专题02 子集、全集、补集五大常考问题（高效培优专项训练）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 聚焦子集、全集、补集五大常考问题，以题型为载体系统覆盖集合关系判断、空集应用、子集计数、参数求解及补集运算，构建概念到应用的逻辑链条，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |判断集合包含关系|13题|具体与抽象集合关系判断|从元素特征到集合间包含关系的概念深化| |空集性质及应用|9题|空集与集合关系的辨析及参数讨论|空集特殊性在集合关系中的核心作用| |子集（真子集）个数|11题|有限集子集计数及限定条件下子集个数|集合元素个数与子集个数的量化关系| |含参数集合关系|15题|根据集合包含关系求参数范围|集合关系的代数化转化与分类讨论| |补集概念及运算|11题|补集的基本运算及综合应用|全集与补集的互逆关系及运算规则|

专题02 子集、全集、补集中的五大常考问题 题型一 判断两个集合的包含关系 题型二 空集的性质及应用 题型三 判断集合的子集（真子集）的个数 题型四 利用集合间的包含关系求参数 题型五：补集的概念及其运算 题型一：判断两个集合的包含关系 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助集合间基本关系判断即可得. 【详解】因为，所以． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 【答案】B 【分析】由集合的子集的定义求解即可. 【详解】由 ，则． 3．已知集合，，则集合、的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定集合、的关系 【答案】C 【分析】将集合、中的元素的表示形式改写，利用集合的包含关系可得出结论. 【详解】因为， ， 对于集合，当为奇数时，设，则， 当为偶数时，设，则， 故. 故选：C. 4．设集合{是等腰直角三角形}，{是等腰三角形}，{是等边三角形}，{是直角三角形}，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形、等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念可判断. 【详解】直角三角形不一定是等腰直角三角形，故B错误； 等边三角形都是等腰三角形，故，故C正确； 等边三角形都不是等腰直角三角形，故A错误； 直角三角形不一定是等腰三角形，故D错误. 故选：C 5．已知集合，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据集合包含关系的定义判断． 【详解】，因此， ，因此对任意的，必有，但，，因此有， 故选：C． 6．已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对集合分析，当为偶数时，比较它与集合的描述得到与集合的关系；通过整理集合与集合的描述，得到集合与集合的关系，从而得出集合的关系． 【详解】集合， 当时，， 当时，， 又集合，， 集合，集合， ，可得， 综上可得 故选：C. 7．（多选）以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 【答案】BCD 【分析】根据元素与集合间的关系、集合与集合间的关系可判定得到答案. 【详解】对于A，因为，故A错误； 对于B，因为空集是任何集合的子集，故B正确； 对于C，因为，故C正确； 对于D，因为，所以，又，所以方程无解，故是空集，故D正确. 故选：BCD. 8．（多选）已知集合，非空集合满足：，则集合可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】本题考查集合的交集运算以及子集的概念，解题的关键在于先求出集合B与集合C的交集，再根据子集的定义判断集合A的可能情况. 【详解】由题意知，集合，因为非空集合满足， 所以，则A的可能情况为. 故选： 9．已知集合或，，则集合，的关系为______． 【答案】 【分析】由二次函数性质求出集合，可确定集合，的关系. 【详解】由题意，故． 故答案为： 10．若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为___________（填“”或“”或“”）. 【答案】 【分析】根据集合间关系的定义，判断集合中的元素是否都在集合中，以及集合中是否存在元素不在集合中，进而确定集合与的关系. 【详解】对于任意的，可以令，，因为， 此时，满足集合的形式，所以. 由的任意性可知，集合中的所有元素都在集合中，即. 取，，则，因为是无理数，即， 而满足集合中元素的形式，所以. 这表明集合中存在元素不在集合中. 由且集合中存在元素不在集合中，根据真子集的定义可知 故答案为：. 11．指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)A与B之间无包含关系． (2)． (3)． 【分析】（1）利用集合的元素类型判断集合的包含关系. （2）利用不等式解集判断集合的包含关系. （3）利用列举法判断集合的包含关系. 【详解】（1）集合A的元素是数，集合B的元素是有序实数对，所以A与B之间无包含关系. （2）集合，用数轴表示集合A，B，如图所示，由图知. （3）由列举法，，，所以． 12．已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 【答案】(1)，，理由见解析 (2)证明见解析 (3)， 【分析】（1）根据定义可判断为中元素，利用反证法可判断不是中元素； （2）由，即可证明； （3）根据，同奇同偶及，可得中所有偶数的形式. 【详解】（1）∵，，∴ 假设，则， 且，， ∴，或，均无整数解，∴ （2）∵集合，恒有 ∴，∴ （3）集合，成立， 同奇或同偶时，，均为偶数，为4的倍数， 一奇一偶时，，均为奇数，为奇数. 因为，故， 所以，集合中的所有偶数为，. 13．已知集合中都至少有个元素，且，满足： ①，且，总有； ②，且，总有． (1)若集合，直接写出所有满足条件的集合； (2)已知， （ⅰ）若，且，求证：． （ⅱ）求证：． 【答案】(1)，，，； (2)（ⅰ）又，，，， 由①知，，， 由②知，， （ⅱ）因为中至少有个元素，， 不妨设，其中，互不相等的整数， 则，且， 所以中至少存在两个正整数， 不妨设，，，又， 由①知，，，， 由②知，，， 故由，，，，可推出， 同理由可推出，， 由，可推出， ， 所以对于大于等于的正整数，都属于， 因为， 由（ⅰ），，，， 所以任意的正整数都属于， 所以. 【分析】（1）由条件证明，设设，由条件列方程求，由此可得结论； （2）（ⅰ）由条件先证明，再证明， （ⅱ）先证明中至少有两个正整数，设正整数，由此证明，同理证明出大于等于的正整数属于，结合（ⅰ）证明小于的正整数属于，由此完成证明. 【详解】（1）因为，又，且，总有， 所以，即， 设，由，且，总有， 可得， 所以或或， 但， 所以满足条件的集合有，，，； （2）略 题型二：空集的性质及应用 1．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空集的定义和相关性质逐项分析判断即可. 【详解】因为空集不含任何元素，且空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集， 所以，，，不是的子集，故ABD错误，C正确； 故选：C. 2．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据空集的性质、元素与集合、集合与集合的关系判断各关系式的正误. 【详解】根据元素与集合、集合与集合关系： 是的一个元素，故，①正确； 是任何非空集合的真子集，故、，②③正确； 没有元素，故，④正确；且、，⑤错误，⑥正确； 所以①②③④⑥正确. 故选：C 3．下列关系中，①；②；③；④；⑤，⑥，其中正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】A 【分析】要熟记特殊的数集符号，结合数的分类一一求解即可. 【详解】表示正整数集，，①正确； 是有理数集，是无理数，，②错误； 集合中的元素是，元素是一个方程，而是一个数， ，③错误； 中不含有元素，，④错误； 是任何一个集合的子集，，⑤正确； 是整数集，中的0是整数，，⑥正确. 故选：A. 4．（多选）给出下列关系，其中正确的选项是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据元素与集合的关系，空集是任何集合的子集即可判断各选项的正误 【详解】选项A中，显然不是集合的元素，故A错误 不是集合的元素，是的元素，是任何集合的子集 ∴选项，，都正确． 故选： 5．若集合，则实数a的值的集合为____________． 【答案】 【分析】分与两种情况，结合根的判别式得到不等式，求出答案. 【详解】当时，满足题意； 当时，应满足，解得； 综上可知，a的值的集合为． 故答案为：． 6．若集合，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】利用空集的意义，结合方程根的情况列式求解即得. 【详解】当时，不成立，即，则； 当时，由，得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 7．已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 【答案】 【分析】根据题意分析可知方程无解，结合判别式分析求解. 【详解】由题意可知：集合是空集，即方程无解， 则，解得， 所以a的取值范围值是. 故答案为：. 8．判断下列叙述正确性： （1）∅＝{0}；         （2）任何一个集合必有两个或两个以上的子集； （3）空集没有子集；      （4）空集是任何一个集合的子集． （5）空集是任何集合的真子集； （6）若∅A，则A≠∅． 【答案】（1）错误；         （2）错误； （3）错误；      （4）正确； （5）错误； （6）错误. 【分析】（1）根据空集概念进行判断；         （2）根据空集的子集个数进行判断； （3）根据空集的子集个数进行判断；      （4）根据空集概念进行判断； （5）根据空集概念进行判断； （6）根据子集概念进行判断. 【详解】（1）,所以“∅＝{0}”错误；         （2）空集只有一个子集，所以“任何一个集合必有两个或两个以上的子集”错误； （3）空集有一个子集，所以“空集没有子集”错误；      （4）空集是任何一个集合的子集，正确； （5）空集是任何非空集合的真子集，所以“空集是任何集合的真子集”错误； （6）若∅A，则A可以为，所以A≠∅错误. 9．