1.3 二次函数的性质（讲义）数学新教材浙教版九年级上册

本讲义聚焦二次函数的性质这一核心知识点，系统梳理对称性（对称轴表达式、对称点求解）、增减性（对称轴分界与a的影响）、最值（顶点与区间分类讨论）及图像与系数关系（a、b、c的作用），并拓展区间最值和最短路径应用，构建从基础到综合的学习支架。 该资料通过分层设计（知识点+拓展+题型）和易错点提示，结合随学随练与活学活用，培养学生推理意识（如区间分类讨论）和应用意识（如将军饮马模型）。课中辅助教师系统授课，课后分层练习帮助学生查漏补缺，提升解决综合问题的能力。

第一章 二次函数 1.3 二次函数的性质 课标要点 1.对称性：掌握对称轴两种表达式；会求抛物线上点的对称点；能用对称性求交点、解决最短路径问题。 2增减性：以对称轴分界，根据a正负判断两侧y随x变化趋势；能结合限定区间判断增减。 3.最值：全体实数内顶点为最值点；a>0最小，a<0最大；给定区间分类讨论求最值。 4.图像与系数：a：开口方向、宽窄；a、b：左同右异，确定对称轴位置 学习重难点 重点： 对称轴计算、对称点求解及实际应用 对称轴两侧增减变化规律 顶点最值、给定区间分类求最值 图像与系数符号互推 难点： 增减升降规律易记混 区间最值分类讨论易遗漏情况 综合图像同步判断符号 对称轴将军饮马最短距离综合题 知识点1 二次函数的性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二次函数的对称性 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 特别提醒 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 随学随练 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段检测）对于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而增大 2．（23-24九年级上·广西钦州·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A．当时，随增大而增大 B．当时，随增大而增大 C．当时，随增大而减小 D．当时，随增大而减小 3．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象，在对称轴右侧的部分是（　　）． A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．随着的增大先减小后增大 4．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 5．（2025·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，点、在这个二次函数的图象上，且，则该二次函数有（   ） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值 知识点2 二次函数图像与各系数之间关系（重难点） 1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 随学随练 1．（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线（、、为常数，且）经过点、，其对称轴在轴右侧，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 3．（2026·四川内江·中考真题）如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 4．（25-26八年级下·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 5．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 拓展1 给定范围求二次函数最值 标准解题步骤 配方，写出顶点(h,k)； 写出给定 x 取值范围； 对比顶点横坐标 h 和范围，分三类判断； 代入对应 x，计算函数值； 对比数值，写出最大值、最小值。 易错点 不讨论范围，直接把顶点纵坐标当成最值； 左右平移、配方出错导致顶点h判断错误； 只算一端点，漏掉另一端点比较大小。 活学活用 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知二次函数的图象，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 2．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知二次函数的图象如图所示，当时，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，最大值0 B．有最小值，最大值6 C．有最小值2，最大值6 D．有最小值，最大值2 3．（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于，两点，若，且，记，则（   ） A．s有最小值，没有最大值 B．s有最小值，没有最大值 C．s有最小值，有最大值6 D．s有最小值，有最大值6 4．（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 拓展2 利用二次函数对称性求最短距离 核心依据 二次函数抛物线关于对称轴直线x=h 对称； 抛物线上任意一点P的对称点为P； 最短路径模型：将军饮马 两点在直线同侧时，作其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点连线和对称轴的交点即为动点位置，线段长是最短距离。 本题对称轴就是那条 “河”，动点在抛物线上 / 对称轴上。 活学活用 1．（2026·广西贺州·二模）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东淄博·一模）如图，直线l过点，，抛物线与y轴交于点C，若点P在抛物线的对称轴上移动，点Q在直线l上移动，则的最小值是（    ） A．5 B．4.4 C．3.6 D．3.3 3．（21-22九年级上·广西梧州·阶段检测）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____． 4．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一点，求的周长的最小值． 题型1 二次函数的增减性 【例1】（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【对点练1-1】（23-24九年级上·福建福州·期中）已知抛物线，则下列描述不正确的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而增大 【对点练1-2】（23-24九年级上·河北廊坊·阶段检测）将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新抛物线，则对新抛物线来说（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大 【对点练1-3】（22-23九年级上·安徽滁州·阶段检测）已知二次函数的图象开口向上，并经过点，下列结论正确的是（      ） A．当时，函数值随的增大而增大 B．当时，函数值随的增大而减小 C．存在一个负数，使得当时，函数值随的增大而减小；当时，函数值随的增大而增大 D．存在一个正数，使得当时，函数值随的增大而减小；当时，函数值随的增大而增大 【对点练1-4】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（a为常数，且），下列结论一定正确的是（    ） A．若，则时，y随x的增大而增大 B．若，则时，y随x的增大而减小 C．若，则时，y随x的增大而增大 D．若，则时，y随x的增大而减小 题型2 二次函数的最值 【例2】（25-26九年级上·山东烟台·期中）在直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点和，则这个二次函数有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值 【对点练2-1】（25-26九年级上·吉林松原·期中）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当取何值时，函数有最小值，并写出此时的值； 【举一反三】老师给出更多的值，同学们即求出对应的函数在取何值时，的最小值．记录结果，并整理成下表： … 0 2 4 … … * 2 0 … 的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了值后，我们只要取，就能得到的最小值．” 乙同学：“我发现，的最小值随值的变化而变化，当由小变大时，的最小值先增大后减小，所以我猜想的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【对点练2-2】（24-25九年级上·贵州安顺·期末）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我只要取，就能求出y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【对点练2-3】（23-24九年级上·河南郑州·期末）学完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究片段： ①，②，③ 任务一：研究增减性 （1）当时，y值随x的增大而增大的是______；（填序号） 任务二：研究对称性 （2）函数的对称轴是______； 任务三：研究最值 （3）当时，函数有最小值，最小值为______； 任务四：研究复杂问题的最值 （4）若，求y的最小值． 小聪：，，都是顶点式，最小值很容易确定，求的最小值，只需将上述三个函数的最小值求和即可． 小明：我不认可小聪的观点．我认为应该分别把的最小值求出来，然后取其平均数，就是y的最小值． 小伶：我不认可小聪和小明的观点．当时，函数有最小值1；此时，函数和的函数值分别是8和5；因此的最小值是． 小俐：我不认可三位的观点，理由是这里的不能同时取最小值．我认为自变量不是而是x，求的最小值，就要先确定y与x的关系式，然后判断是哪种函数，再求其最小值． 你认可______的观点．请解决（4）的问题． 题型3 二次函数的函数值大小比较 【例3】（25-26八年级下·福建福州·期末）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【对点练3-1】（21-22九年级下·山东泰安·期中）已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【对点练3-2】（25-26九年级上·广东·阶段检测）已知二次函数图象的对称轴为，点，和都在该函数的图象上，当时，，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【对点练3-3】（25-26八年级下·北京·期末）点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【对点练3-4】（25-26八年级下·河南开封·期末）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接为________． 题型4 利用二次函数的对称性求函数值 【例4】（25-26八年级下·江苏南通·期末）二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（     ） A． B． C． D． 【对点练4-1】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则这个函数图象必过点（     ） A． B． C． D． 【对点练4-2】（2026·湖北孝感·一模）已知二次函数（，，为常数，，）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【对点练4-3】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）二次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【对点练4-4】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）已知点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是___________． 【对点练4-5】（2026·浙江温州·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式． (2)若此二次函数的图象同时经过和两点，求n的值． (3)设时，此二次函数的最大值为，求t的值． 题型5 二次函数的图像判断 【例5】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【对点练5-1】（25-26八年级下·福建福州·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【对点练5-2】（2026·安徽芜湖·三模）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【对点练5-3】（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 题型5 根据二次函数图像判断式子的符号 【例6】（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【对点练6-1】（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【对点练6-2】（2026·广东清远·一模）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，． 其中包含所有正确结论的是（     ） A． B． C． D． 【对点练6-3】（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图，抛物线经过点，与x轴的另一个交点在点和点之间，与y轴相交于正半轴：①；②；③；④中，正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【对点练6-4】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 基础通关 1．（25-26八年级下·浙江金华·期末）二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 2．（2022·陕西·模拟预测）二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 3．（2024·广东湛江·模拟预测）如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 4．（2026·广东珠海·三模）抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·宁夏银川·三模）点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·广东惠州·二模）二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴的交点为A，B，点A的横坐标满足，对称轴是直线．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．方程的一个正根大于3小于4 10．（2026·浙江金华·二模）已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 11．（25-26九年级下·吉林·期中）下列函数中，的值随值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·河南三门峡·二模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 13．（2026·湖南·三模）二次函数与轴交于，则的值为______． 素养提升 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 2．（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 3．（2026·四川成都·模拟预测）如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C．二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D． 4．（2026·广东广州·二模）已知二次函数的图象如图所示，图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，如果时，＜，则当时，函数值（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数（）的图象开口向下，并且经过、两点，则下列结论正确的是（） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而减小 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 迁移创新 1．（2026·江苏泰州·三模）已知抛物线（为常数）是由抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的． (1)求，的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． ①用含与的式子表示； ②若（为常数），且，随的增大而增大，求的最小值． 2．（2026·福建泉州·模拟预测）若对于实数，，满足，且当时，对应的函数值的取值范围也为，则称区间为该函数的一个“保值区间”． (1)若二次函数存在“保值区间”，且当时的一个“保值区间”为，求的值； (2)已知为二次函数的“保值区间”，且，求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 二次函数 1.3 二次函数的性质 课标要点 1.对称性：掌握对称轴两种表达式；会求抛物线上点的对称点；能用对称性求交点、解决最短路径问题。 2增减性：以对称轴分界，根据a正负判断两侧y随x变化趋势；能结合限定区间判断增减。 3.最值：全体实数内顶点为最值点；a>0最小，a<0最大；给定区间分类讨论求最值。 4.图像与系数：a：开口方向、宽窄；a、b：左同右异，确定对称轴位置 学习重难点 重点： 对称轴计算、对称点求解及实际应用 对称轴两侧增减变化规律 顶点最值、给定区间分类求最值 图像与系数符号互推 难点： 增减升降规律易记混 区间最值分类讨论易遗漏情况 综合图像同步判断符号 对称轴将军饮马最短距离综合题 知识点1 二次函数的性质 图象特征 二次函数的图象是一条关于某条直线对称的曲线，这条曲线叫抛物线，该直线叫做抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点. 基本形式 y=ax2 y=ax2+k y=a(x-h)2 y=a(x-h)2+k y=ax2+bx+c 图象 a>0 a<0 对称轴 y轴 y轴 x=h x=h x= 顶点坐标 (0，0) (0，k) (h，0) (h，k) (，) 最值 a>0 开口向上，顶点是最低点，此时 y 有最小值； a<0 开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值. 【小结】二次函数最小值(或最大值)为0（k或）. 增 减 性 a>0 在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大. a<0 在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小. 二次函数的对称性 抛物线的对称性的应用，主要体现在： 1）求一个点关于对称轴对称的点的坐标； 2）已知抛物线上两个点关于对称轴对称，求其对称轴. 解此类题的主要根据：若抛物线上两个关于对称轴对称的点的坐标分别为(x1，y)，(x2，y)，则抛物线的对称轴可表示为直线x=. 特别提醒 1.抛物线上两点若关于直线，则这两点的纵坐标相同，横坐标与x=的差的绝对值相等； 2若二次函数与x轴有两个交点，则这两个交点关于直线x=对称； 3二次函数y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c的图象关于y轴对称；二次函数y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c的图象于x轴对称. 随学随练 1．（24-25九年级上·湖北襄阳·阶段检测）对于二次函数，下列结论正确的是（   ） A．随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与性质即可求解，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】、当时，随的增大而增大，原选项错误，不符合题意； 、当时，随的增大而增大，原选项错误，不符合题意； 、当时，随的增大而增大，原选项正确，符合题意； 、当时，随的增大而增大，原选项错误，不符合题意； 故选：． 2．（23-24九年级上·广西钦州·期中）对于二次函数的图象，下列说法正确的是（       ） A．当时，随增大而增大 B．当时，随增大而增大 C．当时，随增大而减小 D．当时，随增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的性质和增减性，通过的正负和对称轴判断二次函数的增减性是关键．根据二次函数顶点式的性质逐一分析即可． 【详解】解：二次函数的顶点为，且， 抛物线开口向上， 当 时，随增大而增大， 故选：B． 3．（25-26九年级上·甘肃定西·期中）二次函数的图象，在对称轴右侧的部分是（　　）． A．随着的增大而增大 B．随着的增大而减小 C．随着的增大先增大后减小 D．随着的增大先减小后增大 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可知抛物线开口向下，对称轴右侧部分y随x增大而减小． 【详解】解：∵二次函数中， ∴抛物线开口向下． ∴在对称轴右侧，y随x增大而减小． 故选：B． 4．（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 5．（2025·陕西宝鸡·二模）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，点、在这个二次函数的图象上，且，则该二次函数有（   ） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．根据题意求得该函数图象的对称轴为，求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：∵点、在这个二次函数的图象上，且， ∴该函数图象的对称轴为， ∴， ∴， ∴该函数解析式为， ∵， ∴该函数图象的开口向上， ∴当时，该二次函数有最小值， 故选：A． 知识点2 二次函数图像与各系数之间关系（重难点） 1. 二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象与a，b，c的关系 符号 图象特征 备注 a a>0 开口向上 a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小(|a|越大，抛物线的开口小)． a<0 开口向下 b b=0 坐标轴是y轴 ab>0(a，b同号) 对称轴在y轴左侧 左同右异 ab<0((a，b异号)) 对称轴在y轴右侧 c c=0 图象过原点 c决定了抛物线与y轴交点的位置． c>0 与y轴正半轴相交 c<0 与y轴负半轴相交 2.二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的常见结论 自变量x的值 函数值 图象上对应点的位置 结论 -2 4a-2b+c x轴的上方 4a-2b+c >0 x轴上 4a-2b+c =0 x轴的下方 4a-2b+c <0 -1 a-b+c x轴的上方 a-b+c >0 x轴上 a-b+c =0 x轴的下方 a-b+c <0 1 a+b+c x轴的上方 a+b+c >0 x轴上 a+b+c =0 x轴的下方 a+b+c <0 2 4a+2b+c x轴的上方 4a+2b+c >0 x轴上 4a+2b+c =0 x轴的下方 4a+2b+c <0 随学随练 1．（26-27九年级·上海·暑假作业）二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，则下列结论中不正确的是（     ） A． B．为任意实数） C． D．关于的方程有四个根 【答案】B 【分析】根据函数图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题． 【详解】解：该函数的对称轴为， ， 当时，，故A正确，不符合题意； 由题意，当时，该函数取得最大值，故为任意实数）， 即为任意实数），故B错误，符合题意； 对称轴是直线， 当时的函数值与当时的函数值相等， 当时，， 当时，，故C正确，不符合题意； 的函数图象即为的轴下侧图象翻转到轴上方， 的根个数即为图象和直线的交点个数，根据图象可得为4个，故D正确，不符合题意． 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知抛物线（、、为常数，且）经过点、，其对称轴在轴右侧，下列结论：①；②；③；④．其中正确的有（     ） A．①②③ B．①④ C．①②④ D．②③④ 【答案】C 【分析】先将已知点代入抛物线解析式，得到的值和与的关系，再结合对称轴在轴右侧的条件，逐一判定每个结论的正确性即可. 【详解】解：将点代入，得，， 将点代入抛物线解析式，得，整理得，即，故结论③错误； ∵抛物线对称轴在轴右侧， ∴对称轴， ∴与异号， ∴， ∵， ∴，故结论①正确. 将代入，得，解得，故结论②正确； ∵抛物线与轴已经有一个交点在轴的左侧，且对称轴在轴右侧， ∴顶点不可能在轴上， ∴抛物线与轴有两个不同的交点， ∴，即，故结论④正确； 综上，正确结论为①②④. 3．（2026·四川内江·中考真题）如图，二次函数的图象经过点、，下列说法正确的是（     ） A． B． C． D．图象的对称轴是直线 【答案】B 【详解】解：由函数图象知抛物线与轴交点在原点下方，则，故选项A不符合题意； 当时，，即，故选项B符合题意； 由图象知抛物线与轴有两个不同的交点，则，故选项C不符合题意； 图象的对称轴是直线，故选项D不符合题意． 4．（25-26八年级下·河南开封·期末）二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；，其中正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与坐标轴的交点位置以及最值性质，逐项判断各结论的正确性即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； 对称轴为直线， 与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，，即，故④正确； 综上所述，正确的结论是①②③④． 5．（2026·黑龙江绥化·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，顶点坐标为，与轴交于，两点，其中．则下列结论： ①②③④⑤方程（为常数）有实数根． 其中正确的个数有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】根据抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴，得到，，，即可判断①②③；根据抛物线的顶点坐标为得到，根据当时，，当时，，即可判断④；讨论抛物线与直线的交点情况即可判断⑤． 【详解】解∶∵抛物线开口向下，顶点坐标为，与y轴交于正半轴， ∴，，， ∴， ∴，故①错误； ∵， ∴，故②错误； ∵，， ∴， ∴，故③正确； ∵抛物线的顶点坐标为， ∴当时，，即， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， 由图象可得当时，，即， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵方程可化为， ∴该方程的解为抛物线与直线的交点的横坐标， ∵直线， ∴该直线过定点，且过第二、三、四象限， ∴抛物线与直线必有交点， ∴方程（为常数）有实数根．故⑤正确． 综上所述，正确的结论是③④⑤，共3个． 拓展1 给定范围求二次函数最值 标准解题步骤 配方，写出顶点(h,k)； 写出给定 x 取值范围； 对比顶点横坐标 h 和范围，分三类判断； 代入对应 x，计算函数值； 对比数值，写出最大值、最小值。 易错点 不讨论范围，直接把顶点纵坐标当成最值； 左右平移、配方出错导致顶点h判断错误； 只算一端点，漏掉另一端点比较大小。 活学活用 1．（25-26九年级上·浙江杭州·期中）如图，已知二次函数的图象，关于该函数在所给自变量的取值范围内，下列说法正确的是（    ） A．有最大值，无最小值 B．有最大值，有最小值 C．有最大值，有最小值 D．有最大值，有最小值 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图象，应用数形结合的思想求解是解题的关键． 直接根据函数的图象确定顶点坐标、开口方向及对称轴，得取值范围内的最大值为，由对称性可知时，由图知时，，故时，函数有最大值，有最小值． 【详解】解：由函数图象可知，此函数的顶点坐标为，对称轴为， ∵此抛物线开口向下， ∴此函数有最大值，最大值为； ∵关于对称轴对称的点为，此时对应的函数值， 当时，， ∴当时，，即函数有最大值，有最小值． 故选：C． 2．（24-25九年级上·四川泸州·期中）已知二次函数的图象如图所示，当时，下列说法正确的是（   ） A．有最小值，最大值0 B．有最小值，最大值6 C．有最小值2，最大值6 D．有最小值，最大值2 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先认真观察函数图象，得抛物线的开口方向向下，对称轴为直线，当时，；当时，；当时，；故当时，有最小值，最大值2，即可作答． 【详解】解：观察函数图象，得出抛物线的开口方向向下，对称轴为直线， 在对称轴的左边时，随着的增大而增大， 依题意，当时，；当时，； ∵对称轴为直线， ∴当时，； 当时，有最小值，最大值2， 故选：D． 3．（25-26九年级上·云南丽江·阶段检测）二次函数的图象与x轴交于，两点，若，且，记，则（   ） A．s有最小值，没有最大值 B．s有最小值，没有最大值 C．s有最小值，有最大值6 D．s有最小值，有最大值6 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与性质、一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键． 由已知结合根与系数的关系得，，进而得，，则，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：二次函数的图象与轴交于，两点， 、是方程的两个根， ，， 又∵， ， ， ， ，， 当时，s取最小值，最小值为，s没有最大值， 故选：A． 4．（2025·山东枣庄·二模）已知二次函数，关于该函数在的取值范围内，下列说法正确的是（　　） A．有最大值7，最小值 B．有最大值，最小值 C．有最大值，最小值 D．有最大值7，最小值 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的最值，根据二次函数的增减性，求出函数值的范围即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴当时，函数有最小值为； 当时，函数有最大值为； 故选A． 拓展2 利用二次函数对称性求最短距离 核心依据 二次函数抛物线关于对称轴直线x=h 对称； 抛物线上任意一点P的对称点为P； 最短路径模型：将军饮马 两点在直线同侧时，作其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点连线和对称轴的交点即为动点位置，线段长是最短距离。 本题对称轴就是那条 “河”，动点在抛物线上 / 对称轴上。 活学活用 1．（2026·广西贺州·二模）如图，抛物线交轴于点，交轴于点，对称轴是直线，点是抛物线对称轴上的一个动点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据对称轴和点的坐标求出抛物线解析式，进而求出点和抛物线与轴另一交点的坐标；利用抛物线的对称性可知，将转化为，根据两点之间线段最短可知当、、三点共线时，最小，最小值为的长，利用勾股定理求解即可． 【详解】抛物线交轴于点，对称轴是直线， ， 解得， 抛物线解析式为， 令，得， ， 根据对称性可得，抛物线与轴另一交点为， 如图所示，连接， 点与点关于对称轴对称，点在对称轴上， ， ， 根据两点之间线段最短，当、、三点共线时，最小，最小值为线段的长， 在中，，， ， 的最小值为． 2．（2026·山东淄博·一模）如图，直线l过点，，抛物线与y轴交于点C，若点P在抛物线的对称轴上移动，点Q在直线l上移动，则的最小值是（    ） A．5 B．4.4 C．3.6 D．3.3 【答案】B 【分析】根据待定系数法确定直线为，得出点的坐标为，作点关于直线的对称点为，确定，过点作于点Q，交x轴于点M，交对称轴于点P，过点作轴于点K，得出，，利用正切函数得出，再由角的等量代换确定，求出，同理得出直线所在直线的函数解析式为，确定点，即可求解． 【详解】解：设直线的解析式为， 代入点、：， 解得,， ∴直线为， 在中，令,得， ∴点的坐标为， 配方得， ∴抛物线的对称轴为直线， 作点关于直线的对称点为， 对对称轴上任意一点，都有， ∴， 过点作于点H，交x轴于点M，交对称轴于点P，过点作轴于点K，如图所示 ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理得：直线所在直线的函数解析式为， 联立与：， 解得： ∴点， ∴ 的最小值为4.4． 3．（21-22九年级上·广西梧州·阶段检测）已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点的坐标为，点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为_____． 【答案】 【分析】由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求，先求出A、B两点的坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，进一步求出直线与直线的交点坐标，即得答案． 【详解】解：把代入，得， 解得：， 抛物线的解析式为：， 令，则， 解得：，， ，， 由于A、B两点关于直线对称，连接交直线于点P，则点P即为所求， 当时，， ， 设直线的解析式为， 将C、B两点的坐标代入得， 解得：， 直线的解析式为， 当时，． 点P的坐标为． 4．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，点与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是抛物线对称轴上的一点，求的周长的最小值． 【答案】(1) (2)最小值为 【分析】（1）利用抛物线经过的两个点的坐标，代入抛物线解析式，通过解方程组求出系数，从而得到函数表达式； （2）根据题意得出对称轴为，确定，再由对称性求周长即可． 【详解】（1）解：已知抛物线过，代入得： ， 解得， 故； （2）解：抛物线的对称轴为， A与B关于对称轴对称， ∴， ∴周长最小值 由（1）得， ∴， ∴的最小值为 题型1 二次函数的增减性 【例1】（25-26九年级上·广西南宁·阶段检测）关于二次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数（a，b为常数，），当时，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大；当时，在对称轴的左侧y随x的增大而增大，在对称轴的右侧y随x的增大而减小． 先求出对称轴，进而判断即可． 【详解】解：对称轴为直线， ∵， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， 只有C符合要求． 故选：C． 【对点练1-1】（23-24九年级上·福建福州·期中）已知抛物线，则下列描述不正确的是（   ） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而增大 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的性质，先化为顶点式，找到对称轴，根据开口向上，对称轴为直线，即可求解． 【详解】解： ，抛物线开口向上，对称轴为直线 ∴当时，随的增大而增大．故A选项不正确， 故选：A． 【对点练1-2】（23-24九年级上·河北廊坊·阶段检测）将抛物线先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到新抛物线，则对新抛物线来说（    ） A．当时，y随x的增大而增大 B．当时，y随x的增大而增大 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数平移规律及性质，由二次函数解析式在平移中的变化规律：左加右减，上加下减；可得解析式，根据解析式得对称轴为直线和，据此即可求解；掌握平移规律和二次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， 对称轴为直线， ， 当时，y随x的增大而增大； 故选：A． 【对点练1-3】（22-23九年级上·安徽滁州·阶段检测）已知二次函数的图象开口向上，并经过点，下列结论正确的是（      ） A．当时，函数值随的增大而增大 B．当时，函数值随的增大而减小 C．存在一个负数，使得当时，函数值随的增大而减小；当时，函数值随的增大而增大 D．存在一个正数，使得当时，函数值随的增大而减小；当时，函数值随的增大而增大 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象开口向上，并经过点，得出，，则对称轴，即可求解． 【详解】根据二次函数的图象开口向上，并经过点，． 将代入函数解析式得：， 将代入函数解析式得：， 得：，解得：， 又抛物线开口向上，可得， ， 则函数的对称轴． 所以A、B、C不正确；D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的性质，得出对称轴是解题的关键． 【对点练1-4】（22-23九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数（a为常数，且），下列结论一定正确的是（    ） A．若，则时，y随x的增大而增大 B．若，则时，y随x的增大而减小 C．若，则时，y随x的增大而增大 D．若，则时，y随x的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，求出对称轴再结合a的符号判断范围是解题关键． 令，求出x进而求出对称轴，再根据a的符号判断即可． 【详解】解：，解得或a， 对称轴为直线， A． 若，当时，时，y随x的增大而减小；时， 时，有y随x的增大而减小的情况，故此选项错误； B． 若，只有当时，则时，y随x的增大而增大成立，故此选项错误； C． 若，开口向下， ，图象完全在对称轴的左侧，则时，y随x的增大而增大，故此选项正确； D． 若，则时，y随x的增大而增大，故此选项错误； 故选：C． 题型2 二次函数的最值 【例2】（25-26九年级上·山东烟台·期中）在直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点和，则这个二次函数有（    ） A．最小值 B．最小值 C．最小值2 D．最小值 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的最值，二次函数图象上点的坐标特征，熟知以上知识是解题的关键．根据题意求得该函数图象的对称轴为求得，再根据二次函数的性质求解即可． 【详解】解：二次函数为常数）的图象经过点和， 该函数图象的对称轴为直线， ， ， 该函数解析式为， ， 该函数图象的开口向上， 当时，该二次函数有最小值． 故选：． 【对点练2-1】（25-26九年级上·吉林松原·期中）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当取何值时，函数有最小值，并写出此时的值； 【举一反三】老师给出更多的值，同学们即求出对应的函数在取何值时，的最小值．记录结果，并整理成下表： … 0 2 4 … … * 2 0 … 的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了值后，我们只要取，就能得到的最小值．” 乙同学：“我发现，的最小值随值的变化而变化，当由小变大时，的最小值先增大后减小，所以我猜想的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①，②当时，有最小值为；（2）甲的说法合理；（3）正确，； 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键：（1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）①， ②， 当时，有最小值为； （2）， 抛物线的开口向上， 当时，有最小值， 甲的说法合理； （3）正确， ， 当时，有最小值为， 即， 当时，有最大值，为． 【对点练2-2】（24-25九年级上·贵州安顺·期末）课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数的最值问题展开探究． 【经典回顾】二次函数求最值的方法． （1）老师给出，求二次函数的最小值． ①请你写出对应的函数解析式； ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时的y值； 【举一反三】老师给出更多a的值，同学们即求出对应的函数在x取何值时，y的最小值．记录结果，并整理成下表： a … 0 2 4 … x … * 0 … y的最小值 … * … 注：*为②的计算结果． 【探究发现】老师：“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现．” 甲同学：“我发现，老师给了a值后，我只要取，就能求出y的最小值．” 乙同学：“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，所以我猜想y的最小值中存在最大值．” （2）请结合函数解析式，解释甲同学的说法是否合理？ （3）你认为乙同学的猜想是否正确？若正确，请求出此最大值；若不正确，说明理由． 【答案】（1）①；②当时，有最小值为；（2）甲的说法合理； （3）正确； ∵， ∴当时，有最小值为， 即： ∴当时，有最大值，为． 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键： （1）①把代入解析式，写出函数解析式即可；②将一般式转化为顶点式，进行求解即可； （2）将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质进行解释即可； （3）将一般式转化为顶点式，表示出的最大值，再利用二次函数求最值即可． 【详解】解：（1）①把代入，得： ②∵， ∴当时，有最小值为； （2）∵， ∵抛物线的开口向上， ∴当时，有最小值； ∴甲的说法合理； （3）略 【对点练2-3】（23-24九年级上·河南郑州·期末）学完二次函数的性质后，某兴趣小组以一组习题为依托，开展了进一步的研究，以下是他们的研究片段： ①，②，③ 任务一：研究增减性 （1）当时，y值随x的增大而增大的是______；（填序号） 任务二：研究对称性 （2）函数的对称轴是______； 任务三：研究最值 （3）当时，函数有最小值，最小值为______； 任务四：研究复杂问题的最值 （4）若，求y的最小值． 小聪：，，都是顶点式，最小值很容易确定，求的最小值，只需将上述三个函数的最小值求和即可． 小明：我不认可小聪的观点．我认为应该分别把的最小值求出来，然后取其平均数，就是y的最小值． 小伶：我不认可小聪和小明的观点．当时，函数有最小值1；此时，函数和的函数值分别是8和5；因此的最小值是． 小俐：我不认可三位的观点，理由是这里的不能同时取最小值．我认为自变量不是而是x，求的最小值，就要先确定y与x的关系式，然后判断是哪种函数，再求其最小值． 你认可______的观点．请解决（4）的问题． 【答案】（1）①③（2）直线；③3；④小俐，见解析 【分析】本题考查二次函数的图象及性质： （1）分别求出每一个函数的对称轴，再结合函数的性质确定即可； （2）根据二次函数的性质，直接求对称轴即可； （3）将代入函数的解析式，即可求最小值； （4）先求出，再求最小值即可． 【详解】解：（1）的对称轴为直线，当时，y值随x的增大而增大；的对称轴为直线，当时，y值随x的增大而增大；的对称轴为直线，当时，y值随x的增大而增大； 故答案为：①③； （2）的对称轴是直线， 故答案为：直线； （3）当时，， 故答案为：3； （4） ， 当时，y的最小值为， 故答案为：小俐． 题型3 二次函数的函数值大小比较 【例3】（25-26八年级下·福建福州·期末）若点、、在二次函数的图象上，则、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，利用开口方向和点到对称轴的距离判断函数值大小，先求出抛物线对称轴，再根据开口向上的性质比较即可． 【详解】∵二次函数解析式为 ∴抛物线开口向上，对称轴为直线开口向上时，点到对称轴的距离越大， 对应的函数值越大分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离： ∵ ∴． 【对点练3-1】（21-22九年级下·山东泰安·期中）已知点在抛物线上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据抛物线解析式判断开口方向、顶点坐标和对称轴，再利用二次函数的增减性比较，和的大小，即可得到正确结论． 【详解】解：∵抛物线解析式为， ∴，抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴抛物线的最大值为，即抛物线上点的纵坐标都不大于，可得，，排除C，D选项． 又∵抛物线对称轴为直线，当时，随的增大而减小， ∵点，满足，两点都在对称轴右侧， ∴． 综上可得 ． 【对点练3-2】（25-26九年级上·广东·阶段检测）已知二次函数图象的对称轴为，点，和都在该函数的图象上，当时，，和的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．利用二次函数开口向上时，根据二次函数的性质及点到对称轴的距离与函数值的关系比较大小即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，且开口向上， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大，且点到对称轴的距离越大，函数值越大， 点A、B、C的横坐标分别为、m、，且， ∴，，， 点A到对称轴的距离， 点B到对称轴的距离， 点C到对称轴的距离， ∵， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴． 故选：C． 【对点练3-3】（25-26八年级下·北京·期末）点，在二次函数的图象上，若，．则与的大小关系是______．（填“＞”、“＜”或“＝”） 【答案】 < 【分析】先求出二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大，通过比较两点到对称轴的距离大小，即可得到与的大小关系． 【详解】解：， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∴抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ，， 点到对称轴的距离更大， ． 【对点练3-4】（25-26八年级下·河南开封·期末）若点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系用“”连接为________． 【答案】 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，根据开口向上的二次函数的性质，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，即可比较大小． 【详解】解：， ， 二次函数开口向上，对称轴为直线， ∵点到对称轴的距离：， 点到对称轴的距离：，点到对称轴的距离：， ，点到对称轴的距离越大，函数值越大， ． 题型4 利用二次函数的对称性求函数值 【例4】（25-26八年级下·江苏南通·期末）二次函数的自变量与函数的部分对应值如表： 的值 … … 的值 … … 当时，函数y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由表格可知，当时，，当时，， 纵坐标相等的两个点在二次函数上关于对称轴对称， 二次函数的对称轴为直线， 关于直线的对称点为， 由表格得时，， 当时，． 【对点练4-1】（25-26九年级上·辽宁盘锦·期中）已知二次函数的图象过点，对称轴为直线，则这个函数图象必过点（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用二次函数图象关于对称轴对称的性质，求出已知点关于对称轴的对称点，即可得到函数必过的点. 【详解】解：∵二次函数的图象关于对称轴对称，点在函数图象上， ∴点关于直线的对称点也在该函数图象上， 设对称点的横坐标为，则， 解得，纵坐标不变为，即对称点为， 因此这个函数图象必过点. 【对点练4-2】（2026·湖北孝感·一模）已知二次函数（，，为常数，，）的图象与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，下列结论错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，则有，然后根据二次函数的对称性及性质可进行求解． 【详解】解：由对称轴为直线，可知：，即， ∴，故B正确； 当时，则， ∴， ∴， ∴，故A正确， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，则有，故C正确； 根据二次函数的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为，则有，所以，即二次函数与x轴的另一个交点坐标为，所以二次函数与x轴有两个交点， ∴，故D错误． 【对点练4-3】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）二次函数的图象上有两点，，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】先求出抛物线的对称轴，结合开口方向，根据点到对称轴的距离即可比较函数值大小． 【详解】∵二次函数解析式为，其中， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∵点A横坐标为1，到对称轴的距离为，点B横坐标为4，到对称轴的距离为， 又∵开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应函数值越大，且， ∴． 【对点练4-4】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）已知点，，都在函数的图象上，则、、的大小关系是___________． 【答案】/ 【分析】根据函数表达式可知抛物线开口向下，对称轴，在对称轴处，函数取得最大值，分别计算点、点、点横坐标到对称轴距离进行比较即可． 【详解】解：由函数表达式可知，函数图象为抛物线，抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，随着增大而增大，当时，随着增大而减小，在对称轴处，函数取得最大值， ∴距离对称轴越近的点，函数值越大，距离对称轴越远的点，函数值越小， 分别计算，点，三点的横坐标到对称轴的距离： 点的横坐标为，到对称轴的距离为， 点的横坐标为 ，到对称轴的距离为， 点的横坐标为 ，到对称轴的距离为， ∴． 【对点练4-5】（2026·浙江温州·三模）已知二次函数的图象经过点． (1)求此二次函数的表达式． (2)若此二次函数的图象同时经过和两点，求n的值． (3)设时，此二次函数的最大值为，求t的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据两点的纵坐标相等，则两点关于对称轴对称，进而得到，然后解方程即可求解； （3）由（2）知，抛物线的对称轴为直线，开口向上，得到和的纵坐标相等，故分当时和当时两种情况，利用二次函数的性质列方程求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点， ∴，解得， ∵， ∴， ∴此二次函数的表达式为； （2）解：由知，抛物线的对称轴为直线， ∵此二次函数的图象同时经过和两点， ∴，解得或， 当时，，则； 当时，，则， 综上，满足条件的n值为0或96； （3）解：由（2）知，抛物线的对称轴为直线，开口向上， ∴和的纵坐标相等， 当时，时的函数值最大，又最大值为， ∴， 解得或，都不符合题意，舍去； 当时，时的函数值最大，又最大值为， ∴， 解得或（不合题意，舍去）， 综上，满足条件的t值为． 题型5 二次函数的图像判断 【例5】（25-26八年级下·重庆渝中·期末）在同一坐标系内，二次函数的图象与一次函数可能是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数和二次函数的解析式，分析、的符号以及对称轴的位置，结合图象特征进行判断；首先由两个函数解析式可知，它们与轴的交点均为，即交于轴上同一点；其次根据的符号判断抛物线的开口方向；最后根据对称轴公式判断对称轴位置． 【详解】解：由一次函数与二次函数中常数项均为，两个函数图象与轴的交点均为，即交于轴上同一点， 观察图象，选项中两个图象与轴交点不同，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右下降，则，二次函数图象开口向上，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，二次函数图象开口向下，则，矛盾，故错误； 对于选项，一次函数图象从左向右上升，则，与轴交于正半轴，则；二次函数图象开口向上，则，与轴交于正半轴，则；且二次函数对称轴为直线， ∵， ∴，对称轴在轴左侧，符合图象特征． 【对点练5-1】（25-26八年级下·福建福州·期末）函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立函数得，解得或，得到二次函数与一次函数相交于点和，即可得出答案． 【详解】解：联立得：， ∴， ∴， 解得：或， 当时，，当时，， ∴二次函数与一次函数相交于点和， ∴只有D选项图象符合题意． 【对点练5-2】（2026·安徽芜湖·三模）在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定一次函数与二次函数图象无交点，且二次函数过原点，即可判断B，D选项，进而根据图形中给出的一次函数图象确定、的符号，进而运用二次函数的性质判断图形中给出的二次函数的图象是否符合题意，根据选项逐一讨论即可解决问题． 【详解】解：联立， 消去得， ∴，即一次函数与二次函数图象无交点，故B不正确； 令， 解得：，， ∴二次函数与x轴的交点坐标为或，故D不正确，不符合题意； A．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过一、三、四象限，则，即，矛盾，故该选项不正确，不符合题意； C．抛物线开口向上，对称轴在轴的右侧，则，一次函数图象经过二、三、四象限，则，即，故该选项正确，符合题意． 【对点练5-3】（25-26九年级下·黑龙江·期中）一次函数和二次函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先观察每一个选项中二次函数 图象得到字母系数，的正负，接下来判断一次函数 的图象中的参数，的正负； 结合每一个选项按照此方法进行判断，当两个函数的，取值一致时，即为正确答案． 【详解】解：：一次函数，二次函数，可得，不符合题意； ：一次函数，；二次函数，，可得，符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意； ：一次函数，二次函数，不符合题意． 题型5 根据二次函数图像判断式子的符号 【例6】（2026·四川凉山·中考真题）已知抛物线（）的部分图象如图所示，则下列结论中正确的是（     ） A． B． C． D．当或时， 【答案】D 【分析】根据二次函数的图象及性质：抛物线的开口方向，抛物线与坐标轴的交点，抛物线的对称轴及对称性的特点对选项逐一判断即可． 【详解】解：抛物线的开口向上， ， 抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ， 抛物线的对称轴， ， ，选项A错误； ，选项B错误； 抛物线关于对称轴对称， 关于的对称点为， 将代入抛物线，得， ， ，即，选项C错误； 由图象可知，当或时，，选项D正确． 【对点练6-1】（2026·宁夏银川·三模）二次函数的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：① ；②；③ ；④ ，其中，正确的有（     ）． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【分析】①根据图象的开口方向即可判断，②根据图象与轴交点坐标即可判断；③根据图象与轴的交点的个数即可判断；④根据对称点，判断对称轴，再根据对称轴公式求出的关系即可判断． 【详解】关于①，由图可知二次函数开口向下，即，故①符合题意； 关于②，由图可知二次函数与轴交于正半轴，即，故②符合题意； 关于③，由图可知二次函数与轴有两个交点，即，故③符合题意； 关于④，由图可知二次函数与轴有两个交点分别为，，则对称轴为直线，因为，所以，即，故④符合题意； 综上，共有4个符合题意． 【对点练6-2】（2026·广东清远·一模）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论： ①； ②； ③； ④若和是关于的一元二次方程的两根，且，则，． 其中包含所有正确结论的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过，，， ∴对称轴，即， ∴，故②正确； ∵二次函数的图象与轴交于点， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程 的两个根，即的两个根，相当于函数与的交点的横坐标， ∵， ∴， ∵ ∴根据图象得，，故④正确； 故正确的有． 【对点练6-3】（2026·黑龙江佳木斯·三模）如图，抛物线经过点，与x轴的另一个交点在点和点之间，与y轴相交于正半轴：①；②；③；④中，正确结论的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题意，得，计算得到，结合顶点位置，抛物线与x轴的交点问题，抛物线的性质，解答即可； 【详解】解：抛物线经过点， ， ， 故正确； 设抛物线与x轴的另一个交点为，根据题意，与x轴的另一个交点在点和点之间， ， ， ， ， 抛物线开口向下， ， ， ，，， ，， 故②正确；③错误； ，抛物线开口向下， 时，其函数值大于0， ， 抛物线的顶点在x轴的上方， ， ， 故④错误； 故正确的结论有2个． 【对点练6-4】（2026·黑龙江齐齐哈尔·三模）如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（     ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下， ∴， 又， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和0之间， ∴与x轴的另一个交点在2和3之间， ∴方程一定有一个根在2和3之间，故③正确； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，的最大值为， ∴对于任意实数，都有， ∴对于任意实数，，即，故④正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， 又， ∴， ∴,故⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共4个． 基础通关 1．（25-26八年级下·浙江金华·期末）二次函数图像上有和两点，下列关于m与n的大小关系，判断正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题将两点坐标代入二次函数解析式得到和的表达式，结合的条件即可比较大小． 【详解】解：∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， ∵ 点在二次函数图象上， ∴ 将代入解析式得 ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ． 2．（2022·陕西·模拟预测）二次函数的，，，那么其图象必过（     ） A．第二、三、四象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二象限 D．第一、二、三象限 【答案】C 【分析】根据题意可以判断出该抛物线的开口方向、顶点坐标在y轴的哪一侧，交y轴的位置，从而可以判断出该函数图象一定经过哪几个象限即可． 【详解】解：∵二次函数的， ∴该函数图象开口向上， 又∵，， ∴，顶点在y轴左侧，经过y轴正半轴， ∴该二次函数的图象必过第一、二象限． 3．（2024·广东湛江·模拟预测）如图是抛物线的示意图，则的值可以是（     ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴ ∴的值可以是2． 4．（2026·广东珠海·三模）抛物线，其中，a，b，c能决定抛物线的增减性的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的性质，需明确抛物线增减性的影响因素，抛物线增减性由开口方向和对称轴位置共同决定，根据二次函数性质分析各参数的作用即可得到结果； 【详解】解：∵抛物线的开口方向由决定，开口方向决定整体增减趋势；抛物线的对称轴为直线，对称轴位置由和共同决定；抛物线的增减性以对称轴为分界，因此增减性由共同决定；只决定抛物线与轴的交点位置，仅上下平移抛物线，不改变开口方向和对称轴位置，不影响增减性∴能决定抛物线增减性的是． 5．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）抛物线与轴的交点为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】抛物线与y轴交点的横坐标为0，令代入抛物线解析式求出y的值，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵y轴上所有点的横坐标都为0， ∴令，代入抛物线解析式， 得， ∴抛物线与y轴的交点坐标为． 6．（2026·宁夏银川·三模）点，，是抛物线上的三点，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由抛物线，可得对称轴为直线，，即当时，随着的增大而减小，由点关于对称轴对称的点坐标为，，可得． 【详解】解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，， ∴当时，随着的增大而减小， ∴点关于对称轴对称的点坐标为， ∵， ∴． 7．（25-26九年级下·安徽亳州·期中）二次函数的顶点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵ ∴，，． 根据二次函数顶点坐标公式，可得： ，． ∴二次函数的顶点坐标为． 8．（2026·广东惠州·二模）二次函数开口向上，与轴交于负半轴，对称轴在轴左侧，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据二次函数的基本性质，由开口方向与的关系确定a的正负，对称轴位置与的关系确定b的正负，与轴交点的位置与的关系确定c的正负，逐一判断选项，即可得到正确结论． 【详解】解： 二次函数 开口向上， ，选项A错误； 对称轴在轴左侧，二次函数对称轴为 ， ， 又， ，选项B错误； 二次函数与轴交于负半轴，且当时，， ，选项C错误； 由， 得， ∴， ∵， ∴，选项D正确． 9．（2026·山东枣庄·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与x轴的交点为A，B，点A的横坐标满足，对称轴是直线．下列结论正确的是（     ） A． B． C． D．方程的一个正根大于3小于4 【答案】D 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴位置、与x轴交点位置以及特殊点的函数值符号进行判断． 【详解】解：由图象可知抛物线开口向上， ∴， ∵ 对称轴为直线， ∴，即 ， ∴，故A错误； 由图可得，时，， 时，， ∴， ∴，即，故B错误； ∵， ∴， 将代入得：， 整理得，故C错误； ∵ 点A的横坐标满足，对称轴为直线， ∴点B的横坐标满足， ∴方程的一个正根大于3小于4，故D正确． 10．（2026·浙江金华·二模）已知抛物线上有三点，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据抛物线顶点式确定开口方向和对称轴，利用开口向上时，点到对称轴的距离越大，对应函数值越大，比较三个点的距离即可得到结果． 【详解】解：抛物线解析式为，其中二次项系数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， 三个点的横坐标到对称轴的距离为：，，， ， ． 11．（25-26九年级下·吉林·期中）下列函数中，的值随值的增大而增大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，根据一次函数与二次函数的性质逐一判断即可得到结果． 【详解】解：对于选项，是开口向上的二次函数，对称轴为，∵时随增大而减小，∴不符合要求． 对于选项，是开口向下的二次函数，对称轴为，∵时随增大而减小，∴不符合要求． 对于选项，是一次函数，，根据一次函数性质，可得的值随值的增大而增大，∴符合要求． 对于选项，是一次函数，，可得的值随值的增大而减小，∴不符合要求． 12．（2026·河南三门峡·二模）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得出，利用二次函数的性质即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∴顶点坐标为． ∴的最小值为． 13．（2026·湖南·三模）二次函数与轴交于，则的值为______． 【答案】 【分析】二次函数图象与轴交点的坐标满足二次函数解析式，将交点坐标代入函数解析式，求解关于的一元二次方程即可得到的值． 【详解】解：∵二次函数与轴交于点， ∴将，代入得， 整理得， ∴， 解得, ∴的值为． 素养提升 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）已知二次函数的图象如图所示，则下列结论：①；②是方程的一个根；③当时，；④当或时，．其中错误的是________．（填序号） 【答案】③ 【详解】解：函数图象与轴有两个交点， ，故①正确； 二次函数与轴的交点为，， 是方程的一个根，故②正确； 由图可知，当时，，当或时，，故③错误，④正确． 2．（25-26八年级下·北京·期末）如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在和之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②；③；④；⑤．其中正确结论有______（填写所有正确结论的序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置判断、、的符号及关系；利用抛物线的对称性求出与轴的另一个交点，进而判断时的函数值符号；利用顶点纵坐标与的大小关系及的取值范围判断不等式；将、用表示，结合的范围求的范围；计算，根据的范围即可比较与的大小． 【详解】解：①∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， 即， ∵抛物线与轴交点在轴负半轴， ∴， ∴，故①正确； ②∵抛物线与轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，， 即，故②错误； ③∵抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，函数取得最小值， ∵时，，且， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④∵抛物线过点， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴，故④错误； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， 即，故⑤正确； 综上所述，正确结论有①③⑤． 3．（2026·四川成都·模拟预测）如图，二次函数（）的图象与轴交于点，对称轴为直线，下列结论中错误的是（     ） A． B．当时，随的增大而增大 C．二次函数图形与轴的另一个交点的横坐标为 D． 【答案】D 【分析】根据开口向上，可得，根据对称轴计算公式可得，根据抛物线与y轴的交点位置可得，据此可判断A，B；根据对称性可得抛物线与x轴的另一个交点的坐标为，则当时，，据此可判断C，D． 【详解】解：函数图象开口方向向上，与轴交于负半轴， ，， 对称轴为直线， ∴，当时，y随x的增大而增大；故B正确， ∴， ∴，故A正确， 二次函数的图象与x轴交于点，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点的坐标为， 即二次函数图形与x轴的另一个交点的横坐标为，故C正确， ∴由函数图象可知，当时，， ∴，故D错误． 4．（2026·广东广州·二模）已知二次函数的图象如图所示，图象与轴交点的横坐标从左到右依次为，，如果时，＜，则当时，函数值（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据二次函数解析式求出对称轴为直线，并计算出当时．根据抛物线的对称性可知当时．结合图象可知，当时，的取值范围在和之间，从而确定的取值范围．进而得出的取值范围，最后利用二次函数的增减性判断的值与的大小关系． 【详解】解：二次函数解析式为 对称轴为直线 当时， 抛物线关于直线对称 当时， 由图象可知，当时，图象在轴下方，对应的值在和之间 图象与轴交点为，且开口向上 当时， 抛物线开口向上，对称轴为直线 当时，随的增大而减小 当时的函数值大于当时的函数值，即． 5．（25-26九年级上·安徽阜阳·阶段检测）已知二次函数（）的图象开口向下，并且经过、两点，则下列结论正确的是（） A．当时，随的增大而增大 B．当时，随的增大而减小 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】B 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，正确掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 根据二次函数的图象开口向下和点的坐标，可得对称轴在y轴的左侧，再根据增减性判断即可． 【详解】解：二次函数（）的图象开口向下，经过、两点， 对称轴在y轴的左侧，即， 当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， 则当时，随的增大而减小，选项B符合题意． 故选：B． 6．（2026·湖南长沙·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点，M点在抛物线的对称轴上，当周长最小时，点M的坐标为__________ 【答案】 【分析】连接，由点M在对称轴上，根据对称性可得，根据两点间线段最短可得，确定当点M在上时，最小，利用待定系数法求出的解析式，再求抛物线对称轴与的交点M的坐标即可． 【详解】解：连接， ∵点M在对称轴上， ∴， ∴， ∴当点M在上时，的最小值，此时的周长最小， ∵点， 设解析式为，把点A、C的坐标代入得：， 解得， ∴解析式为， 当时， 则点． 迁移创新 1．（2026·江苏泰州·三模）已知抛物线（为常数）是由抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位得到的． (1)求，的值； (2)点在抛物线上，点在抛物线上． ①用含与的式子表示； ②若（为常数），且，随的增大而增大，求的最小值． 【答案】(1) ， (2) ① ；② 的最小值为 【分析】（1）将抛物线一般式化为顶点式，再根据平移规律得到平移后的函数解析式，由此 即可求解； （2）①根据题意，分别把点P，Q代入计算即可； ②根据题意得到，代入解析式，结合二次函数图象的性质即可求解． 【详解】（1）解：抛物线先向左平移2个单位，再向下平移3个单位， ∴， ∴； （2）解：①点在抛物线上， ∴， 点在抛物线上，且， ∴， ∴， 整理得，； ②∵， ∴， ∴， 整理得：， 该二次函数二次项系数，开口向上，在对称轴右侧随增大而增大，且对称轴为， ∵时，随增大而增大， ∴， 解得，， ∴的最小值为． 2．（2026·福建泉州·模拟预测）若对于实数，，满足，且当时，对应的函数值的取值范围也为，则称区间为该函数的一个“保值区间”． (1)若二次函数存在“保值区间”，且当时的一个“保值区间”为，求的值； (2)已知为二次函数的“保值区间”，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由当时的一个保值区间为，可得当时，，据此求解即可； （2）由为二次函数的“保值区间”，可得，，所以，为关于的一元二次方程的根，求出，，，然后用整体代入法求解即可． 【详解】（1）解：∵的二次项系数1大于0，对称轴是直线， ∴当时，随的增大而增大， 当时的一个“保值区间”为，且， 当时，， ，． 又 ∴； （2）解：的二次项系数1大于0，对称轴为直线， 当时，随的增大而增大， 为二次函数的“保值区间”， 当时，， 当时，， 整理得，， ，为关于的一元二次方程的根， ，，， ∴原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $