第二章 平面解析几何（单元分层自测·基础通关卷）数学人教B版高二选择性必修第一册

**基本信息** 高二数学平面解析几何单元卷，涵盖直线、圆、圆锥曲线等核心知识，精选各地期中真题，注重基础巩固与能力提升，适配单元复习，培养数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|直线倾斜角、圆与动圆相切轨迹、抛物线准线、双曲线离心率等|结合几何直观，如动圆相切轨迹问题（第1题）考查空间观念| |多选题|3题|双曲线性质、抛物线焦点弦、椭圆动点问题|注重推理能力，如椭圆动点面积与斜率关系（第11题）| |填空题|3题|椭圆中点弦斜率、双曲线渐近线斜率范围、超椭圆应用|体现应用意识，如小米LOGO超椭圆问题（第14题）| |解答题|5题|抛物线方程与直线相交、圆的方程与弦长、椭圆标准方程与内切圆、双曲线综合|强调运算与模型观念，如双曲线面积与定点证明（第19题）|

2026-2027学年高二年级数学单元自测 第二章 平面解析几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D． 2．（25-26高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·北京·期中）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·重庆·期中）已知是双曲线的图象上一点，且位于第一象限.过向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·云南大理·期中）已知双曲线虚轴的两个端点分别为，，左、右焦点分别为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 8．（25-26高二下·湖北·期中）已知点是双曲线上第一象限内的一点，点、是其左、右顶点，且，过点作与直线倾斜角互补的直线与直线交于点，若点在椭圆上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知双曲线M：过点，则下列结论正确的是（   ） A．M的焦距为4 B．M的渐近线方程为 C．M的离心率为 D．直线与M有两个公共点 10．（25-26高二下·四川成都·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 11．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若 ，则的面积为 C．记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D．若M是圆 上任一点，则的最小值为 三、填空题 12．（25-26高二上·贵州·期中）已知直线与椭圆交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为__________. 13．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）已知双曲线与直线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，则的取值范围为__________. 14．（25-26高二下·北京海淀·期中）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线.当，，时，给出下列四个结论： ①曲线关于原点对称； ②曲线所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线上的点到原点的距离的最大值为3； ④设，直线交曲线于两点，则的周长大于12. 其中所有正确的结论有__________（填序号）. 四、解答题 15．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 16．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 17．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 18．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，离心率为，且点P在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过左焦点且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求内切圆的面积． 19．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第二章平面解析几何·基础通关（参考答案） 一、 单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B 8 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 题号 9 10 11 答案 AB AD ACD 三、 三、填空题（共3小题，共15分） 12. 6 13 (5.u.) 14.①②④ 四、解答题（共5小题，共77分） 15.(13分) ()设点Tk,）,由题可知=%+1，由抛物线定义知r=%+号， 所以%+？=%+1，所以p=2,则抛物线c的方程为2=4y(5分) (2)易知的斜率一定存在，设'的方程为=c+6,设1(，，B(,) [x2=4y, 由y=ax+6,消去y得x2-4-24=0,(6分) 则△=16k+96>0,且5+3=46,5=-24 |AB=Vx-x+(,-y}=1+V(x-x=1+2V:+-4x =+4k-4x(-24=41+F+6.40分) 1/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 由AB=24 化简整理得+7k2-30=0,解得2=-10（合去）或=3， 所以k=士w5,即'的方程为Bx-y+6=0(3分) B 16.(15分) (1)因为直线x+y+2=0与圆心为坐标原点的圆0相切， 2 所以圆0的半径等于圆心到直线的距离，即方5，(3分) 2+y2=2 所以圆的方程为 .(7分) (2)由题知直线AB的斜率存在且不为0，设直线AB的斜率为k, 则直线4B的方程为”-2=(x-2）,即-y-2+2=0 (9分) d=上2k+2 圆心O(0,0)到直线4B的距离”V2+1,(11分) 2阿-】 因为弦长AB=230 解得k=2或k=2(15分) 2/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.(15分) 【详解】山)因为直线'的斜率为2，经过点P34),(3分》 所以直线方程为”-4-2(-3），即2x+)-10=0,(7分) (2)当在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为y=x 4 因为直线过点P(3,4),所以4=3k,即k=3,(9分) 4 此时方程为y=3x,即4x-3y=0: 当在两坐标轴上的怎施不为0时，可设方程为后+片-， 3+=1,得a=7,(11分) 故此时I方程为x+y-7=0, 综上可知，直线I的方程为4x-3y=0或x+y-7=0.(15分) 18.(17分) ma2-b2_1 【详解】山)由院阅C离心率为得后-南 =4 所以公=4，放情圆C的方程为导+若=1(3分) x2,4y2 3/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 代入点 x2,y2 所以椭圆C的标准方程为4+3=】， .(6分) 2)由题意得，直线1的方程为2任x1 设1(，).B(5,) -5c 由+上-1，消去少，得 ,(8分) 431 x2+4x-10=0 所以4=16-4×5x(-10)=216+书=号=2 r%小马9-96-g.) 又L0),直线1的方程为-2y+1=0 则点E山，0)到直线AB的距离A=5=3 所8m0d=×1×25_66 2×5x3=5,(12分) 设41B5 内切圆的半径为T, 1 m=6V3 3v3 4ar=S.所=5，解得=10，(15分) r= 由2 故a1B5内切圆的面积为r2-27z 100·(17分) 4/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F2 B 19.(17分) 【详解】(1)由愿意，得“=b=3,a=1,b=V3,c=Va+=2 所以双曲线c的实轴长2a=2离心率e=。=2;(3分) a (2)由(1)知 F(-2,0 ,直线D5的方程为”=2(x+2）, y=2(x+2) 设D万55，小由r-号=1，箱去，02+16+19-0 1DE=x-x}+0-}=5(x+x}-4xx=516-4×19=30,5分) 设平行于直线DB且与双曲线C的右支相切的切线方程为'=2x+m,切点为 Po(o2 Yo) y=2x+m 联立x2- -了=山，消去y得2+4x+m㎡+3=0 令△=0，得(4m-4(m+3列=0，解得m=±1，(7分) 当m=1时，直线y=2x+1与双曲线C的左支相切，不符合题意， 因此m=-1,名=-2m=2,%=2。-1=3B(2,3) d-2x2-1x3+4-5 因此点到直线DE:y=2(x+2)的距 5/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以D6p的面积的最小值为S-D4,d=×30x5=155.(9分 2 (3)证明：由山知410，设M,N的坐标分别为：，() 当直线的斜率为0时，。=-考，为=乃」 则M=(s-yW=(-1y)=(x-,5, 当AM⊥AN时， .双=5-以4-)*矿-1写+听=-管+小房-9-0，期阳0.0分) 则M,N中一个点与A重合，此时4M上MW不成立，所以直线的斜率不为°， 设直线的方程为mw=x+n my=x+n 联立方程-号1，消去，后整理，符B-护-6+3r-3-0: 6mn 3n2-3 则+%3m-,y-3m-1,12分 AMAN=(3-1,⅓)(x4-1,y4)=(x-10(x4-)+y4=x4-(x+x)+1+yy4 =(my-n)(my4-n)-[(my,-n）+(my4-n]+l+⅓y4 -6r+0-mo++21-(4小号a侧水i+21, 由AM⊥AN,得AM,A=0, 所以+小国+水342a1-0. 即(m+小x(3m-3列-(mm+mx6mm+(r+2n+3m-刂=0 化简，得n2-n-2=0解得n=-1或2 6/7 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当1=-1时，直线过点L0),不合题意，(16分) 当1=2时，直线的方程为m=x+2,所以直线过定点2,0(17分》 12 7/7………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第二章 平面解析几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D． 2．（25-26高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·北京·期中）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·重庆·期中）已知是双曲线的图象上一点，且位于第一象限.过向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·云南大理·期中）已知双曲线虚轴的两个端点分别为，，左、右焦点分别为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 8．（25-26高二下·湖北·期中）已知点是双曲线上第一象限内的一点，点、是其左、右顶点，且，过点作与直线倾斜角互补的直线与直线交于点，若点在椭圆上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知双曲线M：过点，则下列结论正确的是（   ） A．M的焦距为4 B．M的渐近线方程为 C．M的离心率为 D．直线与M有两个公共点 10．（25-26高二下·四川成都·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 11．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若 ，则的面积为 C．记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D．若M是圆 上任一点，则的最小值为 三、填空题 12．（25-26高二上·贵州·期中）已知直线与椭圆交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为__________. 13．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）已知双曲线与直线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，则的取值范围为__________. 14．（25-26高二下·北京海淀·期中）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线.当，，时，给出下列四个结论： ①曲线关于原点对称； ②曲线所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线上的点到原点的距离的最大值为3； ④设，直线交曲线于两点，则的周长大于12. 其中所有正确的结论有__________（填序号）. 四、解答题 15．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 16．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 17．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 18．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，离心率为，且点P在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过左焦点且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求内切圆的面积． 19．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高二年级数学单元自测 第二章 平面解析几何·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、单选题 1．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知直线和圆，动圆与直线、圆都相切，则动圆圆心的轨迹方程为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】利用两圆内切或外切，与直线相切建立等式，化简可得方程. 【详解】设，当动圆与圆内切时，有，化简得； 当动圆与圆外切时，有，化简得. 故选：C 2．（25-26高二上·陕西汉中·期中）直线的倾斜角是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系求解即可. 【详解】由题意可知，直线的斜率， 设直线的倾斜角为，所以， 又，所以， 故直线的倾斜角为． 3．（25-26高一下·北京·期中）抛物线的准线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将抛物线方程化为标准方程，即可得准线方程. 【详解】由题意可知：抛物线的标准方程为， 可知抛物线的焦点在y轴正半轴上， 所以准线方程为. 4．（25-26高二上·江苏无锡·期中）若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率， 则，故. 5．（25-26高二下·重庆·期中）已知是双曲线的图象上一点，且位于第一象限.过向该双曲线的两条渐近线作垂线，垂足分别为，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用解析几何思想，借助点到直线的距离公式来求出点，然后再继续求出交点的坐标，最后可求距离. 【详解】 设双曲线上第一象限的点， 则由双曲线可得渐近线方程为，即 所以由点到直线的距离公式可得： 由， 由双曲线上第一象限的点可知，所以上式可变形得， 即，则代入双曲线得：， 则过点与渐近线垂直的直线方程为：， 与渐近线联立解得：，即得， 过点与渐近线垂直的直线方程为：， 与渐近线联立解得：，即得， 所以. 6．（25-26高二下·云南大理·期中）已知双曲线虚轴的两个端点分别为，，左、右焦点分别为，，若，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在双曲线中，虚轴端点和焦点构成等腰三角形，利用等腰三角形底角的正切与顶角余弦的关系（二倍角公式），代入已知的顶角余弦值，解出与的比例即可求得离心率． 【详解】 设，则， 由， 整理得，所以，整理得，所以． 7．（24-25高二上·福建厦门·期中）已知焦点在轴上的椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆的短半轴长为（    ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【分析】运用作差法、中点坐标公式及直线斜率求解即可. 【详解】设直线与椭圆相交于，， 由题意得，， 直线的斜率为， 由，两式相减得， 所以，即，所以，即. 所以椭圆的短半轴长为4. 8．（25-26高二下·湖北·期中）已知点是双曲线上第一象限内的一点，点、是其左、右顶点，且，过点作与直线倾斜角互补的直线与直线交于点，若点在椭圆上，则该双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用椭圆上点到顶点、的斜率之积为，结合直线与倾斜角互补的条件，即可求出，进而求得离心率. 【详解】由双曲线，左右顶点为，则， 因为，所以，得，即. 设，满足，所以， 所以， 设，满足，所以， 所以， 因为直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，所以， 又因为，所以，即，所以， 所以. 二、多选题 9．（25-26高二上·广东深圳·期中）已知双曲线M：过点，则下列结论正确的是（   ） A．M的焦距为4 B．M的渐近线方程为 C．M的离心率为 D．直线与M有两个公共点 【答案】AB 【分析】由题意先求出的值，得到双曲线的标准方程，确定的值，求出双曲线的焦距，离心率，渐近线方程即可判断选项A B C；将直线与双曲线的方程联立消，得到关于的一元二次方程，利用判别式即可判断选项D. 【详解】由双曲线过点，可得， 则双曲线的标准方程为：； 所以，因为双曲线的焦距为，所以选项A正确； 因为双曲线的渐近线方程为，所以选项B正确； 因为双曲线的离心率为，所以选项C不正确； 将直线与双曲线联立消可得：， 化简可得 ，此时 ，所以直线与双曲线只有一个公共点 ，所以选项D不正确； 故选：AB. 10．（25-26高二下·四川成都·期中）已知抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于，两点，为抛物线上一个动点，且，则（     ） A．的最小值为4 B．以为直径的圆与抛物线的准线相切 C． D．的最小值为3 【答案】AD 【分析】本题考查抛物线的定义、几何性质、过焦点弦的性质及最值问题，结合抛物线定义与坐标运算逐一分析选项即可． 【详解】抛物线的焦点，， 选项A：过焦点的弦中，通径（垂直于对称轴的弦）长度最短，通径长为，因此最小值为4，A正确； 选项B：设中点为，由抛物线定义得，圆半径， 圆心到准线的距离为，故圆与准线不相切，B错误； 选项C：设过的直线方程为， 代入抛物线方程得，韦达定理得，， 因此，C错误； 选项D：由抛物线定义，等于到准线的距离， 因此，最小值为点到准线的距离，即， 所以的最小值为，D正确． 11．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知椭圆 的左、右焦点分别为、，P，Q是C上的两个动点，则下列结论正确的是（   ） A．存在点，使得 B．若 ，则的面积为 C．记C的上顶点为，若 轴，则直线 与的斜率之积为 D．若M是圆 上任一点，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】对A：得到以为直径的圆的方程后，联立椭圆方程，得到是否有解即可得；对B：法一：可借助椭圆定义与余弦定理得到的值，再利用面积公式计算即可得；法二：利用焦点三角形面积公式计算即可得；对C：设，结合斜率公式计算即可得；对D：借助椭圆定义及圆的性质计算即可得. 【详解】对A：由椭圆 可得、， 则以为直径的圆的方程为 ， 联立，解得， 即以为直径的圆与椭圆存在交点， 故存在点，使得 ，故A正确； 对B：法一：设 、 ，则由椭圆定义可得， 则由余弦定理可得 ，即 ， 又 ，故， 则的面积为； 法二：，故B错误； 对C：由题意可得，设，则，且 ， 则， 即直线 与的斜率之积为，故C正确； 对D：由椭圆定义可得， 圆 的圆心坐标为，半径， 又 ，故在椭圆外， 则 ， 当且仅当、、、四点共线，且在、之间时成立， 故的最小值为，故D正确. 三、填空题 12．（25-26高二上·贵州·期中）已知直线与椭圆交于两点，若线段的中点坐标为，则直线的斜率为__________. 【答案】 【分析】利用点差法列方程，整理求得直线的斜率. 【详解】依题意可知，直线的斜率存在. 设直线的斜率为， 则两式相减得，整理得. 因为线段的中点坐标为，所以. 故答案为： 13．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）已知双曲线与直线相交于相异两点，设正数为双曲线一条渐近线的斜率，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】先由判别式及根与系数的关系可得或，再由可得所求值的范围. 【详解】联立与，消去，得. 双曲线与直线相交于互异两点， 等价于同时成立. 解不等式,解得或. 因为正数为双曲线一条渐近线的斜率，所以. 当时，；当时，. 所以正数的取值范围是. 14．（25-26高二下·北京海淀·期中）2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的LOGO（如图所示），设计师的灵感来源于曲线.当，，时，给出下列四个结论： ①曲线关于原点对称； ②曲线所围成的封闭图形的面积小于24； ③曲线上的点到原点的距离的最大值为3； ④设，直线交曲线于两点，则的周长大于12. 其中所有正确的结论有__________（填序号）. 【答案】①②④ 【分析】确定在曲线上，①正确，曲线在一个长为6，宽为4的矩形内部，②正确，利用三角换元计算得到③正确，确定椭圆在曲线内，④正确，得到答案. 【详解】曲线：， 对①：取曲线上点，则满足在曲线上， 故曲线关于原点对称，故①正确； 对②：取，，取，，故曲线在一个长为，宽为的矩形内部， 故其面积小于，故②正确； 对③：设曲线上一点为，则，设， 到原点的距离的平方为，， ，当时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为，故③错误； 对④：对于曲线和椭圆，设点 在上， 点在上，则， ，故， 所以， 设点在上，点在上，则， 所以，即， 故椭圆在曲线内(除四个交点外)， 如图： 设直线交椭圆 于两点，交轴于， 为椭圆的两个焦点， 由椭圆的定义可知：，， 所以的周长为12，由图可知，的周长大于12，故④正确. 四、解答题 15．（25-26高二上·黑龙江大庆·期中）已知为坐标原点，为抛物线：的焦点，是上异于的一点，且点到的距离比到轴的距离大1. (1)求抛物线的方程； (2)若经过点的直线与抛物线相交于，两点，且，求的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的定义进行求解即可； （2）根据两点间距离公式，结合一元二次方程根与系数关系、判别式进行求解即可. 【详解】（1）设点，由题可知，由抛物线定义知， 所以，所以，则抛物线的方程为. （2）易知的斜率一定存在，设的方程为，设. 由消去得， 则，且， ， 由，化简整理得，解得（舍去）或， 所以，即的方程为. 16．（25-26高二上·重庆·期中）已知直线与圆心为坐标原点的圆相切. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于两点，若弦长，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)2或 【分析】（1）直线与圆相切，则圆的半径等于圆心到直线的距离，由圆心和半径得圆的方程； （2）设直线的斜率为，利用圆的弦长公式求出的值即可. 【详解】（1）因为直线与圆心为坐标原点的圆相切， 所以圆的半径等于圆心到直线的距离，即， 所以圆的方程为. （2）由题知直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的方程为，即， 圆心到直线的距离， 因为弦长，所以， 解得或. 17．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知直线l经过点；（直线要求化成一般式） (1)若直线的斜率为，求直线l的方程； (2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程. 【答案】(1) (2)或 【分析】(1)利用点斜式写出直线方程，再化为直线的一般方程； (2)分类讨论截距为和不为两种情况，分别求出满足条件的直线的方程. 【详解】（1）因为直线的斜率为，经过点， 所以直线方程为，即. （2）当在两坐标轴上的截距均为0时，设直线方程为 因为直线过点，所以，即， 此时方程为，即； 当在两坐标轴上的截距不为0时，可设方程为， 则，得， 故此时方程为； 综上可知，直线的方程为或. 18．（25-26高二上·福建厦门·期中）已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，离心率为，且点P在C上． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过左焦点且斜率为的直线l与椭圆C交于A，B两点，求内切圆的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题目条件的离心率和过点P求出椭圆方程； （2）设直线方程并联立椭圆方程进行求解. 【详解】（1）由椭圆C离心率为，得＝，即， 所以，故椭圆C的方程为 代入点，得，故，， 所以椭圆C的标准方程为． （2）由题意得，直线l的方程为， 设，， 由，消去y，得， 所以 则， 又，直线l的方程为， 则点到直线AB的距离， 所以， 设内切圆的半径为r， 由，解得， 故内切圆的面积为. 19．（25-26高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为，左焦点为，过点且斜率为的直线与双曲线的左支交于，两点，为双曲线右支上的一动点； (1)求双曲线的实轴长与离心率； (2)求面积的最小值； (3)设直线与双曲线交于，两点，且.证明：直线过定点； 【答案】(1)实轴长，离心率 (2). (3)证明见解析 【分析】（1）由双曲线方程求得，再根据实轴长及离心率的定义求解； （2）先求出弦长，再求出点到直线的最小距离，即可得到 面积的最小值，而点到直线的最小距离，可转化为平行于直线且与双曲线的右支相切的切点到直线的距离； （3）设，的坐标分别为，,由利用向量垂直分析确定直线的斜率不为，并设直线的方程为，与双曲线方程联立消去后，利用韦达定理结合条件，根据垂直向量数量积的性质求得，得到直线的方程即可求得其所经过的定点. 【详解】（1）由题意，得，， 所以双曲线的实轴长离心率； （2）由（1）知，直线的方程为， 设，由，消去得， , 设平行于直线且与双曲线的右支相切的切线方程为，切点为. 联立，消去，得， 令，得 解得， 当时，直线与双曲线的左支相切，不符合题意， 因此， ，. 因此点到直线的距离， 所以的面积的最小值为. （3）证明：由（1）知，设，的坐标分别为，. 当直线的斜率为时，，， 则 当时， ，解得， 则，中一个点与重合，此时不成立，所以直线的斜率不为； 设直线的方程为， 联立方程，消去后整理，得， 则，， ， 由，得， 所以 ， 即 ， 化简，得解得或. 当时，直线过点，不合题意； 当时，直线的方程为，所以直线过定点. 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $