高中数学单元测试——第二章平面解析几何（较难版02）

**基本信息** 本卷为高中数学平面解析几何单元复习较难卷，以科技情境（如抛物线型太阳灶）和数学探究（如卡西尼卵形线）为特色，覆盖直线、圆、圆锥曲线核心知识，适配单元综合能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题40分|直线垂直、双曲线渐近线、圆方程等|第6题以太阳灶为情境，考查抛物线实际应用，体现数学眼光| |多选题|3题18分|椭圆性质、圆的位置关系、卡西尼卵形线|第11题引入卡西尼卵形线，培养数学思维与创新意识| |填空题|3题15分|直线平行距离、抛物线焦点、最短距离|第14题结合两点距离最小，考查数学语言表达| |解答题|5题77分|三角形直线方程、抛物线综合、圆相交、椭圆证明、轨迹问题|第19题动圆轨迹探究，综合运用逻辑推理，符合真题命题趋势|

高中数学单元测试 —— 第二章 平面解析几何（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由两条直线垂直关系得直线的斜率，进而可得所求直线的倾斜角. 【详解】由直线，即，所以直线的斜率为. 再由直线与直线垂直，所以直线的斜率， 设直线的倾斜角为，，则，. 故选：B. 2．（本题5分）若为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由及双曲线方程中的参数结合关系求出，得到渐近线方程. 【详解】因为为双曲线的右焦点，所以， 所以， 所以的渐近线方程为， 故选：D. 3．（本题5分）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将圆的方程转化为标准方程，得出圆心和半径. 【详解】将转化为， 可得圆心，半径， 故选：. 4．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆方程和短轴的长度，得出、的具体值,进而求出离心率. 【详解】由椭圆方程可知,所以,又短轴长,所以, 所以离心率. 故选:A 5．（本题5分）直线，恒过定点，则的值为（    ） A．-5 B．-4 C．-3 D．3 【答案】B 【分析】根据给定条件，列式求出定点坐标即得. 【详解】由整理得：， 由，解得， 即直线恒过点，故，所以. 故选：B 6．（本题5分）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在可得，即可求解. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，设抛物线方程为， 由题意可知在抛物线上，故， 因此焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为， 故选：D. 7．（本题5分）已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由两条直线求交点，再由交点在圆的内部可得. 【详解】联立，解得，即交点为. 再由交点在圆的内部，所以，解得. 故选：C. 8．（本题5分）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据椭圆定义以及点点距离即可求解. 【详解】依题意，设，而，，    则 ， 要使最大，则在右半椭圆上，故， ，此时点位于右顶点. 故选：D 二、多选题 9．（本题6分）若椭圆上的一个焦点坐标为，点P为椭圆上一动点，则下列结论中正确的是（   ） A．C的短轴长 B．点在椭圆上 C．C的离心率为 D． 【答案】AB 【分析】由椭圆关系得到椭圆方程，再由椭圆的性质逐项判断可得. 【详解】因为焦点坐标为，所以，解得或， 所以椭圆C的方程为； 短轴长为； 代入椭圆方程可得点在椭圆上； 离心率； 焦半径． 故选：AB． 10．（本题6分）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆A相切 B．圆A截y轴所得的弦长为4 C．点在圆A外 D．圆A上的点到直线的最小距离为3 【答案】BC 【分析】根据圆心到直线的距离即可判断AD,根据圆的弦长可判断B,根据点与圆的位置关系可判断C. 【详解】由圆得， 所以圆心，半径， 对于A：圆心A到直线的距离为1，所以直线与圆A相交，故A错误； 对于B：圆心A在y轴上，则所截得的弦长为直径等于4，故B正确； 对于C：点到圆心A的距离，所以点B在圆A外，故C正确； 对于D：圆心A到直线的距离，所以圆A上的点到直线的最小距离为，故D错误． 故选:BC． 11．（本题6分）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（    ） A．曲线的方程是 B．曲线关于坐标轴对称 C．曲线与轴没有交点 D．的面积不大于 【答案】ABD 【分析】由已知，利用两点间距离公式，可得动点的轨迹方程，即可判断A；由对称性代入即可判断B；在的轨迹方程中令，可解出，即可判断C；由三角形的面积公式，即可判断D. 【详解】设，由， 得， 化简得，故A正确； 该方程中把改为或把改为方程均不变，故B正确； 在方程中，令得， 当时，或，当时，，当时，，故C不正确； ，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线平行，则直线与间的距离为______． 【答案】 【分析】根据平移直线间的距离公式直接计算即可． 【详解】根据平移直线间的距离公式为． 故答案为：． 13．（本题5分）已知抛物线的焦点为，若点是抛物线上到点距离最近的点，则__________. 【答案】3 【分析】根据两点间距离公式，结合二次函数的性质即可求解, 由抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】由题知，设，其中，则 由于点是抛物线上到点距离最近的点，， 故答案为：3. 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 【答案】 【分析】求点关于直线的对称点，则当三点共线时最小，将直线与直线的方程联立即可. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，，得，即， 则， 将代入中得，，则. 故答案为： 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，. (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求BC边上的高所在直线方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用两点式可得答案； （2）求出BC边的斜率，即可得BC边上的高的斜率，再利用点斜式即可得出答案． 【详解】（1）由两点式可得：， 化简得AC边所在直线的一般方程为； （2）由已知得，可得BC边上的高所在直线斜率． ∴BC边上的高所在直线方程为：， 化简得BC边上的高所在直线方程为． 16．（本题15分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，过F的直线l与C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由抛物线性质求解即可； （2）由已知得出直线方程，联立直线与抛物线，由韦达定理结合抛物线焦半径公式求解. 【详解】（1）由抛物线的性质知，，故抛物线； （2）由直线l的倾斜角为，则斜率为，直线方程为， 设， 联立，整理得，         则，，故    17．（本题15分）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 【答案】(1)证明：由题得圆标准方程为， 故圆的圆心是，半径， 圆的标准方程为， 故圆的圆心是，半径． 所以与的距离为． 圆与圆的两半径之和，两半径长之差． 因为，即， 所以圆与圆相交. (2)公共弦所在直线的方程为，公共弦的长为. 【分析】（1）依题意求得圆和圆的圆心和半径，进而根据圆心距和两圆半径的关系可证得结果； （2）将两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程，再利用垂径定理可求弦长. 【详解】（1）略 （2）将圆和圆的方程相减，得两圆的公共弦所在直线的方程为, 而，半径，该圆心到公共弦的距离， 故公共弦. 18．（本题17分）已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆 . (1)求椭圆 的方程； (2)已知点，过点的直线与椭圆 交于不同两点，证明：. 【答案】(1) (2)证明：当直线斜率不存在时，直线为，从而可得，， 但此时，无意义，故直线斜率存在， 设直线方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，，则，， 所以，， 所以 ， 所以. 故证：. 【分析】（1）由椭圆的焦半径范围可得，再结合点在椭圆 上即可求解； （2）当直线斜率不存在时直线不存在，即直线斜率存在并设直线方程为，然后与椭圆方程进行联立，再结合韦达定理及题意即可求证. 【详解】（1）由题意可得，解得， 又因点在椭圆 上，即，解得， 所以椭圆 的方程为. （2）略 19．（本题17分）已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧． ①求直线斜率的取值范围； ②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点． 【答案】(1) (2)①； ②由题意，则，所以直线方程为， 即，因为 ， 因为， 所以， 所以直线方程为，恒过点. 【分析】（1）由题意可得，由双曲线的定义可知动点的轨迹是双曲线，由双曲线的得到轨迹方程； （2）①设出直线方程，联立方程组并消元得到一元二次方程，由直线与曲线存在两个交点得到一元二次方程二次项系数不为0，判别式大于0，两根之积为负数建立不等式组，解出斜率的取值范围；②表示出直线方程，利用①的韦达定理化简方程求得直线恒过定点. 【详解】（1）设动圆的半径为，当动圆与圆、圆都外切时，， 所以. 当动圆与圆、圆都内切时，， 所以，所以， 所以点的轨迹是以，为焦点，实轴长为的双曲线， 所以，，所以， 所以曲线的方程为. （2）①由题意直线斜率存在，设为， 设点，， 由消去得，， 则， 则由题意，解得， 所以直线斜率的取值范围为. ②略 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $ 高中数学单元测试 —— 第二章 平面解析几何（较难版02） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（本题5分）若直线与直线垂直，则的倾斜角为（   ） A． B． C． D． 2．（本题5分）若为双曲线的右焦点，则的渐近线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（本题5分）设圆的圆心为M，半径为r，则（   ） A．， B．， C．， D．， 4．（本题5分）已知焦点在x轴上的椭圆的短轴长为,则其离心率为（   ） A． B． C． D． 5．（本题5分）直线，恒过定点，则的值为（    ） A．-5 B．-4 C．-3 D．3 6．（本题5分）如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射的一种装置.当旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点在它的主光轴上.现有一拋物线型太阳灶，灶口直径为，灶深为，则焦点到灶底（抛物线的顶点）的距离为（    ） A． B． C． D． 7．（本题5分）已知两直线与的交点在圆的内部，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．（本题5分）在平面直角坐标系中，点是椭圆上的动点，椭圆的左、右焦点分别为，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 二、多选题 9．（本题6分）若椭圆上的一个焦点坐标为，点P为椭圆上一动点，则下列结论中正确的是（   ） A．C的短轴长 B．点在椭圆上 C．C的离心率为 D． 10．（本题6分）已知圆，则下列说法正确的是（    ） A．直线与圆A相切 B．圆A截y轴所得的弦长为4 C．点在圆A外 D．圆A上的点到直线的最小距离为3 11．（本题6分）到两个定点的距离之积为大于零的常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线.设和且，动点满足，动点的轨迹显然是卡西尼卵形线，记该卡西尼卵形线为曲线，则下列描述正确的是（    ） A．曲线的方程是 B．曲线关于坐标轴对称 C．曲线与轴没有交点 D．的面积不大于 三、填空题 12．（本题5分）已知直线与直线平行，则直线与间的距离为______． 13．（本题5分）已知抛物线的焦点为，若点是抛物线上到点距离最近的点，则__________. 14．（本题5分）已知直线和两点，若上存在点使得最小，则点坐标为______． 四、解答题 15．（本题13分）已知三角形的三个顶点，，. (1)求AC边所在直线的一般方程； (2)求BC边上的高所在直线方程. 16．（本题15分）已知抛物线的焦点F到准线的距离为4，过F的直线l与C交于A，B两点. (1)求抛物线的标准方程； (2)若直线l的倾斜角为，求. 17．（本题15分）已知圆，圆， (1)证明圆与圆相交； (2)求圆与圆的公共弦所在直线的方程及公共弦的长. 18．（本题17分）已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆 . (1)求椭圆 的方程； (2)已知点，过点的直线与椭圆 交于不同两点，证明：. 19．（本题17分）已知圆和圆，动圆与圆、圆都外切或都内切，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)若过点的直线与曲线的两个交点分别在轴两侧． ①求直线斜率的取值范围； ②若是点关于轴的对称点，证明：直线过定点，并求出该定点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2 / 2 $