第五章二次函数学情自测试卷 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数单元复习卷，通过基础辨析、情境应用及动态几何问题，全面考查二次函数定义、图像性质与实际建模，适配单元学情自测，发展抽象能力、模型意识与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次函数定义、图像平移、最值应用|结合竖直上抛运动（第6题）、拱桥模型（第7题）考查建模能力| |填空题|6/18|解析式确定、图像与系数关系、不等式解集|病毒传播（第11题）体现应用意识，坐标比较（第13题）强化几何直观| |解答题|8/72|动态几何（第22题）、销售利润（第21题）、综合探究（第23题）|矩形动点面积（第22题）融合空间观念，含参抛物线分析（第23题）发展推理能力|

第五章二次函数学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1.若y=(a+3)x-x+1 是关于x的二次函数，则的值是() A.-3 B.2 C.3 D.-3或3 2.长为20cm,宽为10cm的矩形，四个角上分别剪去边长为cm的小正方形，然后把四边 折起来，做成底面积为m的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为() A.y=(10-x(20-x)0<x<5) B.y=200-4x2(0<x<5) c.y=(10-2x(20-2x)0<x<5) D.y=200+4x2(0<x<5) 3.函数y=(m-2)x-2+m 是二次函数，则它的图象() A.开口向上，对称轴为y轴 B.开口向下，顶点在x轴上方 C.开口向上，与x轴无交点 D.开口向下，与x轴无交点 y=x2+4 4.将函数 的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是() A.y=(x-32+3 B.y=(-3)2+5 C.y=(x+3)2+3 D.y=x2+1 5.已知二次函数'=r+bx+ca≠0 的图象如图所示，有下列结论：O-4ac>0@ abc>0③b=-2a④a+b+c>0,下列选项正确的是() 试卷第1页，共3页 A.①②③④ B.①②④ C.①②③ D.①② 6.某竖直上抛的小球离地面的高度h(单位：m)与运动时间t(单位：s)之间的关系可 以近似地用公式h=-52+20t+1.5表示，则该小球离地面的最大高度为() A.23.5m B.22.5m C.21.5m D.20.5m 7.如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，正常水位时水面宽AB为8m,拱桥最高点 到水面AB的距离为4m,当水位上升lm时，水面CD的宽为() 一一一一一一 B A.4 B.4V2 C6 D.4V5 8.如图，在菱形ABCD中，其边长为4cm,∠A=60°，垂直于AD的直线EF(直线EF 与菱形ABCD的两边分别交于点E、F,且点E在点F的上方)从点A出发，沿AD方向以 每秒lm的速度向右平移。若△MF的面积为om,直线F的运动时间为*秒0≤x≤4) 则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是() 试卷第2页，共3页 ◆y/cm Ay/cm 4V3 4v3 A.23 B.2V3 4六 024 Ay/cm2 y/cm2 4V3 4w3 C23 D 2V3 24六 24於 9.已知能物线+2x+3与产轴的正半箱交于点4，与箱交于点8点 (W是 抛物线上的任意一点，且位于线段AB的上方，过点M作MN⊥x轴交AB于点N.若MW 的长度随增大而减小，则”的取值范围是() A.1<r<3 B.x>3 3 C.1<x<3 D.2<r<3 y=x2-2x y=3 △OAB 10.如图，抛物线 OA OB 与直线相交于点A、B,连接、 ,则 的面 积是() A.3 B.4 C.6 D.12 二、填空题（每题3分，共18分) 11.在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病 毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为 试卷第3页，共3页 12.己知函数y=m-3)x- 是二次函数，则m的值为 y=ax2+bx+c(a≠0) 13.如图，在平面直角坐标系中，二次函数 的图象上有点 A(-2,y) B(0,为).C(5,乃）.则八，片，少的大小关系是 (请用“<”符号连接) X=2 =a2+bx+4(a≠0）， 14.已知抛物线 经过点（64) 那么该抛物线的对称轴是直线 15.如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线'=-0,1r+0.6x+ 运行，其中是铅球离初 始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为l.6m,则 铅球掷出的水平距离OB为 m. y 16.如图，抛物线'=与直线'=r+C的两个交点坐标分别为 -2,4).B0,则不 等式ar2≤bx+c的解集是 试卷第4页，共3页 三、解答题（每题9分，共72分） y=x2+bx+c 17.已知二次函数1 (b,c为常数)的图象经过 A(-1,6B(2,3) 两点 (1)求该二次函数的表达式； (2)若平移该二次函数的图象，使其经过点C(3,0),且对称轴为直线x=4,求平移后的二次 函数的表达式 18已知二次函数y=3x-4+4 其中“为常数」 3 (1)若a=2 求此函数图象的顶点坐标： (2)当1≤x≤4时，y随x的增大而减小；当8≤x≤12时，y随x的增大而增大，求a的取值 范围。 19.如图，抛物线 y=-x2+4 与x轴交于A、B两点，直线1与抛物线交于A、C两点，其 中C的横坐标为1. (1)求直线1的表达式： (2)点P是线段AC上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物 线于点E,求PE的最大值 20.抛物线y=ar2+h+c 的图象如图. -10 (①若抛物线的对称轴为直线×=1，与y轴的交点为0,2），当y<2 时，求x的取值范围。 试卷第5页，共3页 M(x,-2025),N(x2,-2025) (2)在(1)的条件下，若此抛物线图象上有两点 求当术=+： 时，二次函数的值 (3)若此抛物线图象上有两点 ,m(3,m）,当=+时，函数值与解析式中的哪个系数 有关？请说明理由 21.每年6月的第三个星期日是父亲节，商家推出“健康守护”特惠活动，一批便携式血 压血糖测试仪计划在该月销售.根据市场调查，每台盈利200元时，每天可售出20台：若 每降价1元，每天可多售出4台.公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每台盈利不 得低于120元.设每台降价x元，每天的销售利润为y元. (I)求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)每台降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 22.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发沿AB以lcm/S的速 度向点B匀速移动：同时，点Q从点B出发沿BC以2cms的速度向点C匀速移动.设点P (0<t<6) 运动的时间为 D A->P (1)AP=】 cm.Co= cm(用含t的代数式表示) Q)2△BQ ,S△DPO的面积为， S2 的面积为， S+S2 ①试判断 是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. ②求S,-S的最小值. xOy 23.在平面直角坐标系 中，抛物 y=ar2-4ax+3a(a>0)与x轴交于A,B两点（点 试卷第6页，共3页 A在点B左侧)，与y轴交于C.若 点P(6W)为直线BC上的动点，过点P作P21轴交 抛物线于点Q. (1)若a=1. ①求直线BC的表达式； 0<,< ②若 3,直接写出线段P?长度的最大值及此时的点P的坐标， (2)若m6<m+1 且线段P的长随若的增大而增大，求m的取值范围。 24,在平面直角坐标系中，二次函数”=(：-m+”的顶点P(m川在另一条抛物线 y=x2-x+2 1 上运动.该二次函数图像与轴交于点A.过点P PB上y轴于点B. y=x2-x+2 (I)当m=1时，求点A和点B的坐标，并求△PAB的面积； (②当m≥1时，求点4的纵坐标“的最小值. 试卷第7页，共3页 第五章二次函数学情自测试卷 一、单选题（每题3分，共30分） 1．若是关于的二次函数，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【点睛】本题考查对二次函数的定义的理解，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义：形如（a，b，c为常数且）可得且，然后进行计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得， 解得， ∵， ． 故选：C． 2．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 3．函数是二次函数，则它的图象（     ） A．开口向上，对称轴为轴 B．开口向下，顶点在轴上方 C．开口向上，与轴无交点 D．开口向下，与轴无交点 【答案】D 【分析】根据二次函数的定义求出的值，再根据二次函数的图象与性质分析即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得， ∴这个二次函数的解析式为， ∴这个二次函数的对称轴为轴；顶点坐标为，顶点在轴下方， 又∵， ∴抛物线的开口向下，这个二次函数的图象与轴无交点， 综上，这个二次函数的图象开口向下，对称轴为轴，顶点在轴下方与轴无交点；只有选项D符合． 4．将函数的图象先向右平移再向下平移，所得函数图象的解析式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用“左加右减自变量，上加下减常数项”的平移规则，得到平移后解析式的特征，即可判断正确选项． 【详解】解：原函数为，设向右平移个单位，再向下平移个单位， 平移规则为右减自变量，下减常数项， 平移后解析式为，满足，． 选项A：，得，，符合向右平移再向下平移的要求，正确； 选项B：常数项为，不符合要求，错误； 选项C：平方项底数为，，属于向左平移，不符合要求，错误； 选项D：平方项底数为，，未进行向右平移，不符合要求，错误． 5．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①②③④，下列选项正确的是（     ） A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．①② 【答案】C 【分析】由抛物线的开口方向判断与的关系，由抛物线与轴的交点判断与的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 【详解】解：①由图可知，抛物线与轴有两个不同的交点， 则，故①正确． ②③由图可知，抛物线的开口向上，则， 抛物线的对称轴为，，故③正确； ，， 抛物线交轴于负半轴，可得：， ，故②正确． ④由图可知，当时，，故④不正确． 综上所述：以上结论正确的有①②③． 6．某竖直上抛的小球离地面的高度h（单位：m）与运动时间t（单位：s）之间的关系可以近似地用公式表示，则该小球离地面的最大高度为（    ） A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用．利用二次函数的性质求出最大值，即可得出答案． 【详解】解：∵， 当时，， 故小球达到的离地面的最大高度为：． 故选：C． 7．如图，是某抛物线型拱桥横断面的示意图，正常水位时水面宽为，拱桥最高点到水面的距离为，当水位上升时，水面的宽为(    ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数在实际问题中的应用，以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，由此可得，，即可求函数解析式为，再将代入解析式，求出、点的横坐标即可求的长． 【详解】解：如图，以点为坐标原点，的垂直平分线为轴，过点作轴的垂线，建立直角坐标系， 设抛物线的解析式为， 点到水面的距离为米， 、点的纵坐标为， 水面宽为米， ，， 将，代入， ， ∴ ， ∴， 水位上升米就达到警戒水位， 点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 8．如图，在菱形中，其边长为，，垂直于的直线（直线与菱形的两边分别交于点E、F，且点E在点F的上方）从点A出发，沿方向以每秒的速度向右平移．若的面积为，直线的运动时间为秒，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的应用，菱形的性质，三角形的面积计算，解直角三角形；由题意可知，分类讨论：当点E在边上，即时，；当点E在边上，即时，，据此分别写出解析式，对照选项即可得出结果. 【详解】解：由题意可知， 当点E在边上时，如图所示： ∵，， ∴， ∴ 即 ∵，菱形的边长为， ∴点E移动到点B时，，， ∴当点E在边上时，， ∴（） 当点E在边上，如图所示： ∴ 即（）. 综上：，y与x的函数关系是分段的，当时y与x的函数关系是二次函数，当时y与x的函数关系是一次函数. 故选：A. 9．已知抛物线与轴的正半轴交于点，与轴交于点．点是抛物线上的任意一点，且位于线段的上方，过点作轴交于点．若的长度随增大而减小，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，线段长度问题；根据题意先求得直线为，设，则，进而表示出的长，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图所示，      当时， 解得： ∴ 当时， ∴ 设直线为， ∴ ∴ 直线为 设，则， ∴ ∵， ∴当时，的长度随增大而减小 ∴的取值范围是 故选：D． 10．如图，抛物线与直线相交于点A、B，连接、，则的面积是（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线和三角形面积，令得一元二次方程，求解可得点A，B的坐标，进一步由三角形面积公式可得结论． 【详解】解：对于 令，得 解得，，， ∴，， ∴    ∴． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 11．在某种病毒的传播过程中，每轮传染平均1人会传染x个人，若最初1个人感染该病毒，经过两轮传染，共有y人感染，则y与x的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查的是列二次函数关系式，根据病毒传播模型，每轮传染中每人传染x人，最初1人感染，经过两轮传染，总感染人数y等于. 【详解】解：最初有1人感染，第一轮传染中，1人传染x人，新感染人数为人， 第一轮后总感染人数为人， 第二轮传染开始有人感染，每人传染x人，新感染人数为人， 第二轮后总感染人数为（人）， 故y与x的函数关系式为. 故答案为： 12．已知函数是二次函数，则m的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的定义． 根据二次函数的定义，指数必须为2且系数不为零求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且， 解得且 ∴ 故m的值为． 故答案为：． 13．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象上有点，，，则，，的大小关系是____________．（请用“”符号连接） 【答案】 【分析】根据题意判断出的符号，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，比较大小即可． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， ∵二次函数的图象对称轴为直线，在函数图象上， ∴当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，关于直线的对称点为，二次函数的图象上有点，，， ∵， ∴． 14．已知抛物线经过点，那么该抛物线的对称轴是直线__________． 【答案】 【分析】本题考查了求抛物线的对称轴．抛物线的对称轴为，再根据已知条件，将代入抛物线解析式，即可，据此求解即可． 【详解】解：将代入抛物线解析式可得， ， 移项整理得， 该抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 15．如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线运行，其中是铅球离初始位置的水平距离，是铅球离地面的高度．若铅球抛出时离地面的高度为，则铅球掷出的水平距离为__________． 【答案】8 【分析】根据题意得到，当时，，解一元二次方程即可． 【详解】解：铅球抛出时离地面的高度为， ， ， 当时，， 解得或（舍去）， 铅球掷出的水平距离为． 16．如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 三、解答题（每题9分，共72分） 17．已知二次函数（b，c为常数）的图象经过，两点． (1)求该二次函数的表达式； (2)若平移该二次函数的图象，使其经过点，且对称轴为直线，求平移后的二次函数的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，抛物线的性质，熟知待定系数法和平移的规律是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得抛物线解析式； （2）利用平移的规律求得平移后的二次函数的解析式． 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 解得：， ∴该二次函数的解析式为； （2）解：由题意，设平移后的二次函数的解析式为， 将点代入，得， 解得． ∴将二次函数的图象平移后的二次函数的解析式为． 18．已知二次函数，其中为常数． (1)若，求此函数图象的顶点坐标； (2)当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将代入二次函数中，得到，即可得到函数图象的顶点坐标为； （2）先求得抛物线的对称轴为直线，根据当时，y随x的增大而减小；当时，随的增大而增大，得到，即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵， ∴二次函数， ∴函数图象的顶点坐标为； （2）解：∵二次函数为， ∴对称轴为直线， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴，解得； ∵当时，随的增大而增大， ∴，解得， ∴的取值范围是． 19．如图，抛物线与x轴交于A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中C的横坐标为1． (1)求直线l的表达式； (2)点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求出，，设：，将，代入求解即可； （2）设，，求出的函数解析式，根据二次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：令，， 解得，， ， 将代入得， ， 设：， 将，代入， 解得， ：； （2）解：设，， ， ∴当时，有最大值． 20．抛物线的图象如图． (1)若抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，当时，求x的取值范围． (2)在（1）的条件下，若此抛物线图象上有两点，求当时，二次函数的值． (3)若此抛物线图象上有两点，当时，函数值与解析式中的哪个系数有关？请说明理由． 【答案】(1)或 (2)函数值 (3) 解：函数值与解析式中的系数c有关， 理由：∵两点， ∴这两点关于对称轴直线对称， ∵， ∴， ∵， ∴当时，， 即函数值与解析式中的系数c有关． 【分析】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，轴对称的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为，得到点关于直线的对称点为，于是得到当时，x的取值范围为或； （2）根据已知条件得到点M与点N关于直线对称，求得，当时，函数的值； （3）由点，得到两点关于对称轴直线对称，求得，当时，代入解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，与y轴的交点为， ∴点关于直线的对称点为， ∴当时，x的取值范围为或； （2）解：∵， ∴点M与点N关于直线对称， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（1）可知：当时，函数的值； （3）略 21．每年6月的第三个星期日是父亲节，商家推出“健康守护”特惠活动，一批便携式血压血糖测试仪计划在该月销售．根据市场调查，每台盈利200元时，每天可售出20台；若每降价1元，每天可多售出4台．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每台盈利不得低于120元．设每台降价x元，每天的销售利润为y元． (1)求y与x的函数表达式，并写出x的取值范围； (2)每台降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)函数表达式为，x的取值范围是 (2)当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元 【分析】（1）根据每天的销售利润每台的利润销售量列式求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，可得：， ∵每台的利润不低于120元， ∴， 解得； ∴x的取值范围是； （2）解：在中， ∵，∴函数开口向下， ∵对称轴为，且， ∴时，y随x的增大而增大， ∴当时，． 答：当每台降价80元时，每天的销售利润最大，那么最大利润为40800元． 22．如图，在矩形中，，，点P从点A出发沿以的速度向点B匀速移动；同时，点Q从点B出发沿以的速度向点C匀速移动．设点P运动的时间为． (1)___________，___________（用含t的代数式表示） (2)记的面积为，的面积为． ①试判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． ②求的最小值． 【答案】(1)， (2)①是，；② 【分析】本题主要考查列代数式、三角形的面积和二次函数的性质，正确理解题意是解答本题的关键． （1）根据题意列出相关代数式即可； （2）分别计算出和，①求得是定值；②求得，运用二次函数的性质可得结论． 【详解】（1）解：∵点P的速度是，运动时间为，所以； 点Q的速度是，运动时间为，所以； ∵， ∴； 故答案为：t，； （2）解：①，， ∴；； ∴； 又矩形的面积为， ； ； ∴ ∴，是定值； ② ∵， ∴当时，取得最小值． 23．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②长度的最大值为，； (2)或 【分析】（1）①先确定抛物线的表达式为，再确定A，B，C三点的坐标，运用待定系数法求直线的表达式即可；②根据题意可得，，得到，利用二次函数的性质，确定最值，求解即可； （2）可求出，，则可求出，讨论的取值范围，从而根据二次函数的性质确定的增减性，结合题意讨论求解即可， ． 【详解】（1）①解：当时，抛物线的表达式为， 在中，当时，， 解得， ∵点A在点B左侧， ； 在中，当时，， ； 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； ②解：∵点为直线上的动点，且， ∴由（1）可知点在线段上，且不与点B，点C重合， 如图所示， 在中，当时，， 在中，当时，， ，， ， ∵，且， ∴当，长度有最大值，最大值为， 此时 ∴此时． （2）解：在中，当时，， ∴，即， 解得， ∵点A在点B左侧， ； 在中，当时，， ， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； 在中，当时，， 在中，当时，， ∴，， ； 当时，，则， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而减小，不符合题意； 当时，，则， ∴ ∵，即， ∴当时，随的增大而增大， 又∵，且线段的长随着的增大而增大， ∴， 解得； 当时，，则， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 又∵，且线段的长随着的增大而增大， ∴； 综上所述，m的取值范围是或； 24．在平面直角坐标系中，二次函数的顶点在另一条抛物线上运动．该二次函数图像与轴交于点A．过点P作轴于点B． (1)当时，求点A和点B的坐标，并求的面积； (2)当时，求点A的纵坐标的最小值． 【答案】(1)，，的面积为 (2)3 【分析】（1）当，得到点的横坐标，根据点在抛物线上，求出点的坐标，进一步得到点的坐标；根据点在抛物线上且在轴上，即，即可求出点的坐标；进而可求出的面积； （2）根据点在抛物线上且在轴上，即，则；根据点抛物线上，则，等量代换，得到，求出最值，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵点在抛物线上， ∴ ∴， ∵过点作轴于点 ∴； ∵在抛物线； ∴； ∵二次函数图像与轴交于点， ∴， ∴； ∴，， ∴的面积为． （2）解：∵点在抛物线上且在轴上， ∴； ∵点在抛物线上， ∴， ∴， 得到关于的二次函数，其中开口向上，对称轴为：， 当时，随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $