1.1.2 空间向量的数量积运算讲义- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本讲义聚焦空间向量的数量积运算核心知识点，从空间向量夹角的定义、取值范围及性质切入，衔接数量积定义及实数结果，延伸至求模、垂直判定、夹角公式三大推论，结合运算律（强调无结合律）与投影向量、投影数量，构建从概念到应用的学习支架，助力解决立体几何垂直证明、线段长度及夹角计算问题。 该资料以正方体、正四面体等模型为载体，知识梳理与例题变式紧密结合，通过“向量平方求模”“垂直等价条件”等方法培养数学思维，借助投影符号判定等细节发展数学眼光。课中辅助教师落实重难点，课后知识网络与检测帮助学生系统回顾，提升用数学语言表达空间关系的能力。

人教A版选择性必修第一册同步讲义 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.1.2 空间向量的数量积运算 同步讲义 教 学 目 标 树目标 · 抓落实 1. 理解空间向量夹角定义与取值范围，掌握向量夹角相关性质 (重点) 2. 掌握空间向量数量积定义公式，认清数量积运算结果为实数 (重点) 3. 熟练运用数量积三大推论：求模公式、垂直等价条件、夹角公式 (难点) 4. 掌握空间向量投影数量、投影向量的定义与计算公式 (重点) 5. 熟记数量积运算律，规避典型易错点，能够利用数量积解决立体几何中垂直证明、线段长度、夹角计算问题 (重难点) 教 学 过 程 汲新知 · 赋新能 PART 1 空间向量的夹角 💡知识梳理 1. 定义：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角， 2. 符号：向量与的夹角记作 3. 取值范围： (1) ，向量同向； (2) ，向量反向； (3) ，； 4. 性质：. 🎯例题1 在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 🎯变式1在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° PART 2 空间向量数量积定义 💡知识梳理 1. 定义：设为非零向量， 2. 规定：零向量和任意向量的数量积等于 0 3. 性质：是实数，不是向量. 4. 图示如下： 🎯例题2-1 （多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 🎯例题2-2如图，在四面体中，，，，.则（   ） A． B． C． D． 🎯变式2-1 在正三棱锥中，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 🎯变式2-2如图所示，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． PART 3 四大核心推论 💡知识梳理 1. （向量求模核心方法） 2. （非零向量垂直判定） 3. （向量求夹角余弦值核心方法） 4. 🎯例题3-1如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别是、的中点，求的长. 【答案】 【详解】依题意，设，，，则， 由题意可得，， 又、分别为、的中点， 所以， 所以 ， 因此. 🎯例题3-2 已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则 ， 又，所以 . 🎯例题3-3 已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由向量加法的三角形法则表示，再把平方即可得到答案. （2）用表示，然后证明. 【详解】（1）因为点是的重心，所以 因为点是线段的中点，所以. 因为正四面体的棱长为， 所以, 所以 ， 所以. （2） ， 所以. 🎯变式3-1 如图，在三棱柱中，，，，，与的交点为M，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合空间向量的数量积公式运算即可求解. 【详解】由题意得， 所以 . 故选：C. 🎯变式3-2 如图，在正方体中，求向量与的夹角的大小． 【答案】 【详解】设正方体的棱长为1， 又因为，所以， 因为，所以与的夹角的大小为． 🎯变式3-3 已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明． 【答案】证明:设， 由题意得，，， 因为，所以， 又， 所以， 所以. PART 4 数量积运算律 💡知识梳理 为向量， ① ② ③ ⚠️易错：不存在结合律 PART 5 向量的投影 💡知识梳理 1. 向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影向量，， 2. 如图②，向量向直线投影，，为直线的方向向量： 3. 如图③，向量在平面上的投影向量：分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到投影向量. 就是向量所在直线与平面所成的角. 4. 核心公式 投影数量：在上的投影数量 投影向量：在上的投影向量 5. 投影符号判定 ① ：投影数量为正数； ② ：投影数量为0（两向量垂直，无投影）； ③ ：投影数量为负数。 🎯例题5-1 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 🎯例题5-2 在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 🎯变式5-1 在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 🎯变式5-2 已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． LAST PART 本节课知识网络 随 堂 检 测 学以用 · 知以行 1. 在空间四边形中，等于（   ） A． B．0 C．1 D．不确定 2. 设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 3. 已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 4. 空间四边形中，，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 5. 如图，平行六面体的底面是菱形， ，且，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 6. 已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是______. 7. 已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 8. 在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 9. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 教 学 反 思 思不足 · 谋优化 本节课学生容易混淆数量积与数乘运算，经常误用结合律。部分学生利用夹角公式求解角度时，容易忽略夹角范围。不少学生对 “向量平方求模” 方法不够熟练。后续教学增加代数运算训练，结合立体几何模型直观理解向量夹角，规范书写解题步骤。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版选择性必修第一册同步讲义 156个知识点 · 624道经典例题 ·215个题型集训 第一章　空间向量与立体几何 §1.1.2 空间向量的数量积运算 同步讲义 教 学 目 标 树目标 · 抓落实 1. 理解空间向量夹角定义与取值范围，掌握向量夹角相关性质 (重点) 2. 掌握空间向量数量积定义公式，认清数量积运算结果为实数 (重点) 3. 熟练运用数量积三大推论：求模公式、垂直等价条件、夹角公式 (难点) 4. 掌握空间向量投影数量、投影向量的定义与计算公式 (重点) 5. 熟记数量积运算律，规避典型易错点，能够利用数量积解决立体几何中垂直证明、线段长度、夹角计算问题 (重难点) 教 学 过 程 汲新知 · 赋新能 PART 1 空间向量的夹角 💡知识梳理 1. 定义：已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量与的夹角， 2. 符号：向量与的夹角记作 3. 取值范围： (1) ，向量同向； (2) ，向量反向； (3) ，； 4. 性质：. 🎯例题1 在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】根据转化以及正方体的性质求出各组向量的夹角可得答案. 【详解】对于A，因为，结合正方体的性质可得与的夹角为， 所以与的夹角为，故A正确； 对于B，由与方向相反，结合A可知与的夹角为，故B不正确； 对于C，因为，结合正方体的性质与垂直， 所以与的夹角为，故C不正确； 对于D，因为，而与方向相反， 所以与的夹角为，故D不正确. 故选：A 🎯变式1在正四面体ABCD中，与的夹角等于（    ） A．30° B．60° C．150° D．120° 【答案】D 【分析】根据正三角内角为求解. 【详解】由正四面体每个面都是正三角形可知， 故选：D PART 2 空间向量数量积定义 💡知识梳理 1. 定义：设为非零向量， 2. 规定：零向量和任意向量的数量积等于 0 3. 性质：是实数，不是向量. 4. 图示如下： 🎯例题2-1 （多选）已知空间向量，则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 C． D．若向量同向共线，则 【答案】AD 【分析】根据空间向量数量积和空间向量共线逐一判断，即可得出结果． 【详解】选项A，因为，所以A正确； 选项B，当时，，但无法得到，所以B错误； 选项C，，，而与未必共线且不一定同时为，所以C错误； 选项D，由于向量同向共线，所以，所以，所以D正确． 故选：AD． 🎯例题2-2如图，在四面体中，，，，.则（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形，转化向量，利用向量数量积公式，即可求解. 【详解】 故选：C 🎯变式2-1 在正三棱锥中，分别是的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量运算化简已知条件，求得，再根据空间向量所成角的知识求得正确答案， 【详解】由， 所以，由于，所以 在正三棱锥中，，则三角形是等边三角形， 分别是中点，所以， 所以，所以. 故选：C 🎯变式2-2如图所示，已知空间四边形ABDC的对角线和每条边长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】确定向量的模与向量的夹角，再运用向量的数量积运算即可. 【详解】（1）因为， 由题意，可知，所以， 所以. （2）. （3）由题意，可知， . （4） . PART 3 四大核心推论 💡知识梳理 1. （向量求模核心方法） 2. （非零向量垂直判定） 3. （向量求夹角余弦值核心方法） 4. 🎯例题3-1如图，正三棱柱的各棱长都为，、分别是、的中点，求的长. 【答案】 【详解】依题意，设，，，则， 由题意可得，， 又、分别为、的中点， 所以， 所以 ， 因此. 🎯例题3-2 已知空间向量，，的长度均为2，且，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用空间向量的数量积求向量的夹角. 【详解】因为，，即； 又，所以，， 设与的夹角为，则 ， 又，所以 . 🎯例题3-3 已知正四面体的棱长为2，点是的重心，点是线段的中点. (1)用表示，并求出； (2)求证：. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）由向量加法的三角形法则表示，再把平方即可得到答案. （2）用表示，然后证明. 【详解】（1）因为点是的重心，所以 因为点是线段的中点，所以. 因为正四面体的棱长为， 所以, 所以 ， 所以. （2） ， 所以. 🎯变式3-1 如图，在三棱柱中，，，，，与的交点为M，则（    ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算可得，进而结合空间向量的数量积公式运算即可求解. 【详解】由题意得， 所以 . 故选：C. 🎯变式3-2 如图，在正方体中，求向量与的夹角的大小． 【答案】 【详解】设正方体的棱长为1， 又因为，所以， 因为，所以与的夹角的大小为． 🎯变式3-3 已知空间四边形中，，且分别是的中点，是的中点，用向量方法证明． 【答案】证明:设， 由题意得，，， 因为，所以， 又， 所以， 所以. PART 4 数量积运算律 💡知识梳理 为向量， ① ② ③ ⚠️易错：不存在结合律 PART 5 向量的投影 💡知识梳理 1. 向量在向量上的投影向量 如图①，在空间，向量向向量投影向量，， 2. 如图②，向量向直线投影，，为直线的方向向量： 3. 如图③，向量在平面上的投影向量：分别由向量的起点和终点作平面的垂线，垂足分别为，，得到投影向量. 就是向量所在直线与平面所成的角. 4. 核心公式 投影数量：在上的投影数量 投影向量：在上的投影向量 5. 投影符号判定 ① ：投影数量为正数； ② ：投影数量为0（两向量垂直，无投影）； ③ ：投影数量为负数。 🎯例题5-1 已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上的投影向量的模长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】由空间向量在向量方向上的投影数量为，运算即可得解. 【详解】由题意，，，， 则空间向量在向量方向上的投影数量为. 所以所求投影向量的模长为2. 故选：A 🎯例题5-2 在棱长为的正方体中，是棱上任意一点，则在平面上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用投影向量的定义可得结果. 【详解】如下图所示： 因为平面，是棱上任意一点， 所以在平面上的投影向量为. 故选：A. 🎯变式5-1 在空间四边形中，，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在四面体中，用向量加法法则表示，再结合投影向量的计算方法求解. 【详解】在四面体中，因为， 设，且，， 则， 在上的投影向量为. 故选：B 🎯变式5-2 已知空间向量，，且与夹角的余弦值为，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意和投影向量的概念计算即可求解. 【详解】 ，，与夹角的余弦值为， 在上的投影向量为 . 故选：D． LAST PART 本节课知识网络 随 堂 检 测 学以用 · 知以行 1. 在空间四边形中，等于（   ） A． B．0 C．1 D．不确定 【答案】B 【详解】令， 则， ， . 2. 设正四面体的棱长为2，是的中点，则的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【详解】 . 3. 已知正四棱锥的所有棱长均为为底面内一点，且，则__________. 【答案】 【详解】因为为底面内一点，且， 所以，解得，则， 又， 可得 . 4. 空间四边形中，，，则的值是（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【详解】，故 5. 如图，平行六面体的底面是菱形， ，且，则异面直线与所成角的余弦值为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可设，则易知三个向量之间两两的数量积均为， ， ∴异面直线与所成角的余弦值为0． 6. 已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是______. 【答案】. 【详解】由题意， ， ， 所以，即与的夹角是. 故答案为：. 7. 已知空间中的三个单位向量，，满足两两夹角是，则__________． 【答案】 【详解】由题意得单位向量，，且两两之间夹角为， 所以， ， 所以. 8. 在平行六面体中，已知，，，，则的长度为________. 【答案】 【详解】在平行六面体中，， . 因为，， ， 所以，即. 9. 如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点，若，，， (1)用,,表示和； (2)求． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）连接，如图： 因为，，， 在，根据向量减法法则可得： ， 因为底面是平行四边形， 故， 因为∥且， 所以， 又为线段中点 所以， 在中，， 故平行四边形中，； （2）因为顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是， 故，， ， 所以 ，故， 所以 ， 所以. 教 学 反 思 思不足 · 谋优化 本节课学生容易混淆数量积与数乘运算，经常误用结合律。部分学生利用夹角公式求解角度时，容易忽略夹角范围。不少学生对 “向量平方求模” 方法不够熟练。后续教学增加代数运算训练，结合立体几何模型直观理解向量夹角，规范书写解题步骤。 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $