第1-3章检测卷A2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 苏科版九上数学第1-3章检测卷A，聚焦反比例函数、一元二次方程、圆，通过基础辨析、实际应用与动态探究，融合文化传承（如《九章算术》问题）与现实情境（商场利润、车棚设计），考察抽象能力、推理意识与模型意识。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|反比例函数定义、方程根、圆心角|基础概念辨析，如反比例函数判定| |填空题|8|方程构造、圆的切线、双循环赛制|开放题（如写方程）与文化题（《九章算术》）结合| |解答题|11|解方程、几何作图、动态平移|综合题融合函数与几何（如直线与反比例函数交点），动态问题（半圆平移）考察空间观念|

《第1-3章检测卷A》参考答案 1．B 【分析】本题考查了反比例函数的定义．根据反比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是反比例函数．逐一分析各选项是否符合定义即可． 【详解】解：① ：是正比例函数，不符合反比例函数的形式，故错误． ② ：可化简为，符合（），是反比例函数． ③ ：变形为，符合（），是反比例函数． ④ ：分母为，非单独，不符合定义，故错误． ⑤ ：即，次数为，不符合的形式，故错误． ⑥ ：只有当为非零常数时成立，故错误． 综上，②、③反比例函数，共2个， 故选B． 2．C 【分析】移项后提取公因式，用因式分解法求解． 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， 或， 解得． 3．A 【详解】解：∵一元二次方程中，，， ∴， ∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 4．B 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴A点在第三象限， ∴， ∵， ∴B、C两点在第一象限， ∴， ∴． 5．C 【分析】作的平分线构造等圆心角，得到等弦，结合三角形三边关系比较弦长大小． 【详解】解：如图，作的平分线，交于点，连接、、、， 则， ∵， ∴， ∵在同圆中，相等的圆心角所对的弦相等， ∴， 在中，， ∴，即． 6．D 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再根据圆周角定理可得，再结合题目已知进行列方程组求解即可． 【详解】解：在四边形中，， ∵， ∴， 由图可得，，且， ∴， 解得． 7．A 【分析】根据图形得到，根据扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∴ ． 8．C 【分析】根据垂径定理的性质作出圆心所在位置，再根据切线的判定方法作出切线，利用三角形全等的判定和性质求出点E的坐标，利用待定系数法确定直线的解析式，再将各选项代入解析式判断直线是否经过点． 【详解】 解：如图，连接、，作、的垂直平分线交于点， 则点就是所在圆的圆心， ∴点，，组成的圆的圆心为 ， 过点作于点，交直线于点， 此时与圆相切于点， 则 ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∴设直线：, 则， 解得, ∴直线：， ∴点在此直线上， 当时，，点不在此直线上，故选项不符合题意； 当时，，点不在此直线上，故选项不符合题意； 当时，，点不在此直线上，故选项不符合题意． 【点睛】此题主要考查了切线的性质和判定、全等三角形的性质和判定、垂径定理、用待定系数法求一次函数解析式，解题的关键是能熟练掌握这些性质坐标与图形的性质． 9．（答案不唯一） 【分析】一元二次方程要求二次项系数不为0，将根代入方程满足等式，即可得到符合要求的方程． 【详解】解：设一元二次方程的一般形式为， ∵是方程的根， ∴将代入方程得：， 任意取满足条件的，例如取，，， 得到一元二次方程， 验证可知是该方程的根，符合要求． 10．（答案不唯一） 【分析】根据反比例函数的性质得到，确定的取值范围后任选一个符合条件的值即可． 【详解】解：∵函数的图象在每个象限随的增大而增大， ∴反比例函数的比例系数小于，即，解得，取，符合条件． 11．26 【分析】连接构成直角三角形，先根据垂径定理，可得寸，再设出圆的半径为x寸，表示出，最后根据勾股定理建立关于x的方程进行求解即可． 【详解】解：连接，如图， ，且寸， 寸， 设圆O的半径的长为x寸， 寸， 在中， 解得， ， 寸． 12． 【分析】根据反比例函数和一次函数的性质可得，，即，，再将所求式子进行变形，整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点， ∴，， ∴，， ∴． 13．24 【详解】解：和是的两条切线， ， 同理可得：，， 的周长 ． 14．8 【分析】设参加小组赛的球队数量为，根据双循环赛制得到总比赛场数的表达式，列方程求解后舍去不符合实际的负根即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支， ∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为， 根据题意，得， 解得，， ∵球队数量为正整数， ∴舍去， ∴， 故参加小组赛的球队有7支． 15．或 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 16． 【分析】设点P坐标为，如图，连接，当为直径时，m最大，最大值为4，当点P为即的中点时，，，，此时即最小，利用勾股定理求得此时的弦的长m的最小值即可求解． 【详解】解：设点P坐标为，如图，连接， 根据题意，当为直径时，m最大，最大值为4， 当点P为即的中点时，，，，此时即最小， 由勾股定理得， ∴弦的长m的最小值为， ∴满足题意的m值的取值范围为． 17．(1) (2) 【分析】（1）利用公式法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：这里． ， ， ，； （2）解：原方程可变形为， 因式分解，得， ，或， ，． 18．(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式的意义得到，解不等式即可得到k的取值范围； （2）根据根与系数的关系得，，利用完全平方公式，由得到，然后解方程后通过k的范围确定k的值． 【详解】（1）解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根、， ∴，， ∴， 解得，． ∵方程有两个实数根， ∴，解得， ∴． 19．(1)如图所示，点O即为所求： (2)如图所示，点O即为所求： 方法一 方法二 【分析】（1）根据圆周角所对的弦是直径得到矩形的对角线都是直径，连接对角线交点即为圆心； （2）直线与分别交圆于点、，连接与交点即为圆心；由为直径可得，根据平行四边形的性质和平行线的性质得到，最后根据圆周角所对的弦是直径得到是直径，直径与交点即为圆心． 【详解】（1）略 （2）略 20．(1)（，且x为整数） (2)售价定为70元 【分析】（1）根据当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件，得出（，且x为整数），即可作答． （2）分别表示出单件利润为元，销售量为件，再结合利润=单件利润×销售量进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（，且x为整数）； （2）解：依题意， 整理得： ∴ 解得 ∴售价定为70元． 21．(1)面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米 (2)解：不能围成面积为60平方米的车棚； 理由：设为x米，则为米， 由题可得：， 整理得， ∵， ∴不能围成面积为60平方米的车棚． 【详解】（1）解：设为x米，则为米， 由题可得：， 解得，， ， （舍去）， ，米， ∴面积为54平方米时车棚的长为9米，宽为6米； （2）略． 22．(1)； (2)或 【分析】（1）把点代入反比例函数关系式即可确定的值，再把代入求出的值，把，分别代入直线即可求出的值； （2）先把不等式进行变形，再观察图象写出答案． 【详解】（1）解：直线与反比例函数的图象交于，两点． ， ，即， 点坐标为． 一次函数的图象过，两点， ，解得， ，； （2）解：由得， ，， 不等式的解集为或． 23．(1)证明：连接，， ∵是的直径， ∴． ∴ ． ∴ ∵， ∴是的中位线， ∴． ∵， ∴ ∴是的切线； (2)5 【分析】（1）通过连接，证明，结合得出，从而证明是的切线； （2）先判断为等边三角形，再利用等边三角形三线合一的性质和直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴为等边三角形， ∴， 在中， ， ∴长为5． 24．(1)上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 (2)本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 25．(1)该方程的其中一个正根是线段的长，理由如下： ∵在直角三角形中，根据勾股定理得，， ， 整理得，， ∴对于形如的方程中一个正根是线段的长； (2)； (3)； 【分析】（1）在直角三角形中，根据勾股定理得，即可证明结论； （2）根据大正方形的面积可以表示为，再列方程得到．解方程即可求出原方程的一个正根； （3）由题意可得，作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，在中，求出，即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：观察图2，大正方形的边长为矩形的长与宽之和，即， 那么大正方形的面积可以表示为， 因为，即，且大正方形面积等于个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即． 化简可得， 进一步变形为． ∴ ∴或， 因为为正数， 所以， 即原方程的一个正根是 （3）解：， ， 作直角三角形，其中，，， 在斜边上截取， 在中，， 则该方程的其中一个正根为的长即． 26．(1) (2) (3)解：如图所示为所求： 最小值为 (4) 【分析】（1）找到劣弧所对的圆心角，在利用公式求解即可； （2）由切线的性质结合直角三角形的性质可得，即可解答； （3）连接，由，可得当且点在线段上时，有最小值，过点作的垂线，垂足为即可，设交半圆O于点，此时有最小值，利用直角三角形的性质求出，由勾股定理求出，再求出，即可解答； （4）圆与三角形两条直角边分别相切时，即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵，， ∴， ∴； （2）解： 如图，连接， ∵边与半圆相切于点P， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，连接， ∵， ∴当且点在线段上时，有最小值， ∴过点作的垂线，垂足为， 作图略； 设交半圆O于点，此时有最小值， ∵，，， ∴， ∴， 由作图知，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即两点重合， ∵， ∴，即的最小值为； （4）解：如图，半圆与相切，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得，即，解得， ∵， ∴， ∴半圆与的重叠部分是半圆时，的取值范围是． 27．(1)； (2)①A； ②证明：过点作，垂足为， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴是的半径， ∴与相切，即与有且只有一个公共点． (3)如图所示，圆弧五边形即为所求作的图形： 【分析】（1）圆弧三角形的周长由，，三段弧长构成，由，，利用弧长公式计算即可；圆弧三角形的面积可通过计算三个扇形的面积，但是中间的等边三角形的面积被多算了两次，只需减两次等边三角形的面积即可求出； （2）①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，而无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的，即在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的，所以最高点形成的图形是一条直线；②过点作，垂足为，利用正方形的性质可得，得出是的半径，结论即可得证； （3）先画出使其对角线长为的正五边形，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形，再通过圆弧五边形画出正方形． 【详解】（1）解：由题意可得：圆弧三角形是由三段圆弧围成的， ∴圆弧三角形的周长为， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴圆弧三角形的周长为， 过点作，垂足为， ∴， ∴， ∴， ∴圆弧三角形的面积为． （2）解：①圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，与地面接触的圆弧是与地面相切的，如图所示： ∵， ∴无论切点的位置在哪段圆弧上，距离切点最远的长度都是相同的， ∴在滚动过程中的最高点距离地面的高度是保持不变的， ∴最高点形成的图形是一条直线； ②略 （3）解：如图，画正五边形，使其对角线，分别以为圆心，以为半径画、、、、，这五段圆弧组成圆弧五边形， 连接，分别过点、点作的垂线，过点作的平行线，与过点、点作的的垂线分别交于点，过点作的垂线交于点，过点作的平行线，与过点、点作的垂线分别交于点， ∴，，， ∴四边形是边长为的正方形， ∴圆弧五边形可以在正方形中转动，并且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点，所作图形符合题意． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏科版九上数学第1-3章检测卷A 测试内容：反比例函数、一元二次方程、圆；时间：120分钟 一、单选题 1．下列函数中，是的反比例函数的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥． A．1 B．2 C．3 D．4 2．方程的根是（     ） A． B． C． D． 3．关于的一元二次方程的实数根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 4．点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 5．在中，圆心角，则弦与弦的关系是（     ） A． B． C． D．不能确定 6．如图，点A、B、C、D在上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，在边长为2的正方形中，以点D为圆心，为半径画，再以为直径画半圆，若阴影部分①的面积为，阴影部分②的面积为，则图中的值为（     ） A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫作整点．如图，过整点，，有一条圆弧，如果一条直线与这条圆弧相切于点B，则这条直线经过（     ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知一元二次方程的一个根是1，请写出这个一元二次方程____． 10．选一个数作为m的值，使关于x的函数的图象在每个象限y随x的增大而增大，则m的值为________． 11．《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，尺，则直径长为______寸．（1尺寸） 12．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象交于点，则代数式的值为______． 13．如图，，是的两条切线，A，B是切点，C是上一点，过点C画的切线，分别交，于点D，E，，则的周长是________． 14．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初三年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有______支． 15．如图，在中，，，，点从点开始沿射线方向以的速度运动；同时点也从点开始沿射线方向以的速度运动．_______秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 16．如图在平面直角坐标系中，已知的半径为2，弦绕点O旋转一周扫过的区域记为W，若点在区域W内部（包含边界），弦长为m，则m的取值范围是________． 三、解答题 17．解下列一元二次方程． (1) (2) 18．关于x的一元二次方程． (1)当方程有两个不相等的实数根时，求k的取值范围． (2)若方程有两个实数根、且满足，求k的值． 19．仅用无刻度直尺按下列要求完成作图．（保留作图痕迹）． (1)如图1，矩形的顶点都在圆O上，请找出圆心O． (2)如图2，以平行四边形边为直径的与边相交，请找出圆心O． 20．某商场销售一种商品，每件进价40元．经市场调查发现，当售价定为50元时，每天可售出100件；售价每提高1元，日销售量减少2件． (1)设售价为x元，日销售量为y件，求y与x的函数关系式； (2)若商场希望日利润达到1800元，则售价应定为多少元？ 21．如图，学校准备在教学楼后面搭建一个简易矩形自行车车棚，一边利用教学楼10米长的后墙，另外三边利用学校现有的总长为21米的铁栏围成（墙的厚度忽略不计）． (1)若围成的车棚面积为54平方米，求出自行车车棚的长和宽； (2)能围成面积为60平方米的车棚吗？若能，说出你的方案；若不能，请说明理由． 22．如图，已知直线与反比例函数的图象交于，两点． (1)求，的值； (2)结合图象，直接写出时x的取值范围． 23．如图，在中，，以为直径作交BC于点D．过点D作，垂足为E，且交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 24．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 25．综合与实践． (1)【初步探索】欧几里得的《几何原本》记载，对于形如的方程，可用如图1的几何解法：作直角三角形，其中，，，在斜边上截取，则该方程的其中一个正根是哪段线段的长？说明你的理由． (2)【再次探索】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中也记载了关于一元二次方程的几何解法：以方程为例，因为，所以有．如图2，用4个长都是，宽都是x的相同矩形，拼成如图所示的正方形，图2中，大正方形的面积可以表示为_____________（用含x的代数式表示）；另一方面，它又等于4个小矩形的面积加上中间小正方形的面积，即等于，故可得原方程的一个正根是____________________． (3)【类比运用】请选用上述两种几何方法中的一种求方程的正根（请在下面画出图形，注意在图中标注出相关线段的长度）． 26．如图1，在中，，，，点O在边上，且．以点O为圆心，2为半径在的上方作半圆O，交于点D，E（点D在点E左侧），交于点P．随后，将半圆O沿射线向右平移，设点D平移的距离为x（）． (1)在图1中的长为________； (2)如图2，当边与半圆O相切于点P时，求x的值； (3)已知点M是半圆O上的动点，连接，当最小时，仅用圆规和无刻度的直尺，在图3中作出点O，并求出的最小值； (4)在半圆O沿射线向右平移的过程中，当半圆O与的重叠部分是半圆O时，直接写出x的取值范围． 27．在第一阶段质量监测中，我们介绍了“曲柄滑块机构”，它可用于活塞发动机．在另一种转子发动机（图（1）是某汽车转子发动机的截面图）中，有一个可以转动的部件，它的示意图如图（2）所示．图（2）的画法如下：画一个边长为a的正三角形，分别以A，B，C为圆心，以a为半径画，，．这三段弧组成的图形叫作圆弧三角形． (1)圆弧三角形的周长为______，面积为______．（都用含a的代数式表示） (2)圆弧三角形运动时有何特性呢？ ①如图（3），圆弧三角形沿直线向右滚动一周，在滚动过程中，它每时每刻都有一个最高点，最高点形成的图形大致为（     ） A．    B．    C．   D． ②数学家发现：圆弧三角形能在边长为a的正方形中转动，且始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点．图（4）是转动过程中的一种情形（点B，C分别在边，上，与边有且只有一个公共点M）．求证：与有且只有一个公共点． (3)尝试画一个“圆弧多边形”，使其满足以下要求：①将它放在边长为a的正方形中转动时，也能始终保持与正方形的每一边都有且只有一个公共点；②该图形不能是圆弧三角形或圆．请画出示意图并写出画法． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $