精品解析：2026年重庆巴蜀中学自主招生考试数学试卷

数学定时作业 一、填空题（每题7分，共70分，其中7、10题第一空3分，第二空4分） 1. 已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为______． 2. 从四个数中取出一个数作为点的横坐标，从四个数中取出一个数作为点的纵坐标，则点落在直线上的概率是______． 3. 如图所示，在长方形中放入8个完全相同的小长方形．若，则图中阴影部分面积之和为_____． 4. 如图，正方形中，为上一点，连接，作于，延长至，满足，延长、交于点，连接、，若，则的长为_____． 5. 对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，已知，，若关于的不等式组恰好有个奇数解，则实数的取值范围是_____． 6. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴的正半轴上，为坐标原点，反比例函数的图象经过的中点，与交于点，连接，若，，则的值为_____． 7. 已知圆是矩形的外接圆，连接，点是弧上的一点，连接与的延长线交于点，连接．如图1，当点是弧的中点时，_____（用含的代数式表示）；如图2，当点是弧的中点时，且，则的值为_____． 8. 我们用符号来表示代数式．其中是正整数．规定：如果是偶数．则．如果是奇数，则，例如：，若，按照此规律下去，得到：，则_____． 9. 如图，中，，，为外一点，满足．若，的最小值是_____． 10. 数字“9”在中文里与长久、永恒等概念紧密相连，而“重九”（即：99）更是被视为吉祥的数字，代表着幸福、顺遂和成功．我们规定：一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数．如果将它的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数，再将的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数，若满足：，那么称这个四位数为“重九数”，则最小的“重九数”为_____；对于“重九数”，若将千位与个位交换，十位与百位交换，得到另一个四位数，设，若是一个“重九数”，且能被6整除，则所有满足条件的“重九数”中，最大数与最小数的差为_____． 二、解答题（共80分） 11. 先化简，再求值： ，其中． 12. 重庆铜梁龙足球队自从冲超以来，球迷热情持续高涨．新赛季，球队推出了和普通两种不同的票．据了解，每张票比每张普通票贵60元，用1440元买票和用960元买普通票的数量相同． （1）求普通票与票的单价分别是多少元； （2）据统计，球票开售第一天，票销售了360张，普通票销售了400张，第二天，由于受天气影响，导致购票人数有所减少，主办方临时改变了销售策略，票单价保持不变，销量减少了张，普通票单价降低了元，销量仍减少了张，最终第二天的销售额比第一天少了元，求的值． 13. 如图，某海域上有三个金枪鱼打捞点，其中在的正东方向，在的东北方向，在的北偏西方向，且、相距60海里． （1）求、两地之间的距离（结果保留根号） （2）某天，甲渔船以每小时20海里的速度从向航行，在甲渔船出发0.5小时以后，另一艘乙渔船以每小时16海里的速度从向航行，当甲渔船到达地时，天气突然发生变化，为了安全起见，甲渔船立即向返航，速度保持不变，乙渔船继续向前进，速度变为原来的，如图所示，当甲、乙两艘渔船分别航行到时，满足，求甲从开始返航到航行到的时间．（结果保留两位小数，参考数据：） 14. 在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点 （1）如图1．过点作，且，连接．求点的坐标 （2）如图2．已知，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，求出点的坐标． 15. 已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，其对称轴与直线交于点，与轴交于点． （1）求该二次函数的解析式： （2）如图1，为直线上方、对称轴左侧的抛物线上一点，作轴交直线于点，、、分别为对称轴、轴和直线上的动点，且始终满足，连接、、、，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）如图2，将抛物线沿着射线方向平移5个单位长度，得到新抛物线，延长交新抛物线于点（点在新抛物线对称轴的右侧）．在新抛物线上有一点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标其中一种情况的过程． 16. 已知中，，为上一点 （1）如图1，将绕点逆时针旋转得，连接，若，，求的长； （2）如图2．作于点，为的平分线，满足且，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （3）若，，将绕点顺时针旋转得，当取得最小值时，为直线上一动点，将沿着翻折得，点，的对应点分别为、，当最大时，为直线上一动点，将绕点逆时针旋转得，当取得最小值时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学定时作业 一、填空题（每题7分，共70分，其中7、10题第一空3分，第二空4分） 1. 已知有理数a、b、c在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的化简与数轴上数的大小关系，解题的关键是根据数轴判断出、、的符号及大小关系，进而确定绝对值内表达式的正负，去掉绝对值符号后进行化简． 由数轴可知，因此，，；根据绝对值的性质去掉绝对值符号，得到，合并同类项后得到结果． 【详解】解：由数轴可知，， ，，． ． 故答案为：． 2. 从四个数中取出一个数作为点的横坐标，从四个数中取出一个数作为点的纵坐标，则点落在直线上的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查运用树状图法或者列表法计算概率，本题关键在于能够画出树状图或者列表． 用列表法表示出所有点的情况，找出落在直线上的情况，然后利用概率公式进行计算即可． 【详解】解：列表如下： x y 5 6 7 8 1 2 3 4 一共有16种情况， P点落在上的点有共四种情况，所以点P落在直线上的概率为， 故答案为：． 3. 如图所示，在长方形中放入8个完全相同的小长方形．若，则图中阴影部分面积之和为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】设小长方形的长为，宽为，由图可知，求出，然后代入求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 由图可知，． 又∵， ， 解得， 大长方形的长， 图中阴影部分面积之和为：． 4. 如图，正方形中，为上一点，连接，作于，延长至，满足，延长、交于点，连接、，若，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，过点C作于点G，由题意易得，是等腰直角三角形，然后可得，则有，进而可得，则，最后根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：连接，过点C作于点G，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，是等腰直角三角形， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴． 5. 对、定义一种新运算，规定：（其中、均为非零常数），等式右边是通常的四则运算，已知，，若关于的不等式组恰好有个奇数解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据，，可以求出，，把转化为一元一次不等式组，可得：，解不等式组可得，根据不等式组有个奇数解，可得关于的不等式，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：，， ， 解得：， 由， 可得：， 整理得：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 不等式组恰好有个奇数解， 这个奇数解为、、， ， 解得：． 6. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴的正半轴上，为坐标原点，反比例函数的图象经过的中点，与交于点，连接，若，，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标为，点的坐标为，根据平行四边形的性质表示出点和点的坐标，利用表示出点的坐标，将点和点的坐标代入反比例函数解析式得到关于的方程组，利用平行线间的距离相等得出，结合三角形面积公式求出的值，进而求解的值． 【详解】解：设，其中， ∵四边形为平行四边形，且在轴上， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵为的中点， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 整理得①， ∵点在上，且， ∴， ∴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，即②， 将②代入①得：， 解得：， ∵，即，连接， ∴与同底等高， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 解得：． 7. 已知圆是矩形的外接圆，连接，点是弧上的一点，连接与的延长线交于点，连接．如图1，当点是弧的中点时，_____（用含的代数式表示）；如图2，当点是弧的中点时，且，则的值为_____． 【答案】 ①. ## ②. 【解析】 【分析】连接交于点，由垂径定理的推论可得，，然后得到为的中位线，可求，即可求解，再由求解；连接，过点作，，垂足为，可得为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，证明四边形为矩形，则设，则，那么得到方程，解得或（舍去），再由勾股定理求解，而为等腰直角三角形，则． 【详解】解：连接交于点，如图1； 由题意得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点是弧的中点，为半径， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 如图2，连接，过点作，，垂足为， ∵点是弧的中点，为半径， ∴， ∵ ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵矩形中， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∵，， ∴四边形为矩形，为等腰直角三角形， ∴ 设，则， ∵ ∴ 解得或（舍去）， ∴ ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴． 8. 我们用符号来表示代数式．其中是正整数．规定：如果是偶数．则．如果是奇数，则，例如：，若，按照此规律下去，得到：，则_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据新定义计算前几项，得到数字的周期规律，再结合原式符号规律分组计算即可求解． 【详解】解：由题意可得， ， ， ， ， ， ， ， ， 可得规律：数字以为一个周期，周期为，满足． 原式中符号规律为：下标为奇数的项符号为正，下标为偶数的项符号为负，仅系数为． 因为， 前项的和为： ， 从第8项开始，每连续14项（如 ）的和，因周期性可化为 ，共组，和为， 剩余最后三项：，，，符号依次为负、正、负，和为： ， 因此原式总和为． 9. 如图，中，，，为外一点，满足．若，的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】以为边作等边三角形，以的中心作圆，结合题意可知在上，再设，解直角三角形得到，利用进行求解即可． 【详解】解：以为边作等边三角形，以的中心作圆， ， 在上， 为中点，则，， 设，则， 半径， 则中，，， ， ， ， 又， 即，解得， ， 故的最小值是． 10. 数字“9”在中文里与长久、永恒等概念紧密相连，而“重九”（即：99）更是被视为吉祥的数字，代表着幸福、顺遂和成功．我们规定：一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数．如果将它的十位数字和个位数字去掉后得到一个两位数，再将的千位数字和百位数字去掉后得到一个两位数，若满足：，那么称这个四位数为“重九数”，则最小的“重九数”为_____；对于“重九数”，若将千位与个位交换，十位与百位交换，得到另一个四位数，设，若是一个“重九数”，且能被6整除，则所有满足条件的“重九数”中，最大数与最小数的差为_____． 【答案】 ①. 1188 ②. 7425 【解析】 【分析】设，易得，当时，，即可得最小的“重九数”；由题意得，求得，由能被6整除，得，据此即可求得最大与最小“重九数”，从而求得其差． 【详解】解：设，则, 当M是“重九数”时，即，则有， 当时，，是最小的“重九数”； 由题意得， ， ∵能被6整除， ∴ ， ∵， ∴， ∴， 由题意为整数，则为2的倍数，其中， 当时，，则b必为奇数，要使最大，则， 此时，即最大“重九数”为8712； 当时，，则b必为偶数，要使最小，则， 此时，即最小“重九数”为1287； 所以最大与最小“重九数”的差为． 二、解答题（共80分） 11. 先化简，再求值： ，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先根据分式的混合运算法则化简原式，再把化简后的x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式． 12. 重庆铜梁龙足球队自从冲超以来，球迷热情持续高涨．新赛季，球队推出了和普通两种不同的票．据了解，每张票比每张普通票贵60元，用1440元买票和用960元买普通票的数量相同． （1）求普通票与票的单价分别是多少元； （2）据统计，球票开售第一天，票销售了360张，普通票销售了400张，第二天，由于受天气影响，导致购票人数有所减少，主办方临时改变了销售策略，票单价保持不变，销量减少了张，普通票单价降低了元，销量仍减少了张，最终第二天的销售额比第一天少了元，求的值． 【答案】（1）普通票每张为元，票的每张为元 （2）的值为 【解析】 【分析】（1）设普通票的每张为元，则票的每张为元，根据用1440元买票和用960元买普通票的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）由题意先表示出第二天普通票和票的单价和销量，再根据第二天总销售额比第一天少了元，列出一元二次方程，解方程即可． 【小问1详解】 解：设普通票的每张为元，则票的每张为元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则元， 答：普通票每张为元，票的每张为元； 【小问2详解】 解：， 整理得，， 解得，，（舍去）， 答：的值为． 13. 如图，某海域上有三个金枪鱼打捞点，其中在的正东方向，在的东北方向，在的北偏西方向，且、相距60海里． （1）求、两地之间的距离（结果保留根号） （2）某天，甲渔船以每小时20海里的速度从向航行，在甲渔船出发0.5小时以后，另一艘乙渔船以每小时16海里的速度从向航行，当甲渔船到达地时，天气突然发生变化，为了安全起见，甲渔船立即向返航，速度保持不变，乙渔船继续向前进，速度变为原来的，如图所示，当甲、乙两艘渔船分别航行到时，满足，求甲从开始返航到航行到的时间．（结果保留两位小数，参考数据：） 【答案】（1）、两地之间的距离为海里 （2）甲从开始返航到航行到的时间约为小时 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，由题可知，，，可求得，，，即可求解； （2）过点作，交于点，设甲从开始返航到航行到的时间为，则，，可求得，，由题意可得，甲渔船从航行到的时间为：小时，乙渔船航行的总时间为：小时，前小时，乙渔船航行海里，后小时，乙渔船的速度为海里/小时，路程为海里，从而求得，，根据，即可得到，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作，交于点， ∵在的北偏西方向，且、相距60海里， ∴，， ∴在中，， ∴，， ∵在的东北方向， ∴， 在中， ， ∴， ∴海里， 答：、两地之间的距离为海里； 【小问2详解】 解：如图所示，过点作，交于点， 设甲从开始返航到航行到的时间为，则，， ∴在中，， ∴，， ∵甲渔船从航行到的时间为：小时， ∴乙渔船航行的总时间为：小时， 前小时，乙渔船航行海里， 后小时，乙渔船的速度为海里/小时，路程为海里， ∴， ∴， ∴在中，，， ∴，整理得， 解得，， 答：甲从开始返航到航行到的时间约为小时． 14. 在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于点 （1）如图1．过点作，且，连接．求点的坐标 （2）如图2．已知，点在线段上，点为轴上一动点，当为等腰直角三角形时，求出点的坐标． 【答案】（1） （2）或或 【解析】 【分析】（1）过点作轴于点，求出直线和坐标轴的交点坐标，得出线段长度，证明，得出相等的线段，即可求解； （2）根据等腰三角形的定义，分三种情况进行讨论，主要利用全等三角形的判定和性质，得出相等的线段，假设，表示出相关点的坐标，然后根据相等线段列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点作轴于点， 当时，， ∴； 当时，， 解得， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 根据点在第二象限， ∴； 【小问2详解】 解：①当时，， 如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴； ②当时，， 如图，过点作轴，过点作于点，过点作于点， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 假设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 即； ③当时，， 如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 同理可得，， ∴， 假设， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∴， 即； 综上，点的坐标为或或． 15. 已知二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，其对称轴与直线交于点，与轴交于点． （1）求该二次函数的解析式： （2）如图1，为直线上方、对称轴左侧的抛物线上一点，作轴交直线于点，、、分别为对称轴、轴和直线上的动点，且始终满足，连接、、、，当取得最大值时，求点的坐标及的最小值； （3）如图2，将抛物线沿着射线方向平移5个单位长度，得到新抛物线，延长交新抛物线于点（点在新抛物线对称轴的右侧）．在新抛物线上有一点，当时，直接写出所有符合条件的点的横坐标，并写出求解点的横坐标其中一种情况的过程． 【答案】（1） （2）点，的最小值 （3） 解：∵，， 又∵， ∴沿着射线方向平移5个单位长度等价于向右平移4个单位，向上平移3个单位， ∴新抛物线， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∵点在新抛物线对称轴的右侧，即， ∴点的坐标为， ①当点在直线下方时，如图，在上取点，使得，过点分别作、的垂线，垂足为、， 由（2）可得，，，， ， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵在中，， ∴在中，， ∵， ∴，， 由勾股定理可得，， ∴点的坐标为， ∴，， 在中，， ∴在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 设直线的函数解析式为， ∵， ∴，即直线的函数解析式为， 将点代入，得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得 ， 解得或， ∴点的横坐标为； ②当点在直线上方时，如图，设交轴于点，作于点， 由勾股定理可得，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴，即， ∴， 同理①可得，， ∴， ∴，即， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， 由勾股定理可得，， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 联立直线与抛物线，得 ， 解得或， ∴点的横坐标为 综上所述，点的横坐标为或． 【解析】 【分析】（1）使用待定系数法求函数的解析式即可； （2）先计算出的解析式为，则．设点的坐标为，则点的坐标为，由计算可得，因此当时，取得最大值，此时点的坐标为．，以、为边向下构造平行四边形，作点关于的对称点，连接，，，连接交于点，作轴于点，作于点，容易得到，则，，由点到点的平移过程可得．由轴对称的性质可得，垂直平分线段，则，，，．通过和可得，点，则．结合已知条件可得，因此当、、、四点共线时，取得最小值； （3）根据点、的坐标确定平移方式为向右平移4个单位，向上平移3个单位，则新抛物线，联立方程可得点．分类讨论，当点在直线下方时，在上取点，使得，过点分别作、的垂线，垂足为、，容易判断是等腰直角三角形，结合三角函数和勾股定理可计算出，，，则点，．同理可得，因此，结合题干可得，则，计算得直线的斜率为，进而可得直线的函数解析式为，联立方程可得点的横坐标为；当点在直线上方时，设交轴于点，作于点，利用相似三角形可计算得，，，从而得到点的坐标为，求出直线的函数解析式，再与抛物线联立，可求得点的横坐标为． 【小问1详解】 解：将点、代入，得， ， 解得， ∴二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：， ∴该抛物线的对称轴为直线， ∴点的坐标为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∵，，， ∴，，，， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 设点的坐标为，则点的坐标为， ∴， 由勾股定理可得，， 由题意可知，， ∴， ∴， ， ， ∵， ∴当时，取得最大值，此时点的坐标为， 如图，以、为边向下构造平行四边形，作点关于的对称点，连接，，，连接交于点，作轴于点，作于点， ∵点在轴上，且， 又∵为直线， ∴，， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， ∴点向右平移3个单位，再向下平移9个单位得到点， 又∵四边形是平行四边形， ∴点向右平移3个单位，再向下平移9个单位得到点，且 ∴点的坐标为， ∵点与点关于对称， ∴垂直平分线段， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， 由勾股定理可得，， ∵，，， ∴， ∴当、、、四点共线时，取得最小值， 综上，此时点，的最小值； 【小问3详解】 略 【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查线段和最值问题，角度存在性问题，熟练使用构成对称点，构造函数，构造角等辅助线的添法，并运用数形结合思想是解题关键． 16. 已知中，，为上一点 （1）如图1，将绕点逆时针旋转得，连接，若，，求的长； （2）如图2．作于点，为的平分线，满足且，用等式表示线段之间的数量关系，并证明； （3）若，，将绕点顺时针旋转得，当取得最小值时，为直线上一动点，将沿着翻折得，点，的对应点分别为、，当最大时，为直线上一动点，将绕点逆时针旋转得，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】（1）． （2）， 证明：作于点， 设，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，      ∵为的平分线， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，，， ∴，，， ∴， ∴． （3）． 【解析】 【分析】（1）由旋转可得，，作，交延长线于点，证明，根据勾股定理，即可得的长； （2）作于点，设，，可得，可得，证明，可得，由等边对等角，可得，解直角三角形，可得，，，即可得线段之间的数量关系； （3）由旋转可得，，当取得最小值时，，可得，当最大时，在延长线上，，将绕点顺时针旋转，与直线交于点，将绕点逆时针旋转得到，作直线，当取得最小值时，，，解直角三角形，可得，作于点，作于点，解直角三角形，可得，，，即可得的面积． 【小问1详解】 解：由旋转可得，， 作，交延长线于点，则， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由旋转可得，， ∴， 当取得最小值时，， ∴， ∴， ∴， 当最大时，在延长线上，， 将绕点顺时针旋转，与直线交于点， 将绕点逆时针旋转，与直线交于点， ∴， ∵， ∴，， 将绕点逆时针旋转得到，作直线， 当取得最小值时，，， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 作于点，作于点， ∴，， ∵，，， ∴， ∴，，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $