29.1.1 圆的有关概念（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“圆的有关概念”，涵盖圆的动态与静态定义、点与圆位置关系及弦、直径、弧等相关概念。通过展示摩天轮等生活图片创设情境，引导学生动手用棉线图钉画圆，观察运动中变与不变引出动态定义，再从集合角度归纳静态定义，搭建知识学习支架。 此资料突出核心素养培养，动手操作与情境问题发展几何直观和抽象能力，概念辨析及例题推理强化推理意识，“车轮为何是圆的”等实际问题与拓展提升题增强应用意识，合作探究环节促进主动学习，助力学生构建知识体系，提升数学思维与应用能力。

29.1.1 圆的有关概念 （导学案） （1）理解圆的概念：能从动态（旋转）和静态（集合）两个角度描述圆的定义，明确圆心的确定作用，明确平面内的点与圆的位置关系. （2）掌握相关概念：能准确识别并用自己的语言描述弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧. （3）发展核心素养：在探索概念的过程中，体会“从特殊到一般”、“数形结合”的思想，发展抽象能力和几何直观.通过“车轮为什么是圆的”等实际问题，增强应用意识. 重点:圆的两种定义及其相关概念（圆心、半径、弦、直径、弧）的理解与掌握. 难点:圆的集合定义的理解，以及“等弧”与“等弦”的区别（等弧必须完全重合，即长度和度数都相等）. 第一环节 自主学习 问创设情景，引入新课 创设情景，引入新课 情境创设：展示图片（摩天轮、奥运五环、水滴涟漪、圆形古建筑）。 问题1：同学们，在这些图片中，你看到了什么共同的图形？ 问题2（核心追问）：为什么这些建筑、物品都设计成圆形？圆形到底有什么独特的数学性质，让它在生活中无处不在？ 活动：让学生拿出准备好的棉线和图钉。尝试用图钉固定住棉线一端，另一端系上粉笔头，在纸上画一个圆. 追问：在画的过程中，什么变了？什么没变？ 【学法指导】自研课本P144-116页内容， (一)圆的定义 操作观察：如图29.1-2，观察画圆的过程，你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗? 如图29.1-2，观察画圆的过程，你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗? 归纳圆的动态定义：如图29.1-3，在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆.其固定的端点O叫作圆心，线段OP叫作半径，以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”. 辨析：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.强调“圆心定位置，半径定大小”. 问题：抛开运动的过程，圆上的所有点有什么共同特征？ 从画圆的过程可以看出： 归纳圆的静态定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. （二）平面内的点与圆的位置关系 观察：图29.1-2画圆的过程，还可以发现，平面被圆分成几部分，相应地，平面内的点与圆有几种位置关系？ 追问：点和圆的位置关系如何刻画？请讨论归纳. 类似于用点到圆心的距离刻画点在圆上，可以用点到圆心的距离刻画点在圆外、点在圆内，设O的半径为r，任意一点P到圆心的距离OP=d，则有： 点P在圆外d>r; 点P在圆上d=r; 点P在圆内d<r. 教师强调：符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. （三）圆的元素 弦与直径 图形展示：在⊙O上画一条线段AB，连接圆上任意两点的线段叫做弦. 特殊化：移动点B，使线段AB经过圆心O.此时线段AB叫做直径. 辨析：直径是弦，但弦不一定是直径. 直径是圆内最长的弦（可通过测量或勾股定理说明）. 弧 定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.记作“⌒”. 分类：1. 半圆：直径AB把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 2. 劣弧：小于半圆的弧（ ）. 3. 优弧：大于半圆的弧（ ）. 辨析：半圆是弧吗？弧是半圆吗？ （四）等圆与等弧 等圆定义：能够完全重合的两个圆（ ） 强调：“位置无所谓，大小必须一样”. 等弧定义：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。 强调：仅仅长度相等的弧不一定是等弧（举例：半径1cm的90°弧与半径2cm的45°弧长度可能相等，但弯曲程度不同，不能重合）. 【自研自探】 自研课本P114-116页内容 典型例题 例1.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证：A，B，C，D四个点在以点0为圆心的同一个圆上. 例2.已知：如图，在中，是直径，为不是直径的弦，求证：是中最长的弦． 第二环节 合作探究 1.讨论圆的两种定义 2.讨论平面内的点与圆的位置关系 3.讨论圆有哪些元素. 4.讨论等圆或等弧. 拓展提升： 1.设，画图说明：到点A的距离小于，且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 课本课堂练习P116 1.（2026·全国·九年级专题练习）如图，线段过圆心O，点A，B，C，D均在上，请指出哪些是直径、半径、弦，并把它们表示出来． 2．（2026下·全国·九年级专题练习）如图，线段过圆心O，点A，B，C，D均在上，请指出哪些是直径、半径、弦，并把它们表示出来． 3．（2026.淮南检测）体育老师想利用一根长的绳子在操场上画一个半径为的圆，你能帮他想想办法吗？ 4．（2026.吉安单元测试）在直角坐标平面内， 的半径是5，圆心 的坐标为，试判断点与 的位置关系． 知识技能：一个图形：圆（ ）. 两个元素：弦（ ）、弧（ ）. 两个关系：等圆（ ）、等弧（ ）. 思想方法：数形结合、从特殊到一般、集合观点. 易错提醒：直径是弦，但弦 直径.半圆是弧，但弧 半圆.等弧强调在 中，长度相等只是 ，必须 也相同. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 29.1.1 圆的有关概念 （导学案） （1）理解圆的概念：能从动态（旋转）和静态（集合）两个角度描述圆的定义，明确圆心的确定作用，明确平面内的点与圆的位置关系. （2）掌握相关概念：能准确识别并用自己的语言描述弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧. （3）发展核心素养：在探索概念的过程中，体会“从特殊到一般”、“数形结合”的思想，发展抽象能力和几何直观.通过“车轮为什么是圆的”等实际问题，增强应用意识. 重点:圆的两种定义及其相关概念（圆心、半径、弦、直径、弧）的理解与掌握. 难点:圆的集合定义的理解，以及“等弧”与“等弦”的区别（等弧必须完全重合，即长度和度数都相等）. 第一环节 自主学习 问创设情景，引入新课 创设情景，引入新课 情境创设：展示图片（摩天轮、奥运五环、水滴涟漪、圆形古建筑）。 问题1：同学们，在这些图片中，你看到了什么共同的图形？ 问题2（核心追问）：为什么这些建筑、物品都设计成圆形？圆形到底有什么独特的数学性质，让它在生活中无处不在？ 活动：让学生拿出准备好的棉线和图钉。尝试用图钉固定住棉线一端，另一端系上粉笔头，在纸上画一个圆. 追问：在画的过程中，什么变了？什么没变？ 【学法指导】自研课本P144-116页内容， (一)圆的定义 操作观察：如图29.1-2，观察画圆的过程，你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗? 如图29.1-2，观察画圆的过程，你能从点的运动的角度描述圆是怎样形成的吗? 归纳圆的动态定义：如图29.1-3，在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点P所形成的图形叫作圆.其固定的端点O叫作圆心，线段OP叫作半径，以点O为圆心的圆，记作O，读作“圆O”. 辨析：以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.强调“圆心定位置，半径定大小”. 问题：抛开运动的过程，圆上的所有点有什么共同特征？ 从画圆的过程可以看出： （1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）； （2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上. 归纳圆的静态定义：圆心为O、半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的距离等于定长r的点的集合. （二）平面内的点与圆的位置关系 观察：图29.1-2画圆的过程，还可以发现，平面被圆分成几部分，相应地，平面内的点与圆有几种位置关系？ 可以发现，平面被圆分成三部分，相应地，平面内的点与圆有三种位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内（如图）. 追问：点和圆的位置关系如何刻画？请讨论归纳. 类似于用点到圆心的距离刻画点在圆上，可以用点到圆心的距离刻画点在圆外、点在圆内，设O的半径为r，任意一点P到圆心的距离OP=d，则有： 点P在圆外d>r; 点P在圆上d=r; 点P在圆内d<r. 教师强调：符号“”读作“等价于”，它表示从符号“”的左端可以推出右端，从右端也可以推出左端. （三）圆的元素 弦与直径 图形展示：在⊙O上画一条线段AB，连接圆上任意两点的线段叫做弦. 特殊化：移动点B，使线段AB经过圆心O.此时线段AB叫做直径. 辨析：直径是弦，但弦不一定是直径. 直径是圆内最长的弦（可通过测量或勾股定理说明）. 弧 定义：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.记作“⌒”. 分类：1. 半圆：直径AB把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆. 2. 劣弧：小于半圆的弧（通常用两个字母表示，如⌒AC）. 3. 优弧：大于半圆的弧（通常用三个字母表示，如⌒ABC）. 辨析：半圆是弧吗？弧是半圆吗？ 半圆是特殊的弧，弧不一定是半圆. （四）等圆与等弧 等圆定义：能够完全重合的两个圆（半径相等） 强调：“位置无所谓，大小必须一样”. 等弧定义：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧。 强调：仅仅长度相等的弧不一定是等弧（举例：半径1cm的90°弧与半径2cm的45°弧长度可能相等，但弯曲程度不同，不能重合）. 【自研自探】 自研课本P114-116页内容 典型例题 例1.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证：A，B，C，D四个点在以点0为圆心的同一个圆上. 【分析】根据点和圆的位置关系，只要证明A，B，C，D四个点到点0的距离相等. 【详解】证明：∵四边形ABCD为矩形，对角线AC，BD相交于点O， ∴OA=OC=AC，OB=OD==BD，AC=BD. ∴OA=OC=OB=OD. ∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心、OA为半径的圆上. 例2.已知：如图，在中，是直径，为不是直径的弦，求证：是中最长的弦． 【分析】连接，，利用三角形三边关系可得，而，则可证明，即是中最长的弦． 【详解】证明：如图，连接，， 、、、是圆的半径， ． 是圆的直径， ． 、、是三角形的三边， ． 即． 是中最长的弦． 第二环节 合作探究 1.讨论圆的两种定义 2.讨论平面内的点与圆的位置关系 3.讨论圆有哪些元素. 4.讨论等圆或等弧. 拓展提升： 1.设，画图说明：到点A的距离小于，且到点B的距离大于的所有点组成的图形． 【详解】解：如图所示，分别以A、B圆心，以2cm为半径画圆， 到点A的距离小于2cm的点在圆A的内部，到点B的距离大于2cm的点在圆B的外部， 即到点A的距离小于2cm，且到点B的距离大于2cm的所有点组成的图形为图中的阴影部分（不包括阴影的边界）． 课本课堂练习P116 1.（2026·全国·九年级专题练习）如图，线段过圆心O，点A，B，C，D均在上，请指出哪些是直径、半径、弦，并把它们表示出来． 【详解】解：直径有：直径； 半径有：； 弦有：弦、弦． 2．（2026下·全国·九年级专题练习）如图，线段过圆心O，点A，B，C，D均在上，请指出哪些是直径、半径、弦，并把它们表示出来． 【详解】解：直径有：直径； 半径有：； 弦有：弦、弦． 3．（2026.淮南检测）体育老师想利用一根长的绳子在操场上画一个半径为的圆，你能帮他想想办法吗？ 【详解】解：作法如下：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈，B所经过的路径就是所要画的圆． 4．（2026.吉安单元测试）在直角坐标平面内， 的半径是5，圆心 的坐标为，试判断点与 的位置关系． 【详解】解：， 因为半径为5， 所以点在 上． 知识技能：一个图形：圆（动态、静态定义，点与圆的位置关系）. 两个元素：弦（直径是特殊的弦）、弧（优弧、劣弧、半圆）. 两个关系：等圆（半径相等）、等弧（必须能重合）. 思想方法：数形结合、从特殊到一般、集合观点. 易错提醒：直径是弦，但弦不一定是直径.半圆是弧，但弧不一定是半圆.等弧强调在同圆或等圆中，长度相等只是前提，必须弯曲程度（度数）也相同. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $