第6讲分式不等式和绝对值不等式的解法-【新教材】沪教版（2020）高中数学必修第一册讲义（中档，学生版+教师版）

分式不等式和绝对值不等式的解法 知识定位 本讲义从以下两方面展开： 1. 分式不等式的解法 分式不等式是一种常见的不等式，掌握其解法在高考中是非常重要的。 2. 绝对值不等式的解法 绝对值不等式是一种常见的不等式，其解法主要要注意分类讨论，也是高考常考的一个内容。 知识诊断 1. （★★☆☆）解不等式： 答案： 通分整理，原不等式化为：，它等价于： ，得到：或且 知识梳理 · 知识点一：分式不等式的解法 分式不等式的求解主要在于同解变形，将不等式化为整式不等式来进行求解。 一般地，对于分式不等式，要将其通分化为的标准形式， 对于分式不等式，它与同解。 这样，我们就可以将分式不等式化为整式不等式。 · 知识点二：绝对值不等式的解法 与分式不等式类似的是，求解绝对值不等式也是要将不等式的绝对号去掉，进行同解变形。 一般的，与同解；与同解。 需要注意的是，如果不等式中有多个绝对值，那么就需要对每个绝对值号进行讨论。 常见题型和方法解析 1. 分式不等式的解法 例1 （★☆☆☆）解不等式： 解：原不等式化为：，它等价于： ，得到： 教学提示：此题是标准的求解分式不等式的题目。分式不等式求解的关键在于把分式不等式进行等价变形成为整式形式。在等价变形时要注意分母不为零。 一般地，对于分式不等式，它与同解。 例2 （★★☆☆）解不等式： 解：通分整理，原不等式化为：，它等价于： ，得到：或且 教学提示：注意提醒学生，此题切忌直接把约去，因为它的符号是未知的。所以如果直接约去的话，实际上还要讨论正负号，这比起通分可能还要麻烦。因此，要告诉学生，在拿到分式不等式的时候，不能想当然地约去一些东西（即使其不为0）。必要的时候，通分是一种更好的选择。 例3（★★☆☆）解关于的不等式： 解：原不等式即： 当时，原不等式即，解集为 当时，原不等式即， 需要讨论与的大小： 1 当时，解集为 2 当时，解集为 3 当时，解集为 教学提示：本题是含参数的分式不等式。求解含参数不等式的关键在于分类讨论。由于分子分母均为整式，容易知道分式不等式的解跟分子与分母上函数的零点是有紧密的关系的。因此首先要讨论分子与分母是不是有零点，以及零点的大小。另外，当参数在多项式的最高次的系数里时，我们是要考虑该系数的正负性的（类似于一元二次不等式）。 例4（★★★☆）解关于的不等式： 解：等价变形，原不等式即： 分类讨论： 当时，，此时，， 所以：或 当时，， 若 ，即时，； 若 ，即时， 若 ，即时， 教学提示：本题是个含参数的分式不等式的例子。注意要对参数进行小心的讨论。从前面的例题我们也可以归纳出求解分式不等式的一般步骤： ①移项；②通分；③同解变形（等价转化）；④分类讨论；⑤作出结论 例5 （★★★☆）若对， 恒成立，求的值。 解：注意到恒有：，故去分母，整理得： 再根据一元二次不等式的性质，有： ， 知：，从而知 教学提示：一般来说，在处理分式不等式的问题时，我们一般对于不等式两边同乘分母比较慎重，原因在于分母很有可能是不定号的。但是，当我们能判断出分母的正负号时，两边同乘以分母实际上会简化计算。正如这道例题中的那样，我们同乘了，使得不等式得到化简。另外，需要注意的是像这种分式不等式的恒成立问题，本质上还是需要进行同解变形，把其变为整式不等式的形式，然后再用整式不等式的办法来求解。比如这道例题就是运用了一元二次不等式来求解。 例6 （★★★☆）当为何值时，对任意的都成立？ 解：移项、通分得： 又恒成立，故知：恒成立。 所以：，得到 教学提示：本题也是一道分式不等式恒成立问题。本质上这道题我们还是通过同解变形，将不等式化为一元二次不等式来求解，这一点是需要让学生明确与掌握的。 另外，对于这种不等式恒成立的问题，解法是有很多的。例题的解答中是利用了二次函数的一些基本性质，在教学中也可以让学生考虑还有没有其他方法。事实上，我们还可以利用所谓的“参数分离法”。 注意到恒成立，从而有：恒成立，那么： 注意到，在上式中我们用到了这样一个性质： 这就是参数分离法的关键所在：将参数分离到不等式一边，然后参数的取值范围就对应于不等式另一边函数的最值。 2绝对值不等式的解法 例7 （★☆☆☆）解不等式 解：去掉绝对值，同解变形得到： 或者，故知： 或者 教学提示：此题本身是简单的，需要注意的是含绝对值不等式同解变形的技巧。因为我们从脱绝对值的角度出发，可能是需要讨论不等式右边的正负性的。但是，事实上，可以知道当时，不等式是恒成立的。因此我们只需要将当作正数来处理就可以（如果不是正数，由于此时不等式恒成立，所以也不