第11章 整式的乘除（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材华东师大版八年级上册

2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第11章 整式的乘除·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 A B B A D B B A B A 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11． 12．4 13．7 14． 15． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（6分） （1）解：原式．（3分） （2）解：原式．（6分） 17．（8分） 解：（1）原式 ；（3分） （2）∵，，， ∴，， ∴或，，（5分） 当时，；（6分） 当时，；（7分） ∴或．（8分） 18．（10分） （1）解：；（2.5分） （2）解：；（5分） （3）解：（7.5分） （4）解：．（10分） 19．（10分） （1）解：∵， ∴ （5分） （2）解：∵， ∴，即， ∴．（7分） 把代入： （10分） 20．（10分） （1）解：由题意得；（2分） （2）解：由，， 故是“梦想数”；（4分） （3）解： （6分） 要使M是“梦想数”， 则为完全平方式， ，（9分） 是正整数， ，此时，是“梦想数”．（10分） 21．（9分） （1）（3分） （2） ，，， ，（5分） ，（7分） ．（9分） 22．（10分） （1）解：由题意，得 ；（4分） （2）解：∵，，， ∴，，（7分） ∴，， 当，时，， 答：此时绿化的面积为．（10分） 23．（12分） 解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：；（1分） （2）由（1）的结论得：， 又， ；（4分） （3）设，则， ，（5分） ， ，（6分） 由（1）的结论得：， ， ；（8分） （4）设， 于点E，米， （平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ，（10分） 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米．（12分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第11章 整式的乘除·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．雷达可用于飞机导航，也可用于监测飞机的飞行，假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用秒，已知电磁波的传播速度为每秒米，则该时刻飞机与雷达站的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知实数，满足，，则代数式的值为（     ） A． B． C．1 D．2 4．，（其中），则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 5．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 6．已知x，y，z是的三边长，其中x，y满足，则的值可能为（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 7．已知，，则的值为（     ） A．70 B．80 C．88 D．90 8．已知数，则数的位数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 9．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是，小正方形面积是，直角三角形的短直角边为，较长直角边为，那么的值为（     ） A． B． C． D． 10．已知实数，满足且（），有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．①④ C．①②③ D．②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．因式分解：________． 12．已知，则的值为________． 13．若是大于1的正整数，且，则的值是___________． 14．已知，则代数式___________． 15．已知：，则的四次方根是___________． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（6分）计算： (1)． (2)． 17．（8分）（1）若，，求的值． （2）若，求值． 18．（10分）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 19．（10分）已知． (1)求多项式； (2)若，求多项式的值． 20．（10分）若一个正整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“梦想数”．例如：因为5可以表示为的形式，所以5是“梦想数”． (1)若13是“梦想数”，则13可以表示为的形式； (2)请你再写两个小于30的“梦想数”（5和13除外）：________，________； (3)已知（x，y，k是正整数），要使M为“梦想数”，求k的值．（用因式分解的方法解答） 21．（9分）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出代数式，，之间的等量关系：______________________． (2)根据（1）中的等量关系，已知，，求的值． 22．（10分）如图所示，某小区有一块长为，宽为的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为．为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含的代数式表示绿化的面积． (2)若满足，请帮助物业公司求出此时绿化的面积． 23．（12分）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第11章 整式的乘除·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．雷达可用于飞机导航，也可用于监测飞机的飞行，假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞机后反射，又被雷达接收，两个过程共用秒，已知电磁波的传播速度为每秒米，则该时刻飞机与雷达站的距离是（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】电磁波为往返传播，所求距离为总传播路程的一半． 【详解】解：电磁波往返总时间为秒． 单程传播时间为秒． 飞机与雷达站的距离为米． 2．下列各式：①x2＋y2；②y2－x2；③－y2＋x2；④－x2－y2，其中能用平方差公式因式分解的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式因式分解的条件，平方差公式因式分解要求多项式能写成两个平方项的差的形式，即的形式，逐个判断四个式子即可得到结果． 【详解】解：① 是两个平方项的和，不符合要求，不能用平方差公式因式分解； ② 符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ③ ，符合的形式，符合要求，可以用平方差公式因式分解； ④ ，本质是两个平方项的和的相反数，不符合要求，不能用平方差公式因式分解． 3．已知实数，满足，，则代数式的值为（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】利用完全平方公式求出的值，再展开所求代数式，整体代入已知条件计算即可得到结果． 【详解】解：∵ ，已知 ，， ∴ ，解得 ， ∴， 将 ， 代入得， 原式 ． 4．，（其中），则，的大小关系是（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】先展开，再利用作差法求出，最后将差变形为完全平方式判断符号即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴ ． 5．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：与不是同类项，无法合并，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 6．已知x，y，z是的三边长，其中x，y满足，则的值可能为（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先对给定的等式进行变形，因为平方数和算术平方根都具有非负性，两个非负数相加为0，则各自为0，所以可以分别求出和的值．因为是三角形的三边长，所以根据三角形三边关系定理，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，可列出关于的不等式，确定的取值范围．对照选项，判断哪个选项的数值在的取值范围内即可． 【详解】解：可化为． ∵，， ∴，， 解得，， 根据三角形三边关系，得， 即． 选项中只有5符合该范围，故选项B符合题意． 7．已知，，则的值为（     ） A．70 B．80 C．88 D．90 【答案】B 【分析】利用完全平方公式变形，将用已知的与表示，代入计算即可 【详解】解：， ． 8．已知数，则数的位数是（   ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】A 【分析】将原式转化为含的幂的形式，便于判断位数． 【详解】解：． ∵是1后面带9个0的正整数，共10位． ∴的位数为10． 9．2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是，小正方形面积是，直角三角形的短直角边为，较长直角边为，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据大正方形的面积可得的值，利用大正方形与小正方形的面积差求得的值，最后利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：大正方形的面积是， 直角三角形斜边的平方为，即， 小正方形的面积是， 四个直角三角形的面积和为， ，即， ． 10．已知实数，满足且（），有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（     ） A．①② B．①④ C．①②③ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据两个等式条件可求得的值，可判断②；根据平方的非负性判断①，根据求出的的值及平方的非负性质判断③，最后根据完全平方式判断④即可． 【详解】解：∵ ， ∴， 把代入得，故②正确； ∵，， ∴， ∴，即，故①正确； ∵，， ∴，故③错误； ∵， ∴； ∵的值不确定，， ∴不一定等于，故④错误． 故①②正确． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．因式分解：________． 【答案】 【分析】先展开原式并合并同类项，整理为二次三项式后，利用完全平方公式因式分解. 【详解】解：原式 12．已知，则的值为________． 【答案】 【分析】先利用幂的运算法则化简所求代数式，再根据已知等式得到的值，代入计算即可． 【详解】解：． ∵， ∴， ∴原式． 13．若是大于1的正整数，且，则的值是___________． 【答案】7 【分析】先将左边个的和转化为乘法，再利用同底数幂的乘法法则化简，对比两边指数即可求解. 【详解】解：由已知得：， 即， ， . 14．已知，则代数式___________． 【答案】2 【分析】先化简所求代数式，再利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：先展开并化简所求代数式： ∵， ∴， 代入得，原式． 15．已知：，则的四次方根是___________． 【答案】 【分析】先对原式中关于的二次式配方，得到三个非负数的和为，根据非负数的性质求出的值，代入计算所求代数式后，再求其四次方根． 【详解】解：先对原式变形，对配方得， ∴原等式可化为， ∵任意实数的绝对值是非负数，二次根式的值是非负数，平方数是非负数， ∴，，， ∵三个非负数的和为， ∴每个非负数都为，即，，， 解得，，， 将，，代入得， ∴， ∴的四次方根是． 三、解答题（共8小题，共75分） 16．（6分）计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式．（3分） （2）解：原式．（6分） 17．（8分）（1）若，，求的值． （2）若，求值． 【答案】（1） （2）或 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法运算法则，拆分指数后代入数值计算即可； （2）利用幂的乘方运算法则，对做底数统一的变形，结合乘方的定义分别求解、的值，再计算即可． 【详解】解：（1）原式 ；（3分） （2）∵，，， ∴，， ∴或，，（5分） 当时，；（6分） 当时，；（7分） ∴或．（8分） 【点睛】本题解题关键是熟练掌握同底数幂乘法、幂的乘方的运算法则，并能正向、逆向灵活使用；平方运算的结果为正数时，底数存在正负两个解，切勿遗漏负数解导致结果不全． 18．（10分）把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查公式法因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． （1）利用完全平方公式因式分解即可； （2）利用完全平方公式因式分解即可； （3）利用完全平方公式因式分解即可； （4）先去括号，再利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】（1）解：；（2.5分） （2）解：；（5分） （3）解：（7.5分） （4）解：．（10分） 19．（10分）已知． (1)求多项式； (2)若，求多项式的值． 【答案】(1) (2) 的值为 【分析】（1）本题利用等式变形，通过整式乘法与化简求出多项式M； （2）根据幂的运算性质求出a的值，然后代入求值． 【详解】（1）解：∵， ∴ （5分） （2）解：∵， ∴，即， ∴．（7分） 把代入： （10分） 20．（10分）若一个正整数能表示成（a，b是正整数）的形式，则称这个数为“梦想数”．例如：因为5可以表示为的形式，所以5是“梦想数”． (1)若13是“梦想数”，则13可以表示为的形式； (2)请你再写两个小于30的“梦想数”（5和13除外）：________，________； (3)已知（x，y，k是正整数），要使M为“梦想数”，求k的值．（用因式分解的方法解答） 【答案】(1)2，3 (2)10，25．（答案不唯一） (3) 【分析】（1）根据“梦想数”的概念解答； （2）根据“梦想数”的概念解答； （3）根据完全平方公式将代数式进行变形，可求k的值． 【详解】（1）解：由题意得；（2分） （2）解：由，， 故是“梦想数”；（4分） （3）解： （6分） 要使M是“梦想数”， 则为完全平方式， ，（9分） 是正整数， ，此时，是“梦想数”．（10分） 21．（9分）数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，种纸片是边长为的正方形，种纸片是边长为的正方形，种纸片是长为、宽为的长方形．用种纸片一张，种纸片一张，种纸片两张可拼成如图2的大正方形． (1)观察图2，请你直接写出代数式，，之间的等量关系：______________________． (2)根据（1）中的等量关系，已知，，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过观察图1和图2之间的关系可得； （2）把已知条件代入小问1的结论，计算可得． 【详解】（1）（3分） （2） ，，， ，（5分） ，（7分） ．（9分） 22．（10分）如图所示，某小区有一块长为，宽为的长方形地块，物业公司在此长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为．为了进一步美化小区环境，提高业主居住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿化． (1)用含的代数式表示绿化的面积． (2)若满足，请帮助物业公司求出此时绿化的面积． 【答案】(1)； (2)． 【分析】用长方形面积减去小路的面积即可得到答案； 由非负数的性质得到，，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：由题意，得 ；（4分） （2）解：∵，，， ∴，，（7分） ∴，， 当，时，， 答：此时绿化的面积为．（10分） 23．（12分）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为， 【类比探究】 （1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为______． 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，，求的值． （3）若x满足，求的值． 【拓展】 （4）如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）种草区域的面积和为60平方米． 【分析】此题主要考查了几何背景下的完全平方公式，准确识图，熟练掌握完全平方公式的结构特征，图形的面积公式是解决问题的关键． （1）根据图②中“阴影部分两个正方形的面积之和=大正方形的面积-两个长方形的面积”得，据此即可得出答案； （2）由（1）的结论得，将代入计算即可得出答案； （3）设，则，进而得，由（1）的结论得，由此即可得出答案； （4）设，则种花区域的面积（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为（平方米）． 【详解】解：（1）∵图②中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为a，b，两个长方形的宽和长分别为a，b， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积两个长方形的面积， ， 故答案为：；（1分） （2）由（1）的结论得：， 又， ；（4分） （3）设，则， ，（5分） ， ，（6分） 由（1）的结论得：， ， ；（8分） （4）设， 于点E，米， （平方米），（平方米），（平方米），平方米，（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ，（10分） 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米．（12分） 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年八年级上册数学单元自测 第11章整式的乘除·能力提升 建议用时：100分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.雷达可用于飞机导航，也可用于监测飞机的飞行，假设某时刻雷达向飞机发射电磁波，电磁波遇到飞 机后反射，又被雷达接收，两个过程共用6.24×10秒，已知电磁波的传播速度为每秒3.0×10米，则该 时刻飞机与雷达站的距离是() A.9.36×10米B.9.36×104米C.1.872×10米D.1.872×104米 2.下列各式：①x2+y;②y2-x2;③一y2+x2:④-x2-y2,其中能用平方差公式因式分解的有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知实数a,b满足a+b2=7,a+b=3,则代数式a-2川b-2的值为() A.-2 B.-1 C.1 D.2 4.M=a+2ba-bN=3ab-b(其中a≠b2,则M:N的大小关系是() A.M>N B.M<N C.M=N D.无法确定 5.下列运算正确的是() A.4a-2a=2 B.3a2.2a3=6a6 C.x=|2x=4x D.-2x2y3=-8xy 6.已知x,y,z是△ABC的三边长，其中x,y满足x2-4x+4+y-5=0,则z的值可能为() A.3 B.5 C.7 D.9 7.已知ab=8,a-b=8,则a+b的值为() A.70 B.80 C.88 D.90 8.已知数N=22×5,则数N的位数是() A.10 B.11 C.12 D.13 9.2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由 四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13， 小正方形面积是1直角三角形的短直角边为。较长直角边为b那么(a+b2的值为（） 1/4 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.12 B.25 c.168 D.169 0.知实数a,b满起8+gc且a+b-3ab(ab≠0)，有下列结论：①ab>0:②c3:@ a2+b'=-3c:④1a-b=c其中正确的是（） A.①② B.①④ C.①②③ D.②③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11.因式分解：a+2a+1+3a+7= 12.已知2x+5y-2=0则(2-(2)y的值为 13.若a是大于1的正整数，且0+a++a=a ,则n的值是 a个a”相加 14.已知X+-5=0则代数式x-1-Xx-3+x+2x-2 15.己知：4x-4y+1+号2y+2+2-+子0.则Xy+z的四次方根是 三、解答题（共8小题，共75分） 16.(6分)计算： 四02x-x--x2.-3x 22x-y2.2x+y2 17.(8分)(1)若a2m=4,a=32,求a2m+"的值. (2)若2=a2=4,求a+b值 18.(10分)把下列各式因式分解： ()a+8a+16 214 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)-4mn-4m2-n2 3)a+2b2+6la+2bj+9 4)x-1x-3+1 19.(10分)已知M-|2a-1a+1=-3a+2: (I)求多项式M; (2)若g=27求多项式M的值. 20.(10分)若一个正整数能表示成a2+b2(a,b是正整数)的形式，则称这个数为“梦想数”.例如： 因为5可以表示为2+1的形式，所以5是“梦想数”， (1)若13是“梦想数”，则13可以表示为 2+ 2的形式： (2)请你再写两个小于30的“梦想数”(5和13除外)： (3)已知M=x+y+kx+6y+13(x,y,k是正整数)，要使M为“梦想数”，求k的值.（用因式分解 的方法解答) 21.(9分)数学活动课上，老师准备了若干个如图1的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸 片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为Q的长方形.用A种纸片一张，B种纸片一张，C种纸片两 张可拼成如图2的大正方形 图1 图2 (①)观察图2，请你直接写出代数式(a+b}:a+b:ab之间的等量关系： (2)根据(1)中的等量关系，己知a+b=5,Q+b2=13,求ab的值 22.(10分)如图所示，某小区有一块长为2a+3bm,宽为3a+2bm的长方形地块，物业公司在此 长方形地块内修建了一条平行四边形小路，小路的底边宽为am.为了进一步美化小区环境，提高业主居 住舒适度和幸福感，营造一个宜居、温馨、和谐的居住氛围，近期，物业公司计划将图中阴影部分进行绿 化. 3/4 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 a 3a+2b a 2a+3b (1)用含a,b的代数式表示绿化的面积S (②)若a,b满足a-2?+b-4?=0:请帮助物业公司求出此时绿化的面积。 23.(12分)【教材原题】观察图O,用等式表示图中图形的面积的运算为a+bP=a2+2ab+b2, a ab b 花 草 + 草E花C b ab b 图① 图② 图③ 【类比探究】 (1)观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算为 【应用】 (2)根据图②所得的公式，若a+b=7,ab=4,求a2+b的值， (3)若x满足5-Xx-1=3求5-xP+x-1P的值. 【拓展】 (4)如图③，某学校有一块梯形空地ABCD,AC⊥BD于点E,AE=DE,BE=CE,该校计划在 △AED和△BEC区域内种花，在△CDE和△ABE的区域内种草，经测量种花区域的面积和为1O2平方 米，AC=18米，求种草区域的面积和. 4/4