已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）（2）根据给定条件，利用空集的意义，结合一元二次方程判别式列出不等式组并求解即得. 【详解】（1）由，得，解得， 所以实数a的取值范围是. （2）由A和B有且只有一个是，得且或且， 则有或，解得或， 所以实数a的取值范围是或. 题型三：判断集合的子集（真子集）的个数 1．已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【详解】解不等式，因式分解得，解得， 又,所以,元素个数为3，所以的子集个数为. 2．已知集合，则的真子集个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】解方程可得集合，根据集合中元素个数与真子集个数的关系即可求解. 【详解】已知集合，则的真子集个数为. 故选：C 3．已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 【答案】D 【分析】根据题意写出集合，再由子集和真子集的定义即可解得. 【详解】因为集合，， 若，可知集合必有元素，可能含有元素0，3，4，5，但， 则集合的个数即为集合的真子集个数， 所以集合有个． 故选：D． 4．已知集合⫋，且中至少有一个奇数，则这样的集合有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】分集合含有一个元素及两个元素分别求解即可. 【详解】当集合A中含一个元素时，或； 当集合A中含两个元素时，或或， 所以这样的集合共有个. 故选：D. 5．集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．15 D．8 【答案】D 【分析】根据子集的定义，进行一一列举求解. 【详解】，，，， 为，，，，，，，， 的个数为个. 故答案为：D. 6．已知，均为整数，且，，则集合的真子集的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程得或，然后分别求出各个线段上的整数点，最后利用真子集个数结论求解即可. 【详解】要求集合的真子集个数，只需求集合的元素个数， 即，则或. 对于，由整数知且为偶数， 则有个满足条件的； 对于，由整数知且为3的倍数， 则有个满足条件的， 又因为被重复统计，故集合的元素个数是， 故集合的真子集的个数是. 故选：C. 7．（多选）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 【答案】AC 【分析】求出集合，再根据分情况讨论集合，进而求出实数取值的集合，依次判断选项即可. 【详解】由题可得：，因为， 当时，； 当时，，则或，解得：或， 所以实数取值的集合， 则，故A正确；B错误； 集合的子集为个，非空子集为个，故C正确，D错误； 故选：AC 8．（多选）若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（    ） A．3数集A有6个非空真子集 B．4数集B有6个2子集 C．若集合，则C的等和子集有2个 D．若集合，则D的等和子集有24个 【答案】ABD 【分析】根据集合的新定义结合子集及真子集的性质分别判断各个选项即可. 【详解】3数集A有个非空真子集，A正确. 假设， 则B的2子集有，，，，，，共6个，B正确. C的等和子集有，，，共3个，C错误. 因为，，，所以在D中， 只有，两组符合条件的等式.在D的4子集中， D的等和子集有，，共2个； 在D的5子集中，D的等和子集有，，，，，，，共7个； 在D的6子集中，D的等和子集有，，，，，，，，，共9个； 在D的7子集中，D的等和子集有，，，，，共5个； 在D的8子集中，D的等和子集有，共1个. 综上，D的等和子集有个，D正确. 故选：ABD. 9．设集合A满足，且是集合的真子集，则满足条件的A有__________个. 【答案】3 【分析】根据给定条件，写出含有元素的集合的真子集即可. 【详解】由集合A满足，且是集合的真子集， 得含有元素的集合的真子集为：， 所以满足条件的A有3个. 故答案为：3 10．已知集合，，则满足的集合的个数为_____. 【答案】7 【分析】由，得中含有，再结合的真子集即可求解. 【详解】， 由，得中含有， 又，所以集合的个数即为的真子集个数， 故答案为：7 11．已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设，证明：若，则. 【答案】(1)254 (2)证明见解析 【分析】（1）先分类讨论求出集合A，然后求出集合A的非空真子集个数； （2）结合条件设，将7x变形为，即可证明. 【详解】（1）当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，；当时，； 当时，； 所以，它有8个元素，有个非空真子集； （2）因为，所以设， 所以，得证. 题型四：利用集合间的包含关系求参数 1．设集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用列举法表示集合，根据，求得实数的取值集合. 【详解】由题意得． 当时，； 当时，，由，可得或． 综上所述，实数的取值集合为． 故选：D. 2．已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得：，分和两种情况，结合包含关系分析求解. 【详解】因为则 (1)若，则，解得； (2)若，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 故选： C. 3．已知集合，集合，若为的真子集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分集合是否是空集进行讨论即可求解. 【详解】当时，满足为的真子集，此时，解得. 当时，则,而后面两不等式等号不会同时成立，故解得. 综上，，即的取值范围是. 故选：C. 4．已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可得，分类讨论当、时解的情况，即可求解． 【详解】当时，，解得； 当时，，解得， 综上，，即实数m的取值范围为 故选：C 5．集合或， ，若，则实数的取值范围是（　　） A．且 B． C．或 D． 【答案】D 【分析】根据题意，分，和，三种情况讨论，结合，列出不等式，即可求解. 【详解】当时，不等式，即为不成立，即，满足； 当时，不等式，解得，即， 要使得，则满足，解得； 当时，不等式，解得，即， 要使得，则满足，解得， 综上可得，，即实数的取值范围为. 故选：D. 6．（多选）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先解方程表示出集合，然后根据和进行分类讨论即可，由此可求结果. 【详解】由解得或，则， 当时，此时，满足； 当时，此时，则， 若，则或，所以或； 综上所述，的可取值为， 故选：ABC. 7．（多选）已知集合，，且，则实数a可能的取值是（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】AB 【分析】化简集合，然后根据结合集合的包含关系列出关系式，进而求出参数的值. 【详解】因为方程的解集为，所以. 由于， 所以或或或 当时，方程无解， 即：，解得：； 当时，得：，解得：； 当时，得：，此时无解； 当时，得：，此时无解. 综上所述可得：的取值范围是. 故选：AB 8．（多选）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】AB 【分析】由，列出等式或，求得，再逐个进行验证即可； 【详解】因为，所以或，解得或或或． 当时，，，此时，则不符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则符合题意． 当时，，，此时，则不符合题意． 故选：AB 9．设集合，，若，则______． 【答案】1 【分析】由 ，利用 推出 ，从而确定 ，再检验 中的另一个元素是否也属于 ． 【详解】因为 ，且 ，所以 ． 又 ，其中 ，，所以只能有 ，解得 ． 当 时，，，此时 ，符合题意． 10．设，集合，若，则符合条件的实数组成的集合为________． 【答案】 【分析】由集合间的包含关系确定中的元素都在中，进而讨论的取值即可. 【详解】由题意得，因为， 当时，，符合题意， 当时，，则或，解得或， 综上，实数组成的集合为. 11．已知全集，集合，且，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】根据子集关系列式求解. 【详解】因为，所以，故实数的取值范围为. 故答案为：. 12．已知全集，，，且，则m的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据，分、两种情况讨论求解即可. 【详解】由，，， 当时，，解得； 当时，由或，解得. 综上所述，m的取值范围为. 故答案为：. 13．已知，集合，． (1)若，求的值； (2)若，，求，的值． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）由可得，求解即可； （2）由，，可得即可求解． 【详解】（1）， ，解得或； （2）若，则 解得或． 14．已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出集合，再根据得出即可求解； （2）先根据及，得出集合，再列式计算求参. 【详解】（1）当时，，又因为， 所以，所以，所以； （2）当时，， 因为，， 所以只有一个元素且， 所以，所以. 15．设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)． (2)或． 【分析】（1）由集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素，结合，求得的值，即可得到答案； （2）先求得，根据，所以集合可能是，，，，分情况讨论，结合二次函数的性质，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合， 因为集合有且仅有两个子集，所以集合只有一个元素， 故，所以， 所以实数的取值范围是． （2）解：由，解得或，所以， 因为，所以集合可能是，，，； 当时，即方程无实数根， 则，解得； 当时，即方程有且只有一个根0， ，解得； 当时，即方程有且只有一个根， 则，方程组无解； 当时，方程有两根和， 则，解得， 综上所述，实数的取值范围是或． 题型五：补集的概念及其运算 1．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， ， 所以. 2．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题首先可根据题意确定集合和集合中包含的元素，然后根据补集的相关性质即可得出结果. 【详解】因为，所以， 因为，所以， 则. 3．设全集，集合，则的真子集的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．7 【答案】B 【分析】利用补集的定义求出，进而求出真子集个数． 【详解】因为，所以的真子集的个数为． 4．已知全集，集合，则中的元素个数为（     ） A．0 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【详解】依题意，，而， 所以，有个元素. 5．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由子集的定义分类讨论参数的取值，并通过集合的互异性进行验证，最后由补集的运算求解即可. 【详解】由题意得或， 当时，，此时集合不满足互异性，舍去， 当时，，此时，满足题意， 则. 6．（多选）已知全集，集合，，则（    ） A．集合的真子集有7个 B． C． D．中的元素个数为3 【答案】AC 【分析】由真子集的概念、并集、补集运算及集合间关系逐项判断即可. 【详解】，， 对于A，集合有3个元素，集合的真子集有个，正确， 对于B，，错误； 对于C，，正确； 对于D，中的元素个数为5， 故选：AC 7．（多选）已知全集，，且中有6个元素，则实数的值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】AD 【分析】根据选项条件，结合补集的定义，集合的包含关系，即可求解； 【详解】对于A中，当时，， 满足且中有6个元素，所以A正确； 对于B中，当时，，集合中无整数解，不符合题意； 对于C中，当时，，集合中无整数解，不符合题意； 对于D中，当时，， 满足且中有6个元素，所以D正确. 故选：AD. 8．已知，若CRA⊆CRB，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由CRA⊆CRB，可得，求解即可． 【详解】由CRA⊆CRB，可得，则，解得， 综上，的取值范围为 故答案为： 9．已知，，且真包含于，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用补集的定义以及真包含的定义可得出答案 【详解】或，因为真包含于，所以，解得. 故答案为： 10．全集 或，求 a. 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用补集的定义及相等集合列式求解. 【详解】由全集 ，得或， 而 或，因此，所以. 11．设集合 (1)求； (2)若⊆，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先解不等式解得集合，再根据补集的定义求解即可. （2）根据集合间的关系，对集合分类讨论求解得到参数范围. 【详解】（1）解不等式，因式分解得， 解得或，所以，因此 （2）因为⊆，， 当时，此时，解得. 当时，此时，解得 因此实数的取值范围为. 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 子集、全集、补集中的五大常考问题 题型一 判断两个集合的包含关系 题型二 空集的性质及应用 题型三 判断集合的子集（真子集）的个数 题型四 利用集合间的包含关系求参数 题型五：补集的概念及其运算 题型一：判断两个集合的包含关系 1．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，则（    ） A． B． C． D．A、B没有包含关系 3．已知集合，，则集合、的关系是（   ） A． B． C． D．无法确定集合、的关系 4．设集合{是等腰直角三角形}，{是等腰三角形}，{是等边三角形}，{是直角三角形}，则（    ） A． B． C． D． 5．已知集合，则，，之间的关系是（    ） A． B． C． D． 6．已知集合，，，则集合的关系是（    ） A． B． C． D． 7．（多选）以下选项正确的是（    ） A． B． C． D．是空集 8．（多选）已知集合，非空集合满足：，则集合可能为（    ） A． B． C． D． 9．已知集合或，，则集合，的关系为______． 10．若集合，中为有理数集.则集合之间存在的关系为___________（填“”或“”或“”）. 11．指出下列各对集合之间的关系： (1)，； (2)，； (3)，． 12．已知集合. (1)判断5，12，14是否属于，并说明理由； (2)集合，证明：； (3)写出集合中的所有偶数. 13．已知集合中都至少有个元素，且，满足： ①，且，总有； ②，且，总有． (1)若集合，直接写出所有满足条件的集合； (2)已知， （ⅰ）若，且，求证：． （ⅱ）求证：． 题型二：空集的性质及应用 1．下列关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知六个关系式①；②；③；④；⑤；⑥，它们中关系表达正确的个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．下列关系中，①；②；③；④；⑤，⑥，其中正确的个数是（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 4．（多选）给出下列关系，其中正确的选项是（    ） A． B． C． D． 5．若集合，则实数a的值的集合为____________． 6．若集合，则实数的取值范围是_____. 7．已知a是实数，若集合是任何集合的子集，则a的取值范围值是______. 8．判断下列叙述正确性： （1）∅＝{0}；         （2）任何一个集合必有两个或两个以上的子集； （3）空集没有子集；      （4）空集是任何一个集合的子集． （5）空集是任何集合的真子集； （6）若∅A，则A≠∅． 9．已知：集合，. (1)若，求实数a的取值范围； (2)若A和B有且只有一个是，求实数a的取值范围. 题型三：判断集合的子集（真子集）的个数 1．已知集合，则的子集个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．9 2．已知集合，则的真子集个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．已知集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．8 D．15 4．已知集合⫋，且中至少有一个奇数，则这样的集合有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．集合，，则满足的集合的个数为（    ） A．4 B．7 C．15 D．8 6．已知，均为整数，且，，则集合的真子集的个数为（   ） A． B． C． D． 7．（多选）设集合，集合，若，实数取值的集合，则下列命题正确的为（   ） A． B． C．集合的非空子集为7个 D．集合的子集为4个 8．（多选）若S是含有n个元素的数集，则称S为n数集S.n数集S中含有m（）个元素的子集，称为S的m子集.若在n数集S的任何一个t（）子集中，存在4个不同的数a，b，c，d，使得，则称该S的t子集为S的等和子集.下列结论正确的是（    ） A．3数集A有6个非空真子集 B．4数集B有6个2子集 C．若集合，则C的等和子集有2个 D．若集合，则D的等和子集有24个 9．设集合A满足，且是集合的真子集，则满足条件的A有__________个. 10．已知集合，，则满足的集合的个数为_____. 11．已知R的子集U为一个数集，集合. (1)设，求：集合A的非空真子集个数； (2)设，证明：若，则. 题型四：利用集合间的包含关系求参数 1．设集合，且，则实数的取值集合为（    ） A． B． C． D． 2．已知集合. 若，则实数的取值范围为(     ) A． B． C． D． 3．已知集合，集合，若为的真子集，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．已知集合，已知，若，则实数m的取值范围（    ） A． B． C． D． 5．集合或， ，若，则实数的取值范围是（　　） A．且 B． C．或 D． 6．（多选）已知为实数，若集合，且，则的值可以是（　　） A． B． C． D． 7．（多选）已知集合，，且，则实数a可能的取值是（   ） A． B．0 C． D．2 8．（多选）已知集合，，若，则的值可能是（    ） A． B． C．1 D．3 9．设集合，，若，则______． 10．设，集合，若，则符合条件的实数组成的集合为________． 11．已知全集，集合，且，则实数m的取值范围是_________． 12．已知全集，，，且，则m的取值范围为__________． 13．已知，集合，． (1)若，求的值； (2)若，，求，的值． 14．已知集合，. (1)若，且，求的值； (2)当时，若，求，的值. 15．设集合，． (1)若集合有且仅有两个子集，求实数的取值范围； (2)若，求实数的取值范围． 题型五：补集的概念及其运算 1．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2．设全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 3．设全集，集合，则的真子集的个数为（   ） A．2 B．3 C．4 D．7 4．已知全集，集合，则中的元素个数为（     ） A．0 B．3 C．4 D．5 5．已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 6．（多选）已知全集，集合，，则（    ） A．集合的真子集有7个 B． C． D．中的元素个数为3 7．（多选）已知全集，，且中有6个元素，则实数的值可以是（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 8．已知，若CRA⊆CRB，则的取值范围为__________. 9．已知，，且真包含于，则实数的取值范围为______. 10．全集 或，求 a. 11．设集合 (1)求； (2)若⊆，求实数的取值范围． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $