精品解析：重庆巴蜀中学2026年小升初自主招生数学试题

2026年鲁巴中学小升初自主招生 数学 一、填空题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个数：0.531，，54%，，其中最小的数是______。 2. 立夏那天，樱桃已经成熟了，小明一家驾车去种植园采摘樱桃，在比例尺为的地图上量得小明家到种植园的距离为1.3cm，两地的实际距离为______km。 3. 在中，如果，那么是______三角形。 4. 在一个棱长为8的立方体上切去一个三棱柱（如图），那么表面积减少______。 5. 每天中午11点30分“校园之声”节目都会如约而至，此时时针与分针所夹的角为______度。 6. 我国古代对年龄有不同的称谓（如表）。笑笑爸爸说：“时间过得真快，转眼我就到了不惑之年”，笑笑说：“我的年龄比爸爸年龄的还小4岁”。笑笑的年龄在古代的称谓是______。（笑笑是女生） 年龄 10岁 12岁（女） 15岁（女） 15岁（男） 20岁（女） 20岁（男） 30岁（男） 40岁（男） 古代称谓 黄口 金钗 及笄 束发 桃李 弱冠 而立 不惑 7. 华老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图（a）放置，然后又如图（b）放置，则图（b）中四个底面正方形中的点数之和为（ ）。 8. 将一张长方形纸板按如图虚线裁剪，正好能做成一个圆柱，如果圆的半径是5cm，这个圆柱的表面积是______。 9. 在如图所示中，，，。如果三角形DEF的面积是1，那么三角形ABC的面积等于______。 10. 如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，……，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、……在一条直线上，则点P从0跳动______次可到达的位置。 二、计算题（每小题5分，共20分） 11. 计算。 （1） （2） （3） （4）解方程： 三、解答题（共7小题，共计50分） 12. 如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒展开图。 （1）这个食品包装盒的几何体名称是______； （2）若，，，，求这个几何体的所有棱长的和及体积。 13. 小明在国庆节期间和父母外出旅游，他们先从宾馆出发去景点A参观游览，在景点A停留1.5h后，又去景点B，再停留0.5h后返回宾馆。去时的速度是5km/h，回来时的速度是4km/h，来回（包括停留时间在内）一共用去7h，如果回来时的路程比去时多2km，求去时的路程。 14. 某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售。请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？ 15. 长方形ABCD被分成六个正方形，现在只知道中间一个最小的正方形的面积为4，求长方形ABCD的面积。 16. 某种植园计划在园区内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长10米，宽4.5米，矩形菜园的长与宽的比为，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？ 17. 综合与实践 问题情境：财源滚滚随春到，喜气洋洋伴福来。春节来临之际，某实践活动小组对甜蜜水果店某天甲、乙两种水果的购进和销售情况进行了调查分析。 信息获取： 信息一，该水果店用1500元购进甲、乙两种水果共150千克； 信息二，这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 甲 8 12 乙 14 20 问题解决： （1）该水果店这一天购进甲、乙两种水果各多少千克？ （2）若该水果店按售价销售完甲种水果和部分乙种水果，剩余乙种水果按其售价的六折出售，共获利580元，求按原售价售出乙种水果多少千克。 18. 【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”。如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分，则有，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”。 【迁移运用】 （1）如图①，射线PS______（选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”； （2）若，射线OC是射线OA和OB的“双倍和谐线”，直接写出的度数：______。 （3）如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角板ABP绕量角器中心点P以每秒5°的速度顺时针方向旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角板ABP的运动时间为t秒，求t何值时，射线PB是射线PC和PD的“双倍和谐线”？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年鲁巴中学小升初自主招生 数学 一、填空题（每小题3分，共30分） 1. 下列四个数：0.531，，54%，，其中最小的数是______。 【答案】 【解析】 【分析】将分数、百分数统一转化为小数，再按照小数比较大小的方法（先看整数部分，整数部分相同再看十分位，依次类推）进行判断。 【详解】依据分析：，，，0.531 四个数从小到大排列为：， 所以， 即最小的数是。 2. 立夏那天，樱桃已经成熟了，小明一家驾车去种植园采摘樱桃，在比例尺为的地图上量得小明家到种植园的距离为1.3cm，两地的实际距离为______km。 【答案】 【解析】 【分析】比例尺图上距离实际距离，由此推导出实际距离图上距离比例尺。已知图上距离是，比例尺是，代入公式求出实际距离是多少厘米，再根据进率，将单位换算成千米即可。 【详解】 所以两地的实际距离为。 3. 在中，如果，那么是______三角形。 【答案】直角 【解析】 【分析】三角形内角和是180°，题目已知，可以将三角形内角和公式中的替换为，从而求出的度数，进而判断三角形的类型。 【详解】三角形内角和是180°； ； ； 所以。 解： 三角形中有一个角是直角的三角形是直角三角形。所以是直角三角形。 4. 在一个棱长为8的立方体上切去一个三棱柱（如图），那么表面积减少______。 【答案】28 【解析】 【分析】从图中可知：减少的表面积分别是两个底是4，高是3的三角形（前、后面）；一个长是8，宽是4的长方形（右面）；一个长是8，宽是3的长方形（上面），增加的表面积是一个长是8，宽是5的长方形，减少的面积和减去增加的面积即是表面积最终减少的面积。 【详解】依据分析，减少的面积和： 增加的面积： 最终减少的面积： 5. 每天中午11点30分“校园之声”节目都会如约而至，此时时针与分针所夹的角为______度。 【答案】 165 【解析】 【分析】钟表一圈360°，一共12大格，每1大格表示的度数：360÷12＝30°。 11点30分时，分针指向数字6；时针走到11和12正中间。钟表求夹角，默认取小于或等于180度的角，11到6之间，从时针位置开始逆时针数到分针位置，有5个完整大格，再加半个大格，据此计算即可。 【详解】根据分析，时针与分针之间相隔有5.5个大格， 时针与分针所夹的角度：5.5×30＝165（度） 6. 我国古代对年龄有不同的称谓（如表）。笑笑爸爸说：“时间过得真快，转眼我就到了不惑之年”，笑笑说：“我的年龄比爸爸年龄的还小4岁”。笑笑的年龄在古代的称谓是______。（笑笑是女生） 年龄 10岁 12岁（女） 15岁（女） 15岁（男） 20岁（女） 20岁（男） 30岁（男） 40岁（男） 古代称谓 黄口 金钗 及笄 束发 桃李 弱冠 而立 不惑 【答案】金钗 【解析】 【分析】首先根据表格信息确定“不惑之年”代表的具体年龄，从而得出爸爸的年龄；然后根据笑笑与爸爸年龄的关系，利用“爸爸的年龄×－4＝笑笑的年龄”计算出笑笑的年龄；最后对照表格中对应年龄的古代称谓得出结果。 【详解】“不惑”对应40岁，爸爸今年40岁。 笑笑年龄： （岁） 对照表格，12 岁（女）对应的古代称谓是金钗。 所以笑笑的年龄在古代的称谓是金钗。 7. 华老师特制了4个同样的立方块，并将它们如图（a）放置，然后又如图（b）放置，则图（b）中四个底面正方形中的点数之和为（ ）。 【答案】16 【解析】 【分析】根据图（a）图示可知，2点和1、3、5、6点相邻，相邻面不相对，则2点和4点相对；再由图（a）左数图1和左数图4可看出和点5相对的是点1，进而可得出点6的相对面是点3。然后根据图（b）依此将点5、点6、两个点3的相对面相加即可。 【详解】根据四个图形的点数，可推断出来，点2对面是点4；点5对面是点1；点6对面是点3。 则图（b）中四个底面正方形中的点数是1、3、6、6，它们的和是1＋3＋6＋6＝16。 所以，图（b）中四个底面正方形中的点数之和为（16）。 8. 将一张长方形纸板按如图虚线裁剪，正好能做成一个圆柱，如果圆的半径是5cm，这个圆柱的表面积是______。 【答案】471 【解析】 【分析】从题中可知圆柱的底面半径是5cm，圆柱的高等于圆的直径。从图中可知，圆柱的侧面积等于两个圆之间的长方形的面积，长方形的长是圆柱的底面周长，长方形的宽是圆的直径，圆柱的侧面积＝圆柱的底面周长×高，圆柱表面积＝侧面积＋底面积×2，据此解答。 【详解】圆的直径：（cm） （cm2） 9. 在如图所示中，，，。如果三角形DEF的面积是1，那么三角形ABC的面积等于______。 【答案】## 【解析】 【分析】如图，连接AE，CD， 因为，所以BD＝AB－AD＝AB－AB＝AB， 三角形BDE的底是三角形ABE的底的，高相等，三角形BDE的面积＝三角形ABE的面积×， ，三角形ABE的底是三角形ABC的底的，高相等，三角形ABE的面积＝三角形ABC的面积×， 据此可得： 三角形BDE的面积＝三角形ABC的面积××＝三角形ABC的面积×（×）＝ 三角形ABC的面积×， 即三角形BDE的面积占三角形ABC面积的； 因为，所以AF＝AC－CF＝AC－AC＝AC 三角形ADF的底是三角形ADC的底的，高相等，三角形ADF的面积＝三角形ADC的面积×， AD＝AB，三角形ADC的底是三角形ABC的底的，高相等，三角形ADC的面积＝三角形ABC的面积×， 据此可得：三角形ADF的面积＝三角形ABC的面积××＝三角形ABC的面积×（×）＝ 三角形ABC的面积×， 即三角形ADF的面积占三角形ABC面积的； ，所以EC＝BC－BE＝BC－BC＝BC，三角形AEC的底是三角形ABC的底的，高相等，三角形AEC的面积＝三角形ABC的面积×， ，三角形EFC的底是三角形AEC的底的，高相等，三角形EFC的面积＝三角形AEC的面积×， 据此可得：三角形EFC的面积＝三角形ABC的面积××＝三角形ABC的面积×（×）＝ 三角形ABC的面积×， 即三角形EFC的面积占三角形ABC面积的； 综上所述，三角形ABC面积为单位“1”，则求三角形DEF占三角形ABC面积的分率，用1连续减去三角形BDE的面积占三角形ABC面积的分率、三角形ADF的面积占三角形ABC面积的分率、三角形EFC的面积占三角形ABC面积的分率。 三角形DEF的面积是1，用对应数除以对应分率可得单位“1”即三角形ABC的面积。 【详解】依据分析： 三角形DEF的面积占三角形ABC的面积的分率是： 三角形DEF的面积是1，则三角形ABC面积是： 10. 如图所示，动点P从第一个数0的位置出发，每次跳动一个单位长度，第一次跳动一个单位长度到达数1的位置，第二次跳动一个单位长度到达数2的位置，第三次跳动一个单位长度到达数3的位置，第四次跳动一个单位长度到达数4的位置，……，依此规律跳动下去，点P从0跳动6次到达的位置，点P从0跳动21次到达的位置，点、、……在一条直线上，则点P从0跳动______次可到达的位置。 【答案】903 【解析】 【分析】看图可知，点P从0跳动6次到达的位置，6＝1＋2＋3；点P从0跳动21次到达的位置，21＝1＋2＋3＋4＋5＋6；……由此可知，跳动次数为从1开始连续整数的和，到达的位置是从1开始连续3个整数的和，到达的位置是从1开始连续（2×3）个整数的和，到达的位置是从1开始连续（3×3）个整数的和，到达的位置是从1开始连续（4×3）个整数的和……，由此可知，到达的位置是从1开始连续个整数的和，即为跳动的次数。以此解题即可。 【详解】 （次） 二、计算题（每小题5分，共20分） 11. 计算。 （1） （2） （3） （4）解方程： 【答案】；；； 【解析】 【分析】，先将所有小数、带分数统一转化为假分数，再按照四则运算顺序，先算小括号内的减法，再算乘法，之后算中括号内的加法，最后算括号外的除法，计算过程中可适时约分简化运算。 ，先将除法运算转化为乘法运算，再观察式子结构，把含有相同因数的项分组，逆用乘法分配律合并计算，简化运算过程。 ，先将每个分数拆分为两个相邻自然数倒数的差的形式，再将拆分后的项依次相加，抵消中间项，最后计算剩余项的和。 先给方程两边同乘各分母的最小公倍数去分母，再依次去括号、移项、合并同类项，再利用等式的性质1和2计算求解。 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ （4）解方程： 解： 三、解答题（共7小题，共计50分） 12. 如图所示为一个棱柱形状的食品包装盒展开图。 （1）这个食品包装盒的几何体名称是______； （2）若，，，，求这个几何体的所有棱长的和及体积。 【答案】（1） 三棱柱 （2） ； 【解析】 【分析】根据展开图由2个三角形和3个矩形组成，对应三棱柱的展开特征，直接判断几何体名称。 棱长和：分别计算两个三角形底面的边长总和、3条侧棱的长度总和，再将两部分相加； 体积：先求直角三角形底面的面积，三角形的面积底高，再用底面积乘侧棱长度得到体积。 【小问1详解】 这个食品包装盒的几何体名称是三棱柱。 【小问2详解】 答：这个几何体的所有棱长的和是，体积是。 13. 小明在国庆节期间和父母外出旅游，他们先从宾馆出发去景点A参观游览，在景点A停留1.5h后，又去景点B，再停留0.5h后返回宾馆。去时的速度是5km/h，回来时的速度是4km/h，来回（包括停留时间在内）一共用去7h，如果回来时的路程比去时多2km，求去时的路程。 【答案】10km 【解析】 【分析】先算出去回行驶的总时间（共用时间－停留时间），再设去时路程为未知数，根据行驶时间和列方程求解。 时间＝路程÷速度 【详解】去回行驶的总时间：（时） 解：设去时的路程为千米，则回来时路程为（）千米。 答：去时的路程是10千米。 14. 某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件，商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售。请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？ 【答案】 元 【解析】 【分析】先计算购进衬衫的总成本，再根据盈利算出总售价目标；接着算出已售件的销售额，用总售价减去已售销售额得到剩余衬衫的总售价，除以剩余件数得到剩余衬衫的单价，最后用原售价减去剩余单价，得到降价金额。 【详解】购进衬衫的总成本：（元） 盈利时的总售价： （元） 已售件的销售额：（元） 剩余衬衫的数量：（件） 剩余衬衫每件的售价： （元） 每件衬衫的降价金额：（元） 答：每件衬衫降价元时，销售完这批衬衫正好达到盈利的预期目标。 15. 长方形ABCD被分成六个正方形，现在只知道中间一个最小的正方形的面积为4，求长方形ABCD的面积。 【答案】 【解析】 【分析】中间最小的正方形的面积为，所以边长为，右下角个小正方形边长相等，为①②正方形，设①②正方形边长为，则③正方形的边长为，④正方形边长为，⑤正方形边长为，因为长方形的两条对边相等，所以，分别表示出、的长度，，，据此列出方程，求出未知数，分别表示出长和宽，长方形的面积长宽，代入数据计算即可。 【详解】如图： 因为中间最小的正方形的面积为， 所以最小的正方形的边长为， 设①②正方形边长为，则③正方形的边长为，④正方形的边长为，⑤正方形边长为。可得： 解： 长方形的面积： 答：长方形的面积是。 16. 某种植园计划在园区内一块矩形的空地上开垦两块完全相同的矩形菜园，如图所示，已知空地长10米，宽4.5米，矩形菜园的长与宽的比为，并且预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等，那么预留通道的宽度和矩形菜园的宽分别是多少米？ 【答案】0.5米；1.5米 【解析】 【分析】设矩形菜园的宽为米，则长为米， 空地长10米、矩形菜园的长为米，可算得一个通道的宽度是米， 空地宽4.5米、矩形菜园的宽为米，可算得一个通道的宽度是米， 根据预留的上、中、下、左、右通道的宽度相等列方程解答。 【详解】解：设矩形菜园的宽为米，则长为米。 答：预留通道的宽度是0.5米，矩形菜园的宽1.5米。 17. 综合与实践 问题情境：财源滚滚随春到，喜气洋洋伴福来。春节来临之际，某实践活动小组对甜蜜水果店某天甲、乙两种水果的购进和销售情况进行了调查分析。 信息获取： 信息一，该水果店用1500元购进甲、乙两种水果共150千克； 信息二，这两种水果的进价、售价如下表所示： 进价/（元/千克） 售价/（元/千克） 甲 8 12 乙 14 20 问题解决： （1）该水果店这一天购进甲、乙两种水果各多少千克？ （2）若该水果店按售价销售完甲种水果和部分乙种水果，剩余乙种水果按其售价的六折出售，共获利580元，求按原售价售出乙种水果多少千克。 【答案】（1） 100千克；50千克 （2） 35千克 【解析】 【分析】（1）已知总质量150千克，总进价1500元，甲进价8元/千克，乙进价14元/千克。设甲购进x千克，乙就是（150－x）千克，依据：甲总进价＋乙总进价＝1500元列方程计算即可。 （2）先算出甲全部卖完获得的利润。乙一部分原价卖，一部分六折卖；设按原售价售出乙种水果y千克，则六折售出乙种水果（50－y）千克；也分别计算卖完获得的利润，再根据“总获利580元＝甲的利润＋原价卖出乙的利润＋打折卖出乙的利润”列方程计算即可（如果打折卖出乙是亏本的，则减去亏本的部分）。 【小问1详解】 解：设购进甲种水果x千克，则乙种水果（150－x）千克。 8x＋14×（150－x）＝1500 8x＋2100－14x＝1500 2100＝1500＋14x－8x 2100＝1500＋6x 6x＝2100－1500 6x＝600 x＝600÷6 x＝100 乙种水果：150－100＝50（千克） 答：购进甲种水果100千克，乙种水果50千克。 【小问2详解】 甲每千克利润：12－8＝4（元） 甲总利润：100×4＝400（元） 乙原价每千克利润：20－14＝6（元） 乙六折售价：20×0.6＝12（元） 乙六折每千克亏本：14－12＝2（元） 解：设按原售价售出乙种水果y千克，则六折售出乙种水果（50－y）千克。 400＋6y－2×（50－y）＝580 400＋6y－100＋2y＝580 300＋8y＝580 8y＝580－300 8y＝280 y＝280÷8 y＝35 答：按原售价售出乙种水果35千克。 18. 【阅读理解】定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”。如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分，则有，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”。 【迁移运用】 （1）如图①，射线PS______（选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”； （2）若，射线OC是射线OA和OB的“双倍和谐线”，直接写出的度数：______。 （3）如图②，一副三角板如图所示摆放在量角器上，，，边PD与量角器0°刻度线重合，边AP与量角器180°刻度线重合，将三角板ABP绕量角器中心点P以每秒5°的速度顺时针方向旋转，当边PB与0°刻度线重合时停止运动，设三角板ABP的运动时间为t秒，求t何值时，射线PB是射线PC和PD的“双倍和谐线”？ 【答案】（1）不是 （2）40°或80° （3），或 【解析】 【分析】（1）根据题中“双倍和谐线”的定义判断。PS平分∠RPT可得∠RPT＝2∠RPS＝2∠SPT，即满足2倍关系的射线是PR和PT，不存在以PS为公共边的角符合定义要求，所以射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线” （2）射线OC是射线OA和OB的“双倍和谐线”分两种情况讨论，一是∠AOC＝2∠BOC时∠AOC＝80°，二是∠BOC＝2∠AOC时∠AOC＝40° （3）先确定运动范围：开始AP在180°刻度，∠APB＝45°此时PB对应刻度是，三角板每秒5°顺时针旋转，当PB与0°刻度线重合时停止，总运动时长是（秒），即，运动秒后PB顺时针旋转了已知∠DPC＝60°射线PB是射线PC和PD的“双倍和谐线”分两种情况讨论。据此解答。 【小问1详解】 一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”本题中PS平分∠RPT可得∠RPT＝2∠RPS＝2∠SPT，即满足2倍关系的射线是PR和PT，不存在以PS为公共边的角符合定义要求，所以射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线” 【小问2详解】 ，射线OC是射线OA和OB的“双倍和谐线”分两种情况讨论， 1．是时 2．时 综上所述，射线OC是射线OA和OB的“双倍和谐线”， 的度数是40°或80°。 【小问3详解】 根据分析可知：∠BPD 的起始角度是135°，的范围是，运动秒后PB顺时针旋转了 ∠DPC＝60°射线PB是射线PC和PD的“双倍和谐线”分两种情况讨论： 1．当射线PB在射线PC在左侧时，（即PC在PB与PD之间） ， 若时，则 解： 若时，则 解： 的范围是，超过范围，舍去。 2．当射线PB在射线PC在右侧时，（即PB在PC与PD之间） ， 若时，则 解： 若时，则 解： 综上所述当、或时射线PB是射线PC和PD的“双倍和谐线” 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $