微专题 一元二次不等式恒成立问题题型例析讲义-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

该高中数学讲义通过框架图系统梳理一元二次不等式恒成立问题的知识体系，将全体实数与给定区间两类题型、Δ法等四种解题方法按“知识梳理-方法提炼-题型应用”递进组织，结合二次函数图像性质呈现重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的R上恒成立到综合交汇题，如分离参数法解给定区间恒成立问题，培养数学思维与转化能力。例题解析含易错提醒，基础生掌握方法，优秀生深入探究，助力教师精准分层教学。

【原卷版】 微专题 一元二次不等式恒成立问题题型例析 在【沪教版】高中数学中，一元二次不等式恒成立是不等式章节的重点，核心是结合二次函数图像性质，求解参数取值范围；恒成立即对指定范围内全部，不等式始终成立，分全体实与给定区间两类题型，含参数必须优先讨论二次项系数是否为 ，避免忽略一次不等式情况。 在上恒成立：恒成立，需“”且判别式：；恒成立，需“”且判别式：；若“”，退化为一次不等式再判断是否恒成立。 在指定闭区间恒成立，常用两种思路：一是研究二次函数在区间上最值，保证最值满足不等式；二是分离参数，转化为参数大于函数最大值或小于函数最小值求解；解题要结合开口方向、对称轴位置、端点函数值综合列式，区分恒成立与有解问题，避免混淆条件，是高一常考、后续综合题常用的工具性知识。 在解决不等式恒成立的问题时，需弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数；常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决； 方法1、“Δ”法解决不等式在R上恒成立恒成立问题 （1）不等式对任意实数恒成立或； （2）不等式对任意实数恒成立或。 【说明】其中， 如图①一元二次不等式在上恒成立⇔一元二次不等式的解集为⇔二次函数的图像恒在轴上方⇔ ⇔； 如图②元二次不等式在上恒成立⇔一元二次不等式的解集为⇔二次函数的图像恒在轴上方⇔ ⇔； 方法2、数形结合法解决恒成立问题 结合函数的图像将问题转化为函数图像的对称轴，区间端点的函数值或函数图像的位置（相对于轴）关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题。 方法3、分离参数法解决恒成立问题 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题； 即：恒成立⇔；恒成立⇔。 方法4、主参换位法解决恒成立问题 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解。 题型1、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 例1、关于的不等式的解集是，求实数的取值范围是 _______. 【提示】 【答案】 【解析】 【说明】 例2、若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 题型2、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题 例3、若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 例4、已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为__________． 题型3、分离参数法解决恒成立问题 例5、若关于的一元二次不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例6、关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为 题型4、变换主元解决恒成立问题 例7、若不等式，当时恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例8、已知不等式；若不等式在时恒成立，求实数的取值范围。 题型5、数形结合法解决恒成立问题 例9、已知命题：存在，若为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例10、已知命题“对任意的，都有恒成立”为真，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型6、一元二次不等式恒成立综合问题 例11、设函数若对于恒成立，求m的取值范围. 例12、设函数 （1）若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 题型7、恒成立问题与其他知识的交汇 例13、若关于的不等式的解集为，则的取值范围是_________ 例14、已知关于的不等式； （1）是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由； （2）若不等式对于恒成立，求m的取值范围； （3）若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围； 【特别注意】 前提是：（1）弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数； （2）弄清楚是在R上恒成立，还是在给定区间上恒成立弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数； 常用的解题方法有： 1、判别式法：适用于“在R上恒成立”问题； 2、数形结合法、分离法、分类讨论法：适用于“在给定区间上恒成立”问题；，此时不能用判别式Δ 3、主参变换法：适用于“已知参数范围求函数自变量范围”问题，此时的解题思路是“更换主元”，把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解； 1．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．设，不等式恒成立的一个充分条件可以是（     ） A． B． C． D． 4．“关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D．或 5．不等式对于一切恒成立，的取值范围是 6．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 7．不等式，在上恒成立，则的取值范围是 8．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为 9．设函数的最大值是，若对于任意的恒成立，则的取值范围是______； 10．若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是______. 11．已知函数． （1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 12．已知函数； （1）当时，若恒成立，求a的取值范围； （2）当时，若恒成立，求a的取值范围． 【解析版】 微专题 一元二次不等式恒成立问题题型例析 在【沪教版】高中数学中，一元二次不等式恒成立是不等式章节的重点，核心是结合二次函数图像性质，求解参数取值范围；恒成立即对指定范围内全部，不等式始终成立，分全体实与给定区间两类题型，含参数必须优先讨论二次项系数是否为 ，避免忽略一次不等式情况。 在上恒成立：恒成立，需“”且判别式：；恒成立，需“”且判别式：；若“”，退化为一次不等式再判断是否恒成立。 在指定闭区间恒成立，常用两种思路：一是研究二次函数在区间上最值，保证最值满足不等式；二是分离参数，转化为参数大于函数最大值或小于函数最小值求解；解题要结合开口方向、对称轴位置、端点函数值综合列式，区分恒成立与有解问题，避免混淆条件，是高一常考、后续综合题常用的工具性知识。 在解决不等式恒成立的问题时，需弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数；常常使用不等式解集法、分离参数法、主参换位法和数形结合法解决； 方法1、“Δ”法解决不等式在R上恒成立恒成立问题 （1）不等式对任意实数恒成立或； （2）不等式对任意实数恒成立或。 【说明】其中， 如图①一元二次不等式在上恒成立⇔一元二次不等式的解集为⇔二次函数的图像恒在轴上方⇔ ⇔； 如图②元二次不等式在上恒成立⇔一元二次不等式的解集为⇔二次函数的图像恒在轴上方⇔ ⇔； 方法2、数形结合法解决恒成立问题 结合函数的图像将问题转化为函数图像的对称轴，区间端点的函数值或函数图像的位置（相对于轴）关系求解．可结合相应一元二次方程根的分布解决问题。 方法3、分离参数法解决恒成立问题 通过分离参数将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题； 即：恒成立⇔；恒成立⇔。 方法4、主参换位法解决恒成立问题 转换思维角度，即把变元与参数变换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围求解。 题型1、一元二次不等式在实数集上的恒成立问题 例1、关于的不等式的解集是，求实数的取值范围是 _______. 【提示】利用判别式△＜0求出实数k的取值范围； 【答案】； 【解析】关于x的不等式的解集为R，∴△=k2-4×9＜0，解得∴实数k的取值范围为 ； 【说明】本题主要考查了一元二次不等式在实数集上恒成立问题； 例2、若不等式对一切实数都成立，则实数的取值范围为 【提示】对讨论，结合判别式即可求解； 【答案】； 【解析】当时，则对一切实数都成立，符合题意， 当时，则，解得， 综上可得， 故答案为； 【说明】本题主要考查了一元二次不等式在实数集上恒成立问题，注意与分类讨论的交汇； 题型2、一元二次不等式在给定区间上的恒成立问题 例3、若不等式对任意恒成立，则实数的取值范围是 【提示】由参变量分离法可得对任意恒成立，利用基本不等式求出函数在上的最小值，即可求得实数的取值范围； 【答案】； 【解析】不等式对任意的恒成立， 等价于对任意的恒成立， 记，等价于， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立. 所以，，解得. 因此，实数的取值范围是. 【说明】本题考查了基本不等式的恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题； 例4、已知不等式对任意的恒成立，则实数a的最小值为__________． 【提示】分离参数，利用基本不等式即可求解； 【答案】； 【解析】因为不等式对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立， 又当时，，当且仅当，即时，等号成立， 所以，即，所以实数a的最小值为. 故答案为：； 【说明】本题主要考查了一元二次不等式在某区间上的恒成立问题； 题型3、分离参数法解决恒成立问题 例5、若关于的一元二次不等式在时恒成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【提示】根据条件，将问题转化成在时恒成立，再利用定理：平均值不等式，即可求出结果； 【答案】C； 【解析】因为，由得到， 由题知，在时恒成立，又，当且仅当，即时取等号， 所以， 故选：C； 【说明】本题考查了分离参数，构造代数式利用定理：平均值不等式求和的最小值解之。 例6、关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围为 【提示】不等式的解集是，即对于任意的，恒成立，即，分和两种情况讨论，结合基本不等式即可得出答案； 【答案】； 【解析】不等式的解集是， 即对于任意的，恒成立，即， 当时，， 当时，， 因为， 所以，综上所述. 【说明】本题考查了由一元二次不等式的解确定参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题、定理：平均值不等式的应用； 题型4、变换主元解决恒成立问题 例7、若不等式，当时恒成立，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【提示】由已知可得，结合一次函数的性质求x的范围； 【答案】D； 【解析】不等式可化为， 由已知可得 令， 可得 所以， 或， 故选D； 【说明】本题考查了解不含参数的一元二次不等式、函数不等式恒成立问题的综合； 例8、已知不等式；若不等式在时恒成立，求实数的取值范围。 【提示】设，依题意可得，即可得到不等式组，解得即可； 【答案】； 【解析】不等式化为②， 设， 因为时不等式②恒成立， 即， 所以， 解得或或； 所以实数的取值范围是； 【说明】本题主要考查一元二次不等式在某区间上的恒成立问题，以及分离参变量与等价转化数学思想； 题型5、数形结合法解决恒成立问题 例9、已知命题：存在，若为假命题，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【提示】利用命题的关系、分离参数法、二次函数的图象与性质分析运算即可得解； 【答案】A； 【解析】若命题为真命题，即：存在， 设，则由二次函数图象与性质知， 当时，最小值为，所以. 因为命题为假命题，所以， 即的取值范围为. 故选：A. 【说明】本题考查了根据特称（存在性）命题的真假求参数、解含有参数的一元二次不等式、一元二次不等式在某区间上有解问题； 例10、已知命题“对任意的，都有恒成立”为真，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【提示】令，则问题转化为在对任意的的最小值满足，再利用二次函数的性质解不等式即可求出； 【答案】A； 【解析】令，则问题转化为在上的最小值满足即可. 当时，，最小值为，符合题意； 当时，对称轴，函数在上单调递减， 而适合题意； 当时，对称轴， 则， 所以； 综上的取值范围为. 故选：A； 【说明】本题考查了根据全称命题的真假求参数、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题、函数不等式恒成立问题； 题型6、一元二次不等式恒成立综合问题 例11、设函数若对于恒成立，求m的取值范围. 【提示】由可知函数的对称轴是，在上是单调函数，分为和两种情况进行讨论，结合函数的单调性进行求解即得； 【答案】； 【解析】当时，函数的对称轴是，在上是单调函数. 当时，在上是单调递增，此时要使恒成立，只要即可，即，解得，故. 当时，在上是单调递减，此时要使恒成立，只要即可，即，解得，故. 综上，m的取值范围是； 【说明】本题考查了在恒成立情况下求参数的取值范围，不等式恒成立问题； 例12、设函数 （1）若对于一切实数，恒成立，求实数的取值范围； （2）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围； （3）若对于任意，恒成立，求实数的取值范围. 【提示】（1）根据是否为零分类讨论，结合二次函数的性质进行求解即可； （2）根据的正负性分类讨论，结合二次函数的性质进行求解即可； （3）将不等式转为关于m的一次函数求解即可； 【答案】（1）；（2）；（3）或； 【解析】（1）当时，，显然恒成立，符合题意； 当时，要想对于一切实数，恒成立， 只需满足且即可，解得， 综上所述：实数的取值范围为：； （2）当时，，显然恒成立； 当时，二次函数的对称轴为：，此时当时，二次函数单调递增，此时， 要想对于任意，恒成立，只需， 即，解得，所以； 当时，二次函数的对称轴为：，当时，二次函数单调递减，此时， 要想对于任意，恒成立，只需， 即，解得，所以， 综上所述：实数的取值范围为； （3）若对于任意，恒成立， 即恒成立，即恒成立， 令，其中， 即是关于m的单调递增的一次函数， 可得， 由题意可得只需，解得或， 则实数x的取值范围是或； 【说明】本题综合考查了一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题； 题型7、恒成立问题与其他知识的交汇 例13、若关于的不等式的解集为，则的取值范围是_________ 【提示】先根据一元二次不等式的解集得到对称轴，然后根据端点得到两个等式和一个不等式，求出的取值范围，最后都表示成的形式即可； 【答案】； 【解析】因为不等式的解集为， 所以二次函数的对称轴为直线， 且需满足，即，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：； 【说明】本题主要考查了由一元二次不等式的解确定参数；其中，一元二次不等式的解决关键是转化为二次函数问题，求出对称轴和端点的值，继而用同一个变量来表示求解； 例14、已知关于的不等式； （1）是否存在实数m，使不等式对任意恒成立，并说明理由； （2）若不等式对于恒成立，求m的取值范围； （3）若不等式对于恒成立，求实数x的取值范围； 【提示】（1）将不等式转换，讨论的取值得到结果； （2）将原式转化为，通过换元分析得出的取值范围； （3）将原式堪称关于的一次函数，保证和的值大于零即可； 【答案】（1）不存在；（2）；（3）； 【解析】（1）原不等式等价于， 当时，不恒成立， 当时，不等式对于恒成立， 则需且，无解， 所以不存在实数对任意恒成立. （2）因为，所以， 设，则， 所以， 设， 显然在上单调递增， 当时，，，且， 所以，所以的取值范围是. （3）设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得或， 所以的取值范围是； 【说明】本题综合考查了一元二次不等式在实数集上恒成立问题、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题； 【特别注意】 前提是：（1）弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数； （2）弄清楚是在R上恒成立，还是在给定区间上恒成立弄清楚自变量、参数，一般情况下，求谁的范围，谁就是参数； 常用的解题方法有： 1、判别式法：适用于“在R上恒成立”问题； 2、数形结合法、分离法、分类讨论法：适用于“在给定区间上恒成立”问题；，此时不能用判别式Δ 3、主参变换法：适用于“已知参数范围求函数自变量范围”问题，此时的解题思路是“更换主元”，把参数当作函数的自变量，得到一个新的函数，然后利用新函数求解； 1．若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C； 【解析】因为关于的不等式恒成立，所以，即. 故选：C； 2．不等式对一切恒成立，则实数a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B； 【解析】由题意，不等式对一切恒成立， 当时，即时，不等式恒成立，符合题意； 当时，即时， 要使得不等式对一切恒成立， 则满足，解得， 综上，实数a的取值范围是. 故选：B； 3．设，不等式恒成立的一个充分条件可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】A； 【解析】若，则恒成立， 若，则，故， 故，所以不等式恒成立的充要条件为， 若求充分条件，则充分条件对应的集合真包含于， 对比各选择，只有A符合， 故选：A； 4．“关于的不等式恒成立”的一个必要不充分条件是（     ） A． B． C． D．或 【答案】C； 【解析】当时，不等式，即恒成立； 当时，要使不等式恒成立，则，解得. 综上所述，关于的不等式恒成立的a的取值范围是. 所以，是的充分不必要条件，故A错误； 是的充要条件，故B错误； 是的必要不充分条件，故C正确； 或是的既不充分也不必要条件，故D错误； 故选：C. 5．不等式对于一切恒成立，的取值范围是 【答案】； 【解析】明显可见，时，不符合题意； 时，有时，不等式成立； 时，必有成立，即，解得； 综上，； 6．若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是 【答案】； 【解析】当，即时，，符合题意， 当，即时， ，解得， 综上； 7．不等式，在上恒成立，则的取值范围是 【答案】； 【解析】由题意，设，则的对称轴为，开口向上的二次函数， 当时，在区间递减，在递增， 所以，解得，即 当时，在区间递增，则， 所以，即， 综上，实数的取值范围是； 8．若不等式对任意的恒成立，则的最小值为 【答案】4； 【解析】不等式可化为， 当时，不等式为，不满足对任意的恒成立； 当时，，图象开口向下，不满足题意， 所以，且，所以， 所以，且，； 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4． 9．设函数的最大值是，若对于任意的恒成立，则的取值范围是______； 【提示】利用定理：平均值不等式可求解，进而利用分离参数法，结合二次函数的性质求解，或者构造二次函数，利用二次函数的性质求解； 【答案】； 【解析】当时，.当时，（当且仅当时取等号），则，即. 由题意知在时恒成立； 方法1、分离参数得在时恒成立， 故， 需小于等于函数在区间上的最小值； ，故当时，， 所以. 方法2、在时恒成立（*）； 令，则问题（*）等价于在上恒成立，函数的图象的对称轴为直线，且开口向上， 所以在上，，所以，即. 10．若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围是______. 【提示】将其看作是关于的一次函数，即可列不等式，由一元二次不等式化简求解； 【答案】； 【解析】不等式对满足的所有都成立，则对任意的，恒成立，令，则即解得. 故答案为：； 11．已知函数． （1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围． 【提示】（1）由题意转化为，即可求解； （2）首先将不等式，参变分离为在上恒成立，转化为求解函数的最值，即可求解； 【答案】（1）；（2）； 【解析】（1）若在上恒成立， 则，得， 所以实数的取值范围是； （2）由题意知，在上恒成立， 则， ，当时，的范围为， 所以，则实数的取值范围是. 12．已知函数； （1）当时，若恒成立，求a的取值范围； （2）当时，若恒成立，求a的取值范围． 【提示】（1）直接利用二次函数的单调性求出函数的最值，进一步确定参数a的取值范围； （2）利用函数的恒成立问题和函数的最值求出参数a的取值范围； 【答案】（1）；（2） 【解析】（1）对任意恒成立，令对都有，对称轴， 当时，在单调递增，， 所以，，所以，； 当时，在单调递减，，所以，舍去 当时，在递减，在递增， 所以，，得，所以， 综上所述，实数a的取值范围为：． （2）因为，，则， 所以，对恒成立，即， 令，则在递增，所以，， 所以，，即； 第11页，共22页 学科网（北京）股份有限公司 $