高中数学单元测试——第2章平面解析几何初步（较易版01）

**基本信息** 本单元卷聚焦平面解析几何初步，以基础巩固为主，融入阿波罗尼斯圆文化情境与轮船触礁实际应用，适配单元复习，助力数学眼光、思维与语言核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|直线垂直、圆的方程、直线平行|第8题结合阿波罗尼斯圆历史背景，体现文化传承| |多选题|3/18|直线方程、点与圆位置关系|第10题综合点线圆距离，考查推理能力| |填空题|3/15|平行线距离、圆的切线|第14题求距离最小值，渗透数学思维| |解答题|5/67|直线方程、圆的标准方程、两圆位置关系|第18题以轮船返港为情境，用坐标法解决实际问题，体现数学语言表达现实世界|

高中数学单元测试 —— 第2章 平面解析几何初步（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两条直线垂直关系得直线的斜率，进而可得所求直线的倾斜角. 【详解】由直线，即，所以直线的斜率为. 再由直线与直线垂直，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，，则，. 故选：B. 2．（本题5分）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将圆的方程转化为标准方程，得出圆心和半径. 【详解】将转化为， 可得圆心，半径， 故选：. 3．（本题5分）已知直线与平行，则a=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】由两直线平行的条件求解． 【详解】由两直线平行得,解得， 时，两直线方程分别为和，不重合，满足题意． 故选：C． 4．（本题5分）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程确定圆心，再根据点到直线的距离公式得解. 【详解】圆的方程可化为，所以圆的圆心为， 则圆心到直线的距离为， 故选：D. 5．（本题5分）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分离参数，联立方程组可得解. 【详解】直线， 即， 令，解得， 即直线恒过定点， 故选：B. 6．（本题5分）过原点的直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】明确何时取最小值，结合勾股定理即可求解. 【详解】根据题意，当时，取得最小值. 因为，所以，此时. 故选：C. 7．（本题5分）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接将点的坐标代入结合点与圆的位置关系求解即可. 【详解】因为点在圆内部， 所以，解得. 故选：C. 8．（本题5分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】利用直接法求得点的轨迹方程，结合圆的性质，即可求解. 【详解】设，因为，所以，即， 所以点的轨迹为以为圆心，半径为的圆. 则点到直线的距离， 故点到直线的距离的最小值为. 故答案为：B 二、多选题 9．（本题6分）直线过点与，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据直线方程的五种形式分别判断各选项. 【详解】由直线过点与， 则直线的斜率， 则直线方程的点斜式为，C选项正确； 其一般式为，即，A选项正确； 截距式为，B选项错误； 斜截式为，D选项错误； 故选：AC. 10．（本题6分）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．点在圆C外 B．直线l与圆C相离 C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 【答案】BCD 【分析】通过计算圆心到点的距离、圆心到直线的距离等，数形结合，即可判断. 【详解】因为圆C：，所以圆心，半径 对于A：点A与圆心的距离为，所以点在圆C内，故A错； 对于B：圆心到直线l的距离为，所以直线l与圆C相离，故B对； 对于C：有B选项知，圆心到直线l的距离为，则的最小值是，无最大值，则的取值范围是，故C对； 对于D：直线圆心到直线的距离为是半径的一半， 如图所示 则圆C有且仅有3个点到直线的距离为，故D对； 故选：BCD. 11．（本题6分）已知点，圆，则（   ） A．点在内 B．点与上的点之间的最大距离为 C．以点为中点的弦所在直线的方程为 D．过点的直线被截得弦长的最小值为 【答案】AC 【分析】由圆与点的位置关系的判断确定A，再由点与圆心距离加半径判断B，根据圆的性质求出弦所在直线斜率求出直线方程判断C，由弦心距、半径、弦长的关系判断D. 【详解】对于A，因为，所以点在内，故A正确； 对于B，由，知点与上的点之间的最大距离为，故B错误； 对于C，由，可知弦所在直线斜率为，故弦所在直线为， 即，故C正确； 对于D，由圆的性质可知，当与过的弦垂直时，所得弦长最短，此时弦长为，故D错误. 故选：AC 三、填空题 12．（本题5分）直线与直线之间的距离是______． 【答案】/ 【分析】根据平行线间距离公式求解. 【详解】直线与直线之间的距离为. 故答案为：. 13．（本题5分）圆在点处的切线方程为______. 【答案】 【分析】根据题意，由点在圆上，求得，结合圆的性质，得到切线斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解. 【详解】将圆化为标准方程，可得圆心坐标为， 由点在圆上，可得圆心与点连线的斜率， 因为圆的切线与圆心和切点连线垂直，可得切线斜率为， 所以切线方程为，即． 故答案为：． 14．（本题5分）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 【答案】 【分析】首先求解点关于直线的对称点，再根据即可求解答案. 【详解】设点A关于直线l的对称点为，则，解得，即， 则． 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，． (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求AC边上的高所在直线方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据直线的两点式方程，求出直线AC的方程即可； （2）求出直线AC的斜率，得到AC边上高线的斜率，点斜式求AC边上的高所在直线方程. 【详解】（1）三角形的三个顶点，，． 则直线AC的方程为， 化为一般方程是； （2）AC边所在直线的斜率为， 则有AC边上的高所在直线的斜率为， 所以AC边上的高所在直线的方程为， 即． 16．（本题15分）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先由斜率关系和中点坐标求出弦的垂直平分线方程，再解出圆心坐标，然后得到圆的标准方程； （2）由两点间距离得到半径，再写出圆的标准方程即可； （3）由圆的一般方程利用待定系数法求解可得. 【详解】（1）由题，所以其垂线斜率，且AB中点为，即， 所以AB的垂直平分线方程为，即， 由圆的垂径定理可知，与轴的交点即为圆心的坐标， 所以圆的半径为 ， 所以圆的标准方程为 （2）圆心为，且经过点， 故圆的半径为， 故圆的标准方程为． （3）设圆的方程为， 则由题意， ∴圆的方程为：，标准方程为. 17．（本题15分）已知圆C1：，圆C2：，其中－1<m<5. （1）若m=1，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程； （2）设圆C1与圆C2的公共弦所在直线为l，且圆C2的圆心到直线l的距离为，求直线l的方程以及公共弦长. 【答案】（1）两圆内切，；（2），. 【分析】（1）由，分别得到圆和圆的圆心，半径，然后利用圆圆的位置关系判断，再由两圆方程相减得到公切线； （2）先得到两圆公共弦所在直线l的方程，再利用弦长公式求解. 【详解】（1）当时，由得， 由得， ∴圆的圆心，半径，圆的圆心，半径， ∴圆心距，所以两圆内切； 因为两圆内切，所以公切线只有一条， 两圆的公切线方程可由两圆方程相减得到：； （2）两圆公共弦所在直线l的方程为：， 圆的圆心到直线l的距离， 于是，或舍， 所以直线l的方程为； 因为圆半径，弦心距， 由勾股定理可得半弦长为， 所以公共弦长为. 18．（本题17分）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 【答案】(1) (2)不会有触礁危险，理由如下： 以小岛中心为原点，东西方向为轴，建立上图所示的直角坐标系， 为了运算的简便，取10千米为单位长度，则港口所在位置的坐标为， 轮船所在位置坐标为， 则受暗礁影响的圆形区域的边缘所对应的圆的方程为， 轮船航线所在直线的方程为即， 由，得， 由，可知方程组无解． 所以直线与圆相离，轮船沿直线返港不会有触礁危险. 【分析】（1）根据方位角的概念直接在图中标出即可. （2）建立平面直角坐标系，求出航线的直线方程及圆的方程，利用判别式法判断直线与圆的位置关系，即可判断. 【详解】（1） （2）略 19．（本题17分）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 【答案】(1) (2)或. (3) 当斜率不存在时，此时与圆相切，不符合题意， 所以斜率存在，设直线的斜率为，则，且 联立方程组， 整理得， 令，解得， 且，所以， 又由，解得，所以， 因为均在直线上，且 所以. 【分析】（1）设，根据，列出方程，即可求解； （2）设圆心到的距离，利用圆的弦长公式，求得，分析斜率不存在和斜率存在，两种情况讨论，结合直线与圆的位置关系，即可求解； （3）设直线的斜率为，则，联立方程组，结合和韦达定理，求得和，结合均在直线上，利用，即可求解. 【详解】（1）解：设，因为点且， 所以，即， 所以的轨迹方程为. （2）解：由（1）知，圆心为，半径为， 因为，设圆心到的距离，可得，解得， 当斜率不存在时，方程：，此时，满足题意； 当斜率存在时，设方程：，即， 则，解得，此时. 综上可得，直线的方程为或. （3）略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第2章 平面解析几何初步（较易版01） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 3．（本题5分）已知直线与平行，则a=（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（本题5分）圆的圆心到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（本题5分）对于任意的实数，直线恒过定点（   ） A． B． C． D． 6．（本题5分）过原点的直线与圆交于，两点，则的最小值为（   ） A．1 B． C．2 D． 7．（本题5分）若点在圆的内部，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：如果一个动点到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆.若点到，的距离之比为，则点到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C．1 D．3 二、多选题 9．（本题6分）直线过点与，则直线的方程可以是（    ） A． B． C． D． 10．（本题6分）已知直线l：与圆C：，下列说法正确的是（   ） A．点在圆C外 B．直线l与圆C相离 C．点P为圆C上的动点，点Q为直线l上的动点，则的取值范围是 D．将直线l下移4个单位后得到直线l＇，则圆C上有且仅有3个点到直线l＇的距离为 11．（本题6分）已知点，圆，则（   ） A．点在内 B．点与上的点之间的最大距离为 C．以点为中点的弦所在直线的方程为 D．过点的直线被截得弦长的最小值为 三、填空题 12．（本题5分）直线与直线之间的距离是______． 13．（本题5分）圆在点处的切线方程为______. 14．（本题5分）已知直线和点，，P是l上一点，则的最小值为________． 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，． (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求AC边上的高所在直线方程． 16．（本题15分）写出下列圆的标准方程： (1)已知圆经过两点，圆心在轴上； (2)经过点，圆心为点． (3)经过三点的圆的方程． 17．（本题15分）已知圆C1：，圆C2：，其中－1<m<5. （1）若m=1，判断圆与的位置关系，并求两圆公切线方程； （2）设圆C1与圆C2的公共弦所在直线为l，且圆C2的圆心到直线l的距离为，求直线l的方程以及公共弦长. 18．（本题17分）某个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为20千米的圆形区域内．已知小岛中心位于轮船正西40千米处，港口位于小岛中心正北30千米处. (1)如图，小岛中心在原点O处，取10千米为单位长度，在图中标出轮船和港口的位置； (2)如果轮船沿直线返港，用坐标法判断该轮船是否会有触礁危险，并说明理由. 19．（本题17分）已知在平面直角坐标系中，，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)若经过点的直线与相交于点，且，求直线的方程； (3)已知.若直线经过点且与相交于两点，线段的中点为与的交点为，证明：为定值，并求出该定值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $