1.1.1空间向量及其线性运算8题型分类讲义（讲+练）-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量及其线性运算核心知识点，系统梳理空间向量的概念、线性运算（加减、数乘及运算律）、共线与共面向量的判定及应用，构建从基础概念到运算规律再到实际应用的递进式学习支架。 资料以8大题型分类为特色，通过正方体、三棱锥等几何体实例，强化概念辨析与运算技巧，培养学生用数学眼光观察空间形式、用数学思维推理逻辑关系的能力。课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，提升向量应用的熟练度。

2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.1.1 空间向量及其线性运算8题型分类 一、空间向量的概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 二、空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 三、共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 四、共面向量 1．共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. （一） 空间向量的概念 (1)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素，即大小和方向，两者缺一不可; (2)要注意零向量的特殊性。对于零向量，我们应明确: ①零向量不是没有方向，它的方向是任意的; ②零向量与任何向量都共线. (3)对于共线向量我们应明确: ①当我们说a与b共线时，表示a,b的两条有向线段所在的直线有可能是同一直线，也可能是平行直线，当我们说a//b时，也具有相同的意义; ②共线(平行)向量不具有传递性，如a//b,b//c.那么a//c就不一定成立，因为当b=0时，虽然有a//b//c,但a不一定与c共线，若a,b,c都不是零向量，则具有传递性. (4)在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反． 题型1：利用空间向量有关概念判断命题 1．【多选】（2026高二·河北邢台·阶段检测）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 【答案】CD 【分析】根据给定条件，利用空间向量的相关概念逐项判断即得. 【详解】当两个向量的起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等，但两个相等的向量起点、终点不一定相同，A错误； 模相等的两个向量的方向是任意的，即模相等的两个向量的方向不一定相同，也不一定相反，B错误； 由相等向量的传递性，知若，则，C正确； 在正方体中，四边形是矩形，向量与的方向相同，模也相等，即，D正确， 故选：CD 2．（2026高二·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【分析】根据空间向量的相关定义即可结合选项逐一求解. 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D 3．（2026高二·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】D 【分析】根据向量的相关概念及向量的性质，即可判断各项的正误. 【详解】对于A中，单位向量长度相等，方向不确定，故A错误； 对于B中，只能说明的长度相等而方向不确定，故B错误； 对于C中，向量的模可以比较大小，但向量不能比较大小，故错误； 对于D中，相等向量其方向必相同，故D正确． 故选：D. 4．（2026高二·陕西西安·阶段检测）在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据长方体的性质及中位线的性质，分析即可得答案. 【详解】因为E，F分别是AB，的中点， 所以且，，， 所以与向量相反的向量为. 故选：C 5．【多选】（2026高二·全国·暑假作业）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 【答案】BC 【详解】A，根据向量相等的定义知，模相等且方向相同为相等向量，而A中向量与的方向不一定相同，假命题； B，由正方体的结构特征知，与的方向相同，模也相等，故，真命题； C，向量的相等满足传递性，真命题； D，空间中任意两个单位向量的模均为1，但方向不一定相同故不一定相等，假命题． 6．【多选】（2026高二·全国·期末）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义可判断A选项；利用向量的定义结合充分条件、必要条件的定义可判断B选项；利用向量不能比大小可判断C选项；利用共线向量的定义可判断D选项, 【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，若，则和的模相等，方向不一定相同， 若，则和的模相等，方向也相同， 所以是向量的必要不充分条件，故B为真命题； 对于C，向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：AC. （二） 空间向量的加减运算 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 题型2：利用空间向量的加减法运算求解化简 7．【多选】（2026高二·陕西榆林·阶段检测）如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，下列化简结果正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量加减法则及其几何意义判断各项的正误. 【详解】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对. 故选：ABD 8．（2026高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知A，B，D的运算结果都为，而C中，． 9．（2026高二·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 10．（2026高二·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法及减法运算计算判断即可. 【详解】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. （三） 空间向量的线性运算 （1）利用数乘运算进行向量表示的注意点 ①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． ②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题． （2）进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中． 题型3：利用空间向量数乘运算化简求解空间向量 11．（2026高二·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解. 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 12．（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】G是的中点，所以. 13．（2026高一·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算即可求解. 【详解】因为四边形为平行四边形，所以为和的中点， 所以， 故选：D. 14．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的线性运算即可求解. 【详解】因为是BD的中点， 所以， 所以. （四） 向量共线的判定及应用 1、向量共线的判定及应用 (1)利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别． (2)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． (3)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ； 2、判断向量共线的策略: （1）熟记共线向量的充要条件: ①若a//b,b≠0，则存在唯一实数使a=b; ②若存在唯一实数，使a=b，则a//b. （2）判断向量共线的关键:找到实数. 3、三点共线与直线平行的判断: （1）线线平行:证明两直线平行要先证明两直线的方向向量a,b平行，还要证明一直线上有一点不在另一条直线上. （2）三点共线:证明三点共线，只需证明存在实数，使或即可. 题型4：向量共线的判定 15．（2026高二·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用线线位置关系可得与向量平行的向量. 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 16．（2026高二·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 题型5：向量共线的应用 17．（2026高二·全国·单元测试）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______． 【答案】0 【分析】方法一、根据题意，得到，根据A，C，D三点共线得，再利用向量相等的条件求解参数即可；方法二、假设为空间的一个单位正交基底，再利用空间坐标的平行表示计算即可. 【详解】方法一、因为，，， 所以． 因为A，C，D三点共线，所以存在唯一的实数y，使得， 即， 即，解得． 方法二、因为向量，，不共面，所以可假设为空间的一个单位正交基底， 则在此基底下的坐标为，同理，， 则， 若A，C，D三点共线，则， 即，解得． 故答案为：0. 18．（2026高二·上海·课堂例题）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则________． 【答案】 【分析】根据A，B，D三点共线可得，即可得到关于的方程组，即可解出． 【详解】因为，， 则， 又，而A，B，D三点共线， 所以存在，使得， 即，所以，解得． 故答案为：． 19．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据向量共线设，从而得到方程组，求出，得到答案. 【详解】因为三点共线，所以， 即，故，解得， 所以. 故选：C 20．（2026高二·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把问题转化为两向量平行，求参数的问题求解. 【详解】因为. 因为、、三点共线，所以. 所以. 故选：D 21．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 【答案】D 【分析】根据三点共线得，进而结合①得，再结合②得，最后求和即可得答案. 【详解】因为三点共线，所以存在实数，满足， 因为为空间任一点，所以，即， 因为，所以，解得， 因为存在三个不为的实数，使， 所以，所以，即， 所以. 综上，， （五） 向量共面的判定及应用 1、向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． 2、证明空间向量共面、点共面的常用方法 (1)证明空间三个向量共面常用的方法 ①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则空间向量a，b，c共面； ②寻找平面α，证明这些空间向量与平面α平行． (2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ①＝x＋y； ②对空间任一点O，＝＋x＋y； ③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； ④∥(或∥，或∥)． 题型6：向量共面的判定 22．（2026高三·江苏盐城·阶段检测）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件与必要条件的概念，结合共面向量与向量运算的性质，可得答案. 【详解】充分性证明：由不平行，则可作为所在平面内的一组基底， 由，则必定共面，所以充分性成立； 必要性证明：由共面，且不平行，当共线时，， 则不存在两个非零常数，使得，所以必要性不成立. 综上，该条件是充分非必要条件. 故选：A. 23．（2026高二·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 24．（2026高二·北京朝阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为，中点.求证：向量、、共面. 【答案】证明：连接，因为底面是平行四边形， F是的中点，所以F也是中点. 在中，又E是中点，所以，. 又因为，所以， 所以由向量共面定理可知，向量、、共面. 【分析】根据向量共面定理，要证明三个向量共面，只要用与表示即可. 【详解】略 25．（2026高二·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共面向量定理一一计算判断即可. 【详解】对A，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故A错误； 对B，因为，所以共面，故B正确； 对C，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故C错误； 对D，假设，即， 则，显然无实数解，则与向量不共面，故D错误； 故选：B. 题型7：向量共面的应用 26．（2026高一·广东深圳·期末）已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，列出方程，即可求解. 【详解】由点四点共面，且， 根据共面向量的基本定理，可得，解得． 27．（2026高一·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 【答案】 【分析】结合空间向量共面定理的推论求参数即可. 【详解】由题意可知H，A，B，C四点共面的充要条件是存在，使得且， 所以，解得. 28．（2026高一·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】利用共面向量定理的推论，四点共面时向量线性表示的系数和为1，列方程求解λ. 【详解】因为是同一平面内的四点，任意三点不共线， 为平面外一点，当时， 根据共面向量定理的推论，有，解得. 29．（2026高二·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 题型8：四点共面的判断 30．（2026高二·河南新乡·期末）下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间共面向量定理以及其结论一一判断各选项，即可得答案. 【详解】设，若，则点共面． 对于A，，由于，故A错误； 对于B，，由于，故B错误； 对于C, ，由于，故C错误； 对于D，，由于，得共面，故D正确. 故选：D. 31．【多选】（2026高二·山东青岛·阶段检测）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的相关概念结合四点共面的结论逐项分析判断. 【详解】对于选项A:由知，为共面向量，故四点共面，故选项A正确； 对于选项B:因为， 所以，即, 由共面向量定理可知四点共面，故选项B正确； 对于选项C:若，则，即直线异面垂直或共面垂直， 四点不一定共面，故选项C错误； 对于选项D:若，则直线平行或重合， 故四点共面, 故选项D正确． 故选：ABD. 32．【多选】（2026高二·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】利用共面向量定理及推论判断AB；利用两条直线共面的条件判断CD. 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 33．（2026高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和，再逐个验证选项. 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. 34．【多选】（2026高二·河南·阶段检测）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的基本定理及其推论，以及向量的共面定理，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，因为，所以共面，又因为有公共点，所以四点共面； 对于B，因为，所以四点共面； 对于C，因为，所以，即直线和可能异面，四点不一定共面； 对于D，因为，所以，所以四点共面． 故选：ABD． 35．（2026高二·安徽铜陵·阶段检测）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 【答案】C 【分析】由空间向量共面定理的推论求解即可； 【详解】因为，所以， 即，故， 因为，所以四点共面，C正确． 另解：由已知得， 所以共面，又存在公共点，所以四点共面，C正确． 故选：C． 1．（2026高二·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 【答案】C 【分析】根据零向量定义及向量平行可判断A选项；利用任意一个非零向量与其相反向量可判断B选项；利用向量平移及相交直线可确定一个平面可判断C选项；利用单位向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，零向量与任意向量平行，A错； 对于B选项，任意一个非零向量与其相反向量不相等，但它们的模相等，B错； 对于C选项，任意两个空间向量，通过平移可以将起点重合，这两个向量所在直线能确定一个平面，因此任意两个空间向量都共面，C对； 对于D选项，将空间向量所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个单位球面，D错. 2．（2026高二·全国·暑假作业）如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中，； B中，； C中，； D中，. 3．（2026高二·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减法及数乘运算计算求解. 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 4．（2026高三·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系. 【详解】若，则，故， 所以，而共起点，故三点共线， 若三点共线，则存在实数，使得， 故，故， 因为不共线，则不共线，故， 故， 故“”是“A、B、C三点共线”的充分必要条件， 故选：C. 5．（2026高二·全国·单元测试）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 【答案】C 【分析】根据空间向量的加减运算法则和相反向量的概念判断即可 【详解】 所以，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 故选：C 6．（2026高二·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据题意，得到，根据三点共线得到，再利用向量相等的条件求解参数即可. 【详解】因为，，， 所以， 因为三点共线，所以存在唯一的实数使得， 所以，解得， 所以. 故选：C. 7．（2026高二·四川南充·阶段检测）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量线性运算法则得到，再由空间共面定理的推论得到方程，解得即可. 【详解】已知， 则， 因为是平面内一点， 所以， 解得. 故选：B. 8．（2026高二·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 【答案】C 【分析】利用空间向量的共线定理与共面定理. 【详解】若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故A错误； 同理若共线，则， 又，则共线， 与条件矛盾，故B错误； 根据空间向量的共面定理可知共面，即C正确，D错误. 故选：C 9．（2026高二·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将所求向量转化为以为起点的向量，利用向量的运算规则进行计算即可得出答案. 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 10．（2026高二·广东茂名·阶段检测）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则（    ） A．5 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量共面的推论求解即可. 【详解】，即， 即， 四点共面且任意三点不共线， ，． 故选：D. 11．（2026高二·天津滨海新区·阶段检测）在四面体OABC中，空间的一点M满足，若共面，则（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】法一：根据空间向量运算结合共面向量定理即可得到相关方程组，解出即可； 法二：利用四点共面的结论即可. 【详解】法一：由题意，， ， 共面，所以存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得 法二：由共面得四点共面， 则根据四点共面的充要条件可得，即． 故选：A 12．（2026高二·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 【答案】D 【分析】根据向量的定义（大小、方向）、零向量性质、共线向量的方向特征，逐一判断各选项的正确性. 【详解】选项A：向量是兼具大小与方向的量，本身无法比较大小，仅模可以比较，此说法正确. 选项B：需满足模相等且方向相同，故是的必要不充分条件，此说法正确. 选项C：零向量的定义为模等于0的向量，不存在其他模为0的向量，此说法正确. 选项D：共线的单位向量方向可能相同或相反，方向相反时向量不相等，此说法错误. 故选：D. 13．（2026高三·上海浦东新·期中）已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、（其中为实数） 【答案】B 【分析】根据向量共面的定义逐项分析即可. 【详解】对于A，设， 由与是不共面的向量，则，即方程组有解， 所以向量、、共面，故A错误； 对于B，设， 由与是不共面的向量，则，方程组无解， 所以向量、、不共面，故B正确； 对于C，设， 由与是不共面的向量，则，即方程组有解， 所以向量、、共面，故C错误； 对于D，设， 由与是不共面的向量，则， 当时，方程组有解为，此时向量、、共面， 当时，方程组无解，此时向量、、不共面， 所以向量、、不一定共面，故D错误. 14．【多选】（2026高二·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据空间向量的线性运算逐项分析即可得解. 【详解】因为，故A正确； 因为，故B错误； 因为，故C正确； 因为，故D错误. 故选：AC 15．【多选】（2026高二·全国·课后作业）空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】由空间向量的加法运算法则对选项一一判断即可得出答案. 【详解】易知四边形EFGH为平行四边形，所以 ，故A不成立； ，故B成立； ，故C成立； ，故D成立. 故选：BCD.      16．（2026高二·上海·阶段检测）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则__________. 【答案】 【详解】因为为的中点，根据向量加法的平行四边形法则， 所以. 则根据向量减法的三角形法则可知， 得到. 17．（2026高二·辽宁沈阳·阶段检测）手工课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，底边和侧棱长均为，过点作一个平面进行切割，分别交、、于点、、，得到四棱锥，若，，则的值为______.    【答案】 【分析】由向量的线性运算得，设，结合已知可得，根据空间四点共面的结论可得，求得，继而求得答案. 【详解】， 设，则， 由于四点共面，故， 解得，故，则. 故答案为： 18．（2026高二·广东深圳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 【答案】(1)，作图见解析 (2)，作图见解析 (3)，作图见解析 【分析】（1）（2）（3）根据空间向量的线性运算即可得到答案. 【详解】（1）， 向量如图所示.    （2）； 向量如图所示.    （3）， 设是线段的中点， 则. 向量如图所示.    19．【多选】（2026高二·辽宁丹东·期末）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【答案】AC 【分析】根据共面向量的定义、共线向量的定义，结合共面定理逐一判断即可. 【详解】A：因为，，， 所以， 即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面， 因此该选项命题正确； B：假设，所以存在，使得成立， 即， 因为空间向量，，不共面， 所以，显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，所以本选项命题正确； D：， 因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，所以本选项命题不正确. 故选：AC 20．（2026高二·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量共线可得答案； （2）由四点共面设，得出，再由配方求最值可得答案. 【详解】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即， 解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 21．（2026高二·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 【答案】(1) 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． 因为，，所以，，共面， 所以四点共面． (2) ， 所以. (3) . 【分析】（1）由得到，，共面，进而得到四点共面；同理可证四点共面. （2）根据空间向量的线性运算得到，进而得到向量平行. （3）根据空间向量的线性运算即可. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 22．（2026高一·北京昌平·期末）如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.      (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 【答案】(1)； (2) 因为，所以. . . 所以，即与共线. 又两向量有公共点，所以，，三点共线. 【分析】（1）根据向量的加法及数乘运算，结合相反向量求解即可. （2）由向量线性运算可得，，再利用向量共线的判定定理证明即可. 【详解】（1）因为点是线段的中点，所以. 因为，，所以. . . （2）略 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年高二数学人教A版2019选择性必修第一册同步知识·题型解题秘籍 1.1.1 空间向量及其线性运算8题型分类 一、空间向量的概念 1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2．长度或模：向量的大小． 3．表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||. 4．几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 二、空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝＋ ＝ 减法 a－b＝－＝ 数乘 当λ>0时，λa＝λ＝； 当λ<0时，λa＝λ＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 三、共线向量 1．空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 四、共面向量 1．共面向量 如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. （一） 空间向量的概念 (1)判断有关向量的命题时，要抓住向量的两个主要元素，即大小和方向，两者缺一不可; (2)要注意零向量的特殊性。对于零向量，我们应明确: ①零向量不是没有方向，它的方向是任意的; ②零向量与任何向量都共线. (3)对于共线向量我们应明确: ①当我们说a与b共线时，表示a,b的两条有向线段所在的直线有可能是同一直线，也可能是平行直线，当我们说a//b时，也具有相同的意义; ②共线(平行)向量不具有传递性，如a//b,b//c.那么a//c就不一定成立，因为当b=0时，虽然有a//b//c,但a不一定与c共线，若a,b,c都不是零向量，则具有传递性. (4)在空间中，向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致，两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同、模相等．两向量互为相反向量的充要条件是模相等、方向相反． 题型1：利用空间向量有关概念判断命题 1．【多选】（2026高二·河北邢台·阶段检测）下列命题中，是真命题的为    （    ） A．若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同 B．若空间向量满足，则 C．若空间向量满足，则 D．在正方体中，必有 2．（2026高二·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 3．（2026高二·全国·课堂例题）下列关于空间向量的说法中正确的是（　　） A．单位向量都相等 B．若，则的长度相等而方向相同或相反 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 4．（2026高二·陕西西安·阶段检测）在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 5．【多选】（2026高二·全国·暑假作业）下列命题为真命题的是（   ） A．若空间向量，满足，则 B．在正方体中，必有 C．若空间向量，，满足，，则 D．空间中任意两个单位向量必相等 6．【多选】（2026高二·全国·期末）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 （二） 空间向量的加减运算 空间向量加法、减法运算的两个技巧 (1)巧用相反向量：向量的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接． (2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果． 题型2：利用空间向量的加减法运算求解化简 7．【多选】（2026高二·陕西榆林·阶段检测）如图，E，F分别是长方体的棱AB，CD的中点，下列化简结果正确的是（    ）    A． B． C． D． 8．（2026高二·全国·暑假作业）在正方体中，下列各式的运算结果不为向量的是（   ） A． B． C． D． 9．（2026高二·福建宁德·期末）如图，在三棱锥中，（    ） A． B． C． D． 10．（2026高二·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． （三） 空间向量的线性运算 （1）利用数乘运算进行向量表示的注意点 ①数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量． ②明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙利用线段的中点进行解题． （2）进行向量的线性运算，实质上是在正确运用数乘运算律的基础上进行向量求和，即通过作出向量，运用平行四边形法则或三角形法则求和．运算的关键是将相应的向量放到同一个三角形或平行四边形中． 题型3：利用空间向量数乘运算化简求解空间向量 11．（2026高二·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026高二·全国·专题练习）如图，已知空间四边形ABCD的对角线为AC，BD，设G是CD的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 13．（2026高一·福建福州·期末）点在平行四边形所在平面外，与交于点，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． （四） 向量共线的判定及应用 1、向量共线的判定及应用 (1)利用向量的共线证明了线线平行，解题时应注意向量共线与两直线平行的区别． (2)判断或证明两向量a，b(b≠0)共线，就是寻找实数λ，使a＝λb成立，为此常结合题目图形，运用空间向量的线性运算法则将目标向量化简或用同一组向量表达． (3)判断或证明空间中的三点(如P，A，B)共线的方法：是否存在实数λ，使＝λ； 2、判断向量共线的策略: （1）熟记共线向量的充要条件: ①若a//b,b≠0，则存在唯一实数使a=b; ②若存在唯一实数，使a=b，则a//b. （2）判断向量共线的关键:找到实数. 3、三点共线与直线平行的判断: （1）线线平行:证明两直线平行要先证明两直线的方向向量a,b平行，还要证明一直线上有一点不在另一条直线上. （2）三点共线:证明三点共线，只需证明存在实数，使或即可. 题型4：向量共线的判定 15．（2026高二·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 16．（2026高二·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 题型5：向量共线的应用 17．（2026高二·全国·单元测试）设向量，，不共面，已知，，，若A，C，D三点共线，则______． 18．（2026高二·上海·课堂例题）设，是空间两个不共线的向量，已知，，，且A，B，D三点共线，则________． 19．（2026·贵州六盘水·模拟预测）已知，，不共面，若，，且三点共线，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 20．（2026高二·新疆喀什·期中）设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 21．（2026高二·江苏淮安·阶段检测）已知三点共线，为空间任一点，则①；②存在三个不为的实数，使，那么使①②成立的与的值分别为（    ） A．1， B．，0 C．0，1 D．，0 （五） 向量共面的判定及应用 1、向量共面的充要条件 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb． 2、证明空间向量共面、点共面的常用方法 (1)证明空间三个向量共面常用的方法 ①证明其中一个空间向量可以表示成另两个空间向量的线性组合，即若a＝xb＋yc，则空间向量a，b，c共面； ②寻找平面α，证明这些空间向量与平面α平行． (2)对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面 ①＝x＋y； ②对空间任一点O，＝＋x＋y； ③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)； ④∥(或∥，或∥)． 题型6：向量共面的判定 22．（2026高三·江苏盐城·阶段检测）向量、不平行，则存在两个非零常数、，使是、、共面的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 23．（2026高二·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 24．（2026高二·北京朝阳·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为，中点.求证：向量、、共面. 25．（2026高二·广西来宾·期中）已知空间向量不共面，则与向量共面的向量为（    ） A． B． C． D． 题型7：向量共面的应用 26．（2026高一·广东深圳·期末）已知三点不共线，点在平面外，点P满足，则当点共面时，实数（    ） A． B． C． D． 27．（2026高一·黑龙江·期末）已知A，B，C三点不共线，P为平面ABC外一点，且.若H，A，B，C四点共面，则__________. 28．（2026高一·重庆·期末）已知是同一平面内的四点，且任意三点不共线，为平面外一点，若，则实数的值为（    ） A．1 B． C． D． 29．（2026高二·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 题型8：四点共面的判断 30．（2026高二·河南新乡·期末）下列条件能使点与点一定共面的是（    ） A． B． C． D． 31．【多选】（2026高二·山东青岛·阶段检测）以下能判定空间中四点共面的条件是（    ） A． B． C． D． 32．【多选】（2026高二·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 33．（2026高一·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 34．【多选】（2026高二·河南·阶段检测）以下能够判定空间中四点共面的条件是（   ） A． B． C． D． 35．（2026高二·安徽铜陵·阶段检测）已知A，B，C，D是空间不共面的四点，点P满足：，则（    ） A．P，A，B，C四点共面 B．P，A，B，D四点共面 C．P，B，C，D四点共面 D．P，A，C，D四点共面 1．（2026高二·江苏苏州·阶段检测）下列说法正确的是（   ） A．零向量与任意向量不平行 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．任意两个空间向量都共面 D．将空间向量中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆 2．（2026高二·全国·暑假作业）如图，在长方体中，下列各式运算结果不为的是（   ）    A． B． C． D． 3．（2026高二·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026高三·河南濮阳·阶段检测）已知P、A、B、C为空间中的四点且P,B,C三点不共线，且，则“”是“A、B、C三点共线”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026高二·全国·单元测试）已知正方体的中心为O，则下列各结论中正确的是（　　） A．与是一对相反向量 B．与是一对相反向量 C．与是一对相反向量 D．与是一对相反向量 6．（2026高二·福建龙岩·期中）设向量，，不共面，已知，，，若，，三点共线，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．（2026高二·四川南充·阶段检测）在三棱锥中，是平面内一点，且，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026高二·北京·期中）已知是空间两个不共线的向量，，那么必有（    ） A．共线 B．共线 C．共面 D．不共面 9．（2026高二·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2026高二·广东茂名·阶段检测）已知四点共面且任意三点不共线，平面外一点，满足，则（    ） A．5 B．2 C． D． 11．（2026高二·天津滨海新区·阶段检测）在四面体OABC中，空间的一点M满足，若共面，则（   ） A． B． C． D．1 12．（2026高二·贵州毕节·阶段检测）下列说法错误的是（    ） A．同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B．是向量的必要不充分条件 C．只有零向量的模等于0 D．共线的单位向量都相等 13．（2026高三·上海浦东新·期中）已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、（其中为实数） 14．【多选】（2026高二·广西桂林·期末）如图，已知四面体，点分别是的中点，下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 15．【多选】（2026高二·全国·课后作业）空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边的中点，则下列各式成立的是（　　） A． B． C． D． 16．（2026高二·上海·阶段检测）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则__________. 17．（2026高二·辽宁沈阳·阶段检测）手工课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型，底边和侧棱长均为，过点作一个平面进行切割，分别交、、于点、、，得到四棱锥，若，，则的值为______.    18．（2026高二·广东深圳·阶段检测）已知平行六面体，化简下列向量表达式，并在图中标出化简得到的向量：    (1)； (2)； (3). 19．【多选】（2026高二·辽宁丹东·期末）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 20．（2026高二·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 21．（2026高二·江苏宿迁·阶段检测）如图，已知为空间的9个点，且，，，，，，， 求证： (1)四点共面，四点共面； (2)； (3). 22．（2026高一·北京昌平·期末）如图，在梯形中，，，点是线段的中点.点是线段上的点，且.      (1)用，表示，； (2)求证：，，三点共线. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $