26.2.2二次函数y=a（x-h）²+k的图象和性质 第1课时 二次函数y=ax²+k的图象和性质 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦二次函数\(y=ax^2+k\)的图象和性质，核心内容包括图象平移规律（上加下减）及性质（对称轴x=0、顶点(0,k)、增减性、最值）。课堂导入先复习\(y=x^2\)的图象与性质，再通过“函数加常数k”的情境提问，搭建从已知到未知的学习支架，引导学生探究k对图象的影响。 其亮点是以动手探究为核心，让学生列表描点画\(y=x^2\)、\(y=x^2±1\)的图象，培养几何直观和空间观念（数学眼光）。归纳规律时对比分析a、k的作用，发展推理意识（数学思维）。典例与分层练习用规范数学语言表达，强化应用意识（数学语言）。学生能提升自主总结能力，教师可利用结构化流程高效教学。

26.2.2二次函数y=ax²+k的图象和性质 第1课时 1 1.理解y=ax2+k 与基础函数y=ax2的图象平移关系：上加下减。 2.掌握 y=ax2+k的图象性质：对称轴直线x=0，顶点(0,k)；能准确说出最值、增减变化规律。 3.能根据 k 的正负判断抛物线上下平移方向，会由解析式快速写出顶点、对称轴。 4.能解决简单比较函数值大小、求最值的基础习题。 5.运用数形结合，通过图象直观理解常数 k 的几何意义。 6.体会函数图象平移的规律性，感受数学知识层层递进的逻辑。 7.提升自主对比、总结数学规律的自学能力。 学习目标 一、复习回顾：二次函数 y = x² 图像核心特征 图像形状：一条平滑的抛物线，是二次函数的基础几何形态。 开口方向：开口向上，说明函数图像无限向上延伸，仅有最小值。 对称轴：y轴（直线 x = 0），图像关于y轴呈现严格的左右对称。 顶点坐标：原点 (0, 0)，这是抛物线的最低点。 函数关键性质 增减性规律： 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小； 当 x > 0 时，y 随 x 的增大而增大。 最值与范围： 当 x = 0 时，y 取得最小值 0； 由于开口向上，函数值的取值范围是 y ≥ 0。 二、情境引入 我们已经掌握了最简单的二次函数y = x²的图像与核心性质：它是一条开口向上、以y轴为对称轴、顶点位于原点(0,0)的抛物线。这是我们探索二次函数家族的基石。 深度思考：当函数“加”上一个常数 k 时 如果在基础模型上加上常数 k，变为y = x² + k，它的图象会发生什么变化？是开口大小改变了，还是位置发生了平移？它的对称轴、顶点坐标等关键性质又会随之产生怎样的改变？ 本课探究目标：深入剖析形如y = ax² + k的二次函数，理解参数 k 对抛物线位置的影响规律，掌握图象平移的本质，并能准确分析其开口方向、对称轴与顶点坐标。 三、探究新知：k 值对图像的影响 探究活动一：在同一直角坐标系中，尝试画出二次函数 y = x²、y = x² + 1、y = x² - 1 的图像，观察并对比它们的形状与位置关系。 1.列表取值 · 计算坐标 x ... -2 -1 0 1 2 ... y=x² ... 4 1 0 1 4 ... y=x²+1 ... 5 2 1 2 5 ... y=x²-1 ... 3 0 -1 0 3 ... 1.7.2013 现在，我们来进行第一个探究活动。请大家拿出草稿纸和笔，我们要在同一个直角坐标系中，画出y=x²，y=x²+1和y=x²-1这三个函数的图像。首先，我们来完成第一步，列表。大家可以看到屏幕上的表格，我们分别取x为-2, -1, 0, 1, 2，计算出对应的y值。接下来，请大家根据这个表格，在坐标系中描点，然后用平滑的曲线把它们连接起来。 ‹#› 2 动手操作 · 描点连线 操作步骤： 1.描点：依据左侧表格中的坐标值，在坐标系中准确标记出每个点； 2.连线：用平滑的曲线，按x值从小到大的顺序，依次连接各点，形成抛物线。 💡 思考：观察三条抛物线，它们的开口大小一样吗？位置上有什么变化规律？ ️ 课堂任务：请在练习本上完成绘制，并尝试总结“k值变化对二次函数图像位置的影响”规律。 三、探究新知：观察与思考 图像形状：完全一致 三个函数图像均为开口向上的抛物线，形状、开口大小完全相同，仅因常数项不同导致位置差异。 位置规律：上下平移 y=x2+1 是y=x2 向上平移1个单位； y=x2-1 是 y=x2 向下平移1个单位。 核心参数：对称轴与顶点 对称轴均为y轴 (直线x=0)；顶点坐标依次为 ( (0,0) 、 (0,1) 、 (0,-1) 。常数项决定了顶点的纵坐标位置。 1.7.2013 大家画好了吗？我们一起来看屏幕上的图像。请大家仔细观察，这三条抛物线有什么共同点和不同点？首先，它们的形状是不是完全一样？是的，开口大小完全相同。那它们的位置呢？我们可以看到，y=x²+1的图像正好是y=x²的图像向上移动了1个单位，而y=x²-1的图像则是向下移动了1个单位。再来看它们的对称轴和顶点，对称轴都是y轴，没有变化，但是顶点坐标从(0,0)分别变成了(0,1)和(0,-1)。 ‹#› 三、探究新知：归纳总结 (k值) 抛物线的平移规律 抛物线y = x² + k的图像，本质是由基础抛物线y = x²经过上下平移得到。 当k > 0时，图像向上平移 k 个单位 当k < 0时，图像向下平移 |k| 个单位 1.7.2013 通过刚才的观察，我们可以总结出一个重要的规律。抛物线y=x²+k的图像，其实就是把y=x²的图像进行上下平移。当k大于0时，向上平移k个单位；当k小于0时，向下平移|k|个单位。所以，k这个常数，它决定了抛物线在坐标系中的上下位置，也决定了顶点的纵坐标。 ‹#› k 的几何意义与核心作用 决定上下位置 k 是抛物线在坐标系中“高低”的直接决定因素，是图像位置变化的关键参数。 决定顶点纵坐标 对于 y = x² + k，其顶点坐标为 (0, k)，k 的值直接对应顶点在 y 轴上的坐标。 上下平移规律：上加下减常数项. 三、探究新知：a 值对图像的影响 开口方向：a 的符号决定 当a > 0时，抛物线开口向上（如 y=2x²）；当a < 0时，开口向下（如 y=-x²）。符号正负直接决定了图像的整体升降趋势。 开口大小：|a| 的大小决定 |a| 越大，开口越窄（图像更“瘦”）；|a| 越小，开口越宽（图像更“胖”）。绝对值大小决定了图像的“胖瘦”。 核心结论：二次项系数a是抛物线的“形状总控”：它不仅决定了抛物线的开口方向（正上负下），还决定了开口的大小宽窄（|a|越大，开口越窄）。 1.7.2013 我们已经知道了k的作用，那么a又起到什么作用呢？我们来看第二个探究活动。观察屏幕上的图像，y=2x²，y=0.5x²和y=-x²。首先看a的符号，当a大于0时，开口向上；当a小于0时，开口向下。再看|a|的大小，|a|越大，比如2，开口就越窄；|a|越小，比如0.5，开口就越宽。所以，a决定了抛物线的开口方向和开口大小。 ‹#› 三、探究新知：综合性质 y = ax² + k y=ax2+k a>0 a<0 图象 k>0 k<0 开口方向 对称轴 顶点坐标 函数的增减性 最值 当x<0时，y随x增大而增大；当x>0时，y随x增大而减小. 当x<0时，y随x增大而减小；当x>0时，y随x增大而增大. 向上 向下 y轴（直线x=0） （0，k） x=0时，y最小值=k x=0时，y最大值=k 四、 典例讲解 例题：求二次函数 y = -2x² + 3 的图像性质：判断开口方向、写出对称轴与顶点坐标，并说明当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大，以及函数的最值情况。 思路点拨：该函数符合顶点式y = ax² + k的结构。通过对比可得参数a = -2，k = 3，结合二次函数的基本性质即可快速推导结论。 1.7.2013 理论学习完了，我们来看一个具体的例子。题目是求二次函数y=-2x²+3的图像性质。首先，我们可以确定这是一个y=ax²+k形式的函数，其中a=-2，k=3。根据我们刚刚总结的性质，因为a=-2小于0，所以开口向下。对称轴是直线x=0，顶点坐标是(0, k)，也就是(0, 3)。 ‹#› 四、 典例讲解 例题：求二次函数 y = -2x² + 3 的图像性质：判断开口方向、写出对称轴与顶点坐标，并说明当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大，以及函数的最值情况。 开口方向 解：∵ 二次项系数 a = -2 < 0 ∴ 抛物线开口向下，函数存在最大值，无最小值。 1.7.2013 理论学习完了，我们来看一个具体的例子。题目是求二次函数y=-2x²+3的图像性质。首先，我们可以确定这是一个y=ax²+k形式的函数，其中a=-2，k=3。根据我们刚刚总结的性质，因为a=-2小于0，所以开口向下。对称轴是直线x=0，顶点坐标是(0, k)，也就是(0, 3)。 ‹#› 四、 典例讲解 例题：求二次函数 y = -2x² + 3 的图像性质：判断开口方向、写出对称轴与顶点坐标，并说明当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大，以及函数的最值情况。 对称轴 y = -2x² + 3 的函数图象关于y 轴（直线 x = 0）对称。 1.7.2013 理论学习完了，我们来看一个具体的例子。题目是求二次函数y=-2x²+3的图像性质。首先，我们可以确定这是一个y=ax²+k形式的函数，其中a=-2，k=3。根据我们刚刚总结的性质，因为a=-2小于0，所以开口向下。对称轴是直线x=0，顶点坐标是(0, k)，也就是(0, 3)。 ‹#› 四、 典例讲解 例题：求二次函数 y = -2x² + 3 的图像性质：判断开口方向、写出对称轴与顶点坐标，并说明当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大，以及函数的最值情况。 顶点坐标 顶点在对称轴 x=0 上，纵坐标为 k 的值。 ∴ 顶点坐标为(0, 3)，此点即为函数的最大值点。 1.7.2013 理论学习完了，我们来看一个具体的例子。题目是求二次函数y=-2x²+3的图像性质。首先，我们可以确定这是一个y=ax²+k形式的函数，其中a=-2，k=3。根据我们刚刚总结的性质，因为a=-2小于0，所以开口向下。对称轴是直线x=0，顶点坐标是(0, k)，也就是(0, 3)。 ‹#› 四、 典例讲解 例题：求二次函数 y = -2x² + 3 的图像性质：判断开口方向、写出对称轴与顶点坐标，并说明当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大，以及函数的最值情况。 函数增减性分析 ∵ 抛物线开口向下，对称轴为直线 x = 0 ∴ 当x < 0时，y 随 x 的增大而增大；当 x > 0 时，y 随 x 的增大而减小。 四、 典例讲解 1.7.2013 接下来看增减性。因为开口向下，所以在对称轴左侧，也就是x小于0的时候，y随x的增大而增大。最后看最值，开口向下，所以函数有最大值，当x=0时，y的最大值就是k的值，也就是3。这样，我们就完整地解答了这道例题。 ‹#› 例题：求二次函数 y = -2x² + 3 的图像性质：判断开口方向、写出对称轴与顶点坐标，并说明当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大，以及函数的最值情况。 函数最值确定 ∵ 抛物线开口向下，顶点为图像最高点 ∴ 当x = 0时，函数取得最大值， 最大值为ymax= 3. 四、 典例讲解 1.7.2013 接下来看增减性。因为开口向下，所以在对称轴左侧，也就是x小于0的时候，y随x的增大而增大。最后看最值，开口向下，所以函数有最大值，当x=0时，y的最大值就是k的值，也就是3。这样，我们就完整地解答了这道例题。 ‹#› 五、 课堂练习 1. 抛物线 y = 3x² - 5 的顶点坐标是（ ） A. (3, -5) B. (-3, 5) C. (0, -5) D. (0, 5) 2. 关于函数 y = -0.5x² + 2，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. x > 0 时，y 随 x 增大而增大 C. 对称轴是 x = 2 D. 顶点坐标是 (0, 2) C D 1.7.2013 理论和例题都讲完了，现在是大家大显身手的时候了。我们来做几道练习题。请看屏幕上的选择题和填空题，大家可以独立思考，也可以和同桌讨论。给大家几分钟时间。 ‹#› 五、 课堂练习 3.将抛物线 y = 4x² 向下平移 3 个单位，得到的新抛物线解析式为：___________ 4.抛物线 y = -x² + 7 有最 ______ 值（填“大”或“小”），这个值是 ______。 y = 4x² - 3 7 大 1.7.2013 理论和例题都讲完了，现在是大家大显身手的时候了。我们来做几道练习题。请看屏幕上的选择题和填空题，大家可以独立思考，也可以和同桌讨论。给大家几分钟时间。 ‹#› 六、当堂检测 📝 课堂挑战 · 限时思考 1. 抛物线 \( y = -x^2 - 4 \) 的开口方向是______，对称轴是______，顶点坐标是______。 2. 二次函数 \( y = 5x^2 + 1 \) 的最小值是多少？ 3. 对于函数 \( y = -3x^2 + 6 \)，当 \( x \) 满足什么条件时，\( y \) 随 \( x \) 的增大而减小？ 4. 将 \( y = 2x^2 \) 向上平移 5 个单位，新解析式为（ ） A. \( y=2x^2+5 \) B. \( y=2(x+5)^2 \) C. \( y=2x^2-5 \) D. \( y=2(x-5)^2 \) ✅ 参考答案 · 核心解析 1. 开口向下；对称轴为直线 x=0；顶点为(0, -4)。 2. 最小值为1。解析：当 x=0 时，\( 5x^2 \) 取最小值 0，故 y=1。 3. 当x > 0时。解析：开口向下，对称轴右侧 y 随 x 增大而减小。 4. 选A。解析：图像上下平移遵循“上加下减”原则，直接在常数项加减。 1.7.2013 为了检验大家本节课的学习成果，我们来进行一个快速的当堂检测。请大家独立完成屏幕上的四道题目。时间有限，大家要抓紧哦。好，时间到，我们一起来看答案。第一题，开口向下，对称轴是直线x=0，顶点坐标(0,-4)。第二题，最小值是1。第三题，当x大于0时，y随x增大而减小。第四题，选A。大家都掌握了吗？ ‹#› 1.抛物线y=2x2＋3可以由抛物线y=2x2向 平移 个单位得到. 2.抛物线y=- x2+1向 平移 个单位后，会得到抛物线y=- x2. 3.抛物线y=-2x2-5的开口方向 ，对称轴是 ，顶点坐标是 . 上 3 下 1 向下 y轴 （0，-5） 六、当堂检测 4.已知点(m,n)在y=ax2+a（a不为0）的图象上 ，点(-m,n)___（填“在”或“不在”）y=ax2+a（a不为0）的图象上. 5.若y=x2+(k-2)的顶点是原点，则k____；若顶点位于x轴上方，则k____；若顶点位于x轴下方，则k ____. 在 =2 >2 <2 七、课堂小结：知识梳理 图像与平移规律 图像特征：形状为抛物线，是轴对称图形，具有对称性。 平移口诀：“上加下减”。由 y=ax² 平移得到 y=ax²+k，k>0 向上移，k<0 向下移。 关键参数的意义 参数 a：决定开口方向与大小。a>0 向上，a<0 向下；|a|越大，开口越窄，反之越宽。 参数 k：决定顶点的纵坐标，直接控制图像在坐标系中的上下位置。 函数核心性质 对称轴与顶点：对称轴为 y 轴 (x=0)，顶点坐标是 (0, k)。 增减性与最值：根据 a 的符号判断增减性；当 x=0 时，函数取得最值 k。 1.7.2013 一节课很快就要结束了，我们来一起回顾一下本节课的重点知识。我们学习了二次函数y=ax²+k的图像和性质。它的图像是抛物线，可以由y=ax²上下平移得到。参数a决定了开口方向和大小，参数k决定了图像的上下位置。我们还总结了它的对称轴、顶点坐标、增减性和最值。这些都是本节课的核心内容，希望大家牢牢掌握。 ‹#› 八、课后作业 基础巩固：教材习题选取 深度探究：拓展思考 大胆猜想：如果函数形式变为y = a(x - h)²，它的图像会发生怎样的平移或形状变化？对称轴和顶点坐标又将如何改变？尝试在草稿纸上画出草图进行分析，下节课我们一起分享你的发现。 1.7.2013 除了知识本身，我们在学习过程中还运用了一些重要的数学思想方法，如数形结合、从特殊到一般、类比与归纳。这些方法对于我们今后学习更复杂的函数非常有帮助。课后请大家完成教材上的练习题，并思考一个问题：如果函数变成y=a(x-h)²的形式，它的图像和性质又会发生什么变化呢？我们下节课将继续探讨。 ‹#› $