4.5.3 相似三角形性质的实际应用 教学设计 2026-2027学年浙教版数学九年级上册

该初中数学教学设计聚焦相似三角形性质的实际应用，通过泰勒斯测量金字塔高度的传说导入，衔接相似三角形判定与性质，引导学生将实际问题转化为数学模型，搭建从知识到应用的学习支架。 资料以测量物体高度、河宽、盲区等实际问题为载体，培养学生数学眼光（几何直观），通过构造相似三角形模型发展数学思维（推理能力），用比例式解决问题强化数学语言（模型意识）。情境探究与达标测评结合，提升学生应用能力，为教师提供清晰教学流程与实例参考。

第3课时　相似三角形性质的实际应用 　　　　　　　　　　　 课题 第3课时　相似三角形性质的实际应用 授课人 教 学 目 标 1.综合运用相似三角形的判定方法和性质解决实际问题. 2.巩固相似三角形的有关知识,提高学生综合运用相似三角形的判定方法和性质解决问题的能力,发展学生的数学应用意识,加深对相似三角形的理解和认识. 3.通过问题情境的设置,培养学生积极的进取精神,增强数学学习的自信心,实现学生之间的交流、合作,体现数学知识解决实际问题的价值. 教学 重点 综合运用相似三角形的判定方法和性质解决实际问题. 教学 难点 把生活中的问题转化为数学问题,利用工具构造相似三角形模型. 授课 类型 新授课 课时 教具 多媒体课件 教学活动 教学 步骤 师生活动 设计意图 活动 一: 创设 情境 导入 新课 【课堂引入】 据传说,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子的顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度. 如图4-5-43,木杆EA的长为2 m,它的影长AD为3 m,测得OA的长为201 m,求金字塔的高度BO. 图4-5-43 学生思考并展开讨论,寻找解决问题的方法. 　　通过解决金字塔问题,激发学生学习数学的兴趣,让学生在浓厚的数学文化熏陶中探究解决问题的方法. 活动 二: 探究 与 应用 【探究1】 测量物体的高度 分析[课堂引入]中的问题,如何将现实生活中的问题转化为数学问题是解题的难点,在问题中,寻找两个相似三角形是解题的突破口,根据太阳光是平行光线这一基本常识,得到BA∥ED,从而得到△ABO∽△DEA,最后解决问题. 解:因为BA∥ED,所以∠BAO=∠EDA. 又∠AOB=∠DAE=90°,所以△ABO∽△DEA, 所以=,所以BO===134(m). 因此金字塔的高度BO为134 m. 师生总结:同一时刻物体的高度与影长成比例. 【探究2】 测量河的宽度 如图4-5-44,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在河岸取点Q和S,使点P,Q,S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与河岸的交点R.已测得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,请根据这些数据,计算河宽PQ. 图4-5-44 师生活动:教师提出问题,学生理解测量方法. 分析问题:题目的前提是我们只能在河的一边测量河的宽度,所以想到用相似的知识来解决问题,因此寻找包括河的宽度的相似三角形.分析题目可知△PQR∽△PST,所以知道QR,ST,QS的长度即可求出PQ的长度. [答案:90 m] 　　通过解决不能直接测量的物体的高度和宽度问题,让学生在解决实际问题的过程中学会建立数学模型,通过建模培养学生的归纳能力.在教师的引导下学生通过自主学习和合作交流相结合,进一步加深对相似三角形的应用意识,培养学生分析问题、解决问题的能力和发散思维的能力. 活动 二: 探究 与 应用 问题:是否有其他的解题方法?试一试! 师生活动:通过作图可以理解并进行解答. 总结:测量不能直接到达的两点之间的距离,关键是构造相似三角形,利用能测量的三角形的边长及相似三角形的性质求此距离. 【探究3】 盲区问题 如图4-5-45,左、右并排的两棵大树的高分别为AB=8 m和CD=12 m,两树底部的距离BD=5 m,一个人估计自己眼睛距地面1.6 m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进,当她与左边较低的树的距离小于多少时,就看不到右边较高的树的顶端C了? 图4-5-45 师生活动:教师引导学生进行分析,寻找解题方法. 分析问题:教师介绍仰角和盲区:如图4-5-46,设观察者眼睛的位置为点F,画出观察者的水平视线FG,分别交AB,CD于点H,K.视线FA与FG的夹角∠AFH是观察点A时的仰角.类似地,∠CFK是观察点C时的仰角.由于树的遮挡,区域Ⅰ和Ⅱ,观察者都看不到. 图4-5-46 [答案:8 m] 总结:解决实际问题的关键是找出相似三角形,然后根据相似三角形的对应边成比例列出方程,建立适当的数学模型来解决问题. 【应用举例】 例1　如图4-5-47①,一块材料的形状是锐角三角形ABC,边BC=120 mm,高AD=80 mm,把它加工成正方形零件,使正方形的一边在BC上,其余两个顶点分别在AB,AC上. (1)求这个正方形零件的边长; (2)如图②,如果将其加工成矩形零件,当EG∶EF=4∶9时,求矩形EGHF的周长. 图4-5-47 [答案:(1)48 mm　(2)208 mm] 　　应用举例是对课堂学习的针对性练习. 活动 二: 探究 与 应用 【拓展提升】 例2　如图4-5-48是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后,刚好到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=2 m,BP=3 m,PD=12 m,那么该古城墙的高度CD是　8　m.  图4-5-48 　　通过拓展提升,使学生加深对实际问题解法的理解,学会并领悟建模思想. 活动 三: 课堂 总结 反思 【达标测评】 1.如图4-5-49,为估算学校旗杆的高度,身高为1.6 m的张良同学沿着旗杆在地面上的影子AB由点A向点B走,当他走到点C处时,他的影子的顶端正好与旗杆的影子的顶端重合,此时测得AC=2 m,BC=8 m,则旗杆的高度是 (　C　) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图4-5-49 A.6.4 m B.7 m C.8 m D.9 m 2.如图4-5-50,小明在打网球时,为使球恰好能过网,而且落在对方区域离网5 m的位置上,则球拍击球的高度h约为 (　D　) 图4-5-50 A.1.6 m B.1.5 m C.2.4 m D.1.7 m 3.如图4-5-51(示意图),铁路口栏杆短臂长1米,长臂长16米,当短臂端点下降0.5米时,长臂端点升高　8　米.  图4-5-51 　　学以致用,达标测评,及时获知学生对所学知识的掌握情况,并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性,使每名学生都能有所收益、有所提高. 【课堂小结】 活动内容:通过本节课的学习学到了哪些知识?掌握了哪些数学方法?体会到了哪些数学思想?还有哪些发现与猜想?谈一谈本节课的学习收获吧! 活动方式:找3名同学结合问题谈谈自己本节课的收获及困惑. 　　课堂小结是知识沉淀的过程,让学生对本节课所学知识进行梳理,养成反思与总结的习惯,培养自我反馈、自主发展的意识. 活动 三: 课堂 总结 反思 【板书设计】 第3课时　相似三角形性质的实际应用 用相似三角形的性质解决实际问题的步骤: ①将实际问题转化为数学问题; ②构造出一对相似三角形; ③根据相似三角形的性质建立比例式,求出相应的量 例: 学生板演区 　　提纲挈领,重点突出. 【教学反思】 ①[授课流程反思] 本节课通过设疑导入新课,激发学生的学习兴趣,再解决三个具体的实际问题,让学生成为学习活动的参与者、探索者和创造者.在探究过程中,从实际出发,以小组合作交流的形式,采用问题情境——建立模型——应用拓展的方式,培养学生应用数学知识解决实际问题的能力. ②[讲授效果反思] 讲解重点问题时,大部分学生都学会了建立数学模型,利用相似三角形的性质来解决实际问题,一小部分学生学习效果欠佳,课后鼓励这部分学生多与其他同学交流,争取有更好的效果. ③[师生互动反思]  　　　 　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　   　　　 　　　　　　　　 　　　 　　　　　　　　　　　　  ④[习题反思] 好题题号　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　  错题题号　　　　　　　　　　　　 　　　　　 　　　　　  　　反思教学过程和教师表现,进一步提升操作流程和自身素质. 学科网（北京）股份有限公司 $