1.1.1 空间向量及其线性运算（知识梳理+7大题型+思维导图+分层作业）-2026年新高二数学暑假预习讲义

第一章空间向量与立体几何 1.1.1空间向量及其线性运算（暑假预习讲义) 目录 第一步：边学边练（知识梳理+题型探究） 知识点1：空间向量的有关概念 【题型1】有关空间向量概念的理解 知识点2：空间向量的加减与数乘运算 【题型2】空间向量的加减运算 【题型3】空间向量的线性运算 知识点3：共线向量定理、直线的方向向量 【题型4】空间向量共线的判定 【题型5】由空间向量共线求参数或值 知识点4：共面向量及共面向量定理 【题型6】空间向量共面的判定 【题型7】由空间向量共面求参数 第二步：记（思维导图助力掌握知识框架） 第三步：练（课时分层作业） 知识梳理+颗型探穷 知识点1：空间向量的有关概念 1.空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量 (2)长度或模：向量的大小 (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示： ②字母表示法：用字母4，b,c,…表示；若向量a的起点是A,终点是B,也可记作 AB 其模记为4或H (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 与向量α长度相等而方向相反的向量，称为的相反向量，记为一 相反向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那 共线向量 么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定：对于任意向量，都 (平行向量) 有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】：()空间向量在空间中是可以任意平移的： (2)零向量的方向是任意的，且与任何向量都共线： (3)单位向量的方向不一定相同，但长度都是1： (4)两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等， 方向也相同。 【题型1】有关空间向量概念的理解 例1：(1)(25-26高二上重庆期中)关于空间向量，下列四个结论正确的是() A.共线的单位向量都相等 B.不相等的两个空间向量的模必不相等 C.相反向量指方向相反的两个向量 D.任意两个空间向量一定共面 (2)(25-26高二上·陕西西安·阶段检测)在长方 ABCD-ABCD中，B,F分别是4B, AA 的中点，则与向量EF 相反的向量为() A.2 A B.2 变式1：(25-26高二上天津·阶段检测)下列关于空间向量的命题中，正确的是（) A.空间中所有的单位向量都相等 B.B.长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C.若a5满足a6,且a 同向，则a>6 D.两个向量相等，则它们的起点与终点相同 变式2.(25-26高二上·四川成都阶段检测)在正方体ABCD-A'B'CD'中，与向量AD相 反的向量是() D B B CB BCi A C.BA 变式3.（多选）(24-25高二上·陕西汉中·阶段检测)下列关于空间向量的说法中不正确 的是() A.方向相反的两个向量是相反向量 B.空间中任意两个单位向量必相等 C若向是B,CD满足丽>团， 则AB>CD D.相等向量其方向必相同 变式4.（多选）(25-26高二上河南新乡·阶段检测)给出下列命题，其中正确的命题是 () A.若a,6为单位向量，则同=例 B.若向量ā是向量6的相反向量，则同=月 C.在正方体 BCD-ABCD中， BD=BD D.若空间向量i,i,P满足m/元，方∥p，则而∥p 知识点2：空间向量的加减与数乘运算 1.空间向量的线性运算 加法 a+b=0A+A店=OB 减法 a-b=04-OC=CA 空间向量的线性 当>0时，1a=20A=PO 运算 M A 当K0时，1a=20A=M 入a(λ>0) /入a(λ<0) 数乘 ￥N 当1=0时，1a=0 交换律：a十b=b十： 运算律 结合律：a十(b十c)=(a+)十c,u0=(0: 分配律：(1+0a=a+,(a十)=λa+b. 【题型2】空间向量的加减运算 例2.（多选）25-26高二上江西期中)如图，己知平行六面体ABCD-AB'CD',点E是 CC'的中点，下列结论中正确的是()· D B E D A AB+AD=AC B.AB-A4=BA C.AB+AD+A4=AC D.AB+BC+CC=AE 2 ABCD-ABC D 变式1.(25-26高二上广东深圳阶段检测)如图，在正方体 中，下列各式 BD 运算结果为 的是() D B D A. AD-44+AB BC+BB +CD C.AD-AB-DD 0 BD-AA+DD 变式2，(25-26高二下·江苏徐州阶段检测)在四面体ABCD中，E为棱BC的中点，则 A AE B AB C.BC D.DE 变式3.(25-26高二下·江苏淮安阶段检测)已知四面体ABCD,G是BD的中点，连接 40,则ac+5O@+CD)=() A.CG B.AG C.BC D. BC 【题型3】空间向量的线性运算 例3.(25-26高二下·河南新乡期中)如图，在三棱锥C-OAB中，G为AB的中点， W-54C,则G-() M G B A.oi+o丽+号0c .0+08-oc B 2 6 c.-104+108-0c 4+0B-10C 6 2 3 D.6 6 变式1.(25-26高二上湖北黄冈期末)在四面 0-ABC中，设9 OA=a OB=b OC=c M AB 为的中点，则 MC=() 1-1+cB.22 A.-2a- a+b+c 2 C.a+b+c D.a-b-c 变式2.(25-26高二上云南昆明期末)平行六面体 BCD-4BCD中， 死=3D,设向 量a=,6=AD,c= ,则() A亚=a+6+ 日.正=3a+6+ 1- 444 4 4 1-33- C.AE=a+2B+3 5-3z3- D.E=4a-4b-49 -b--C 444 变式3.（25-26高二上广东惠州期末)如图，在三棱锥0-18C中，设 n OA=a OB=b oC=c,若AN=西，BM=2Mc,则MN=() B M 1-1 A. a-6+2c 6 30B.24 1a-16- 6 3 c.2a- 6 34 。.+g5- 6 3 知识点3：共线向量定理、直线的方向向量 1.共线向量定理 共线向量定理：对于空间任意两个向量，(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数入，使a= 0. 2.直线的方向向量 定义：在直线1上取非零向量，我们把与向量a平行的非零向量称为直线1的方向向量. 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a,都有0/a 【题型4】空间向量共线的判断 (2)(24-25高二上湖南永州期中)下列条件中，能说明空间中不重合的三点A、B、C共 线的是() A.AB+BC=AC B.AB-BC=AC C.AB=-2BC D.B-BC 变式1.(24-25高二上·天津河西期中)设空间四点 4BP满足OF=m0a+no丽 ，其 中m+n=1,则() A.点P一定在直线AB上 B.点P一定不在直线AB上 C.点P不一定在直线AB上 D.以上答案都不对 【方法归纳】证明空间三点共线的思路： (I对于空间三点P,A,B,存在实数元，使PA=入PB成立； (2②对于空间三点P,AB,任取一点O,有OP=xOA+yOB(x+y=1) 【题型5】由空间向量共线求参数或值 A.-3 B.5 C.3 D.-5 ②(25-26商二上广东捐阳阶段检测)已知a6,是空间的一个基底，向量m=ā+6-c, in=-2a-3b+ycx,y∈R ,若份，则+y的值 变式1.（25-26高二上河南阶段检测)已知向量a=(2m3),6=(42,川，若a/6,则 m+n=() A.7 B.5 C.-5 D.-7 变式2.(25-26高二下江苏准安·期中)已知向量 B=0a,-2)AC=（-3.66),若A, B,C三点共线，则a=() A.-2 B.2 C.2 D.-3 变式3(25-26高二上·安徽滁州期末)在空间直角坐标系中，若 A(1,2,3),B(3,5,7),C(7,,15) 三点共线，其中元eR,则2=() A.11 B.9 C.7 D.5 知识点4：共面向量及共面向量定理 1.共面向量 定义：如图，如果表示向量的有向线段0A所在的直线OA与直线1平行或重合，那么称 向量a平行于直线1.如果直线OA平行于平面a或在平面a内，那么称向量a平行于平面 a. 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量 a a a 2.共面向量定理 (1)共面向量定理：如果两个向量，b不共线，那么向量p与向量，b共面的充要条件是 存在唯一的有序实数对(，)，使p=x叶 【常用结论】 四点共面： 在空间中PAB,C四点共面，则AP=xAB+yAC或 OP=xOA+yOB+z0C(x+y+z=1),0为空间中任意一点 【题型6】空间向量共面的判断 OM=0A+0B+0C 0M=30A-20B-0C B C.OM-104+308+10C D.OM=04+108+0C a b c (2)(25-26高二下·江苏南京阶段检测)已知向量“，，不共面，下列选项中的三个向 量不共面的是() b-c bb+c B.a+b 8 a+B+c C.a+b a-e a D.a+bB+d a-d 变式1.（25-26高二上广东东莞期中)若{a,6是空间的一个基底，则下列各组向量中， 不共面的一组是() A.a+6,a+6+2c,-c b+c,b,b-c B. C a+c,a-c,c a+b,a-b,c 变式2.（多选)(25-26高二上四川绵阳期末)以下能确定空间中四点，M,A,B共面 的条件是() A.MP=MA+MB 0m-oi+o丽+om 6 C.PMLAB PM//AB D 变式3.（多选）(25-26高二上辽宁丹东期末)已知O,A,B,C,D是空间中互不重合 的点，空何向量，万，C不共面，下列命思正确的是() A若D=a+6,可=a+C,f=6-8,则向量D,可，f共面 B.若m=2a+6-C,员=2a+6,则n∥万 c.若O-o5+oc-oD,则4，B,c,D共面 D.若01+0丽+0C+0D=0 则A,B,C,D共面 【题型7】由空间向量共面求参数 例7.（①）(25-26高二下江苏泰州期中)已知41,0,0)，B0,10),C(0,0,1),Mm,m,m), 1 则“m =3”是“A,B,C,M四点共面”的() A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(25-26高二下·江苏南京阶段检测)已知M,4B,C为空间中四点，任意三点不共线，0 为平面ABC外一点， nOM=x0A+)OB-OC(>0,y>0),若M,4B,C四点共面，则 4+1 xy的最小值为() 9 A.2 8月 c.9 D.4 变式1.（多选）(25-26高二上陕西榆林·开学考试)已知A,B,C是空间中不共线的三 点，点0为空间内的任意一点，若点p在平面ABC内，且OF-号O1+0B+40C,则下 列关于入和“的值满足条件的是() 1 1 1 2 B.元=3,4=月 3 1 c. 1 2,= 6 D.s-1 5 6,4s 6 ABCD-ABC D 变式2.(25-26高一下·重庆沙坪坝·期中)己知四棱柱 是平行六面体，空间 中一点P∈平面4DB,实数x满足P=xM+(2+2)B+(2+)D 则实数尤=（) 3 3 A.-4 B.4 c.2 0.2 ,0.0,B(0,1.0).C(0,0.Dx2四点 1 变式3.(25-26高二下福建宁德期中)已知 共面，则少的最大值为() 1 1 A.16 B.8 C.1 D.2 思维导图 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量 空间向量的有 (2)长度或模：向量的大小 关概念 (3)表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表 空间向量的 示；②字母表示法：用字母a,b,c,.表示 概念 零向量、单位向量、相反向量、共线向量（平行向 几类特殊的空 量)、相等向量 空间向量及其线性运算 间向量 空间向量的线 加法、减法、数乘运算 空间向量的 性运算 线性运算 ①交换律：②结合律；③分配律 运算律 定义：对于空间任意两个向量a,b(b≠0)，aI的充要 条件是存在实数0，使a=b 共线向量定理 共线向量定理的用途：①判定两条直线平行；②证明 三点共线 共线向量定 定义：如果两个向量a,b不共线，那么向量即与向量 理与共面向 ,共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y), 量定理 使p=xa+vb 共面向量定理 共面向量定理的用途：①证明四点共面；②证明线面 平行 课时分层作业 【练基础】 1.(25-26高二上·新疆喀什·期中)下列关于空间向量的说法正确的是() A.空间中任意两个单位向量都相等 B.空间中零向量的方向是确定的 C.空间中相反向量的模长相等 D.空间中共线的向量必在同一条直线上 2.(24-25高二上河南许昌·阶段检测)在长方体 ABCD-AB,CD由E 中， 分别为AB BB 的中点，则下列向量中与向量 EF 平行的向量是() A AB DC c AC D DC ABCD-ABCD CC,DC 3.(25-26高二上云南曲靖期末)在正方体 中，E,F分别是 的 中点，则8+D+)A=（) A AF B AE D FE 4.(25-26高二上福建福州期末)在三棱锥A-BCD中，E是CD的中点，则() A.BE=AB-1AC-1AD 2 2 B.BE--4B+AC+AD 2 2 C.BE-4B+AC+IAD D.E=-B-4c-}0 5.(25-26高二上广东揭阳·期末)如图，在平行六面体 BCD-ABCD中，M为AC和 BD的交点，若丽=a而=6，=c,则匹等于《) B 1-1 A. b+c 2 2 1- C.-2a+ Ib+c 17-1b+o D.20- 6,(2526高二上广西河池期未)在三棱柱1BC-4BG中，设B=0,4C=石，MM=8】 BC N为的中点，则 AN= () 1-1 1 A.2a+b+c B.2 _a+b+c 2 C.a+iB+8 2 .+- 2 a b c d 7.(25-26高二上北京朝阳·期末)设”，，，“为空间向量且均为非零向量，已知 a+b+c-d-a-b+2c-d-0 给出下刻四个等论：05与共线：®8-日与不不共线： 、abd B c d ③“，，“共面；④， 不共面.其中所有正确结论的序号是() A.①③ B.②④ C.①②③ D.①③④ 8.(多选)(25-26高二上·全国期末)下列命题是假命题的是() A.若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面 向量 B.同-同是向量a=乃的必要不充分条件： C.与实数类似，对于两个向量8、6，有-=6、a>6.a< 三种大小关系 D.若两个非零向量0与①满足+D=0,则B与D共线 9。《多选)(2526高二上河北期中)关于空间向量、6、.，下列说法正确的是 () A.若°与5共线，6与共线，则只与共线 a c B.若存在实数入、“，使得 c=ā+b a6、C共面 ,则“、” C.若Oi000C是空间的-个基底，且而-}Oi+号丽+元，则48.C,D四点 共面 D.若a五。是空间的一个基底，则a+,万+8+d也是空间的-个基底 10,（25:26商=上：安徽期末)在四面体p-ABC中，点D满足P而=PI+P历+2PC 若A,B,C,D四点共面，则1=一 【提能力】 11.(25-26高二上·重庆阶段检测)如图，在四面体OABC中，M为棱BC的中点，点V, P分别满足0N=2NM,4=3严，则F-（) YP.N M B 2 2 3 9 B. 0 C. 20A+10B+20C 3 9 D.3 3 12.(25-26高二上·安徽期末)已知动点Q在△ABC所在平面内运动，若对于空间中任意 一点P,都有 PO=-2PA+5PB+mPC 则实数m的值为() A.0 B.-2 C.-1 D.2 13.(多选)(2526高二下安徽合肥阶段检测)若a,6构成空间的一个若底，则下列 向量不共面的是() A.a-B c B.a-b b-c c-a c.a+b.2a+b4a+36 0.2a-6c-aa+6+c 14.(2526高二下上海阶段检测)空间四边形01BC中，01=a05=6,0C=6,点M 在0A上.O丽-0，点N为Bc的中点，老向量用向量a5,e表示，则瓜。 a b c 15.(25-26高二上湖北武汉期中)已知向量”，，是空间中不共面的三个向量，若 AB=a-2b+cAC=pi+b+9AD=2ā+i-2元 (1)若B,C,D三点共线，求P9的值： (2)若A,B,C,D四点共面，求P9的最大值 第一章 空间向量与立体几何 1.1.1 空间向量及其线性运算（暑假预习讲义） 目录 第一步：边学边练（知识梳理+题型探究） 知识点1：空间向量的有关概念 【题型1】有关空间向量概念的理解 知识点2：空间向量的加减与数乘运算 【题型2】空间向量的加减运算 【题型3】空间向量的线性运算 知识点3：共线向量定理、直线的方向向量 【题型4】空间向量共线的判定 【题型5】由空间向量共线求参数或值 知识点4：共面向量及共面向量定理 【题型6】空间向量共面的判定 【题型7】由空间向量共面求参数 第二步：记（思维导图助力掌握知识框架） 第三步：练（课时分层作业） 知识梳理+题型探究 知识点1：空间向量的有关概念 1．空间向量的概念 (1)定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或. (4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量，记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 －a 共线向量(平行向量) 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 【注】：⑴空间向量在空间中是可以任意平移的； ⑵零向量的方向是任意的，且与任何向量都共线； ⑶单位向量的方向不一定相同，但长度都是1； ⑷两个向量模相等，不一定是相等向量；反之，若两个向量相等，则它们不仅模相等，方向也相同。 【题型1】有关空间向量概念的理解 例1：⑴（25-26高二上·重庆·期中）关于空间向量，下列四个结论正确的是（    ） A．共线的单位向量都相等 B．不相等的两个空间向量的模必不相等 C．相反向量指方向相反的两个向量 D．任意两个空间向量一定共面 【答案】D 【详解】对于A，共线的单位向量方向可能相同也可能相反，即共线的单位向量可能是相等的向量也可能是相反向量，故A不正确； 对于B，不相等的两个空间向量的模可能相等，比如相反向量，故B错误； 对于C，相反向量指方向相反，模相等的两个向量，故C错误； 对于D，任意两个空间向量一定共面，故D正确. 故选：D ⑵（25-26高二上·陕西西安·阶段检测）在长方体中，E，F分别是AB，的中点，则与向量相反的向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为E，F分别是AB，的中点， 所以且，，， 所以与向量相反的向量为. 故选：C 变式1：（25-26高二上·天津·阶段检测）下列关于空间向量的命题中，正确的是（   ） A． 空间中所有的单位向量都相等 B． B．长度相等且方向相反的两个向量是相反向量 C．若满足，且同向，则 D．两个向量相等，则它们的起点与终点相同 【答案】B 【详解】对于A，向量是既有大小又有方向的量，所有单位向量的模相等，方向不一定相同， 所以空间中所有的单位向量不一定相等，所以A错误； 对于B，由相反向量的定义知，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，所以B正确； 对于C，由向量的定义知，向量不能比较大小，所以C错误； 对于D，根据相等向量的定义知，长度相等且方向相同的两个向量是相等向量，但相等向量的起点和终点不一定相同，所以D错误. 故选：B. 变式2．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）在正方体中，与向量相反的向量是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图连接，因为，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且，所以与向量相反的向量是，    故选：A. 变式3．（多选）（24-25高二上·陕西汉中·阶段检测）下列关于空间向量的说法中不正确的是（   ） A．方向相反的两个向量是相反向量 B．空间中任意两个单位向量必相等 C．若向量，满足，则 D．相等向量其方向必相同 【答案】ABC 【详解】A选项：长度相等，方向相反的两个向量是相反向量，A选项错误； B选项：空间中任意两个单位向量的模长相等，但方向不一定一样，所以不一定相等，B选项错误； C选项：向量模长可比较大小，向量不能比较大小； D选项：两个向量相等，则方向相同，模长相等，D选项正确； 故选：ABC. 变式4．（多选）（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）给出下列命题，其中正确的命题是（    ） A．若，为单位向量，则 B．若向量是向量的相反向量，则 C．在正方体中， D．若空间向量满足，则 【答案】ABC 【详解】对于A，因为为单位向量，所以，故A正确； 对于B，向量是向量的相反向量，则，故B正确； 对于C，在正方体中，因为四边形是矩形， 所以，故C正确； 对于D，若，则，但不一定共线，故D错误． 故选：ABC． 知识点2：空间向量的加减与数乘运算 1．空间向量的线性运算 空间向量的线性运算 加法 a＋b＝ 减法 a－b＝ 数乘 当λ>0时，λa＝； 当λ<0时，λa＝； 当λ＝0时，λa＝0 运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb. 【题型2】空间向量的加减运算 例2．（多选）25-26高二上·江西·期中）如图，已知平行六面体，点是的中点，下列结论中正确的是（    ）．    A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，四边形是平行四边形，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确． 故选：ACD． 变式1.（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）如图，在正方体中，下列各式运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A：，不符合. 对于B：，符合. 对于C：，不符合. 对于D：，不符合. 变式2．（25-26高二下·江苏徐州·阶段检测）在四面体中，为棱的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】在四面体中，为棱的中点， 则， 则. 变式3．（25-26高二下·江苏淮安·阶段检测）已知四面体，是BD的中点，连接，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为是BD的中点， 所以， 所以. 【题型3】空间向量的线性运算 例3．（25-26高二下·河南新乡·期中）如图，在三棱锥中，为的中点，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为的中点，所以， 因为， 所以． 变式1．（25-26高二上·湖北黄冈·期末）在四面体中，设，，，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由已知， . 故选：A 变式2.（25-26高二上·云南昆明·期末）平行六面体中，，设向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 由图和题意可知 ， 又， 故， 故选：C 变式3．（25-26高二上·广东惠州·期末）如图，在三棱锥中，设，，，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】连接，由向量的加减和数乘运算规则可知 . 故选：D. 知识点3：共线向量定理、直线的方向向量 1．共线向量定理 共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 2．直线的方向向量 定义：在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0//a. 【题型4】空间向量共线的判断 例4．⑴ ⑵（24-25高二上·湖南永州·期中）下列条件中，能说明空间中不重合的三点、、共线的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，对于空间中的任意向量，都有，不能说明三点共线，说法A错误； 对于B，若，则，而，据此可知，即，两点重合，选项B错误； 对于C，，则、、三点共线，选项C正确； 对于D，，则线段的长度与线段的长度相等，不一定有、、三点共线，选项D错误； 故选：C. 变式1．（24-25高二上·天津河西·期中）设空间四点满足，其中，则（    ） A．点一定在直线上 B．点一定不在直线上 C．点不一定在直线上 D．以上答案都不对 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】空间向量的加减运算、空间向量共线的判定 【分析】利用空间向量的线性运算结合空间三点共线的向量表示法求解即可. 【详解】因为，所以，而， 故，所以， 所以，则点一定在直线上，故A正确. 故选：A 【方法归纳】证明空间三点共线的思路： ⑴对于空间三点，存在实数，使成立； ⑵对于空间三点，任取一点，有. 【题型5】由空间向量共线求参数或值 例5．⑴（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）若向量，，且，则的值是（     ） A． B．5 C．3 D． 【答案】B 【详解】因为，所以存在实数，使得， 又，， 所以，，， 解得，，， 因此. ⑵（25-26高二上·广东揭阳·阶段检测）已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【详解】因为，所以，即，， 所以. 变式1．（25-26高二上·河南·阶段检测）已知向量，若，则（    ） A．7 B．5 C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 即. 故选：D 变式2.（25-26高二下·江苏淮安·期中）已知向量，，若A，B，C三点共线，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，即，解得. 变式3．（25-26高二上·安徽滁州·期末）在空间直角坐标系中，若三点共线，其中，则（    ） A．11 B．9 C．7 D．5 【答案】A 【详解】由题意知，， 因为三点共线，所以， 即，解得. 故选：A. 知识点4：共面向量及共面向量定理 1．共面向量 定义：如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l平行或重合，那么称向量a平行于直线l. 如果直线OA平行于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α. 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量． 2．共面向量定理 (1)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 【常用结论】 四点共面：在空间中P,A,B,C四点共面，则或，O为空间中任意一点. 【题型6】空间向量共面的判断 例6．⑴（25-26高一下·黑龙江大庆·阶段检测）已知点，，不共线，为平面外一点，下列能够确定，，，四点共面的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】若在平面内，则存在实数，使得,即， 整理得：，令，则， 即点不共线，为平面外一点，则四点共面的充要条件是：存在实数，使得且系数和； 对于 A：系数和，不满足共面条件， 对于B：系数和，不满足共面条件， 对于 C：系数和，满足共面条件， 对于 D：系数和，不满足共面条件. ⑵（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知向量，，不共面，下列选项中的三个向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】已知不共面，逐一判断： A：，故，，共面. B：，故，，共面. C：假设，整理得. 即，因不共面，不存在这样的，故，，不共面. D：，故，，共面. 变式1．（25-26高二上·广东东莞·期中）若是空间的一个基底，则下列各组向量中，不共面的一组是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对A：因为，故共面，故A错误； 对B：因为，故，，共面，故B错误； 对C：因为，故共面，故C错误； 对D：由是空间的一个基底，故不共面， 则不能由、表示出，故，，不共面，故D正确. 故选：D. 变式2．（多选）（25-26高二上·四川绵阳·期末）以下能确定空间中四点 共面的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，由，得向量共面，而它们有公共起点，因此四点共面，A是； 对于B，在中，，因此四点共面，B是； 对于C，存在互相垂直的两条异面直线，它们的方向向量垂直，由不能确定四点共面，C不是； 对于D，由，得直线与平行或重合，因此四点共面，D是. 故选：ABD 变式3.（多选）（25-26高二上·辽宁丹东·期末）已知O，A，B，C，D是空间中互不重合的点，空间向量，，不共面，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则向量，，共面 B．若，，则 C．若，则A，B，C，D共面 D．若，则A，B，C，D共面 【答案】AC 【详解】A：因为，，， 所以， 即，所以由共面向量定理可以判断向量，，共面， 因此该选项命题正确； B：假设，所以存在，使得成立， 即， 因为空间向量，，不共面， 所以，显然不成立，假设不成立，因此本选项的命题不正确； C：因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D共面，所以本选项命题正确； D：， 因为O，A，B，C，D是空间中互不重合的点， 而且， 所以由空间共面性质可知A，B，C，D不共面，所以本选项命题不正确. 故选：AC 【题型7】由空间向量共面求参数 例7．⑴（25-26高二下·江苏泰州·期中）已知，，，，则“”是“A，B，C，M四点共面”的（    ） A．充分不必要条件 B．充要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】，，， 设， 则，解得， 则“”是“A，B，C，M四点共面”的充要条件. ⑵（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）已知为空间中四点，任意三点不共线，O为平面ABC外一点，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A． B． C．9 D．4 【答案】A 【详解】因为四点共面，则有， 由共面条件可得，，即， 所以， 当且仅当，即，即时，等号成立. 故选A. 变式1．（多选）（25-26高二上·陕西榆林·开学考试）已知，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点，若点在平面内，且，则下列关于和的值满足条件的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【详解】由题意， ，，是空间中不共线的三点，点为空间内的任意一点， 点在平面内，且， ∴，即， A项，，故A错误； B项，，故B正确； C项，，故C正确； D项，，故D正确. 变式2.（25-26高一下·重庆沙坪坝·期中）已知四棱柱是平行六面体，空间中一点平面，实数满足，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为四点共面， 所以，解得. 变式3．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知四点共面，则的最大值为（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【详解】由题可知，存在实数，使得， 又，，，所以， 解得，，所以， 当且仅当时取等号． 思维导图 课时分层作业 【练基础】 1．（25-26高二上·新疆喀什·期中）下列关于空间向量的说法正确的是（   ） A．空间中任意两个单位向量都相等 B．空间中零向量的方向是确定的 C．空间中相反向量的模长相等 D．空间中共线的向量必在同一条直线上 【答案】C 【详解】相等向量是指长度相等，方向相同的向量，单位向量只是说明了长度，并未指明方向，故A错误； 零向量的方向是任意的，故B错误； 相反向量是指方向相反，长度相等的向量，故C正确； 由于向量可以平移，所以共线向量不一定在一条直线上，故D错误. 故选：C 2．（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）在长方体中，，分别为，的中点，则下列向量中与向量平行的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由长方体，可得，， 所以四边形是平行四边形，所以，同理可得， 又，分别为，的中点，所以，所以， 所以向量平行于， 因为直线与直线相交，又，所以向量不平行于，， 又直线与相交，所以向量不平行于. 故选：B. 3．（25-26高二上·云南曲靖·期末）在正方体中，E，F分别是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】． 故选：B. 4．（25-26高二上·福建福州·期末）在三棱锥中，是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】    由是的中点，可知， 故选：B 5．（25-26高二上·广东揭阳·期末）如图，在平行六面体中，M为和的交点，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据空间向量的线性运算法则，可得：. 故选：C. 6．（25-26高二上·广西河池·期末）在三棱柱中，设，，，N为的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取的中点，连接， 所以． 故选：A． 7．（25-26高二上·北京朝阳·期末）设，，，为空间向量且均为非零向量，已知，给出下列四个结论：①与共线；②与不共线；③，，共面；④，，不共面．其中所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④ 【答案】A 【详解】①由，所以与共线，因此本序号结论正确； ②， 所以与共线，所以本序号结论不正确； ③由上可知：， 所以由， 所以，，共面，因此本序号说法正确； ④由上可知：因为任意两个空间向量总是共面的， 所以，是共面向量，又与共线，即， 所以向量可以平移到向量，所在的平面内， 所以，，是共面向量，因此本序号说法不正确； 故选：A 8．（多选）（25-26高二上·全国·期末）下列命题是假命题的是（ ） A．若分别表示空间两向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B．是向量的必要不充分条件； C．与实数类似，对于两个向量、，有、、三种大小关系 D．若两个非零向量与满足，则与共线 【答案】AC 【详解】对于A，因为空间中任意两向量平移之后都可以共面，所以空间中任意两向量均共面，所以A是假命题； 对于B，若，则和的模相等，方向不一定相同， 若，则和的模相等，方向也相同， 所以是向量的必要不充分条件，故B为真命题； 对于C，向量不能比较大小，只能对向量的长度进行比较，所以C是假命题； 对于D，因为，所以，故与共线，所以D是真命题． 故选：AC. 9．（多选）（25-26高二上·河北·期中）关于空间向量、、，下列说法正确的是（    ） A．若与共线，与共线，则与共线 B．若存在实数、，使得，则、、共面 C．若是空间的一个基底，且，则四点共面 D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】BCD 【详解】当时，任意的，都与共线，但与不一定共线，故A错误； 若存在实数、，使得，根据这个式子可判断、、共面，故B正确； 由，满足，则四点共面，故C正确； 若是空间的一个基底，则不共面，假设共面， 则， 因为不共面，所以，此时方程组无解，故假设不成立， 所以不共面， 即也是空间的一个基底，故D正确； 故选：BCD 10．（25-26高二上·安徽·期末）在四面体中，点D满足，若A，B，C，D四点共面，则_______. 【答案】 【详解】因为四点共面，所以，解得. 故答案为： 【提能力】 11．（25-26高二上·重庆·阶段检测）如图，在四面体中，为棱的中点，点，分别满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在四面体中，是的中点，则， 因为，所以，所以， 又，所以，所以， 所以. 故选：A. 12．（25-26高二上·安徽·期末）已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（    ） A．0 B． C． D．2 【答案】B 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：B. 13.（多选）（25-26高二下·安徽合肥·阶段检测）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】AD 【详解】对于A，易得，，不共面，故A正确； 对于B，因为，所以，，共面，故B错误； 对于C，因为， 所以，，共面，故C错误； 对于D，假设，，共面， 则存在实数，，使得， 因为，，不共面，所以， 该方程组无解，所以假设不成立，故D正确. 14．（25-26高二下·上海·阶段检测）空间四边形中，，点在上，，点为的中点，若向量用向量表示，则__________. 【答案】 【详解】因为为的中点，根据向量加法的平行四边形法则， 所以. 则根据向量减法的三角形法则可知， 得到. 15．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知向量，，是空间中不共面的三个向量，若，，. (1)若三点共线，求的值； (2)若四点共面，求的最大值. 【答案】(1)；(2) 【详解】（1）因为B，C，D三点共线，则， 又， ， 所以 即，解得，所以； （2）因为A，B，C，D四点共面，所以， 即 ， 于是有， 解得，即， 所以， 当，时，取到最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $