2.1.1 有理数-【随堂笔记】2026-2027学年七年级上册数学（北师大版·新教材）

第2课时柱体、锥体的展开与折叠 m·(2)产x4-36(em), 预习检测 第3课时截一个几何体 1.B2.B3.D4.B 预习检测 举二反三 1.C2.A3.⑤ 1-1B【解析】A经过折叠能围成一个四棱 柱（长方体）；B底面是五边形，侧面是六个长方 举三反三 形，经过折叠不能围成棱柱；C经过折叠能围成 1-1D2-1D2-2B2-3B 一个三棱柱；D经过折叠能围成一个四棱柱（长 变式训练 方体). 1-1C【解析】用一个平面去截圆柱，所得 1-2B【解析】根据几何体表面展开图的 截面的形状可能是长方形、圆、椭圆等，不可能 特点，第一个图形和第三个图形是棱锥的展 是三角形 开图. 2-1B 1-3③④【解析】根据长方体表面展开图 第4课时从三个方向看物体的形状 的特点，①②折叠能得到长方体纸盒，③④折叠 得不到长方体纸盒 预习检测， 1.D2.A3.B 变式训练 1-1B【解析】圆柱的侧面展开图是长方 举三反三 形，过点A,C嵌有一圈路径最短的金属丝，则剪 1-1C1-2B2-1B 开后铁丝的形状是直的，排除A,D;将圆柱侧面 变式训练 沿AB剪开，所得的圆柱侧面展开图是B. 1-1B 2-124cm或6cm【解析】①底面周长 1-2解：从正面看所得到的形状图的面积 为4cm时，圆柱底面圆的半径为4÷2π= S正=5，从左面看所得到的形状图的面积S左= 名（em）,此时圆柱的体积为云· 2)2×6= 3,从上面看所得到的形状图的面积S:=5,凹 陷处从三个方向都看不到的面的面积为2，所以该 24(cm):②底面周长为6cm时，圆柱底面圆 立体图形的表面积为S=2(S正+S左+S上)+ 2=28. 的半径为6÷2m=二(cm),此时圆柱的体积为 第二章 有理数及其运算 1认识有理数 举三反三 1-1D【解析】转盘逆时针转3圈与向右转 第1课时有理数 5圈不具有相反意义， 预习检测， 1-2A【解析】如果温度上升4℃记为 1.C2.C3.A +4℃，那么温度下降6℃应记为-6℃. 2-1B【解析】-a可以是正数、0或负数， 相反数，故A选项不符合题意；-（-5)=5， 负数是-1，-0.1，共2个 +(-5)=-5,5和-5互为相反数，故B选项 2-2C【解析】-3.782是小数，是有理数， 符合题意；2和2不互为相反数，故C选项不符 是负数，也是分数 3-1A【解析，0.3是正有理数，共2个 合题意；+(-3)=-3，-(+3)=-3，-3和 -3不互为相反数，故D选项不符合题意 3-2A【解析】-3%，0-0.01001是 3-23-4 2-3 负分数，共3个 4-1D【解析】有理数可分为正有理数，0 【解析】-(-32)=32+(-4兮)=-4行 和负有理数，故A选项错误；正整数集合，0与 --[-(-号刀=3；--[-(+3]9=-3 负整数集合合在一起构成整数集合，故B选项 错误；0是整数，但不是分数，故C选项错误；整 变式训练 数和分数统称为有理数，故D选项正确， -6【解析】因为a与b互为相反数，所以a 4-2D【解析】非负整数集合指的是0和正 -b.因为b与c互为相反数，所以b=-c=6. 整数. 所以a=c=-6. 变式训练 第3课时 绝对值 1-1A 预习检测， 2-1解：按整数、分数分类 1.D2.C3.A4.D 整数：15,0，-26,32 分数：-39，号563,017，-子 5.解：1-51=5,19.21=9.2,1-51 按正数、零、负数分类 5,1-1051=10.5,101=100 正数：5.63,0.17,15,32. 零：0 举三反三， 负数：39，号，子 ,-26.（答案不唯一) 1-1B【解析】1-20241=2024. 1-2C【解析】因为1±41=4，所以这个数 第2课时 相反数 是±4. 预习检测 2-1D【解析】当a=0时，1al=0,0既不是 1.C2.B3.A 正数也不是负数，故A选项错误；当a<0时， 举三反写 -a是正数，故B选项错误；当a=0时，-Ial= 0,故C选项错误；因为lal≥0，所以Ial+1>0, 1-1C【解析】2的相反数是-2，故A,D选 即Ial+1一定是正数，故D选项正确. 项不符合题意；-)的相反数是？，故B选项不 2-2 -0.75；-:【解析】-1+0.751= 符合题意；1和-1互为相反数，故C选项符合 题意。 -0.75；-1-1=-5 4 4 1-24【解析】-4与4互为相反数. 3-1解：-3.5<-1-21<-(+1.5)< 2-1B【解析】2024的相反数是-2024. 3-1B【解析】-(-2)=2,2和2不互为 01<-（-2)<3}<1-3.51 31认识有理数 第1课时 有理数 课前·预习笔记 1.在具体情境中，进一步认识负数，能用正负数表示具有相反意义的里.© 预习目标 2. 理解正数、负数和零的意义，会判断一个数是正数还是负数， 3.理解有理数的有关概念，能按一定的标准对有理数进行分类 第号步 明确考情 1.考频：5年3考 2.分值：3分 3.题型：选择题、填空题 第三步梳理知识 1,相反意义的量 为了表示具有相反意义的量，我们可以把其中一个量规定为正的，如加分、零上温度等规 定为正，把与这个量意义相反的量规定为负的，如扣分、零下温度等规定为负· 2. 正数和负数 概念：大于0的数叫作正数 (1)正数 表示：可以在正数前面加“+”号 (2)负数：在正数前面加“-”（负）号的数叫作负数 习任 (3)0既不是正数，也不是负数；0是正数与负数的分界： !3.有理数的概念及分类 (1)整数与分数统称有理数， (2)有理数按定义分，可分为整数和分数；按性质符号分，可分为正有理数、0、负有 理数. 第三步预习检测 :1.两千多年前，中国人就开始使用负数.如果支出150元记作-150元，那么+50元表 示( ) A.收入100元 B.支出100元 C.收入50元 D.支出50元 2.在0,1，-1，-2.5中，属于负整数的是( ) A.0 B.1 C.-1 D.-2.5 3.在正整数中，1是() A.最小的奇数 B.最小的偶数 C.最小的素数 D.最小的合数 30 随堂笔记7年级数学BS上册 课堂·听课笔记 新知解读 知识点1●》用正负数表示具有相反意义的量 >举一反三》参考答案见答案册P2 具有相反意义的量包括两层含义：①具有相反意义；②具有 1-1下列各对量中，不具有相 数量.如零上20℃记作+20℃ 注意带上单位 反意义的是() 为了表示具有相反意义的量，我们可把其中一个量规定为正 A.胜2局与负3局 的，用正数来表示，而把与这个量意义相反的量规定为负的， B.盈利3万元与亏损3万元 C.气温升高4℃与气温降低10℃ 用负数来表示.，如零下17℃记作-17℃ D.转盘逆时针转3圈与向右转 注意事项：用正数、负数表示具有相反意义的量：①不要求数量 5圈 一定相等，所以与一个量具有相反意义的量不止一个.②基准的选 1-2中国古代数学著作《九章 法不同，表示的结果也不相同 算术》中“方程”一章，在世界数 ©拓展提升 具有相反意义的量的特征 学史上首次引入负数.如果温度 ①规定性：在用正数、负数表示具有相反意义的量时，究竟娜 上升4℃记为+4℃，那么温度 种意义的量为正数，哪种意义的量为负数，是可以规定的，但 下降6℃应记为( 习惯上把“盈利”“升高”“收入”“增加”等规定为正，而把 A.-6℃ B.+6℃ “亏损”“降低”“支出”“减少”等规定为负。 C.-10℃ D.+10℃ ②成对性：具有相反意义的量是成对出现的，单独的一个量 不能成为具有相反意义的量： ③同类性：具有相反意义的量必须是同类的，如购进80千克 和亏损800元不是具有相反意义的量 例1[衔接教材](1)一个月内，小明体重增加2kg,小华体重 减少1kg,小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值； 用正裁表示体重增加，负裁表示体重减少← (2)某年，下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况： 美国减少6.4%， 德国增长1.3%， 法国减少2.4%， 英国减少3.5%， 用正裁表示商品进 出口总额增加，负 意大利增长0.2%，中国增长7.5%. 数表示商品进出口 总额减少 写出这些国家这一年商品进出口总额的增长率. 【答案】解：(1)这个月小明体重增长2kg,小华体重增长-1kg,小 强体重增长0kg 第二章有理数及其运算 31 (2)六个国家这一年商品进出口总额的增长率是： 美国-6.4%， 德国1.3%， 法国-2.4%， 英国-3.5%， 意大利0.2%， 中国7.5%. ★方法点拔 用正数、负数表示具有相反意义的量的步骤 (1)找出问题中具有相反意义的量； (2)规定其中一个量为正； (3)用正数或负数表示问题中的其他数量： 知识点2》>正数和负数 〉举一反三》参考答案见答案册3 正最前可以加”+”号，如+3+0.24， 1.正数：像3,1.8%，3.5这样大于0的数叫作正数. 2-1在0，-1,32-01， 2.负数：像-3，-2.7%，-4.5这样在正数前面加“-”（负）号 的数叫作负数.小于0的戴 。“一”号不能省略 4,-a(a是任意有理数)中， 3.0既不是正数，也不是负数.，0是正数和负数的分界 负数的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 图拓展提升有时，为了明确表达意义，在正数前面也加上 2-2下列关于-3.782的说法 “+”(正)号.一个数前面的“+”“-”号叫作它的符号. 正确的是() 注意事项：对于正数和负数，不能简单地理解为带“+”号的 A.是负数，不是分数 数是正数，带“-”号的数是负数，要看其值是正还是负.例如， B.不是分数，是有理数 C.是负数，也是分数 对于-a,当a是正数时，-a一定是负数；当a是0时，-a就 D.是分数，不是有理数 是0；当a是负数时，-a就是正数， 例2[教材24例题](1)某人转动转盘，如果用+5 圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转 了12圈怎样表示？ (2)在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球的质量高于标准质 量0.02g记作+0.02g,那么-0.03g表示什么？高于对应“+” (3)某大米包装袋上标注者”净含址：0g士50套蔻鱼的 “10kg±50g”表示什么？ 【答案】解：(1)沿顺时针方向转了12圈记作-12圈； (2)-0.03g表示乒乓球的质量低于标准质量0.03g; (3)每袋大米的标准质量应为10kg,但实际每袋大米可能有 50g的误差，即每袋大米的净含量最多是10kg+50g,最少是 10kg-50g 32随堂笔记7年级数学BS上册 知识点3》有理数的有关概念 举一反三》参考答案见答案册3 如-3，-2,0 1.整数：正整数、零、负整数统称整数 1,2,3等 3-1下列各数： ,-3.14,T, 2.分数：正分数、负分数统称分数 如+3302，-1.25 -0.4,0.3.其中正有理数的个 3.有理数：整数与分数统称有理数 -17%等 数是() 4.部分常用数学名词 A.2B.3 C.4D.5 (1)正整数：如1,2,3，… 3-2在有理数-2，号，-3%， 负整数：如-1，-2，-3，… (2)正分数：如，1,1 23,40.4,6. -020240,-a0101中，负 分数有() 负分数：如-克，子，-175，号 A.3个B.4个C.5个D.6个 (3)非负数：正数和零 非正数：负数和零 (4)非正整数：负整数和零 非负整数：正整数和零 (5)自然数：正整数和零 例3[衔接教材]下列各数：-1,3.1010010001…，4.11213415， 0.号314其中有速数有( ）识别有理数要紧扣定义，即 *看这个数是否为整裁或分裁 A.6个 B.5个 C.4个 D.3个 【解析】-1是整数，所以是有理数；3.1010010001…是无限不 循环小数，所以不是有理数；4.11213415是有限小数，是分 数，所以是有理数：0是整数，所以是有理数：号是分数，所以是 有理数；3.14是有限小数，是分数，以是有理数.故有理数有 5个 【答案】B ☒拓展提升 小数与有理数的关系 有限小数，如0.5= 2，-0.1=- 1 0，… 能化为分数， 无限循环小数，如0.3=3，… 1 是有理数 小 数 无限小数 无限不循环小数，如T,0.121221不能化分 (相邻两个1之间2的个数逐次加1)， 为分数， 不是有理数 第二章有理数及其运算 33 知识点4》有理数的分类 举一反三》>参考答案见答案册3 1.有理数的分类 两种分类都是将有理数细分为五类，即 整裁、正分数、0、负整数、负分裁 4-1下列关于有理数的说法正 (1)按有理数的定义 (2)按有理数的性质符号： 确的是() r正整数 正整数 A.有理数可分为正有理数和负 整数0 正有理数 1正分数 有理数两大类 B.正整数集合与负整数集合合 有理数 负整数 有理数0 正分数 在一起构成整数集合 分数 负有理数 负整数 负分数 C.0既不属于整数也不属于 负分数 分数 2.数的集合：把满足一定条件的所有数放在一起，就组成一类数的 D,整数和分数统称为有理数 集合.所有正整数组成正整悬集合，所有负整数组成负整数集合 4-2非负整数集合指的 例4[衔接教材]把下列各数填入相应的大括号里： 是( 80,-2,受，0.7，-号，0.12121221，-0.3333…，圣 3 A.正整数和正分数 B.正整数和分数 整数集合：{ …} 负分数集合：{ C.0、正整数和分数 正有理数集合： 负有理数集合： … D.0和正整数 【答案】解：整数集合：{8,0，-2，…} 负分数集合：-子，-0.333，…。 正有理数集合：8,0.7，，… 同一个裁有可能属于多个不同的 集合，分类时须做到不重复、 不遗漏 负有理数集合：-2，-子，-0.3333，… 课本练习0[教材25随堂练习]则零干对应”- 零上对应“+” 向西对应 则向东树应“+ 1.（1)如果零上5℃记作+5℃，那么零下3℃记作什么？ 答案 (2)东、西为两个相反方向，如果-4m表示一个物体向西运 1.(1)零下3℃记作-3℃； 动4m,那么+2m表示什么？物体原地不动记作什么？ (2)+2m表示物体向东运动 (3)某仓库运进面粉7.5t记作+7.5t,那么运出面粉3.8t 2m,物体原地不动记作0m; 记作什么？运进对应“+”，则运出对应“-· (3)运出面粉3.8t应记 作-3.8t 2.所有的正数组成正数集合，所有的负数组成负数集合，所有 的整数组成整数集合，所有的分数组成分数集合.请把下列 2正数集合：3,5.6,15，号，… 各数填入相应的集合中： 负装条合：-7，子，-8 4 方法一逐个 3-7,号560，-8415g …} 填写相应的集 方法二 逐个 整数集合：{3，-7,0,15，…} 合，如要填写 正数集合：{ … 考查所给的 分戴集合 ，只 看它是什 要从给出的裁 负数集合：{ … 么数， 即是否 分藏类合：-号56，-8日 中我出所有的 … 属于某一集 分数，将它们 整数集合：{ 如果属于 1 填入分数集合 分数集合：{ … 就可以填入相 中即可 应的集合内 34 随堂笔记7年级数学BS上册 课后·提升笔记 题型训练 题型1●>用正数、负数表示具有相反意义的量 变式训练》参考答案见答案册3 例1月球表面的白天平均温度零上126℃，记作+126℃，夜 1-1中国是最早使用正负数表 间平均温度零下150℃，应记作() 示具有相反意义的量的国家.若 A.+150℃ B.-150℃ C.+276℃ D.-276℃ 向东走60米记作+60米，则向 【解析】白天平均温度零上126℃，记作+126℃，夜间平均温 西走80米可记作() 度零下150℃，应记作-150℃. A.-80米 B.0米 【答案】B C.80米 D.140米 题型2●》有理数的分类 变式训川练参考答案见答案册P3 例2下列说法： 2-1请按不同标准把下列各数 ①正整数和负整数统称为整数；②0既不是正数，也不是非负 分类： 数；③有理数除整数外，其余全是分数；④正分数和负分数统称 -3.9,-3 ,5.63,0.17,15, 为分数. 其中正确的有() 40,-26,32. A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【解析】正整数、负整数和0统称为整数，故①错误；0是非负 数，故②错误；有理数除整数外，其余全是分数，故③正确；正分 数和负分数统称为分数，故④正确.说法正确的有2个 【答案】C 链接中考 考点◆ 用正负数表示具有相反意义的量 【解析】因为一对具有相反意义的量可以用正 题型 难度 分值 负数表示，所以储蓄存折上存入2500元记作 选择题、填空题 ★☆☆ 3分 “+2500”,那么“-90”表示支出90元. 典例■[宁波中考]如表，储蓄存折上存入2500 【答案】D 元记作“+2500”，那么“-90”表示( 日期/摘要/币种/存入V支出 110110 现存 RMB +2500 A.亏损10元 B.支出10元 C.亏损90元 D.支出90元 第二章有理数及其运算 35