16.3 乘法公式 一课一练 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦乘法公式核心考点，通过基础辨析、几何直观、综合应用三阶分层设计，实现从概念理解到问题解决的递进式巩固，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|平方差/完全平方公式识别与直接运算|单选题1-5、填空10-12，通过辨析题（如公式结构判断）夯实概念，培养符号意识| |提升|公式变形与几何背景应用|单选题6-9、填空13-14，结合图形面积验证（如剪拼正方形）及参数求值，发展几何直观与推理能力| |综合|多公式综合应用与实际问题|解答题15-18，通过小区绿化面积计算等情境，整合公式变形与整式运算，提升应用意识与运算能力|

16.3 乘法公式 一课一练2026-2027学年人教版 八年级数学上册 一、单选题 1．下列算式能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 2．若，计算的结果是（    ） A． B． C． D． 3．从边长为的正方形中去掉一个边长为的小正方形（如图），然后用剩余的部分剪开后拼成一个长方形，上述操作能验证的等式是（    ） A． B． C． D． 4．若，则代数式为（   ） A． B． C． D． 5．运用完全平方公式计算，则公式中的对应的是（   ） A． B． C．x D． 6．若实数满足，则（    ）． A．2026 B．1013 C． D． 7．如果是完全平方式，则的值是（   ） A．3 B．3或 C．6 D．6或 8．如图，有三张边长分别为a，b，c的正方形纸片A，B，C，将三张纸片按图1，图2两种不同方式放置于同一长方形中．记图1中阴影部分周长为部分周长为，面积为；图2中阴影部分周长为，面积为，若，则b与c满足的关系为（　　） A． B． C． D． 9．如图，将四个长为、宽为的小长方形拼成一个大正方形，若大正方形的面积为36，中间小正方形的面积为16，则下列各式错误的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．计算：，则________． 11．已知，则的值为_____________． 12．若是一个完全平方式，则m＝________ ． 13．从前，有一个狡猾的地主把一块边长为的正方形土地租给马大伯耕种．过了一年，他对马大伯说：“我把租给你的这块地的一边减少，另一边增加，继续租给你，你也没吃亏，你看如何？”马大伯一听，觉得好像没吃亏，就答应了．其实我们知道马大伯吃亏了，他亏了______． 14．如图，有正方形A，B，将A，B并列放置后构造新的图形，分别得到长方形甲与正方形乙．若甲、乙中阴影部分的面积分别12，30，则正方形B的面积为________． 三、解答题 15．计算： (1) (2) (3) 16．如图，4张长为a、宽为的长方形纸片，按如图的方式拼成一个边长为的正方形，计算阴影部分的面积S（用含a，b的代数式表示）. 17．从边长为a的正方形中减去一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是 ； (2)计算：； (3)运用写出的等式，解答下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 18．如图，某小区有一块长为，宽为的长方形地，角上有四个边长为的小正方形空地，开发商计划将阴影部分进行绿化． (1)用含有，的式子表示绿化的面积（结果写成最简形式）； (2)物业找来阳光绿化团队完成此项绿化任务，已知该团队每小时可绿化，每小时收费元，则该物业应该支付绿化团队多少元（用含，的代数式表示）？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 D B D A B D D C D 1．【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】平方差公式为，只有两个二项式相乘时，存在一项完全相同，另一项互为相反数，才能用平方差公式计算，据此逐项判断即可． 【详解】解：A选项，式子中不存在完全相同的项和互为相反数的项，不能用平方差公式计算，不符合题意． B选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意． C选项，两项均互为相反数，只能用完全平方公式计算，不能用平方差公式，不符合题意． D选项，式子中相同项为，相反项为和，符合平方差公式的结构，可以用平方差公式计算，符合题意． 2．【答案】B 【知识点】同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查的知识点是同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、运用平方差公式进行运算，解题关键是熟练掌握相关运算． 通过同底数幂乘法的逆用、积的乘方的逆用、平方差公式简化表达式，将原式化为与相关的形式． 【详解】解：， ， ， ， 又， 原式． 故选：． 3．【答案】D 【知识点】平方差公式与几何图形 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，用代数式表示左图、右图的涂色部分的面积是正确解答的关键．用代数式分别表示左图、右图的涂色部分的面积即可． 【详解】解：左图，涂色部分的面积为， 将剩余的部分拼成右图的长为，宽为，因此面积为， 因此有：， 故选：D． 4．【答案】A 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了利用完全平方公式进行运算，熟记完全平方公式是解题关键．将题中等式变形为，利用完全平方公式进行运算即可得． 【详解】解：∵， ∴ ． 故选：A． 5．【答案】B 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查完全平方公式，根据完全平方公式，确定a和b的值，直接计算即可． 【详解】∵在公式中，对应，有，， ∴， 故公式中的对应的是， 故选B． 6．【答案】D 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的应用，求代数式值．可通过换元法结合完全平方公式的变形求解，核心是利用完全平方公式中与、的关系推导计算． 【详解】解：设，， ∵， 又∵，且由完全平方公式得， ∴将，代入得：， 即， 解得， ∴， 即， 故选：D． 7．【答案】D 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】根据完全平方公式的特征判断即可得到k的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， 即或，故D正确． 8．【答案】C 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式混合运算在面积中的应用，正确用含，，的代数式表示出、和、是解题关键．用含，，的代数式表示出图1、图2中阴影部分的周长和面积，可得、，代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：根据题意，得：长方形的长为，宽为， 则，， ， ， ，， ， ∴ ∴， 解得：， 故选：C． 9．【答案】D 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查的是完全平方式的特点及变形．依据题意可得，，再利用完全平方公式计算即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，， ∴，（负值均已舍去）， ∴，， 由得：，即， 由得：，即， ∴关系式中不正确的是D选项． 故选：D． 10．【答案】1 【知识点】运用平方差公式进行运算 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式是解决问题的关键．利用平方差公式可知，进而即可求解． 【详解】解：， 又 ， ∴ ，解得 ． 故答案为1． 11．【答案】5 【知识点】实数的混合运算、已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了代数式求值和完全平方公式，把所求式子变形为，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：5． 12．【答案】 【知识点】求完全平方式中的字母系数 【分析】完全平方式是能写成的形式，对比完全平方式的结构特征，即可确定的取值． 【详解】解：是完全平方式， 根据完全平方公式，可得， 展开得， 对比等式两边同类项系数，得， 解得． 13．【答案】25 【知识点】运用平方差公式进行运算、整式的混合运算 【分析】本题考查了平方差公式在生活实际中的运用，解题的关键就是读懂题意列出算式，然后熟练的运用平方差公式进行计算．由题意可知道原来正方形土地的面积是平方米，而现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是平方米，然后用减去算出答案即可． 【详解】解：∵原来正方形土地的面积是平方米， 现在这块地的一边减少5米，另一边增加5米后的面积是平方米， ∴平方米， ∴马大伯租用的土地面积亏了25平方米， 故答案为：25． 14．【答案】3 【知识点】多项式乘多项式与图形面积、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 设正方形A的边长为，正方形B的边长为，用代数式表示图甲、图乙中阴影的面积，整体代入计算即可得到答案． 【详解】解：设正方形A的边长为，正方形B的边长为， 由题意得：图甲中阴影的面积为， ； 图乙中阴影的面积为， ， ， ， 正方形B的面积为， 故答案为：． 15．【答案】(1) (2) (3) 【知识点】运用平方差公式进行运算、单项式乘多项式的应用、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式进行展开，再合并同类项，即可作答． （2）运用完全平方公式进行计算，即可作答． （3）先整理原式，再运用完全平方公式，然后去括号，得即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： 16．【答案】 【知识点】整式的混合运算、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了求阴影部分的面积，整式混合运算的应用，解题的关键是数形结合，熟练掌握割补法． 【详解】解： ． 17．【答案】(1) (2) (3)①；② 【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形 【分析】本题主要考查平方差公式的变形计算，掌握平方差公式是关键． （1）根据图形面积计算即可； （2）运用（1）中的结论计算即可； （3）①运用（1）中的结论计算即可； ②运用（1）中的结论分别计算出每一项，最后再计算乘法即可． 【详解】（1）解：图1的面积为，图2的面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解：①，，， ， ； ② ． 18．【答案】(1) (2)元 【知识点】整式的混合运算 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，解决本题的关键是根据整式的混合运算法则进行计算即可． 根据绿化面积等于长方形的面积减去四个小正方形的面积，可得：，根据多项式乘以多项式的法则和完全平方公式展开，再合并同类项即可； 根据该团队每小时可绿化，每小时收费元，可得：，然后再根据单项式乘以多项式的法则进行运算即可． 【详解】（1）解：根据题意，得绿化的面积为： ， 绿化的面积是； （2）解：根据题意得：元． 该物业应该支付绿化团队元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $