第一章 二次函数（单元分层自测·基础通关卷）数学新教材浙教版九年级上册

**基本信息** 2026-2027学年九年级上册数学第一章二次函数基础通关单元卷，满分120分，涵盖选择、填空、解答题，融合中考真题与各地期末题，注重二次函数定义、图像性质及实际应用，适配单元复习巩固与核心素养培养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义（题1）、顶点计算（题3）、最值应用（题4）|融入2026陕西中考真题（题4），设置辨析题（题3）考查推理意识| |填空题|6/18|开口方向（题11）、实际最值（题12种群数量）、函数值比较（题13）|结合生物实验情境（题12），体现模型意识与数据观念| |解答题|9/72|增减性证明（题17）、抛物线表达式（题18）、实际建模（题21垂榆枝条）|设计定义探究题（题17）培养抽象能力，联系生活实际（题21）发展应用意识|

可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章二次函数·基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 5 6 7 8 9 10 A B D A A C C 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.-1 12.10 13.> 4方 15.y=x84-4x 16空 三、解答题（共9小题，共72分） 17.(8分) 【解析】(1)设x<X则y1y2=2x+4-2x,+4=2x-x X1<X2, X1-X2<0, y1-y2=2x1-x2K0 ∴.y1<y2,即该函数是“增函数”. 3分) (2)函数y=2x2(x≥0)是增函数，存在最小值，最小值为0，不存在最大值，理由如下： 设0≤x<x则y1-y2=2x2-2x2=2x2-x,=2x1-x为1+x .0≤x1<X2, .X1-X2<0,X1+X2>0, y1-y=2x1-x2x1+x2<0 1/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.y1<y2,即该函数是“增函数”， ,y=2x在x≥0时是“增函数”， y随x的增大而增大， (6分) 当X=0时，y=2x有最小值，最小值为0，并且不存在最大值. (8分) 18.(8分) 【解析】(1)：抛物 y=ax+12的顶点为4， .A-1,0, ∴.OA=1, .OA=OB, ∴B0,-1代入y=ax+1中， 得：-1=al0+12 解得：a=-1, 六y=-x+1P: (4分) (2)解：将C-3,b1代入y=-x+1中， 得：b=--3+12 解得：b=-4; (6分) (3)解：：抛物线y=-x+12的对称轴为直线x=-1且开口向下， .当x>-1时，y随x的增大而减小， .2<3, y1>y2 (8分) 19.(8分) 【解析】(1)解：依腿意，得x+1=号X-4x+8, 1 2 2/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 整理得x-9x+14=x-2x-7=0 解得：X1=2,X2=7, 1 将x=2代入y=5x+1得y=2, 将x=7代入y=； 2+1得y=9 2 ∴点B坐标为2,2 点C坐标为 引 (4分) (2)解：作AD‖y轴交BC于点D,如图所示： ·ys 2x-4, ∴，抛物线顶点A坐标为4,0， 1 将x=4代入y=2×+1得y=3 ∴点D坐标为4,3，AD=3, ∴.SAABC=S△ABD+S△ACD =号AD1xA-Xg+2ADx:-X】 =1 AD(Xc-XB) 3×3×7-2 ÷15 -2 (8分) 20.(8分) 【解析】(1)解：二次函数y=x2+bx+c的图象经过点0，-1,2，-1， 3/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 c=-1 4+2b+c=-1 解得， 62 “二次函数解析式为y=X2-2x-1=x-1-2 二次函数的顶点坐标为1，-2， 当x=3时，y=32-2×3-1=2, 当x=-1时，y=-12-2×-1-1=2 运用五点法作函数图象：略： (6分) (2)解：在二次函数y=x2-2x-1中，当0≤x≤3时， x=0时，y=-1;顶点坐标为1，-2；x=3时，y=2, ∴.当0≤x≤3时该二次函数的函数值y的取值范围为-2≤y≤2 (8分) 21.(8分) 【解析】(1)解：由题意得，这支垂榆所在抛物线的顶点坐标为2,9，点B的坐标为5,0， 设这支垂榆所在抛物线的函数表达式为y=ax-2P+9 将5,0代入y=alx-2+9得0=al5-2P+9解得a=-1 这支垂榆所在抛物线的函数表达式为y=-x-2?+9(或y=-X+4x+5)。4分) (2)在y=-x-2P+9中， 令y=1.5得-x-22+9=1.5 ·水=2-30 V30 (不符合题意，舍去)，X2=2+ 2 :身高1.5m的小明站在距离树干OA为2+30m时，头顶刚好碰到这支垂榆. (8分) 2 m 22.(10分) 【解析】(1)解：根据题意，得二次函数y=-(x-h}+k的图象与x轴交于点A-3,0'Bm,0 4/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 且m>-3, 六-3h+k=0,h=m23,m-3-6. .h>-3, .h-k=-5, ∴.h=k-5, ∴.--3-k+52+k=0 整理，得k2-5k+4=0, 解得k1=1,k2=4, 当k1=1时，h=1-5=-4<-3,不满足要求，舍去； 当k2=4时，h=4-5=-1>-3,满足要求： 故h=-1,k=4. (4分) (2)解：.h=-1,k=4, 故二次函数的解析式为y=-X+1?+4且抛物线开口向下，对称轴为直线x=-1 当y=3时，得-x+12+4=3: 解得X1=0,X2=-2, 如图所示，此时C0,3,D-2,3, .'a-1≤x≤a+1 3 B 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， .a+1<-2, 解得a<-3: .'a-1≤X≤a+1时，函数值y都小于3，且对称轴右侧，y随x增大而减小， .a-1>0, 解得a>1; 综上所述，符合要求的a的取值范围是a<-3或a>1. (10分) 5/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(10分) 【解析】(1)解：由题意，得点Ax,y的关联点为A1X,y-x 由点Ax,y在抛物线y=X上，可得AX,X到 ..Alx,x-xl 又：A,X,X-x在抛物线y=X2-2上， .x2-x=x2-2, 解得X=2, 将x=2代入A1x,X2-x,得A12,2 ∴.点A1的坐标为2,2： (4分) (2)点AX,y的待定关联点为A2X,X-nx, :A,x,X2-x在抛物线可y=X-n的图象上， ∴.x2-nx=x2-n, ∴.n1-x=0, 又.n≠0， ∴.x=1, 当x=1时，x2-x=1-n, ∴.点A2的坐标为1,1-n. (10分) 24.(12) 【解析】(1)①解：当a=1时，抛物线的表达式为y=x2-4x+3, 在y=x2-4x+3中，当y=0时，x2-4x+3=0, 解得X1=1,X2=3, ,点A在点B左侧， .A1,0,B3,0: 在y=x2-4x+3中，当x=0时，y=3, .C0,3: 6/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线BC的表达式为y=kx+bk≠0， 3k+b=0 b=3 k=-1 解得b=3” ∴直线BC的表达式为y=-x+3; (4分) ②解：：点PX,y为直线BC上的动点，且0<，<3， 由(I)可知点PX,y在线段BC上，且不与点B,点C重合， 如图所示， B 在y=-x+3中，当x=X时，y=-X+3, y=X-4x+3中，当x=x,时，y=x2-4X+3 在 ∴.Px,-x+3Qx,x2-4x+3 ∴.PQ=-x+3-x,2-4x+3 =-X0+3-x02+4x0-3 =-X2+3x0 .-1<0,且0<x<3, 9 “当x,=2PQ长度有最大值，最大值为 719 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 此时-名。+3=3 (8分) (2)解：在， 年y=aX-4ax+3ala>0中，当y=0时，a2-4ax+3a=0 六ax-4x+3=0即alx-1x-3=0 解得1=1，X2=3, ,点A在点B左侧， ∴.A1,0,B3,0: 在y=x2-4x+3中，当x=0时，y=3a, ∴.C0,3a, 设直线BC的表达式为y=px+qp≠O, :3p+g=0 "(9=3a 等问日=8 ∴.直线BC的表达式为y=-ax+3a; 在y=-ax+3a中，当X=Xo时，y=-ax,+3a, 在y=ax2-4ax+3a中，当x=x,时，y=ax2-4aX+3a P(Xo,-axo+3a)'Q(xo,axo2-4axo+3a .'PQ=-axo+3a)-axo2-4axo+3a =-axo+3a-axo2+4axo-3a =-ax02+3ax =a-xo,-3月 8/9 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x<0时，X。-3<0则x,x。-3>0 p0axx-3axk-3lf-号0 .a>0, ∴.当X<0时，PQ随x的增大而减小，不符合题意： 当0≤x≤3时，X,-3≤0：则xx-3≤0 o小-=-ak-年-ge a>0,即-a<0, 3 ·当0≤x,≤乞时，PQ随x,的增大而增大， 又，m<x,<m+1,且线段PQ的长随着xo的增大而增大， m+1 3 m≥0 解得0≤m≤ 1 当x,>3时，X,-3>0则xgx。-3>0 *PQ=a-xo(Xo-3J-axolxo-3)-axo- .a>0, .当X>3时，PQ随X的增大而增大， 又，m<x,<m+1,且线段PQ的长随着xo的增大而增大， .m≥3： 综上所述，m的取值范围是0≤m≤三或m≥3； (12分) 9/9 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）已知是二次函数，则（ ） A．a不为零 B．b不为零 C．c不为零 D．a，b，c均不为零 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数需满足最高次项（二次项）的系数不为零，即 ． 【详解】解：∵是二次函数， ∴ ， 故选：A． 2．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 【详解】解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 3.（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（ ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 【答案】B 【分析】按配方法正确步骤逐步比对，即可找到错误起始位置． 【详解】解： ， ∴抛物线的顶点坐标为． 4．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把解析式化为顶点式即可得到答案． 【详解】解：， ∵， ∴当时，y有最大值，最大值为90， ∴这条鱼此次射出的水流的最大高度是． 5．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 6．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（ ） A．18 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为3，由此可求得A点横坐标，即得，从而可得，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为3； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为3， 即， ∴， ∴菱形面积为． 7．（2026·福建三明·三模）将抛物线 进行平移得抛物线 ，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据两个抛物线的顶点坐标确定平移规律，然后用含的代数式表示出点的坐标，再将点的坐标代入抛物线的方程，即可求出点的横坐标． 【详解】解：抛物线的顶点为，抛物线的顶点为， 平移规律为：向左平移3个单位，向下平移4个单位， 点在抛物线上，平移后对应点为， 的坐标为，即， 在抛物线上， 将代入得： ， 整理得， 解得或， 则的值可以是或， 因此点的横坐标可以是或，选项A符合． 8．（25-26九年级上·河北衡水·期末）已知二次函数的图象经过点，则下列三名同学的说法中正确的是（    ） 甲：存在实数，使得． 乙：对任意实数，都有． 丙：不存在实数，使得． A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．三人都不正确 【答案】C 【分析】本题先将已知点代入二次函数解析式求出的表达式，再通过作差法比较与的大小关系，进而判断三名同学说法的正确性． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将代入函数解析式得： ， 计算的差值： ， ∵， ∴，即， ∴对任意都成立， ∴不存在实数使得，即丙的说法正确． 故选：C 9．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，先根据解析式确定开口方向与对称轴，再结合二次函数的增减性和题目条件求解的取值范围． 【详解】解：∵二次函数解析式为，且， ∴函数图象开口向上，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大， ∵当时，随的增大而增大， ∴． 10．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）已知两个整式：，，下列说法： ①当时，所得的结果不含一次项； ②若，则或； ③当时，如果关于的方程有解，那么； ④当时，对任意的实数，都有恒成立． 其中正确的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘法、绝对值方程、一元二次方程根的判别式以及二次函数的最值问题，解题的关键是熟练掌握各项运算规则并逐项分析判断．逐一验证四个说法的正确性：说法①通过计算乘积后一次项系数为0判断；说法②通过绝对值方程求解；说法③通过判别式非负求参数范围；说法④通过二次函数最小值判断恒成立条件． 【详解】解：，， ①， 当时，一次项，∴不含一次项，正确． ②， 或， 或，正确． ③ 当时，， 判别式， 解得：，正确． ④当时，， 最小值在取到，最小值为， 对任意的实数，都有不恒成立，错误． 综上，正确个数为3． 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·广西崇左·期末）是一个开口向下的二次函数，那么__． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质及定义．先根据二次函数的定义求出或，再根据函数图象开口向下可得，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，即 ， ∴， 解得 或 ， 又∵函数图象开口向下， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·江西上饶·期末）在适宜环境中，某实验种群的数量（单位：只）与培养时间（单位：天）满足二次函数关系（受环境承载力限制，后期呈负增长趋势）．该种群数量达到最大值时的培养时间为___________天． 【答案】 【分析】本题考查把化为顶点式，求二次函数的最大值． 把化为顶点式，即可求解． 【详解】解：∵， ∴当时，取得最大值， ∴该种群数量达到最大值时的培养时间为天． 故答案为：． 13．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 【答案】> 【分析】先判断抛物线的开口方向与对称轴，再利用二次函数的增减性比较和的大小． 【详解】对于抛物线， 二次项系数， 因此抛物线开口向下，对称轴为直线， 根据二次函数的性质，当时，随的增大而减小， ， ． 14．（2026·广西·一模）如图，是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是____________． 【答案】/ 【分析】根据，可知点C是线段的中点，设，可得代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴点C是线段的中点， ∵是抛物线与的公共顶点， 当时，， ∴， 设点C的坐标为， ∴点B的坐标为， 把代入得，， ∴． 15．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 16．点在二次函数（为常数）的图象上， ．当时，二次函数的最大值与最小值的差为______． 【答案】 【分析】把点代入，结合，求出的值，即可得到，然后根据的取值范围求出最大值与最小值，再作差即可． 【详解】解：∵点在二次函数（为常数）的图象上， ∴ ， 解得（舍去）， ， 抛物线的对称轴为直线． ， ， 即 ． 当时，有最大值，； 当时，有最小值，． 故二次函数的最大值与最小值的差为． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”． 【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”， 证明：设，则， 因为，所以， 所以， 所以，因此该函数是“减函数”． (1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）； (2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)增 (2)函数（）是增函数，存在最小值，最小值为，不存在最大值，理由如下： 设，则， ∵， ∴，， ∴ ∴，即该函数是“增函数”， ∵在时是“增函数”， ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，最小值为，并且不存在最大值． 【分析】（1）先设，运算，再根据，推出，据题意即可判断； （2）设，运算，再根据，，推出，即可判断在自变量时为增函数，最后根据函数的性质辨别最值即可． 【详解】（1）设，则， ∵， ∴， ∴ ∴，即该函数是“增函数”． （2）略 18．（8分）如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的值 (3)若点，在此抛物线上，比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用增减性判断函数值的大小． （1）由点坐标求出，进一步得到点坐标，再利用待定系数法求解； （2）将代入，即可求出值； （3）根据对称轴和开口方向判断增减性，再结合，两点的横坐标判断即可． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点为A， ∴， ∴， ∵， ∴，代入中， 得：， 解得：， ∴； （2）解：将代入中， 得：， 解得：； （3）解：∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴． 19．（8分）如图，直线与抛物线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为A，求的面积． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握坐标系内求三角形面积的方法． （1）令，求出点B，C的横坐标，再将横坐标代入直线解析式求解； （2）作轴交于点D，由求解． 【详解】（1）解：依题意，得， 整理得 解得：，， 将代入得， 将代入得， ∴点B坐标为，点C坐标为． （2）解：作轴交于点D，如图所示： ∵， ∴抛物线顶点A坐标为， 将代入得， ∴点D坐标为，， ∴ ． 20．（8分）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 【答案】(1)， 二次函数图象如下， (2)当时该二次函数的函数值y的取值范围为 【分析】（1）运用待定系数法即可求解，运用五点法作图即可； （2）根据自变量的取值范围分别算出临界点的函数值，结合顶点坐标得到函数值的取值范围． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为， ∴二次函数的顶点坐标为， 当时，， 当时，， 运用五点法作函数图象：略； （2）解：在二次函数中，当时， 时，；顶点坐标为；时，， ∴当时该二次函数的函数值y的取值范围为． 21．（8分）（25-26九年级上·陕西榆林·期末）垂榆的枝条柔软细长，因其对有害气体具有较强的抗性，被广泛用于城市街道、小区等场所，某小区空地处的一棵垂榆中某一枝的形状呈如图所示的抛物线形，已知这支垂榆在距离树干的水平距离为时，达到最高点，枝条的末端B到树干底部的水平距离，以地面所在直线为x轴，树干所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（注：树干近似看作直线，且与地面垂直，无风，枝条不动） (1)求这支垂榆所在抛物线的函数表达式； (2)身高的小明站在距离树干多少米时，头顶刚好碰到这支垂榆？ 【答案】(1)（或） (2) 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出自变量的值即可． 【详解】（1）解：由题意得，这支垂榆所在抛物线的顶点坐标为，点B的坐标为， 设这支垂榆所在抛物线的函数表达式为， 将代入，得，解得， ∴这支垂榆所在抛物线的函数表达式为（或）． （2）在中， 令，得， ∴（不符合题意，舍去），． ∴身高的小明站在距离树干为时，头顶刚好碰到这支垂榆． 22．（10分）二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 或 【分析】（1）根据题意，得，，，结合，得，解方程，解答即可． （2）当时，得，利用数形结合思想，结合函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，得二次函数的图象与轴交于点，且， ，，， ， ， ， ， 整理，得， 解得， 当时，，不满足要求，舍去； 当时，，满足要求； 故，． （2）解：，， 故二次函数的解析式为，且抛物线开口向下，对称轴为直线， 当时，得， 解得， 如图所示，此时， 时，函数值都小于，且对称轴左侧，y随x减小而减小， ， 解得； 时，函数值都小于，且对称轴右侧，y随x增大而减小， ， 解得； 综上所述，符合要求的的取值范围是或． 23．（10分）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标变换规则与函数图象上点的坐标满足函数解析式等知识，解题关键是依据“关联点”“待定关联点”的定义确定新点坐标，再利用函数图象上点的坐标满足函数解析式这一性质列等式求解． （1）根据关联点的定义和图象上点的坐标特征得到，然后代入, 得到，解得，即可求得点的坐标； （2）根据待定关联点的定义和图象上点的坐标特征得到然后代入, 得到, 解得, 即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：由题意，得点的关联点为， 由点在抛物线上，可得 又在抛物线上， ， 解得， 将代入得， 点的坐标为； （2）点的待定关联点为 在抛物线的图象上， ， ， 又， ， 当时，， 点的坐标为. 24．（12）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 【答案】(1)①；②长度的最大值为，； (2)或 【分析】（1）①先确定抛物线的表达式为，再确定A，B，C三点的坐标，运用待定系数法求直线的表达式即可；②根据题意可得，，得到，利用二次函数的性质，确定最值，求解即可； （2）可求出，，则可求出，讨论的取值范围，从而根据二次函数的性质确定的增减性，结合题意讨论求解即可， ． 【详解】（1）①解：当时，抛物线的表达式为， 在中，当时，， 解得， ∵点A在点B左侧， ； 在中，当时，， ； 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； ②解：∵点为直线上的动点，且， ∴由（1）可知点在线段上，且不与点B，点C重合， 如图所示， 在中，当时，， 在中，当时，， ，， ， ∵，且， ∴当，长度有最大值，最大值为， 此时 ∴此时． （2）解：在中，当时，， ∴，即， 解得， ∵点A在点B左侧， ； 在中，当时，， ， 设直线的表达式为， ∴， 解得， ∴直线的表达式为； 在中，当时，， 在中，当时，， ∴，， ； 当时，，则， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而减小，不符合题意； 当时，，则， ∴ ∵，即， ∴当时，随的增大而增大， 又∵，且线段的长随着的增大而增大， ∴， 解得； 当时，，则， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， 又∵，且线段的长随着的增大而增大， ∴； 综上所述，m的取值范围是或； 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）已知是二次函数，则（ ） A．a不为零 B．b不为零 C．c不为零 D．a，b，c均不为零 2．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（ ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 4．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（ ） A．18 B． C．9 D． 7．（2026·福建三明·三模）将抛物线 进行平移得抛物线 ，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北衡水·期末）已知二次函数的图象经过点，则下列三名同学的说法中正确的是（    ） 甲：存在实数，使得． 乙：对任意实数，都有． 丙：不存在实数，使得． A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．三人都不正确 9．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）已知两个整式：，，下列说法： ①当时，所得的结果不含一次项； ②若，则或； ③当时，如果关于的方程有解，那么； ④当时，对任意的实数，都有恒成立． 其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·广西崇左·期末）是一个开口向下的二次函数，那么__． 12．（25-26九年级上·江西上饶·期末）在适宜环境中，某实验种群的数量（单位：只）与培养时间（单位：天）满足二次函数关系（受环境承载力限制，后期呈负增长趋势）．该种群数量达到最大值时的培养时间为___________天． 13．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 14．（2026·广西·一模）如图，是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是____________． 15．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 16．点在二次函数（为常数）的图象上， ．当时，二次函数的最大值与最小值的差为______． 三、解答题（共9小题，共72分） 17．（8分）定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”． 【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”， 证明：设，则， 因为，所以， 所以， 所以，因此该函数是“减函数”． (1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）； (2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由． 18．（8分）如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的值 (3)若点，在此抛物线上，比较与的大小． 19．（8分）如图，直线与抛物线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为A，求的面积． 20．（8分）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 21．（8分）（25-26九年级上·陕西榆林·期末）垂榆的枝条柔软细长，因其对有害气体具有较强的抗性，被广泛用于城市街道、小区等场所，某小区空地处的一棵垂榆中某一枝的形状呈如图所示的抛物线形，已知这支垂榆在距离树干的水平距离为时，达到最高点，枝条的末端B到树干底部的水平距离，以地面所在直线为x轴，树干所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（注：树干近似看作直线，且与地面垂直，无风，枝条不动） (1)求这支垂榆所在抛物线的函数表达式； (2)身高的小明站在距离树干多少米时，头顶刚好碰到这支垂榆？ 22．（10分）二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 23．（10分）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 24．（12）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第1页（共6页） 试题 第2页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第一章 二次函数·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（25-26九年级上·甘肃平凉·期中）已知是二次函数，则（ ） A．a不为零 B．b不为零 C．c不为零 D．a，b，c均不为零 2．长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 3.（25-26九年级上·河北张家口·期末）如图是嘉嘉求抛物线的顶点坐标的过程，则（ ） 解：∵ …………① ………………② ∴抛物线的顶点坐标为………③ A．该过程完全正确 B．该过程从①开始出错 C．该过程从②开始出错 D．该过程从③开始出错 4．（2026·陕西·中考真题）某种鱼在捕食时，能从口中射出一股水流，如果不考虑空气阻力，那么射出的水流可以看成抛物线的一部分．按如图所示的平面直角坐标系，某条该种鱼在一次捕食中射出的水流的高度与水平距离的关系可以表示为，则这条鱼此次射出的水流的最大高度是（ ） A． B． C． D． 5．二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（ ） A． B． C． D． 6．如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（ ） A．18 B． C．9 D． 7．（2026·福建三明·三模）将抛物线 进行平移得抛物线 ，点在抛物线上，对应点在抛物线上，则点的横坐标可以是（ ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·河北衡水·期末）已知二次函数的图象经过点，则下列三名同学的说法中正确的是（    ） 甲：存在实数，使得． 乙：对任意实数，都有． 丙：不存在实数，使得． A．甲正确 B．乙正确 C．丙正确 D．三人都不正确 9．已知二次函数，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·重庆渝北·期末）已知两个整式：，，下列说法： ①当时，所得的结果不含一次项； ②若，则或； ③当时，如果关于的方程有解，那么； ④当时，对任意的实数，都有恒成立． 其中正确的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26九年级上·广西崇左·期末）是一个开口向下的二次函数，那么__． 12．（25-26九年级上·江西上饶·期末）在适宜环境中，某实验种群的数量（单位：只）与培养时间（单位：天）满足二次函数关系（受环境承载力限制，后期呈负增长趋势）．该种群数量达到最大值时的培养时间为___________天． 13．已知点，在抛物线上，且，则__________（填“>”“<”或“=”）． 14．（2026·广西·一模）如图，是抛物线与的公共顶点，过点的直线与抛物线，的另一个交点分别为，，若，则的值是____________． 15．建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 16．点在二次函数（为常数）的图象上， ．当时，二次函数的最大值与最小值的差为______． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（8分）定义：关于自变量的函数，对于该函数图象上任意两点，，当时，都有，称该函数为“增函数”，当，时，都有，称该函数为“减函数”． 【例题】证明：函数 （x是任意实数）是“减函数”， 证明：设，则， 因为，所以， 所以， 所以，因此该函数是“减函数”． (1)根据定义可以判断函数（x是任意实数）是“______函数”（填“增”或者“减”）； (2)根据例题，请判断函数在自变量时是“增函数”还是“减函数”；并说明此时该函数是否存在最大值或最小值，若存在，请求出最大值或最小值，若不存在，请说明理由． 18．（8分）如图，抛物线的顶点为，与轴的负半轴交于点，且． (1)求抛物线的表达式； (2)若点在该抛物线上，求的值 (3)若点，在此抛物线上，比较与的大小． 19．（8分）如图，直线与抛物线交于两点（点在点的左侧）． (1)求两点的坐标； (2)记抛物线的顶点为A，求的面积． 20．（8分）已知二次函数的图象经过点，． (1)求该二次函数的解析式，并在坐标系中画出函数图象； (2)当时，直接写出该二次函数的函数值y的取值范围． 21．（8分）（25-26九年级上·陕西榆林·期末）垂榆的枝条柔软细长，因其对有害气体具有较强的抗性，被广泛用于城市街道、小区等场所，某小区空地处的一棵垂榆中某一枝的形状呈如图所示的抛物线形，已知这支垂榆在距离树干的水平距离为时，达到最高点，枝条的末端B到树干底部的水平距离，以地面所在直线为x轴，树干所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．（注：树干近似看作直线，且与地面垂直，无风，枝条不动） (1)求这支垂榆所在抛物线的函数表达式； (2)身高的小明站在距离树干多少米时，头顶刚好碰到这支垂榆？ 22．（10分）二次函数的图象与轴交于点，且，． (1)求，的值． (2)当时，函数值都小于，求的取值范围． 23．（10分）在平面直角坐标系中，将点定义为点的“关联点”．如图，点在函数的图象上，点的“关联点”是点． (1)如果点在函数的图象上，求点的坐标； (2)将点称为点的“待定关联点”其中如果点的“待定关联点”在函数的图象上，试用含的代数式表示点的坐标． 24．（12）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C．若点为直线上的动点，过点P作轴交抛物线于点Q． (1)若． ①求直线的表达式； ②若，直接写出线段长度的最大值及此时的点P的坐标； (2)若，且线段的长随着的增大而增大，求m的取值范围． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $