4.5.1 相似三角形的性质1(对应角平分线、中线、高的比) 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形对应角平分线、中线、高的比等于相似比这一核心知识点，通过回顾相似三角形定义、判定及基本性质，结合建筑模型房立柱等生活情境导入，搭建新旧知识联系的学习支架。 资料以情境创设激发兴趣，通过小组合作探究证明性质，结合小孔成像、矩形在三角形中应用等实例强化应用，培养学生数学眼光、推理能力与应用意识，助力教师高效教学，提升学生解决实际问题的能力。

第1课时　相似三角形的性质1(对应角平分线、中线、高的比) 　　　　　　　　　　　　　 课题 第1课时　相似三角形的性质1(对应角平分线、中线、高的比) 授课人 教 学 目 标 1.经历探索相似三角形中三条重要线段的比与相似比的数量关系的过程,理解相似三角形的性质. 2.利用相似三角形的性质解决实际问题. 3.探索相似三角形中三条重要的线段的比与相似比的数量关系,培养学生的探索精神和合作意识. 4.通过运用相似三角形的性质,增强学生的应用意识,培养学生独立思考的习惯,在数学活动中获得成功的体验. 教学 重点 运用相似三角形的性质解决实际问题. 教学 难点 相似三角形的性质的运用. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 1.前面我们学习了相似三角形的有关知识. 问题1:什么是相似三角形? 问题2:如何判定两个三角形相似? 问题3:相似三角形的基本性质是什么? 问题4:一个三角形有三条重要的线段,你们知道是哪三条吗?如果两个三角形相似,那么这三条重要线段有什么对应关系? 2.在生活中,我们经常利用相似的知识解决建筑类问题.如图4-5-8,小王依据图纸上的△ABC,以1∶2的比例建造了模型房的房梁△A'B'C',CD和C'D'分别是它们的立柱. 图4-5-8 问题1:试写出△ABC与△A'B'C'的对应边之间的数量关系和对应角之间的数量关系; 问题2:△ACD与△A'C'D'相似吗?为什么?如果相似,指出它们的相似比; 问题3:如果CD=1.5 cm,那么模型房的房梁立柱有多高? 问题4:据此,你可以发现相似三角形具有怎样的性质? 　　回顾前面所学内容,加深学生对所学知识的理解,通过设问,激发学生的学习兴趣,为学习新知识做准备,让学生明确本节课学习的内容.重点让学生回顾三角形中的三条重要的线段——中线、高和角平分线的特征. 从生动有趣的问题情境出发,采用递进式的提问,通过已学的知识来解决问题,学生主动获取了部分知识,同时也激发了学生学习新知识的欲望. 活动 二: 探究 与 应用 【探究】 相似三角形对应角平分线、中线、高的性质 如图4-5-9,△A'B'C'∽△ABC,相似比为=k.求这两个三角形的角平分线A'D'与AD的比. 图4-5-9 解:因为△A'B'C'∽△ABC, 所以∠B'=∠B,∠B'A'C'=∠BAC. 因为A'D',AD分别是△A'B'C'与△ABC的角平分线, 则∠B'A'D'=∠B'A'C',∠BAD=∠BAC, 所以∠B'A'D'=∠BAD. 所以△A'B'D'∽△ABD(两个角对应相等的两个三角形相似), 所以===k. 师生活动:学生通过小组合作探究,类比前面的探究过程,至少证明其中的一个结论,完成后再展示说明,学生之间互相补充,教师适时点评. 归纳:两个相似三角形对应角平线的比等于相似比. 已知:如图4-5-10,BD,CE是△ABC的两条中线,P是它们的交点. 求证:==. 图4-5-10 证明:如图4-5-11,连结DE. 图4-5-11 因为BD,CE是△ABC的两条中线,所以DEBC. 从而得∠EDB=∠DBC,∠DEC=∠ECB, 所以△DEP∽△BCP.所以===. 思考:请同学们再重新画两条中线,探究是否还存在以上结论. 归纳:如果再作BC边上的中线,这条中线与AC边上的中线BD的交点也必定分BD成1∶2的两条线段,也就是点P.这就证明了三角形的三条中线相交于一点.三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.三角形的重心分每一条中线成1∶2的两条线段. 如图4-5-12,△ABC∽△A'B'C',相似比为=k.求这两个三角形的高AD与A'D'的比. 图4-5-12 答案:=k 归纳:两个相似三角形对应高线长的比等于相似比. 　　 学生通过小组合作探究,类比前面的探究过程,培养学生主动探究的意识和合作交流的能力,发展学生的类比思维能力与归纳总结能力. 该题不但是对相似三角形对应线段成比例的灵活应用,还巧妙地引出重心的概念. 学生在练习时,除了基本的证明过程之外,还需要适当的迁移思维,两条中线如果换作是其他两条,结论是否仍然成立,由此能够得到什么新的结论,可以适当引导学生关注两条中线的交点,并小组讨论. 在探索过程中,发展学生类比探究的能力与独立解决问题的能力,培养学生全面思考的思维品质. 活动 二: 探究 与 应用 【应用举例】 例1　如图4-5-13,AD是△ABC的高,AD=h,点R在AC边上,点S在AB边上,SR⊥AD,垂足为E.当SR=BC时,求DE的长.如果SR=BC呢?(用含h的式子表示) 图4-5-13 答案:当SR=BC时,DE=h　当SR=BC时,DE=h 例2　两个相似三角形中一组对应角平分线的长分别是2 cm和5 cm,求这两个三角形的相似比.在这两个三角形的一组对应中线中,如果较短的中线的长为 3 cm,那么较长的中线多长? 答案:这两个三角形的相似比为　较长的中线的长是 cm 例3　钳工小王准备按照比例尺为3∶4的图纸制作三角形零件.如图4-5-14,图纸上的△ABC表示该零件的横断面△A'B'C',CD和C'D'分别是它们的高. (1),,的值各等于多少? (2)△ABC与△A'B'C'相似吗?请说明理由,并指出它们的相似比; (3)请在图中再找出一对相似三角形; (4)的值等于多少? 图4-5-14 解:(1)=,=,=. (2)△ABC∽△A'B'C'.理由如下: 因为===, 所以△ABC∽△A'B'C',且相似比为. (3)(答案不唯一)△ACD∽△A'C'D'或△BCD∽△B'C'D'. (4)=. 　　运用相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比等于相似比的性质来解决实际问题,增强学生的应用意识. 【拓展提升】 　　例4　如图4-5-15,小强自制了一个小孔成像装置,其中纸筒的长度为15 cm.他准备了一支长为20 cm的蜡烛,想要得到高度为5 cm的像,蜡烛应放在距离纸筒多远的地方? 图4-5-15 [答案:60 cm] 活动 二: 探究 与 应用 例5　如图4-5-16,在△ABC中,矩形DEFG的一边DE在边BC上,点F在边AC上,点G在边AB上,AH是BC上的高,AH交GF于点K,BC=48,EF=10, DE=18,求AK的长. 图4-5-16 　　 [答案:6] 　　复杂的图形有部分学生看不懂,甚至看见复杂的图形就认为题目非常难,这就要求学生具备动手能力和解决问题的能力.因此在教学中要培养学生的应变能力及相应基础知识的掌握能力,才能解决实际问题. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 教材第152页课内练习. 教材第153页作业题T1-T3. 　　学以致用,达标测评,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每名学生都能有所收益、有所提高. 【课堂小结】 活动内容:通过本节课的学习学到了哪些知识?掌握了哪些数学方法?体会到了哪些数学思想?还有哪些发现与猜想?谈一谈本节课的学习收获吧! 活动方式:找3名同学结合问题谈谈自己本节课的收获及困惑. 　　课堂小结是知识沉淀的过程,让学生对本节课所学知识进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈、自主发展的意识. 【板书设计】 第1课时　相似三角形的性质1(对应角平分线、中线、高的比) 相似三角形的性质1: 例: 学生板演区 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 教材只是为教师提供了最基本的教学素材,教师可以根据学生的实际情况进行适当的调整.学生在前面几节课的学习过程中,已经学习了三角形相似的判定,而且普遍掌握较好,因此,再以问题的形式逐步总结认识,加深学生的印象.在教学中再将重点放在研究相似三角形的性质上,而且能让学生通过亲自感受相似三角形的性质在实际生活与生产中的应用,体会数学的实用价值. ②[讲授效果反思] 通过课堂验证“相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比”,为学生提供了展示自己聪明才智的机会,并且在此过程中,教师要发现学生分析问题的独到见解以及思维的误区,以便指导今后的教学.课堂上要把激发学生的学习热情和让学生获得学习的能力放在首位,通过应用各种启发和激励的语言,以及组织小组合作学习,帮助学生形成积极主动的求知态度. ③[师生互动反思]   　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　　　　　 　　　　　　   　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  　　　　　　 　　　　　　 ④[习题反思] 好题题号　　　　　 　　　　　　 　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　 　　　　　　　　 　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $