1.2空间向量基本定理5题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量基本定理这一核心知识点，系统梳理基底判断、正交分解及应用（求参数、证明位置关系、求距离夹角）等内容，构建从概念理解到几何应用的递进式学习支架。 该资料以5类题型为载体，结合正方体、三棱锥等实例，通过选择、解答题等形式，培养学生空间观念（数学眼光）、逻辑推理（数学思维）与向量表达（数学语言）能力。课中辅助教师教学，课后助力学生巩固，有效查漏补缺。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.2 空间向量基本定理5题型分类 一、空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 二、空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a=xi+yj+zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 三、空间向量基本定理的应用 1．求异面直线的夹角：. 2．证明共线(平行)、共面、垂直问题： (1)对于空间任意两个向量、()，的充要条件是存在实数λ，使＝λ. (2)如果两个向量，不共线，那么向量p与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝. (3)若是非零向量，则. 3．求距离(长度)问题：(). （一） 空间向量基底的判断 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底。基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同； (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念； (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. (4)基底的选择一般有两个条件：（1）基底必须是不共面的非零向量；（2）在进行基底选择时要尽量选择已知夹角和长度的向量，这样会让后续计算比较方便． 题型1：空间向量基底的判断 1．【多选】（2026高二·江苏徐州·期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二·全国·课后作业）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 4．（2026高二·湖北·阶段检测）在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 5．【多选】（2026高二·江苏徐州·期末）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 6．（2026高一·黑龙江·期末）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． （二） 利用基底表示空间向量 1、用基底表示向量时，若基底确定，要利用向量加法、减法的三角形法和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行化简；若没给基底，首先要选出基底，再求解. 2、用基底表示向量的步骤: (1)定基底：由已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)寻目标：由确定的基底表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形化简． (3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 题型2：利用基底表示空间向量 7．（2026高二·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026高二·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2026高二·湖北·阶段检测）如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026高二·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 11．【多选】（2026高二·湖北鄂州·阶段检测）在四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026高一·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A．B． C． D． 13．（2026高二·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 14．（2026高二·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 15．（2026高二·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． （三） 空间向量基本定理在几何中的应用 用空间向量基本定理解决几何问题时需注意 (1)若证明线线平行，只需证明两向量共线． (2)若证明线线垂直，只需证明两向量的数量积为0． (3)若求异面直线所成的角，则转化为求两向量的夹角． (4)若求两点间的距离，则转化为求向量的模． 题型3：利用空间向量基本定理求参数 16．（2026高二·上海杨浦·期末）正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 17．（2026高二·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 18．（2026高二·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 19．（2026高二·福建龙岩·期中）如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 20．（2026高一·天津河北·阶段检测）如图，在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 题型4：利用空间向量基本定理证明位置关系 21．（2026高二·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 22．（2026高二·全国·课堂例题）如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证：． 23．（2026高二·福建厦门·阶段检测）如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，． 24．（2026高二·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 题型5：利用空间向量基本定理求距离、夹角 25．（2026高二·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 26．（2026高二·安徽·阶段检测）已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 27．（2026高二·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 28．（2026高二·江苏常州·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及向量与夹角的余弦值． 29．（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 30．（2026高二·江苏苏州·阶段检测）如图，棱长为的正四面体中，是底面的重心，是棱中点，且有，则线段的长度为____________ 31．（2026高三·江苏无锡·专题练习）如图，在三棱柱中，已知M，N分别是上的点，且，设.若，，则的长为____． 32．（2026高二·河南濮阳·开学考试）如图，在三棱锥中，，M，N分别为BC，AD的中点，则__________． 33．（2026高二·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 1．（2026高二·重庆·阶段检测）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 2．（2026高二·河北邯郸·期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高二·福建福州·期中）已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026高二·江苏宿迁·阶段检测）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 5．（2026高二·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 6．（2026高二·河北·阶段检测）直三棱柱中，点为的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 7．【多选】（2026高二·河南南阳·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量不可以作为基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8．【多选】（2026高二·四川达州·阶段检测）如图，在三棱柱中，分别是所在棱的中点，设，则（　　） A． B． C． D． 9．（2026高二·重庆·期中）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若， 则（   ）    A． B．3 C．6 D．7 10．（2026高二·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 11．（2026高二·辽宁大连·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 12．（2026高二·云南怒江·期中）在四棱柱中，，分别在棱，上，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 13．【多选】（2026高二·河北石家庄·期中）在三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 14．（2026高二·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量______. 15．（2026高二·全国·专题练习）已知是空间的一个基底，若，则_________． 16．（2026高二·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知正方体中，点O为与的交点，，则________． 17．（2026高二·安徽·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，是棱上一点，且，，则___________． 18．（2026高二·福建厦门·期中）在三棱锥中，为的中点，则等于______________． 19．（2026高二·江苏·专题练习）如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，则______；    20．（2026高二·四川泸州·阶段检测）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 21．（2026高二·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 22．（2026高二·江苏常州·阶段检测）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 23．（2026高二·广东广州·阶段检测）如图，在平行六面体中，设分别是，的中点.    (1)用向量表示； (2)化简：. 24．（2026高二·四川成都·期中）已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 _________． 25．【多选】（2026高二·辽宁沈阳·开学考试）已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则点四点共面 C．点可能共线 D．，则 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.2 空间向量基本定理5题型分类 一、空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 二、空间向量的正交分解 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底，常用{i，j，k}表示． 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a=xi+yj+zk.像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 三、空间向量基本定理的应用 1．求异面直线的夹角：. 2．证明共线(平行)、共面、垂直问题： (1)对于空间任意两个向量、()，的充要条件是存在实数λ，使＝λ. (2)如果两个向量，不共线，那么向量p与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝. (3)若是非零向量，则. 3．求距离(长度)问题：(). （一） 空间向量基底的判断 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底。基底选定后，空间的所有向量均可由基底唯一表示；不同基底下，同一向量的表达式也有可能不同； (2)一个基底是一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念； (3)由于零向量与任意一个非零向量共线，与任意两个不共线的非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是零向量. (4)基底的选择一般有两个条件：（1）基底必须是不共面的非零向量；（2）在进行基底选择时要尽量选择已知夹角和长度的向量，这样会让后续计算比较方便． 题型1：空间向量基底的判断 1．【多选】（2026高二·江苏徐州·期中）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A，因为，所以共面，所以A错误； 选项B，因为与互为相反向量，又为空间的一个基底， 所以能构成空间的一个基底，故B正确； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，进而则可得， 得到共面，与已知矛盾，所以C正确； 选项D，因为，所以共面，所以D错误. 2．（2026高二·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的意义，结合正方体的构造特征判断即得. 【详解】在正方体中，向量，， 因此向量，，分别与向量共面，ABC不能； 而平面，即向量不共面，D能. 故选：D 3．（2026高二·全国·课后作业）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 【答案】B 【分析】根据基底和空间向量共面的条件等知识确定正确答案. 【详解】A选项，由于，所以共线，则，，共面， 不能构成基底，所以A选项错误. B选项，，，两两垂直，则，，不共面， 能构成基底，所以B选项正确. CD选项，、，都得到，，共面， 不能构成基底，所以CD选项错误. 故选：B 4．（2026高二·湖北·阶段检测）在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不共面的三个向量能作为一组基底一一判断. 【详解】 对A，因为,所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，A错误； 对B，因为在正四棱台中，，所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，B错误； 对C，，且不共面， 所以中三个向量不共面，能作为一组基底，C正确； 对D，因为三个向量均在平面内， 所以不能作为作为空间向量的基底，D错误； 故选:C. 5．【多选】（2026高二·江苏徐州·期末）在正四面体中，可以与构成空间的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【分析】以为原点，设，，，则，，即为不共面的基底，将所有向量用，，表示后，判断三个目标向量的线性相关性即可. 【详解】选项A：，. 设，整理得， 因，，不共面，则系数全为0，所以， 故三个向量线性无关，可构成基底，A正确. 选项B：，， 三个向量都仅含，分量，都在平面内，故共面，不能构成基底，B错误. 选项C：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，C正确. 选项D：，. 设，整理得， 解得，线性无关，故可构成基底，D正确. 6．（2026高一·黑龙江·期末）若构成空间的一个基底，则下列可以构成空间的另一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由基底的定义逐一判断即可. 【详解】，故A不是； 不存在，使得，故B是； ，故C不是； ，故D不是. （二） 利用基底表示空间向量 1、用基底表示向量时，若基底确定，要利用向量加法、减法的三角形法和平行四边形法则，以及向量数乘的运算律进行化简；若没给基底，首先要选出基底，再求解. 2、用基底表示向量的步骤: (1)定基底：由已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)寻目标：由确定的基底表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形化简． (3)下结论：利用空间的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量． 题型2：利用基底表示空间向量 7．（2026高二·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理，结合向量加法和数乘的几何运算求解. 【详解】， 故选：B. 8．（2026高二·山东潍坊·开学考试）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 9．（2026高二·湖北·阶段检测）如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为的重心，所以， 又是的中点，所以. 所以. 10．（2026高二·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在三棱柱中，由，得，由点是的中点，得， 所以 . 11．【多选】（2026高二·湖北鄂州·阶段检测）在四面体中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】 ，故A正确，C错误； ，故B错误，D正确. 12．（2026高一·重庆·期末）三棱锥中，，，，且，，则等于（    ） A．B． C． D． 【答案】A 【详解】由，且，则，整理得，因此， 由，知是的中点，则， 由，则. 13．（2026高二·四川成都·期末）如图，在三棱柱中，与的交点为，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由已知，在中，与的交点为，所以，与互相平分， . 所以，. 14．（2026高二·四川广安·阶段检测）在四面体中，M，N分别是，的中点，点G在线段上，满足，用向量，，表示向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的加减法运算和向量基本定理进行变形. 【详解】 如图所示： ，因为分别为，的中点， 所以，， 所以． 15．（2026高二·贵州遵义·阶段检测）在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，在平行六面体 中， . 又因为为底面平行四边形 对角线与的交点， 所以 . 在平行六面体中，， ， ， 所以 . 从而 . （三） 空间向量基本定理在几何中的应用 用空间向量基本定理解决几何问题时需注意 (1)若证明线线平行，只需证明两向量共线． (2)若证明线线垂直，只需证明两向量的数量积为0． (3)若求异面直线所成的角，则转化为求两向量的夹角． (4)若求两点间的距离，则转化为求向量的模． 题型3：利用空间向量基本定理求参数 16．（2026高二·上海杨浦·期末）正方体中，为正方形的中心，若，则的值为_________． 【答案】1 【分析】由正方体的结构特征，应用空间向量加减、数乘的几何意义得、，进而得到与的线性关系式，即可得. 【详解】因为点是底面的中心， 所以, 因为 , 所以， 由，则，，， 所以. 17．（2026高二·河南许昌·期末）已知是四面体的棱的中点，点在线段上，且，为线段的中点，若，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，， 又，则，所以. 18．（2026高二·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 19．（2026高二·福建龙岩·期中）如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 【答案】 【详解】在平行六面体中，， 则， 而向量，且不共面， 所以，. 20．（2026高一·天津河北·阶段检测）如图，在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】假设，由，综合题目条件得，利用共面向量基本定理求解. 【详解】假设， 因为， 因为，，所以，， 所以，又， 所以, 因为、、、四点共面，所以，解得， 所以. 故选：B. 题型4：利用空间向量基本定理证明位置关系 21．（2026高二·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【答案】(1) 当为的中点时， ， ， 所以． (2)不存在，理由： 设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 【分析】（1）以为基底表示出，根据向量相等来证得. （2）设，利用基底表示出，通过计算得到，从而判断出不存在符合题意的点. 【详解】（1）略 （2）略 22．（2026高二·全国·课堂例题）如图，在平行六面体中，，，，，，，M，N分别为，的中点．求证：． 【答案】 设，，，这三个向量不共面，{，，}构成空间的一个基底， 我们用它们表示，， 则，， 所以 . 所以． 【分析】利用空间向量的数量积为0的方法证明两直线垂直. 【详解】略 23．（2026高二·福建厦门·阶段检测）如图，已知棱长为1的正四面体，，分别是，的中点．    (1)用，，表示向量，并求的模长； (2)求证：，． 【答案】(1)； (2) ， 所以，所以， 同理可证，所以. 【分析】（1）利用向量的三角形法则即可表示出向量，两边同时平方即可求得结果. （2）利用数量积等于0，则两个向量垂直即可证明. 【详解】（1）， ， 所以； （2）略 24．（2026高二·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 【答案】(1) (2) ， 所以． 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性质即可得出． （2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明. 【详解】（1）因为，且，， 故， 又，故 ， 由于， 所以 ， （2）略 题型5：利用空间向量基本定理求距离、夹角 25．（2026高二·浙江台州·期末）如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）利用空间向量基本定理得到； （2）两边平方，求出，得到，并求出，，利用异面直线向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】（1）， 故 ； （2）由（1）知，，两边平方得 因为三棱柱为直三棱柱，， 所以，故， ， 所以， 故. 因为，故， 设直线与直线所成角为， ， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 26．（2026高二·安徽·阶段检测）已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用空间向量的基本定理及线性运算可得，可得从而证得； （2）由向量的线性运算可得，，再根据异面直线与所成角的余弦值的公式求解即可. 【详解】（1）由已知该几何体是三棱柱， 所以四边形为平行四边形， 又， 所以， 故，即. 所以四边形为矩形. （2）由已知， 又， ； 同理， ， ， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 27．（2026高二·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知条件，运用向量加减法运算规则计算求解； （2）运用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1），， ，， 又，， ． （2） ， ， ， ， ． 28．（2026高二·江苏常州·阶段检测）如图，在四棱柱中，四边形是正方形，，，点为的中点． (1)用向量，，表示； (2)求线段的长及向量与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）通过向量的线性运算进行表示； （2）通过向量的线性表示与模长公式计算线段，的长度，计算，再通过夹角公式求解. 【详解】（1）方法一：由题意知， ； 方法二：因为为的中点，所以 ． （2）因为四边形是正方形，，， 所以，，， 所以 ， 所以，即线段的长为． 因为， 所以 ，所以． 又 ， 则向量，夹角的余弦值为. 29．（2026高二·全国·专题练习）如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据空间向量线性运算法则，结合图形计算可得； （2）首先根据数量积的定义求出，，，再根据数量积的运算律求出及，最后根据夹角公式计算可得. 【详解】（1）连接，如图： 因为，，， 在，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形， 故， 因为∥且， 所以， 又为线段中点 所以， 在中，， 故平行四边形中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 30．（2026高二·江苏苏州·阶段检测）如图，棱长为的正四面体中，是底面的重心，是棱中点，且有，则线段的长度为____________ 【答案】/ 【详解】由题意得，， 则 ， 因为，， 则 ， 所以线段的长度为 . 31．（2026高三·江苏无锡·专题练习）如图，在三棱柱中，已知M，N分别是上的点，且，设.若，，则的长为____． 【答案】/ 【分析】根据图形利用向量的加减数乘运算可将用表示，利用向量数量积的运算律，计算即得. 【详解】由已知条件可得 又因，， 所以可得，， 所以. 32．（2026高二·河南濮阳·开学考试）如图，在三棱锥中，，M，N分别为BC，AD的中点，则__________． 【答案】1 【分析】利用空间向量的线性运算可得，结合空间向量数量积的运算即可得. 【详解】由题意得，，，，， 则，，， 因为， 所以. 33．（2026高二·江苏南通·阶段检测）已知三棱柱中所有的棱长均为，．若为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】作图如下图所示， 选取基底，由题意知， ，. ， 于是 则. 1．（2026高二·重庆·阶段检测）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 【答案】B 【分析】判断三个向量是否共面即可得． 【详解】选项AD中，三个向量一定共面，选项C中，可能共面，只有选项B中，一定不共面， 故选：B． 2．（2026高二·河北邯郸·期末）已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1. 【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内， 所以，. 因为，，，所以，又SA=1， 所以空间的一个单位正交基底可以为. 故选：A 3．（2026高二·福建福州·期中）已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于B，假设共面，则存在实数使得， 整理得，这与不共面矛盾，故不共面，可以构成一组基底； 对于C，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于D，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 故选：B 4．（2026高二·江苏宿迁·阶段检测）如图，空间四边形中，，点在上，且，点为中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的线性运算求解. 【详解】， 5．（2026高二·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 6．（2026高二·河北·阶段检测）直三棱柱中，点为的中点，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据空间向量线性运算法则，作为基底表示即可. 【详解】∵在直三棱柱中，点为的中点， ，，， ∴ ，A正确. 故选：A. 7．【多选】（2026高二·河南南阳·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列选项中的向量不可以作为基底的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AC 【分析】根据基底的概念分别判断各选项. 【详解】A选项：设，即， 解得，即， 所以，，不能作为空间向量的基底，A选项正确； B选项：设，即，方程无解， 所以向量，，不共面，可以作为空间向量的基底，B选项错误； C选项：设，即， 解得，即， 所以向量，，不能作为空间向量的基底，C选项正确； D选项：设，即，方程无解， 即向量，，不共面，可以作为空间向量的基底，D选项错误； 故选：AC. 8．【多选】（2026高二·四川达州·阶段检测）如图，在三棱柱中，分别是所在棱的中点，设，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】结合空间向量基本定理，根据空间向量的加法、减法运算逐项求解即可. 【详解】对于A： ，正确； 对于B： ，错误； 对于C： ，正确； 对于D：由选项AB知， ，正确. 故选：ACD 9．（2026高二·重庆·期中）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若， 则（   ）    A． B．3 C．6 D．7 【答案】D 【分析】以为基底向量，可得，结合空间向量的数量积运算求解即可. 【详解】由图可知：，且，则 由题意可得：， 因为， 则 ， 所以. 故选：D. 10．（2026高二·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 【答案】A 【分析】令，，，由题意得，，由空间向量的运算法则可得，，结合平面向量数量积的运算，即可求得的值. 【详解】令，，， 由题意可知，， 则， ， ， 即， 则， 整理得. 故选：A. 11．（2026高二·辽宁大连·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合给定条件求解参数，再求值即可. 【详解】是三棱锥的底面的重心， ，由向量加法法则得， ， ， ， 而， ， ，，，则. 故选：A 12．（2026高二·云南怒江·期中）在四棱柱中，，分别在棱，上，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间四点共面的充要条件列方程求解的值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 又在四棱柱中，有， 且，所以，即， 所以，，，四点共面，所以，解得. 故选：C. 13．【多选】（2026高二·河北石家庄·期中）在三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解A；利用数量积的运算律及模的运算求解判断B；利用数量积是否为0判断向量是否垂直判断C；根据空间向量夹角余弦公式求解判断D. 【详解】对于A，根据题意可得，又，， 所以可得， 即，正确； 对于B，由（1）知， 所以， 所以，B正确； 对于C，易知， 此时， 所以与不垂直，即C错误； 对于D，由选项C可得，且，即； ， 即； 所以可得，即D正确. 故选：ABD 14．（2026高二·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量______. 【答案】 【分析】设，然后解方程组即可. 【详解】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为： 15．（2026高二·全国·专题练习）已知是空间的一个基底，若，则_________． 【答案】0 【分析】根据基底向量不能共面，得出系数均为0； 【详解】是空间的一个基底， 为不共面向量． 又， ， ． 故答案为：0. 【点睛】本题考查基底向量的定义，理解基底向量不能共面是解题的关键. 16．（2026高二·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知正方体中，点O为与的交点，，则________． 【答案】 【分析】根据向量的加减法运算可得. 【详解】由题意可得，， 故. 故答案为： 17．（2026高二·安徽·阶段检测）在四棱锥中，底面是平行四边形，是棱上一点，且，，则___________． 【答案】 【分析】由已知选取为基底，根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】连接， 则 ， 又，所以． 故答案是：. 18．（2026高二·福建厦门·期中）在三棱锥中，为的中点，则等于______________． 【答案】1 【分析】以为基底向量，由题意可得，结合空间向量数量积的运算律代入求解即可. 【详解】由题意可知：，， 因为，， 所以. 故答案为：1. 19．（2026高二·江苏·专题练习）如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，则______；    【答案】 【分析】设，以，，为基底表示，由，，，共面，求出可得的值. 【详解】， 设， 由，，，共面，有，解得，故. 故答案为：. 20．（2026高二·四川泸州·阶段检测）四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得． 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 21．（2026高二·全国·专题练习）如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，将分解为即可； （2）利用向量垂直的充要条件，建立关于 的方程求解即可. 【详解】（1）． （2）假设存在点，使， 设， 显然， 因为，所以， 即， 所以 ． 设， 又，， 所以， 即， 解得， 所以当时，． 22．（2026高二·江苏常州·阶段检测）如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【答案】(1)在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. (2)； (3). 【分析】（1）利用向量证明，然后可证； （2）以为基底表示出，然后根据求解可得； （3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可. 【详解】（1）略 （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时， （3）， ， ， 所以 ，所以的长为 23．（2026高二·广东广州·阶段检测）如图，在平行六面体中，设分别是，的中点.    (1)用向量表示； (2)化简：. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据空间向量的线性运算结合空间向量基本定理即可得解； （2）根据空间向量的线性运算化简即可. 【详解】（1）， 因为分别是，的中点， 所以 ； （2） . 24．（2026高二·四川成都·期中）已知三棱锥，如图所示，为重心，点，为，中点，点，分别在，上，，，若四点共面，则 _________． 【答案】4 【分析】先得到，进一步有，结合四点共面的充要条件即可求解. 【详解】如图所示：    设中点为，连接，因为点G为重心， 所以点在线段上面， 因为 ， 所以， 所以， 若M，D，E，F四点共面，则，解得， 故答案为：4. 25．【多选】（2026高二·辽宁沈阳·开学考试）已知四边形为空间四边形，点分别在边上，且满足，点满足，则下列选项正确的是（   ） A． B．若，则点四点共面 C．点可能共线 D．，则 【答案】ABD 【分析】根据空间向量加法规则、共面向量定理、共线向量定理、空间向量基本定理逐项判断即可. 【详解】对于A，根据空间向量加法规则可知，A正确； 对于B，因为点满足，且，所以根据共面向量定理得点四点共面，B正确； 对于C，因为， ， 与不共线，故不共线，因此不可能共线，C错误； 对于D，因为 因为，所以，则，D正确. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $