26.2.2二次函数y=a(x-h)²+k的图象和性质 第2课时二次函数y=a(x-h)²的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=a(x-h)^2\)的图象和性质，核心是掌握其与\(y=ax^2\)的左右平移规律及性质。导入通过复习\(y=ax^2 + k\)的上下平移，以“自变量x变换为x-h的影响”设问衔接，搭建前后知识学习支架。 其亮点在于引导学生动手列表描点画图、观察对比归纳“左加右减”规律，培养几何直观与空间观念（数学眼光），通过表格分类总结性质发展推理意识（数学思维），典例练习用解析式精准表达平移体现模型意识（数学语言）。学生提升探究与归纳能力，教师获得系统教学流程与分层练习支持。

26.2.2二次函数y=a(x-h)²的图象和 性质 第2课时 1 1.掌握 y=a(x-h)2与y=ax2 的左右平移规律：左加右减。 2.熟记函数核心性质：对称轴为直线x=h，顶点坐标 (h,0)；能区分 h 正负对应的平移方向。 3.能根据解析式直接判断开口方向、对称轴、顶点，分析自变量取值范围内函数增减性。 4.能根据平移要求写出对应的函数解析式。 5.区分上下平移、左右平移的不同变化量，理清平移逻辑，建立分类归纳思维 6.感受函数图象平移变换的统一规律，建立连贯的知识体系。 7.培养严谨审题、区分变量变化的解题习惯。 学习目标 一、 复习回顾：知识回顾 1. 图象关系 抛物线 y = ax2 + k可由基础抛物线 y = ax2经过上下平移得到。平移的方向与距离完全由参数 k 的符号与绝对值决定。 2. 平移规律 当 k > 0时：向上平移 k个单位，图象整体上移； 当 k < 0时：向下平移 |k| 个单位，图象整体下移。 口诀：“上加下减，左加右减”中的纵向平移法则。 3 .性质异同 相同点：开口方向、开口大小及对称轴（均为y轴）完全一致； 不同点：顶点坐标不同。 基础式顶点为 (0, 0)，平移后顶点为 (0, k)。 核心：上下平移改变顶点纵坐标，不改变抛物线的形状与开口方向。 1.7.2013 在开始新知识的学习之前，我们先来快速回顾一下上节课的内容。我们已经知道，抛物线y=ax²+k是由y=ax²上下平移得到的，k决定了平移的方向和距离。它们的开口方向、大小和对称轴都是相同的，唯一不同的是顶点坐标。 ‹#› 二、引入新课 ❓ 思考：我们已经熟练掌握了抛物线的上下平移规律（y = ax² + k）。那么，如果对自变量 x 进行变换，将其改为 x-h，函数 y = a(x-h)² 的图象又会发生怎样的奇妙变化呢？这是否遵循着新的平移法则？ 本课探究重点 深入剖析二次函数y = a(x-h)²的图象性质，通过画图观察与对比分析，归纳出抛物线“左右平移”的核心规律，理解参数 h 对图象位置的决定性影响。 为什么要掌握它？ 这是二次函数图象变换的进阶关键，是理解复杂函数解析式与图象关系的基础。掌握此规律，能让我们快速判断函数图象的位置，为后续学习二次函数的综合应用及解决实际问题打下坚实基础。 1.7.2013 很好，看来大家对上节课的知识掌握得很牢固。那么，现在请大家思考一个新问题：如果我们不是在函数整体上加k，而是对自变量x进行变化，比如变成x-h，那么函数的图象会发生什么变化呢？这就是我们这节课要解决的核心问题——探究抛物线的左右平移规律。 ‹#› 三、探究新知：动手探究 探究任务：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y = -x2 、y = -(x+1)2 和 y = -(x-1)2 的图象，观察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有什么关系。 1 .列表计算 · 准备数据 x ... -2 -1 0 1 2 ... y=-x2 ... -4 -1 0 -1 -4 ... y=-(x+1)2 ... -1 0 -1 -4 -9 ... y=-(x-1)2 ... -9 -4 -1 0 -1 ... 1.7.2013 现在，我们来进行探究活动。请大家拿出草稿纸和笔，我们要在同一个直角坐标系中，画出y=-x²，y=-(x+1)²和y=-(x-1)²这三个函数的图像。首先，我们来完成第一步，列表。大家可以看到屏幕上的表格，我们分别取x为-2, -1, 0, 1, 2，计算出对应的y值。接下来，请大家根据这个表格，在坐标系中描点，然后用平滑的曲线把它们连接起来。 ‹#› 三、探究新知：动手探究 探究任务：在同一平面直角坐标系中，画出二次函数 y = -x2 、y = -(x+1)2 和 y = -(x-1)2 的图象，观察它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有什么关系。 2 .绘图操作 · 观察特征 第一步：精准描点 依据表格中的坐标值 (x, y)，在平面直角坐标系中找到对应的位置，用清晰的圆点“·”做好标记，确保坐标位置准确无误。 第二步：平滑连线 按照自变量 x 从小到大的顺序，用平滑的曲线顺次连接各点。画完后，请观察三条抛物线的开口方向、对称轴以及顶点位置有什么变化规律。 1.7.2013 现在，我们来进行探究活动。请大家拿出草稿纸和笔，我们要在同一个直角坐标系中，画出y=-x²，y=-(x+1)²和y=-(x-1)²这三个函数的图像。首先，我们来完成第一步，列表。大家可以看到屏幕上的表格，我们分别取x为-2, -1, 0, 1, 2，计算出对应的y值。接下来，请大家根据这个表格，在坐标系中描点，然后用平滑的曲线把它们连接起来。 ‹#› 三、探究新知：观察分析 ▲ 二次函数顶点式图象直观对比 形状相同，位置不同 1 .图象特征分析表 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 y = -x² 向下 y轴 (x=0) (0, 0) y = -(x+1)² 向下 直线 x = -1 (-1, 0) y = -(x-1)² 向下 直线 x = 1 (1, 0) 1.7.2013 大家画好了吗？我们一起来看屏幕上的图像。请大家仔细观察，这三条抛物线有什么共同点和不同点？首先，它们的开口方向和大小是不是完全一样？是的，都是向下，开口大小也相同。那它们的位置呢？我们可以看到，y=-(x+1)²的图像正好是y=-x²的图像向左移动了1个单位，而y=-(x-1)²的图像则是向右移动了1个单位。再来看它们的对称轴和顶点，对称轴分别变成了x=-1和x=1，顶点坐标也从(0,0)分别变成了(-1,0)和(1,0)。 ‹#› 三、探究新知：观察分析 2 .核心思考与发现 共性特征 开口方向均向下，且开口大小完全相同，图象的形状与宽窄一致。 个性差异 对称轴与顶点的横坐标不同，导致图象在坐标系中的位置不同。 平移规律 “左加右减”：括号内加则左移，减则右移，平移量为|h|个单位。 1.7.2013 大家画好了吗？我们一起来看屏幕上的图像。请大家仔细观察，这三条抛物线有什么共同点和不同点？首先，它们的开口方向和大小是不是完全一样？是的，都是向下，开口大小也相同。那它们的位置呢？我们可以看到，y=-(x+1)²的图像正好是y=-x²的图像向左移动了1个单位，而y=-(x-1)²的图像则是向右移动了1个单位。再来看它们的对称轴和顶点，对称轴分别变成了x=-1和x=1，顶点坐标也从(0,0)分别变成了(-1,0)和(1,0)。 ‹#› 三、 探究新知：归纳平移规律 规律本质：图像的左右平移变换 当 h > 0 时，向右平移 h 个单位 抛物线 y = a(x-h)² 的顶点由 (0,0) 变为 (h, 0)，形状不变，仅沿x轴正方向移动。 当 h < 0 时，向左平移 |h| 个单位 抛物线 y = a(x-h)² 的顶点由 (0,0) 变为 (h, 0)，形状不变，仅沿x轴负方向移动。 快速记忆：“左加右减自变量” “左加” → 给 x 加上正数 如向左移 m 个单位，解析式变为 y=a(x + m)²。对应规律中 h = -m < 0 的情况。 “右减” → 给 x 减去正数 如向右移 m 个单位，解析式变为 y=a(x - m)²。对应规律中 h = m > 0 的情况。 1.7.2013 通过刚才的观察，我们可以总结出一个重要的规律。抛物线y=a(x-h)²的图像，其实就是把y=ax²的图像进行左右平移。当h大于0时，向右平移h个单位；当h小于0时，向左平移|h|个单位。为了方便记忆，我们可以记住这个口诀：“左加右减自变量”。也就是说，向左平移，是在x上加上一个数；向右平移，是在x上减去一个数。 ‹#› 三、 探究新知：系统归纳性质 y=a(x-h)2 a>0，h>0 a>0，h<0 a<0，h>0 a<0，h<0 图象 开口方向 对称轴 顶点坐标 增减性 最值 当x<h时，y随x增大而减小； 当x>h时，y随x增大而增大. 向上 直线x=h （h,0） x=h时，y最小值=0 当x<h时，y随x增大而增大； 当x>h时，y随x增大而减小. 向下 直线x=h （h,0） x=h时，y最大值=0 四、 典例讲解 例1：说出抛物线 y = 2(x - 3)² 的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是如何由 y = 2x² 平移得到的。 解：∵ a = 2 > 0，故抛物线开口向上； 对称轴为直线x = 3，顶点坐标为(3, 0)； 它是由抛物线 y = 2x²向右平移 3 个单位得到的。 1.7.2013 理论学习完了，我们来看两个基础的例子。例1，求抛物线y=2(x-3)²的性质。根据我们总结的规律，a=2>0，开口向上；h=3，所以对称轴是x=3，顶点坐标是(3,0)。它是由y=2x²向右平移3个单位得到的。例2，将y=-½x²向左平移4个单位，根据“左加右减”，新的解析式就是y=-½(x+4)²。 ‹#› 四、 典例讲解 例2：将抛物线 y = -x² 向左平移 4 个单位，求所得抛物线的2解析式。 解：根据“左加右减”的平移规律，向左平移4个单位，需对 x 进行“加4”操作； 因此，所得抛物线的解析式为： y = -(x + 4)² 1.7.2013 理论学习完了，我们来看两个基础的例子。例1，求抛物线y=2(x-3)²的性质。根据我们总结的规律，a=2>0，开口向上；h=3，所以对称轴是x=3，顶点坐标是(3,0)。它是由y=2x²向右平移3个单位得到的。例2，将y=-½x²向左平移4个单位，根据“左加右减”，新的解析式就是y=-½(x+4)²。 ‹#› 四、 典例讲解 例3：已知直线y = x + 2与 x 轴交于点 A，将抛物线y = -3x²平移后，使其顶点与点 A 重合，求平移后抛物线的解析式。 解：令 y = 0，代入得 x + 2 = 0，解得 x = -2，故 A(-2, 0)。平移后顶点为 (-2, 0)，二次项系数 a = -3 保持不变。代入顶点式：y = a(x - h)² + k 即y = -3(x + 2)² 1.7.2013 我们再来看一个稍微复杂一点的例子。例3，结合了一次函数的知识。题目要求我们将抛物线y=-3x²平移，使其顶点与直线y=x+2和x轴的交点A重合。首先，我们需要求出点A的坐标。令y=0，解得x=-2，所以A点坐标是(-2,0)。这意味着平移后的抛物线顶点是(-2,0)。因为是平移，所以a不变，还是-3。h就是顶点的横坐标-2。所以，最终的解析式就是y=-3(x - (-2))²，也就是y=-3(x+2)²。 ‹#› 在同一平面直角坐标系中，画出下列二次函数的图象： y= x2，y= (x+2)2 ，y= (x-2)2 . 指出三条抛物线的位置关系，并分别指出它们的开口方向、对称轴和顶点，以及随着x的增大，y的变化情况. 解：图象如图. y O x y= x2 2 -2 y= (x-2)2 y= (x+2)2 教材P39练习 五、课堂练习 y O x y= x2 2 -2 y= (x-2)2 y= (x+2)2 y=x2开口向上，对称轴为x=0，顶点坐标为(0,0).当x<0时，y随x的增大而减小，当x>0时，y随x的增大而增大. y=(x+2)2开口向上，对称轴为x=-2，顶点坐标为(-2,0).当x<-2时，y随x的增大而减小，当x>-2时，y随x的增大而增大. y=(x-2)2开口向上，对称轴为x=2，顶点坐标为(2,0).当x<2时，y随x的增大而减小，当x>2时，y随x的增大而增大. 把抛物线y=x2向左平移2个单位长度，就得到抛物线y=(x+2)2；把抛物线y=x2向右平移2个单位长度，就得到抛物线y=(x-2)2. 六、 当堂检测 1.抛物线 y = -2(x - 3)2的顶点坐标是（ ） A. (3, 0) B. (-3, 0) C. (0, 3) D. (0, -3) A 2.要得到抛物线y= (x-4)2，可将抛物线y= x2( ). A.向上平移4个单位 B.向下平移4个单位 C.向右平移4个单位 D.向左平移4个单位 C 3.已知 y=(x-m)2，当 x < 2时，y随x增大而减小，则m的取值范围是_____________ 六、 当堂检测 m ≥ 2 4.二次函数y=-3(x-1)2的图象开口方向是 ，顶点坐标是 ，对称轴是 . 向下 （1，0） 直线x=1 七、 课堂小结：知识梳理 图象来源 抛物线y = a(x-h)²是由y = ax²左右平移得到。 口诀：“左加右减自变量” h > 0 向右平移，h < 0 向左平移，平移距离为 |h| 个单位。 核心参数 参数 a：决定开口方向与大小。a > 0 向上，a < 0 向下；|a| 越大，开口越小。 参数 h：决定对称轴位置及左右平移量，是图象左右位置的“核心锚点”。 性质归纳 对称轴：直线 x = h 顶点坐标：(h, 0) 最值与增减：顶点为最值点；以对称轴为界，左右两侧的函数增减性完全相反。 课堂点睛：掌握“左加右减”的平移规律是解题的基础，结合参数 a 和 h 可快速预判图象特征与函数性质。 1.7.2013 一节课很快就要结束了，我们来一起回顾一下本节课的重点知识。我们学习了二次函数y=a(x-h)²的图像和性质。它的图像是由y=ax²左右平移得到的，平移规律是“左加右减自变量”。参数a决定了开口方向和大小，参数h决定了图像的左右位置。我们还总结了它的对称轴、顶点坐标、增减性和最值。这些都是本节课的核心内容，希望大家牢牢掌握。 ‹#› 八、 课后作业 课后实践与思考 基础巩固练习：从教材习题中选取 深度探究（思考题）：尝试分析：抛物线 y=2x² 经过怎样的平移变换，可以得到新的抛物线 y=2(x-3)²+4？请结合图象的顶点移动规律总结平移法则。 1.7.2013 除了知识本身，我们在学习过程中还运用了一些重要的数学思想方法，如数形结合、类比与归纳、转化思想。这些方法对于我们今后学习更复杂的函数非常有帮助。课后请大家完成教材上的练习题，并思考一个问题：如何将抛物线y=2x²经过怎样的平移得到y=2(x-3)²+4？我们下节课将继续探讨。 ‹#› $