第二章一元二次方程 单元检测 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 北师大版初中数学第二章一元二次方程单元提升卷，融合2024-2026年多地中考真题及改编题，覆盖概念、解法、应用等核心知识点，适配单元复习，培养抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/40分|一元二次方程定义、根的判别式、配方法、韦达定理、实际应用（如营业额增长问题）|结合中考真题，基础与提升题梯度分布，第10题压轴考查多结论判断，培养推理意识| |填空题|6题/24分|方程求解、一般形式、判别式应用、韦达定理、几何应用（如矩形周长）|改编中考题，第16题含参数讨论，提升抽象能力| |解答题|5题/36分|配方法、公式法、根的证明、利润问题、几何面积问题|综合应用题占比高，第19题利润函数、20题场地小路问题体现模型意识，21题韦达定理综合应用发展运算能力|

第二章一元二次方程单元检测 提升卷 考试时间：90分钟　满分：100分　版本：北师大版新教材 一、选择题（共10题，每题4分，共40分） 1. （2024·四川成都中考真题）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2. （2025·山东济南中考真题）一元二次方程的根的情况为（　　） A．有两个相等的实数根　　B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根　　　　D．没有实数根 3. （2024·广东广州中考改编）用配方法解方程，配方后所得的方程是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 4. （2026·江苏苏州中考模拟改编）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（　　） A．　　B．　　C．且　　D．且 5. （2024·浙江杭州中考真题）若一元二次方程的一个根为，则另一个根为（　　） A．　　B．　　C．　　D． 6. （2025·湖北武汉中考改编）已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（　　） A．1　　B．-1　　C．4049　　D．-4049 7. （2024·重庆中考A卷真题）某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为288万元，如果每月比上月增长的百分数相同，则平均每月的增长率为（　　） A．10%　　B．15%　　C．20%　　D．25% 8. （2025·陕西西安中考改编）已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为（　　） A．8　　B．10　　C．8或10　　D．12 9. （2024·安徽中考改编）关于x的一元二次方程，下列说法错误的是（　　） A．若，则方程一定有一个根为 B．若，则方程一定有一个根为 C．若，则方程一定有两个不相等的实数根 D．若 < 0，则方程一定没有实数根 10. （2026·北京海淀中考真题改编 压轴）已知关于x的一元二次方程，给出下列结论：①方程总有两个实数根；②若方程两个根的积为5，则；③若方程的一个根为1，则另一个根为2m；④无论m取何值，方程都有一个固定的根。其中正确结论的个数为（　　） A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个 二、填空题（共6题，每题4分，共24分） 11. （2024·湖南长沙中考真题）一元二次方程的根是__________。 12. （2025·四川南充中考改编）把一元二次方程化为一般形式，得到的结果是__________。 13. （2024·广西中考真题）已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为__________。 14. （2025·河北石家庄中考改编）已知x1，x2是一元二次方程的两根，则的值为__________。 15. （2024·江西中考真题）若一个矩形的面积为48，长比宽多2，则该矩形的周长为__________。 16. （2026·山东青岛中考真题改编 压轴）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是__________。 三、解答题（共5题，共36分） 17. （本题6分，2024·山西中考改编）用指定方法解下列一元二次方程： (1)（配方法） (3分) (2)（公式法） (3分) 18. （本题6分，2025·辽宁沈阳中考真题）已知一元二次方程。 (1) 求证：方程总有两个不相等的实数根；(3分) (2) 若方程的一个根是1，求k的值及另一个根。(3分) 19. （本题8分，2024·江苏连云港中考真题）某商店购进一批进价为20元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出400件；第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行降价促销，经市场调查发现，售价每降低1元，销售量增加20件。若商品在第二个月把销售单价定为x元（），总利润为y元。 (1) 求第一个月销售该商品获得的总利润；(2分) (2) 求第二个月总利润y与销售单价x之间的函数关系式；(3分) (3) 若第二个月要获得最大利润，求销售单价应为多少元，最大利润是多少？(3分) 20. （本题8分，2025·浙江宁波中考改编）如图，有一块长为40米，宽为26米的矩形场地，计划修建三条同样宽的小路（两条与宽平行，一条与长平行），其余部分种草，若种草区域的总面积为864平方米，求小路的宽度。 21. （本题8分，2026·广东深圳中考真题改编）已知关于x的一元二次方程。 (1) 求证：无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；(3分) (2) 若方程的两个根分别为x1，x2，且满足，求m的值。(5分) 1页 学科网（北京）股份有限公司 第二章一元二次方程单元检测 提升卷 参考答案 一、选择题 1. B　　2. B　　3. A　　4. C　　5. B　　6. A　　7. C　　8. B　　9. D　　10. C 二、填空题 11.， 12. 13. 14.13 15.28 16.且 三、解答题 17. 解： (1) 配方法解： 移项得，(1分) 配方得，即，(1分) 开方得，解得，；(1分) (2) 公式法解： 这里，，，判别式，(1分) 由求根公式得，(1分) 解得，。(1分) 18. 解： (1) 证明：对于一元二次方程， 判别式，(2分) 所以方程总有两个不相等的实数根；(1分) (2) 解：把x=1代入方程得， 整理得，解得k=0或k=1，(1分) 设方程的另一个根为t，由韦达定理得， 当k=0时，t=0；当k=1时，t=2， 所以k=0时另一个根为0，k=1时另一个根为2。(2分) 19. 解： (1) 第一个月每件利润为2050% = 10元，售出400件， 总利润为10 400 = 4000元；(2分) (2) 第二个月销售单价为x元，每件利润为(x-20)元， 原售价为30元，降价了(30-x)元，销售量为400 + 20(30-x)=1000-20x件，(1分) 所以总利润；(2分) (3)，(1分) 因为-20 < 0，抛物线开口向下，对称轴为x=35，在范围内，y随x增大而增大，(1分) 所以当x=30时，y取得最大值，最大值为2000元，即销售单价应为30元，最大利润为2000元。(1分) 20. 解：设小路的宽度为x米，(1分) 根据题意，种草区域可拼接为长(40-2)米，宽(26-)米的矩形，(2分) 可得方程：，(3分) 整理得，(1分) 解得，，(1分) 因为44 > 26，不符合题意，舍去，(1分) 答：小路的宽度为2米。(1分) 21. 解： (1) 证明：对于一元二次方程， 判别式(1分) ，(1分) 所以无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；(1分) (2) 解：由韦达定理得，，(1分) 因为，(1分) 代入得，(1分) 整理得，即，化简得，(1分) 因式分解得，解得或， 经检验，两个值都满足判别式大于0，所以m的值为2或。(1分) $