第1章 1.1.2 空间向量的数量积运算（教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册学习笔记（人教A版）

本讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，以平面向量数量积为基础，通过“空间向量可平移转化为平面向量”构建联系，系统梳理夹角定义、数量积的定义与运算律、投影向量概念，最终落脚于判断垂直、求空间距离及计算异面直线所成角的应用，形成完整学习支架。 该资料以正四面体、平行六面体等实例（如例2正四面体棱长计算、例3平行六面体对角线长求解）引导学生用数学眼光观察空间形式，通过延伸探究和推理证明（如证明线面垂直）培养数学思维，课时对点练覆盖选择、填空、解答题，课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺，体现数学语言的精确表达与应用意识。

1.1.2　空间向量的数量积运算 学习目标　1.了解空间向量的夹角.2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法(重点).3.了解空间向量投影的概念以及投影向量的意义.4.利用向量数量积判断垂直，求空间两点间的距离，计算异面直线所成的角(难点). 导语 在平面向量中已经学过两个平面向量的数量积运算，由于任意两个空间向量都可以通过平移转化为同一平面内的向量，因此，两个空间向量的夹角和数量积就可以像平面向量那样来定义. 一、空间向量的数量积运算 1.空间向量的夹角 定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作=a=b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉 范围 0≤〈a，b〉≤π 向量垂直 如果〈a，b〉=那么向量a，b互相垂直，记作a⊥b 注意点：对空间任意两个非零向量a，b有：①〈a，b〉=〈b，a〉；②〈-a，b〉=〈a，-b〉=π-〈a，b〉；③〈-a，-b〉=〈a，b〉. 2.(1)空间向量的数量积 已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b，即a·b=|a||b|cos〈a，b〉.零向量与任意向量的数量积为0，即0·a=0. (2)运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b=λ(a·b)，λ∈R 交换律 a·b=b·a 分配律 (a+b)·c=a·c+b·c 3.向量的投影 (1)如图①，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c=|a|cos〈a，b〉向量c称为向量a在向量b上的投影向量.类似地，可以将向量a向直线l投影(如图②). (2)如图③，向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A'，B'，得到向量向量称为向量a在平面β上的投影向量.这时，向量a的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角. 注意点： (1)向量a，b的数量积记为a·b，而不能表示为a×b或者ab. (2)向量的数量积的结果为实数，而不是向量，它可以是正数、负数或零，其符号由夹角θ的范围决定. ①当θ为锐角时，a·b>0；但当a·b>0时，θ不一定为锐角，因为θ也可能为0. ②当θ为钝角时，a·b<0；但当a·b<0时，θ不一定为钝角，因为θ也可能为π. (3)空间向量的数量积运算不满足消去律和结合律.即a·b=a·cb=c，(a·b)·c≠a·(b·c). 例1　已知空间向量|a|=|b|=5，且a与b夹角的余弦值为-则a在b上的投影向量为(　　) A.-b B.b C.b D.-b 答案　D 解析　a在b上的投影向量为|a|cos〈a，b〉·×· =-·=-b. 例2　如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1. 延伸探究1　与的夹角等于(　　) A.30° B.60° C.150° D.120° 答案　D 解析　〈〉=180°-〈〉=180°-60°=120°. 延伸探究2　若点E，F分别是AB，AD的中点，计算： ①·；②·； ③·；④·. 解　①·· =||||cos〈〉 =×1×1×cos 60°=. ②·· =||||cos〈〉 =×1×1×cos 0°=. ③·· =||||cos〈〉 =×1×1×cos 120°=-. ④·+)·+) =·(-)+·(-)+·+·] =[-·-·+(-)·+·] =×=-. 延伸探究3　记=a=b=c.若=2a-2b=b-c，则·=　　　　.  答案　-1 解析　由题意得a·b=· =||||cos∠BAC=1×1×cos 60°= 同理b·c=c·a= 所以·=(2a-2b)·(b-c) =2(a·b-b2-a·c+b·c)=-1. 反思感悟　(1)当两个非零空间向量同向共线时，夹角为0，反向共线时，夹角为π. (2)由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b计算准确. 二、空间向量数量积的性质 设a，b是两个非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则 (1)a·e=e·a=cos θ.  (2)a⊥b⇔a·b=0. (3)当a，b同向时，a·b=； 当a，b反向时，a·b=-. (4)a·a=|a|2或|a|=. (5)|a·b|≤. (6)cos θ=. 以上性质说明，可以从向量角度有效地分析有关垂直、长度、角度等问题. 例3　(课本例2)　如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求： (1)·； (2)AC'的长(精确到0.1). 解　(1)·=||||cos〈〉=5×3×cos 60°=7.5. (2)||2=(++)2 =||2+||2+||2+2(·+·+·) =52+32+72+2(5×3×cos 60°+5×7×cos 45°+3×7×cos 45°)=98+56 所以AC'≈13.3. 例3　(课本例3)　如图，m，n是平面α内的两条相交直线.如果l⊥m，l⊥n，求证：l⊥α. 证明　如图，在平面α内作任意一条直线g，分别在直线l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g. 因为直线m与n相交，所以向量m，n不平行.由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x，y)，使g=xm+yn. 将上式两边分别与向量l作数量积运算，得 l·g=xl·m+yl·n. 因为l·m=0，l·n=0， 所以l·g=0. 所以l⊥g. 这就证明了直线l垂直于平面α内的任意一条直线，所以l⊥α. 例3　如图所示，已知正四面体ABCD的棱长为1，记=a=b=c. 延伸探究4　|a-b+2c|等于(　　) A.5 B.6 C. D. 答案　C 解析　由题意，得a·b=b·c=a·c=a2=b2=c2=1， 所以|a-b+2c|= = =. 延伸探究5　若点E，G分别为AB和CD的中点，求E，G间的距离. 解　+++(-)+-)=a+(b-a)+(c-b) =-a+b+c， 所以a2+b2+c2-a·b-a·c+b·c= 所以||=即E，G间的距离为. 延伸探究6　在延伸探究5的条件下，求异面直线EG与BD所成的角的余弦值. 解　由延伸探究5知=-a+b+c，||= 又-=c-a， 所以·(-a+b+c)·(c-a) =(-a·c+b·c+c2+a2-a·b-a·c) =× 又||=1， 则cos〈·〉=. 故异面直线EG与BD所成的角的余弦值为. 延伸探究7　证明：异面直线AB与CD 垂直. 证明　-=c-b， ·=a·(c-b)=a·c-a·b =-=0， 所以⊥所以AB⊥CD. 1.知识清单： (1)空间向量的夹角、投影向量. (2)空间向量数量积的性质及运算律. (3)空间向量的垂直. 2.方法归纳：化归转化. 3.常见误区： (1)数量积的符号由夹角的余弦值决定. (2)当a≠0时，由a·b=0可得a⊥b或b=0. 1.(多选)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各组向量的夹角为45°的是(　　) A.与 B.与 C.与 D.与 答案　AD 2.已知向量i， j，k是一组单位向量，且两两垂直.若m=8 j+3k，n=-i+5 j-4k，则m·n的值为(　　) A.7 B.-20 C.28 D.11 答案　C 解析　因为向量i， j，k是一组单位向量， 且两两垂直， 所以|i|=| j|=|k|=1且i· j= j·k=i·k=0. 因为m=8 j+3k，n=-i+5 j-4k， 所以m·n=(8 j+3k)·(-i+5 j-4k) =40| j|2-12|k|2=40-12=28. 3.若空间向量a与b不共线，a·b≠0，且c=a-b，则向量a与c的夹角为(　　) A.0 B. C. D. 答案　D 解析　∵a·c=a· =a·a-a·b=a·a-a·a=0， ∴a⊥c，向量a与c的夹角为. 4.若向量a，b均为单位向量，且向量a，b的夹角为则=　　　　.  答案　 解析　. 课时对点练 [分值：100分] 单选题每小题5分，共30分；多选题每小题6分，共18分 1.已知向量a和b的夹角为120°，且|a|=2，|b|=5，则(2a-b)·a等于(　　) A.12 B.8+ C.4 D.13 答案　D 解析　(2a-b)·a=2a2-b·a =2|a|2-|a||b|·cos 120° =2×4-2×5×=13. 2.已知两异面直线的方向向量分别为a，b，且|a|=|b|=1，a·b=-则两直线的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 答案　B 解析　设向量a，b的夹角为θ， 则cos θ==-所以θ=120°， 则两个方向向量对应的直线的夹角为 180°-120°=60°. 3.平行六面体(底面为平行四边形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都为1，且∠A1AD=∠A1AB=60°，∠DAB=45°，则BD1等于(　　) A.-1 B.-1 C. D.- 答案　C 解析　如图，因为-+ 所以||2=|-+|2=||2+||2+||2-·-2·+2· =1+1+1-2×1×1×cos 45°-2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°=3-所以||=. 4.(多选)如图所示，已知空间四边形每条边和对角线长都为a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是(　　) A.2· B.2· C.2· D.2· 答案　BC 解析　对于A，2·=2a2cos 120°=-a2，A错误； 对于B，2·=2·=2a2cos 60°=a2，B正确； 对于C，2··=a2，C正确； 对于D，2··=-·=-a2，D错误. 5.在空间四边形ABCD中，∠ABD=∠BDC=90°，AC=2BD，则在上的投影向量为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　在空间四边形ABCD中， 因为∠ABD=∠BDC=90°，AC=2BD， 所以··=0， 又++ 则·=(++)·=||2， 所以在上的投影向量为 ··. 6.(多选)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列命题是真命题的是(　　) A.(++)2=3 B.·=0 C.与的夹角为60° D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为|·||| 答案　ABC 解析　设正方体的棱长为a， A选项，(++)2=+++2(·+·+·)=3a2=3A选项正确； B选项·=(-)·(+)=(+-)·(+)=(-)·(+)+·(+)=-+·+·=a2-a2=0，B选项正确； C选项，由于△AB1D1是等边三角形，所以与的夹角为60°，C选项正确； D选项，|·|||=0，所以D选项错误. 7.(5分)已知|a|=13，|b|=19，|a+b|=24，则|a-b|=　　　　.  答案　22 解析　|a+b|2=a2+2a·b+b2 =132+2a·b+192=242， ∴2a·b=46，|a-b|2=a2-2a·b+b2 =530-46=484，故|a-b|=22. 8.(5分)已知a+3b与7a-5b垂直，且a-4b与7a-2b垂直，则〈a，b〉=　　　　.  答案　60° 解析　由条件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0， (a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0，两式相减得46a·b=23|b|2，所以a·b=|b|2， 代入上面两个式子中的任意一个，得|a|=|b|， 所以cos〈a，b〉= 所以〈a，b〉=60°. 9.(10分)已知在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算： (1)·；(3分) (2)·；(3分) (3)·.(4分) 解　如图所示， 设=a=b=c， 则|a|=|c|=2，|b|=4，a·b=b·c=c·a=0. (1)··(+) =· =b·=|b|2=42=16. (2)·=(+)·(+) =·(+) =·(a+c) =|c|2-|a|2=22-22=0. (3)·=(+)·(+) =· =· =(-a+b+c)· =-|a|2+|b|2=2. 10.(10分)如图，正四棱锥P-ABCD的各棱长都为a. (1)用向量法证明BD⊥PC；(5分) (2)求|+|的值.(5分) (1)证明　∵+ ∴·=(+)· =·+· =||||cos 60°+||||cos 120° =a2-a2=0. ∴⊥ ∴BD⊥PC. (2)解　∵+++ ∴|+|2=||2+||2+||2+2·+2·+2· =a2+a2+a2+0+2a2cos 60°+2a2cos 60°=5a2， ∴|+|=a. 11.已知空间向量a，b，c满足a+b+c=0，|a|=2，|b|=3，|c|=4，则a与b的夹角为(　　) A.30° B.45° C.60° D.以上都不对 答案　D 解析　设a与b的夹角为θ， 由a+b+c=0，得a+b=-c， 两边平方，得a2+2a·b+b2=c2， 因为|a|=2，|b|=3，|c|=4， 所以4+2×2×3cos θ+9=16， 解得cos θ= 即A，B，C选项均不符合cos θ=. 12.(多选)如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1的棱长均为3，且两两向量的夹角都是60°，过AC1的平面AEC1F与BB1，DD1分别交于点E，F，DF=2，则(　　) A.截面BDD1B1的面积为9 B.·=11 C.的夹角是60° D.平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为 答案　ABD 解析　在菱形BDD1B1中·=(-)··-·-=0， 所以⊥菱形BDD1B1为正方形，故面积为DB·BB1=3×3=9，A正确； 易知平面AEC1F与侧面的交线AE，C1F平行，AF，EC1平行，则四边形AEC1F是平行四边形， ·=(+)·(+) =· =·+·+·+ =+×+×+×9=11，B正确； 因为AC=3所以·=(+)··+·+=9， 所以cos〈〉=故的夹角不是60°，C不正确； 由上知的夹角的正弦值是所以平行六面体的高为||= 则平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为3×3××D正确. 13.(5分)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA=1，OB=2，OC=3，G为△ABC的重心，则·(++)=　　　　.  答案　 解析　∵OA，OB，OC两两垂直， ∴···=0， 且 故·(++)=++)2 =(||2+||2+||2) =×(1+4+9)=. 14.(5分)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，若动点P在线段BD1上运动(含端点)，则·的取值范围是　　　.  答案　[0，1] 解析　依题意，设=λ其中λ∈[0，1]， ··(+) =·(+λ) =+λ· =1+λ×1××=1-λ∈[0，1]. 因此·的取值范围是[0，1]. 15.如图所示，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i=1，2，…，8)是上底面上其余的八个点，则·(i=1，2，…，8)的不同值的个数为(　　) A.8 B.4 C.2 D.1 答案　D 解析　··(+) =+· ∵AB⊥平面BP2P8P6，∴⊥ ∴·=0，∴·=||2=1， 则·(i=1，2，…，8)的不同值的个数为1. 16.(12分)如图，已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD且为锐角. (1)求证：CC1⊥BD；(5分) (2)当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明.(7分) (1)证明　设=a=b=c.依题意有|a|=|b|， -=a-b. 设两两夹角均为θ， 于是·=c·(a-b)=c·a-c·b=|c||a|cos θ-|c||b|cos θ=0， ∴CC1⊥BD. (2)解　若A1C⊥平面C1BD， 则A1C⊥DC1，A1C⊥BD. 由·=(+)·(-) =(a+b+c)·(a-c) =|a|2-a·c+a·b-b·c+c·a-|c|2 =|a|2-|c|2+|b||a|cos θ-|b||c|cos θ =(|a|-|c|)(|a|+|c|+|b|cos θ)=0， 得当|c|=|a|时，A1C⊥DC1. 同理可证，当|a|=|b|时，A1C⊥BD. ∴当=1时，A1C⊥平面C1BD. 学科网（北京）股份有限公司 $