28.2.3 关于原点对称点的坐标（导学案）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学导学案聚焦“关于原点对称点的坐标”，核心内容为理解坐标变化规律（P(x,y)→P'(-x,-y)）及应用。课堂导入通过复习x轴、y轴对称规律和中心对称本质，以“点绕原点旋转180°坐标变化”设问衔接旧知，搭建学习支架。 此导学案亮点在于自主学习（动手描点归纳规律、口诀记忆）、合作探究（对比三种对称规律）及拓展提升（综合例题与各地期末题），培养学生几何直观、推理意识与应用意识，助力提升数形结合能力和规范解题习惯。

28.2.3 关于原点对称点的坐标 （导学案） （1）理解平面内点关于原点对称的坐标变化规律，熟记公式：点P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y).能熟练求出任意点关于原点的对称点坐标，能根据两点原点对称的关系求解参数、未知数.掌握在平面直角坐标系中，作几何图形关于原点对称图形的规范步骤.能精准区分关于x轴、y轴、原点对称的三种坐标变换规律，避免混淆. （2）通过动手描点、计算对比、小组归纳，经历原点对称坐标规律的推导全过程，培养观察归纳、数形结合的探究能力.通过例题实操、规范解题，掌握坐标变换类题型的解题思路，提升几何与代数结合的综合应用能力. （3）感受几何变换与代数运算的内在联系，体会数学的统一性、简洁性.在规律探究和辨析对比中，培养严谨的数学思维，养成规范解题、规范作图的学习习惯. 重点:掌握点关于原点对称的坐标变化规律并熟练应用，利用坐标规律求对称点坐标、作关于原点对称的几何图形. 难点:区分x轴、y轴、原点三种对称的坐标规律，避免公式混用；灵活利用原点对称坐标规律解决含参数的综合计算问题. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 1. 旧知复习 （1）提问：点关于x轴、y轴对称的坐标规律是什么？ 关于x轴对称，横不变、纵相反；关于y轴对称，纵不变、横相反. （2）回顾：中心对称的本质是什么？ 图形绕定点旋转180°后与另一图形重合，对应点连线过对称中心且被平分. 2. 设问启思：在平面直角坐标系中，若将一个点绕坐标原点旋转180°，得到它的对称点，横纵坐标会发生怎样的变化？ 3. 导入课题：今天我们探究中心对称在坐标系中的应用——关于原点对称点的坐标. 【学法指导】 新知自研：自研课本第103-104页的内容 【学法指导】自研课本P103-104页内容 (一)原点对称坐标规律 活动1. 探究 如图，在平面直角坐标系中，作出下列已知点关于原点的对称点，并写出它们的坐标.A(4，0)，B(0，-3)，C(2，1)，D(一1, 2)，E(一3，一4).这些坐标与已知点的坐标有什么关系？ 动手实操：学生在坐标系中描出以下各点：A(2,1)、B(-1,3)、C(-2,-2)、D(4,-3)，分别画出各点绕原点旋转180°后的对称点. 师生共同整理坐标，观察变化规律. 归纳：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y），关于原点的对称点为P'（-x，-y). 口诀：原点对称，横纵全变号. （二）三种对称规律对比辨析 师生共同梳理核心区别，突破易错混淆点： 1. 关于x轴对称：P(x,y)→(x,-y)（横不变，纵变号） 2. 关于y轴对称：P(x,y)→(-x,y)（纵不变，横变号） 3. 关于原点对称：P(x,y)→(-x,-y)（横纵全变号） （三）关于原点对称的点的坐标的应用 问题：利用关于原点对称点，可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于原点对称的图形，对于一些规则几何图形，与在平面直角坐标系中作关于坐标轴对称的图形类似，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）关于原点对称的点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到与这个图形关于原点对称的图形. 解决问题：如图，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出△ABC关于原点对称的图形. 解决问题的依据：直接套用“横纵坐标全部变相反数”的规律即可求解. 具体解决方法：点P(x，y)关于原点的对称点为P'(-x，-y)，因此△ABC的三个顶点A（-4，1)，B（-1，-1)，C（-3，2)关于原点的对称点分别为A'(4，-1)，B'(1，1)，C'(3. -2)，依次连接A'B'，B'C'，C'A'，就可得到与△ABC关于原点对称的△A'B'C. 【自研自探】 自研课本P103-104页内容 典型例题 例1.已知点P(a+1,2)与点Q(-3,b-2)关于原点对称，求a、b的值。 【分析】本题为中档综合题型，考查原点对称规律的逆向应用，利用“对称点横、纵坐标分别互为相反数”列方程求解参数，实现几何规律与代数方程的结合. 【详解】解：∵ 点P与点Q关于原点对称 ∴ 两点横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数可得方程组： a+1+(-3)=0，2+(b-2)=0 解得：a=2，b=0 答：a的值为2，b的值为0. 例2.如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)将绕点逆时针旋转后得到请在平面直角坐标系中画出； (3)若与关于原点中心对称，则点的坐标为________． 【分析】对于（1），根据点的平移规则：横坐标右移加、纵坐标下移减，计算出A、B、C平移后的对应点坐标，再顺次连接三点得到平移后的三角形． 对于（2），先确定旋转中心，再根据绕定点逆时针旋转的坐标变换规则，分别计算A、B、C旋转后的对应点坐标，顺次连接三点得到旋转后的三角形． 对于（3），因为关于原点中心对称的点横、纵坐标均互为相反数，所以直接根据点A的坐标计算其中心对称点的坐标． 【详解】（1）解：根据平移规则，点向下平移4个单位、向右平移1个单位后坐标变为， 计算得各顶点坐标：，，， 在坐标系中描点顺次连线即可得到所求三角形． （2）解：将各顶点与旋转中心连接， 将线段绕旋转中心逆时针旋转，得到各顶点坐标：， 描点顺次连线即可得到． （3）解：关于原点中心对称的点，横、纵坐标均为原坐标的相反数， ∴各顶点坐标为， 描点顺次连线即可得到， 的坐标为． 第二环节 合作探究 1.讨论原点对称坐标的规律？ 2.讨论三种对称的坐标规律？ 3.讨论关于原点对称的点的坐标的应用？ 拓展提升：1.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的；（点、、的对应点分别为、、） (2)将绕着点顺时针旋转得到，画出并写出点的坐标．（点、的对应点分别为、）. 【详解】(1)如图所示，即为所求， (2)如图所示，即为所求， 课本课堂P104练习 1.（25-26潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)描出点，，，并画出； (2)将向右平移4个单位得到，再画出关于点成中心对称的； (3)若为边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为，则的坐标为______． 【详解】(1)点，，，即为所求， (2)，即为所求， （3）解：∵为边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为， ∴点的坐标为，即． 2．（25-26.河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)将先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，画出平移后的； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)将绕点C逆时针旋转，画出旋转后得到的； 【详解】(1)如图，为所求 (2)如图，为所求 (3)如图，为所求 3．（25-26.阜新期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移4个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点O的中心对称图形； (3)点M、N是x轴上的动点（点M在点N的左边），且，直接写出的最小值____________． 【详解】(1) (2) （3）解：如图，将点向右平移一个单位得，过点作关于x轴的对称点，连接，与x轴交点N， ∴， ∴， ∴当点，N，C三点共线时，有最小值，最小值为的长度， ∴， ∴的最小值为． 知识技能：（1）核心规律：点P(x,y)关于原点对称点为P'(-x,-y)，横纵坐标全部变号；（2）核心技能：能快速求任意点的原点对称坐标、能独立完成坐标系图形原点对称作图；（3）综合能力：能利用原点对称规律列方程，求解参数、未知数；（4）规律辨析：熟记x轴、y轴、原点三类对称坐标变化区别. 思想方法：（1）数形结合思想：将图形180°旋转变换，转化为代数坐标运算，以数解形、以形助数；（2）特殊到一般思想：通过特殊点坐标探究，归纳出通用坐标变换公式；（3）类比归纳思想：类比坐标轴对称规律，对比学习原点对称规律，构建系统知识框架. 易错提醒：（1）规律混淆：x轴对称变纵号、y轴对称变横号、原点对称全变号，严禁混用公式；（2）符号错误：负数、0的对称坐标计算易出错，牢记“互为相反数”；（3）作图误区：必须先求所有顶点对称坐标，不可凭肉眼大致画图，顶点遗漏、连线混乱；（4）逆向误区：两点关于原点对称，需横、纵坐标分别互为相反数，单一坐标相反不成立. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 28.2.3 关于原点对称点的坐标 （导学案） （1）理解平面内点关于原点对称的坐标变化规律，熟记公式：点P(x,y)关于原点对称的点为P'(-x,-y).能熟练求出任意点关于原点的对称点坐标，能根据两点原点对称的关系求解参数、未知数.掌握在平面直角坐标系中，作几何图形关于原点对称图形的规范步骤.能精准区分关于x轴、y轴、原点对称的三种坐标变换规律，避免混淆. （2）通过动手描点、计算对比、小组归纳，经历原点对称坐标规律的推导全过程，培养观察归纳、数形结合的探究能力.通过例题实操、规范解题，掌握坐标变换类题型的解题思路，提升几何与代数结合的综合应用能力. （3）感受几何变换与代数运算的内在联系，体会数学的统一性、简洁性.在规律探究和辨析对比中，培养严谨的数学思维，养成规范解题、规范作图的学习习惯. 重点:掌握点关于原点对称的坐标变化规律并熟练应用，利用坐标规律求对称点坐标、作关于原点对称的几何图形. 难点:区分x轴、y轴、原点三种对称的坐标规律，避免公式混用；灵活利用原点对称坐标规律解决含参数的综合计算问题. 第一环节 自主学习 温故知新： 创设情景，引入新课 1. 旧知复习 （1）提问：点关于x轴、y轴对称的坐标规律是什么？ （2）回顾：中心对称的本质是什么？ 2. 设问启思：在平面直角坐标系中，若将一个点绕坐标原点旋转180°，得到它的对称点，横纵坐标会发生怎样的变化？ 3. 导入课题：今天我们探究中心对称在坐标系中的应用——关于原点对称点的坐标. 【学法指导】 新知自研：自研课本第103-104页的内容 【学法指导】自研课本P103-104页内容 (一)原点对称坐标规律 活动1. 探究 如图，在平面直角坐标系中，作出下列已知点关于原点的对称点，并写出它们的坐标.A(4，0)，B(0，-3)，C(2，1)，D(一1, 2)，E(一3，一4).这些坐标与已知点的坐标有什么关系？ 动手实操：学生在坐标系中描出以下各点：A(2,1)、B(-1,3)、C(-2,-2)、D(4,-3)，分别画出各点绕原点旋转180°后的对称点. 归纳：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P(x，y），关于原点的对称点为P'（-x，-y). 口诀：原点对称，横纵全变号. （二）三种对称规律对比辨析 师生共同梳理核心区别，突破易错混淆点： 1. 关于x轴对称：P(x,y)→ 2. 2. 关于y轴对称：P(x,y)→ 3. 关于原点对称：P(x,y)→ （三）关于原点对称的点的坐标的应用 问题：利用关于原点对称点，可以在平面直角坐标系中作出与一个图形关于原点对称的图形，对于一些规则几何图形，与在平面直角坐标系中作关于坐标轴对称的图形类似，只要先求出已知图形中的一些特殊点（如多边形的顶点）关于原点对称的点的坐标，描出并连接这些点，就可以得到与这个图形关于原点对称的图形. 解决问题：如图，利用关于原点对称的点的坐标的关系，作出△ABC关于原点对称的图形. 解决问题的依据：直接套用“横纵坐标全部变相反数”的规律即可求解. 具体解决方法： 【自研自探】 自研课本P103-104页内容 典型例题 例1.已知点P(a+1,2)与点Q(-3,b-2)关于原点对称，求a、b的值。 【分析】本题为中档综合题型，考查原点对称规律的逆向应用，利用“对称点横、纵坐标分别互为相反数”列方程求解参数，实现几何规律与代数方程的结合. 例2.如图，各顶点的坐标分别为，，． (1)将先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； (2)将绕点逆时针旋转后得到请在平面直角坐标系中画出； (3)若与关于原点中心对称，则点的坐标为________． 第二环节 合作探究 1.讨论原点对称坐标的规律？ 2.讨论三种对称的坐标规律？ 3.讨论关于原点对称的点的坐标的应用？ 拓展提升：1.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于原点对称的；（点、、的对应点分别为、、） (2)将绕着点顺时针旋转得到，画出并写出点的坐标．（点、的对应点分别为、）. 课本课堂P104练习 1.（25-26潍坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)描出点，，，并画出； (2)将向右平移4个单位得到，再画出关于点成中心对称的； (3)若为边上一点，经过（2）中的两次变换后对应点为，则的坐标为______． 2．（25-26.河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）． (1)将先向右平移4个单位，再向下平移1个单位，画出平移后的； (2)画出关于原点O成中心对称的； (3)将绕点C逆时针旋转，画出旋转后得到的； 3．（25-26.阜新期末）如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上． (1)将向右平移4个单位长度得到，请画出； (2)画出关于点O的中心对称图形； (3)点M、N是x轴上的动点（点M在点N的左边），且，直接写出的最小值____________． 知识技能：（1）核心规律：点P(x,y)关于原点对称点为 ，横纵坐标 ；（2）核心技能：能快速求任意点的原点 、能独立完成 ；（3）综合能力：能利用原点对称规律 ， 、 ；（4）规律辨析：熟记x轴、y轴、原点三类对称 . 思想方法：（1）数形结合思想：将图形180°旋转变换，转化为 ，以 、以 ；（2）特殊到一般思想：通过 探究，归纳出通用 ；（3）类比归纳思想：类比坐标轴 ，对比学习 规律，构建 框架. 易错提醒：（1）规律混淆：x轴对称变 、y轴对称变 、原点对称 ，严禁混用公式；（2）符号错误：负数、0的对称坐标计算易出错，牢记“ ”；（3）作图误区：必须先求所有顶点 ，不可凭 ，顶点 、连线 ；（4）逆向误区：两点关于 对称，需 坐标分别互为 ，单一坐标 不成立. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $