2026重庆市鲁能巴蜀中学校4月4日小升初自主招生数学试题

**基本信息** 试卷以小升初核心素养为导向，通过15道填空、5道计算及6道综合解答题，覆盖几何、代数、应用题等模块，如行程问题、浓度问题等经典题型，考查抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|15/45|三角形内角比、圆周长面积、电车相遇问题|结合生活情境，如登山平均速度、溶液稀释，考查几何直观与抽象能力| |计算题|5/20|分数简便运算、方程求解|注重运算技巧，如拆分法、整体代换，培养运算能力| |解答题|6/35|牛吃草问题、浓度混合、两次相遇问题|综合应用，如蓄水池轮流开关水、行程相遇距离，体现模型意识与推理能力|

【2026.4.4】鲁巴数学 一、填空题 (每题 3 分，共 45 分) 1、一个三角形三个内角度数的比是 1:2:3，这个三角形是 三角形，最小的角的度数是 2、钟面上的指针在 7 点 分时，时针与分针的夹角为90o。 3、有浓度为 60%的溶液若干，加了一定质量的水后，稀释成浓度为 48%的溶液，如果再加入同样多的水，浓度是 %。 4、甲乙两个圆的直径之比是 2:1，甲乙两个圆的周长之比是 ，乙圆的面积比甲圆的面积少 %。 5、一列火车通过长 320 米的隧道，用了 52 秒，当它通过长 768 米的大桥时，速度比通过隧道时增加了 2 倍，结果用了 36 秒，则火车车身的长度是 米。 6、有n个自然数相加1 + 2 + … + n= aaa ，那么a = 。 7、育实小学五年级同学参加登山活动，从山脚到山顶全程共有 21 千米，同学们上山时用了4 小时，下山时用了 3.5 小时，上山、下山全程的平均速度是 千米/时。 8、有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔 5 分钟，有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走 15 分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到 10 辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。则他从乙站到甲站用了 分钟。 9、如图，长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个的面积分别为 12 平方厘米，8 平方厘米，20 平方厘米，则另一个(阴影部分)长方形的面积是 平方厘米。 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 10、甲、乙、丙、丁四人到书店买书，已知甲带的钱数是乙的，乙带的钱数是丙的，丁比 甲多带 3 元，四人带的钱全是一元的硬币，平均每人 30 多元，则乙带了 元。 11、某公司彩电按原价格销售。每台获利润 60 元 ;现在降价销售，结果彩电销量增加了一倍，获得的总利润增加了 0.5 倍，每台彩电降价 元。 12、一艘轮船从甲地顺流而行 9 小时到达乙地，原路返回需要 11 小时才能到达甲地，已知水流速度为 2 千米/时，则轮船在静水中的速度为 千米/时。 13、如下图，正方形的边长为 5 厘米，则图中阴影部分的面积是 平方厘米。 (π取3.14) 14、小明今年 13 岁，如果将小明的岁数作为分子，当年的公元纪元年号作为分母写成分数， 例如:2005 年小明 13 岁，写成分数 13 。则小明从 1 岁到 60 岁可以写出 60 个这样的分数， 2005 其中最简分数有 个。 15、方程4x + 5y = 98的所有正整数解中x + y最大等于 。 二、计算 (每题 4 分，共 20 分) 17、71 × + 61 × + 51 × + 41 × + 31 × 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题 (共 35 分) 21、如图，正方形ABCD边长为 6 厘米，E在CD边上，并且DE = 2EC ，F是BC中点，AE交DF于点O ，求阴影部分三角形AOD的面积。 22、蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需 3 小时， 单开丙管需要 5 小时，要排光一池水，单开乙管需要 4 小时，单开丁管需要 6 小时，现在池 内有的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开 1 小时，问多少时 间后水开始溢出水池? 23、有一牧场，草均匀生长，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛则 24 天可以吃完。现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃 2 天便将草吃完，那么原来有多少头牛吃草? 19、 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 24、浓度为 20%、18%、16%的三种盐水，混合后得到 100 克 18.8%的盐水，如果 18%的盐水比 16%的盐水多 30 克，每种盐水各多少克? 25、甲、乙两车分别从A 、B两地同时出发相向而行，甲车速度为 32 千米/时，乙车速度为 48 千米/时，它们到达B地和A地后，甲车速度提高，乙车速度减少，它们第一次相遇地点 与第二次相遇地点相距 74 千米，那么A 、B之间的距离是多少千米? 26、若一个两位正整数m的个位数为 8，则称m为“好数”。 (1)求证:对任意“好数”m ，m2 －64 一定为 20 的倍数。 (2)若m = p2 __ q2 ，且p ，q为正整数，则称数对(p ，q)为“友好数对”，规定:H 例如68 = 182 －162 ，称数对(18 ，16)为“友好数对” ，则H 求小于 50 的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值。 【2026.4.4】鲁巴数学解析 一、填空题 (每题 3 分，共 45 分) 1、一个三角形三个内角度数的比是 1:2:3，这个三角形是 直角 三角形，最小的角的度数是30° 2、 钟面上的指针在 7 点 （或 ） 分时，时针与分针的夹角为90o。 3、有浓度为 60%的溶液若干，加了一定质量的水后，稀释成浓度为 48%的溶液，如果再加入同样多的水，浓度是 40 %。 4、甲乙两个圆的直径之比是 2:1，甲乙两个圆的周长之比是 2:1 ，乙圆的面积比甲圆的面积少 75 %。 5、一列火车通过长 320 米的隧道，用了 52 秒，当它通过长 768 米的大桥时，速度比通过隧道时增加了 2 倍，结果用了 36 秒，则火车车身的长度是 96 米。 6、有n个自然数相加1 + 2 + … + n= aaa ，那么a = 6 。 7、育实小学五年级同学参加登山活动，从山脚到山顶全程共有 21 千米，同学们上山时用了4 小时，下山时用了 3.5 小时，上山、下山全程的平均速度是 5.6 千米/时。 8、有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔 5 分钟，有一辆电车从甲站发出开往乙站，全程要走 15 分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站，他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站，在路上他又遇到 10 辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。则他从乙站到甲站用了 40 分钟。 9、如图，长方形被两条直线分成四个小长方形，其中三个的面积分别为 12 平方厘米，8 平方厘米，20 平方厘米，则另一个(阴影部分)长方形的面积是 30 平方厘米。 1/ 4 学科网（北京）股份有限公司 10、甲、乙、丙、丁四人到书店买书，已知甲带的钱数是乙的，乙带的钱数是丙的，丁比 甲多带 3 元，四人带的钱全是一元的硬币，平均每人 30 多元，则乙带了 45 元。 11、某公司彩电按原价格销售。每台获利润 60 元 ;现在降价销售，结果彩电销量增加了一倍，获得的总利润增加了 0.5 倍，每台彩电降价 15 元。 12、一艘轮船从甲地顺流而行 9 小时到达乙地，原路返回需要 11 小时才能到达甲地，已知水流速度为 2 千米/时，则轮船在静水中的速度为 20 千米/时。 13、如下图，正方形的边长为 5 厘米，则图中阴影部分的面积是 7.125 平方厘米。 (π取3.14) 14、小明今年 13 岁，如果将小明的岁数作为分子，当年的公元纪元年号作为分母写成分数， 例如:2005 年小明 13 岁，写成分数 13 。则小明从 1 岁到 60 岁可以写出 60 个这样的分数， 2005 其中最简分数有 20 个。 15、方程4x + 5y = 98的所有正整数解中x + y最大等于 24 。 二、计算 (每题 4 分，共 20 分) =10.5－0.5÷[2－×（）] =10.5－0.5÷[2－×] =10.5－0.5÷[2－] =10.5－0.5÷ =10.5－0.5× =10.5－0.3 =10.2 17、71 × + 61 × + 51 × + 41 × + 31 × =（70＋）×＋（60＋）×＋（50＋）×＋（40＋）×＋（30＋）× = 70×＋×＋60×＋×＋50×＋×＋40×＋×＋30×＋× = 60＋1＋50＋1＋40＋1＋30＋1＋20＋1 = 205 =（1＋2＋3＋……＋20）＋（ ＋＋＋……＋） =＋[（1－）＋＋……＋ =210＋（1－） =210 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 19、 = 解：12× －12×2=12× = 3（）－24 = 2（） = 3 4 = ﹣6＋3＋24 = = ﹣21 三、解答题 (共 35 分) 21、如图，正方形ABCD边长为 6 厘米，E在CD边上，并且DE = 2EC ，F是BC中点，AE交DF于点O ，求阴影部分三角形AOD的面积。 6×4× = 12 ∵△DOE∽△HOA ∴ = = = 3 ∴ = 12 × = 9 22、蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需 3 小时， 单开丙管需要 5 小时，要排光一池水，单开乙管需要 4 小时，单开丁管需要 6 小时，现在池 内有的水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开 1 小时，问多少时 － + － = （1－ － ）÷ =× = 4（个周期）≈5（个周期） 间后水开始溢出水池?1－ － ×5 = ÷ = （h） 5×4+=20（h） 答：20小时间后水开始溢出水池 23、 有一牧场，草均匀生长，17 头牛 30 天可将草吃完，19 头牛则 24 天可以吃完。现有若干头牛吃了 6 天后，卖掉了 4 头牛，余下的牛再吃 2 天便将草吃完，那么原来有多少头牛吃草?每日长草：（17×30－19×24）÷（30－24）=9 原有草量：17×30－9×30=240 原来头数：（240+4×2）÷8+9=40（头） 答：原来有40头牛吃草。 3 / 4 学科网（北京）股份有限公司 24、 浓度为 20%、18%、16%的三种盐水，混合后得到 100 克 18.8%的盐水，如果 18%的盐水比 16%的盐水多 30 克，每种盐水各多少克? 解：设浓度为16%的盐水有x克。 20% [100-x-(x+30)]+18%（x+30）+16%x = 18.8%×100 14－0.4x + 0.18x + 5.4+ 0.16x = 18.8 x = 10 18%：10+30=40（克） 20%：100-10-40=50（克） 答：16%的盐水10克，18%的盐水40克，20%的盐水50克。 25、甲、乙两车分别从A 、B两地同时出发相向而行，甲车速度为 32 千米/时，乙车速度为 48 千米/时，它们到达B地和A地后，甲车速度提高，乙车速度减少，它们第一次相遇地点 与第二次相遇地点相距 74 千米，那么A 、B之间的距离是多少千米? 解：设甲的速度是2x千米/时，则乙的速度是3x千米/时。 + = + = 48 48×5=240（千米） 答：A 、B之间的距离是240千米。 ： = 32 : 48 =2 : 3 ： =2 : 3 ' = 32×（1+ ）=40（千米/时） ' = 48×（1－ ）=40（千米/时） 26、若一个两位正整数m的个位数为 8，则称m为“好数”。 (1)求证:对任意“好数”m ，m2 －64 一定为 20 的倍数。 (2)若m = p2 __ q2 ，且p ，q为正整数，则称数对(p ，q)为“友好数对”，规定:H 例如68 = 182 －162 ，称数对(18 ，16)为“友好数对” ，则H 求小于 50 的“好数”中，所有“友好数对”的H(m)的最大值。 （1）设“好数”m = 10a + 8（1≤a≤9），则 - 64 = - = (10a + 8 + 8)(10a + 8 - 8) = (10a + 16) ×10a = 20a×(5a + 8) 因为a是正整数，所以20a(5a + 8)是20的倍数，即- 64一定为20的倍数。 （2）小于50的“好数”有：18, 28, 38, 48。 ∵m = - = (p+q)(p-q)， 设s = p+q，t = p - q（s > t，且s,t同奇偶），则m = s× t， 且p = ，q = ∴H(m) = = 。 18：18 = 1 ×18 = 2 × 9 = 3 × 6，无同奇偶的s,t，故无“友好数对”。 28：28 = 1 ×28= 2× 14（同偶） = 4 ×7 ∴ s=14 , t=2 p= =8，q= =6，H(28)= = 38：38 = 1 ×38 = 2×19，无同奇偶的s,t，故无“友好数对”。 48：48= 1 ×48 = 2×24（同偶）= 3×16 = 4×12（同偶）= 6 ×8 （同偶） 当s=24 , t=2时：p=13,q=11，H(48) = 当s=12 , t=4时：p=8,q=4，H(48) = 当s=8,t=6时：p=7,q=1，H(48) = 比较所有H(m)： > > > 故H(m)的最大值为 。 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $