别在、上取点、，使得，量得的长为，则两地的距离为________． 10．如图，为测量某棵树的高度，小明用长为竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端影子与树的顶端影子恰好落在地面同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为____米． 11．如图，电灯P在横杆的正上方，在灯光下的影子为，，，点P到的距离是，则点P到的距离是 _____ m． 12．如图，小李打网球时，球恰好打过网，且落在离网的位置上，则球拍击球的高度h为________． 13．如图，小明站在离路灯处（即），这时测得他的影长为（即），已知小明的身高为（即），求路灯的高度． 14．如图，为了测量山脚、之间的距离，选定一点，量得步，步，在的延长线上取点，使步，在的延长线上取点，使步，量得步．你知道、之间相距多少步吗？ 15．学校“数学建模小分队”为了测量校园里水平地面上一棵树的高度，做了如下的探索：根据《物理》中光的反射定律，利用一面镜子和一根皮尺，设计如下图所示的测量方案：①把一面很小的镜子放在离树底B距离米的点E处；②沿着直线后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A；③用皮尺量得米；④观察者目高米，则树（）的高度约为多少米（精确到米）． 素养提升 1．如图，小红利用标杆测量学校旗杆的高度，标杆高，测得，，则旗杆的高度是（     ） A． B． C． D． 2．如图，为凸透镜，其厚度忽略不计，O为凸透镜的光心，E为凸透镜的焦点，在凸透镜左侧的主光轴上垂直放置一支蜡烛，透过凸透镜后成的像为．平行于主光轴的光线，通过凸透镜折射后经过焦点，并与光线会聚于点C．若物距，像距，则凸透镜的焦距的长为（     ） A． B． C． D． 3．如图，为测量零件内槽宽，某同学制作了一个测量尺．其中，为固定臂，为活动臂（可绕点转动）．，分别为，的三等分点（即，），测量尺的零刻度与点重合．现测得的长约为5 cm，则内槽宽的长为（     ） A．5 cm B．10 cm C．15 cm D．18 cm 4．中国古代思想家墨子在《墨经》中记载了小孔成像实验，图1是小孔成像示意图，对应的数学模型如图2，光线经过小孔P，物体在幕布上形成倒立的实像（点A，B的对应点分别是，），且，，若，P到的距离，则长为（     ） A． B． C． D． 5．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，其中记载着这样一道题：今有树，不知其高，去树五十步，立表高五尺，人却退七步，望表末，与树末参直，人目高四尺，问树高几何？大致意思是：如图，为求树高，在距离树50步的地方，竖立一根5尺长标杆，再向后退7步，此时眼睛、标杆顶端、树顶端在一条直线上，眼睛离地面的高为4尺，则树高为_______尺． 6．大雁塔是西安的标志性古建筑，世界文化遗产．小明学习了《周髀算经》中的“偃矩以望高”，想用直角曲尺测量大雁塔高度．如图，点，，在同一水平线上，和均为直角，交于点．测得，，，则大雁塔的高度为__________． 7．真身宝塔是法门寺的主要建筑之一，因塔下藏有佛祖真身舍利而得名，初为“圣冢”，唐代建四级木塔，明代改建砖塔．乐乐所在的“综合与实践”小组开展了测量“真身宝塔（如图）高度”的实践活动，方法如下：在地面上C处，垂直于地面竖立高度为的标杆，此时地面上的点E，标杆的顶端点D，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上；然后将标杆向左平移到点G处，此时地面上的点F，标杆的顶端点H，真身宝塔的塔尖点B正好在同一直线上．已知点F，G，E，C与真身宝塔底处的点A在同一直线上，，，，根据以上测量结果，请你帮助该“综合与实践”小组求出真身宝塔的高度． 8．【综合与实践】主题：型晒衣架稳固性检测 步骤：如图1所示的是晒衣架的实物图，图2是晒衣架的侧面示意图，立杆，相交于点，经测量，得到，，，现将晒衣架完全稳固张开，横杆链成一条线段，测得． (1)晒衣架完全稳固张开时，连接，证明：； (2)利用夹子垂挂在晒衣架上的连衣裙（夹子高度忽略不计）总长度小于多少时，连衣裙才不会拖在地面上？ 9．某数学课外小组运用数学知识测量直立在操场上旗杆的高度，并制作了如下实践报告： 实践主题 测量旗杆的高度 示意图 测量过程 一位同学站在操场的点B处，另一位同学在点D处放置了一根标杆，在B和D之间找到一个合适的位置O，并在O处平放一面小镜子，点B处的同学恰好看到在镜子里点C和点E重合（图中各点在同一平面）． 测量数据 ，，，点B处同学的眼睛离地面的高度．，，均与水平地面垂直． 请你根据以上实践报告，求出旗杆的高度． 10．淇淇和嘉嘉在学习了利用相似三角形测高之后分别测量两个旗杆的高度． (1)如图①所示，淇淇采用镜面反射法．将镜子放在地面点处，此时淇淇恰好能从镜子中看到旗杆顶端，已知淇淇眼睛到地面的距离，且，旗杆．，，求旗杆的高度． (2)嘉嘉利用自制的直角三角形硬纸板来测量旗杆的高度，他通过调整测量位置，使斜边与地面保持平行，并使一直角边与旗杆顶点在同一直线上．已知米，米，目测点到地面的距离为1.6米，到旗杆的水平距离为18米，求旗杆的高度． 迁移创新 1．综合与实践：如影随形． 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． (1)【探究1】 如图①，竖立的两根灯杆中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请求出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子全部落在地面上时，他的影长是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出满足的等量关系；若不存在，请说明理由； (3)【探究3】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小明和小亮的身高，他们在两根灯杆之间走动（小明在小亮的左侧），且点B、F、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小明和小亮的影子全部落在地面上时，他们的影长分别是和． ①若点M、Q重合，请求出他们之间的距离； ②若点M、Q不重合，是否存在特殊的等量关系？若存在，请直接写出满足的等量关系；若不存在，请说明理由． 2．综合与实践 【背景材料】在我国古代著作《墨经》中，记载了世界上最早的小孔成像实验，即光线穿过小孔时，物体上部的成像在下部，下部的成像在上部，形成倒立的像．某校九年级数学物理兴趣小组开展了重现这一古代智慧的项目式学习． 【几何图形】图1是该兴趣小组设计的小孔成像实验图，现将实验图转化成几何图形示意图（图2），其中小孔为，烛焰（其中为烛焰顶端，为烛焰底端）在屏幕上的像为，小孔到烛焰的距离为，小孔到屏幕的距离为，烛焰与屏幕上的平行． 【初始实验数据】已知，，． 【直观感知】（1）证明：； 【初步探究】（2）求的高度； 【深入探究】（3）保持不变，将蜡烛向小孔方向靠近，使变为，同时将屏幕远离小孔，使变为，通过此数据计算并对比初始实验数据说明：当减小、增大时，的高度如何变化？ 【创新探究】（4）在实验中为了得到一个较大且清晰的像，烛焰与小孔的距离一般要求不小于，现保持，不变，若要求，请直接写出的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $