专题10 对数运算八类重难点题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题10 对数运算八类重难点题型 目录 典例详解 类型一、对数概念 类型二、求解涉及对数的方程问题 类型三、利用对数运算性质化简求值 类型四、利用已知对数求解其他对数表达式 类型五、换底公式的应用 类型六、对数运算的实际应用 类型七、对数新定义 类型八、对数与指数、不等式融合 压轴专练 类型一、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数，其中底数且且真数。 【技巧方法】 抓住对数的底数以及真数满足的条件列出不等式（组）求解. 例1．已知对数式有意义，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由对数式的意义列不等式组求解可得. 【解析】由有意义可知，解得且， 所以a的取值范围为. 故选：B 变式1-1．使式子有意义的x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的意义建立不等式组求解即可. 【解析】要使式子有意义， 则，即， 解得或， 所以x的取值范围是. 故选：D 变式1-2．若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题得，解出即可. 【解析】根据真数大于0得，解得， 故答案为：. 变式1-3．若，则x的值为 ． 【答案】4 【分析】利用对数的定义和，建立方程组即可求出结果. 【解析】因为， 所以， 即，解得． 故答案为：4. 类型二、求解涉及对数的方程问题 【技巧方法】 涉及对数的方程应确保对数有意义的前提下运用对数运算法则以及运用转换与化归思想将对数方程转化为一元一次方程或者一元二次方程 例1．已知是方程的两个实数根，则的值等于 ． 【答案】 【解析】设，则原方程化为，，即，所以 变式1-1．方程的根为（  ） A． B．3 C．或 D．或 【答案】B 【解析】由，得， 即，解得， 所以方程的根为. 故选：B 变式1-2．方程的实数解为 . 【答案】 【解析】由，得， 所以，即， 即，所以或（舍去），所以. 故答案为：. 变式1-3．已知，是方程的两个根，试给出关于，的一个结论 ． 【答案】（答案不唯一） 【解析】根据换底公式有，即， 令，则，解得或. 所以或，解得或. 故答案为：（答案不唯一） 类型三、利用对数运算性质化简求值 对数混合运算的一般原则 1.将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； 2.利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； 3.将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； 4.如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； 5.对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式． 【技巧方法】 1.的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简； 2.的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简； 例3．设正数，满足，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【分析】对两边同时取自然对数，结合对数运算法则即可判断选项A；由选项A，结合对数的运算法则可得即可判断选项B；对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得.由完全平方公式结合选项A可得，即可判断选项C；由可得，根据对数运算法则可得即可判断选项D. 【解析】对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，故选项A正确； 由选项A中，结合对数的运算法则可得，所以，故选项B正确； 对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，即. 所以，所以，故选项C错误； 由可得，即，根据对数运算法则可得，即，故选项D正确. 故选：ABD 变式3-1．下列等式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】对于A中，由，所以A正确； 对于B中，由，所以B错误； 对于C中，由，所以C错误； 对于D中，由，所以D错误． 故选：A 变式3-2．若，，则（  ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 【答案】A 【解析】由， 所以 故选：A 变式3-3．（多选）实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据指数幂的运算判断A；根据对数的运算性质判断BCD. 【解析】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：BD. 变式3-4．设，则_____________ 【答案】 【解析】. 故答案为： 化简 . 【答案】 【解析】原式 . 故答案为：. 变式3-5．计算下列各式的值： (1)4lg 2＋3lg 5－lg； (2)； (3)4log32－log3＋log34－log327； (4)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)； (5)lg. 【答案】(1)4; (2); (3)－1; （4）；（5） 【解析】(1)原式＝lg(24×53×5)＝lg(24×54)＝lg(2×5)4＝4. (2)原式＝＝＝. (3)原式＝4log32－(6log32－2)＋2log32－3log33＝4log32－6log32＋2＋2log32－3＝－1. (4)原式＝log2[(1＋＋)(1＋－)] ＝log2[(1＋)2－()2]＝log22＝. (5)原式＝lg ＝lg ＝lg 10＝. 类型四、利用已知对数求解其他对数表达式 对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 【技巧方法】 利用对数运算法则的应用进行转换 例4．已知，，试用表示． 【答案】. 【解析】，， ． 变式4-1．已知，用表示为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得， 所以 故选：B. 变式4-2．若，则 ． 【答案】 【解析】由题意得， . 故答案为： 变式4-3．已知，，试用表示为 ． 【答案】. 【解析】，， ． 故答案为： 类型五、换底公式的应用 换底公式: 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 注：可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③ 【技巧方法】 （1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用． 例5．已知，则 【答案】 【解析】，则， 即. 故答案为：. 变式5-1．已知，则的值为（  ） A．4 B．2 C．1 D． 【答案】D 【解析】因为， 所以，可得 ， 即， 所以，即， 所以. 故选：D. 变式5-2．（多选）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据指数与对数的互化，设，得，，，然后根据对数的运算性质以及换底公式对各个选项逐个化简即可判断求解． 【解析】已知正实数，则设，所以，，， 对于A，因为 ， 又，所以，所以，即，故A正确； 对于B，因为，，所以，即，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D， ， 又因为，故等号不成立，所以，即，故D正确， 故选：ACD． 变式5-3．已知则 . 【答案】1 【解析】由题意得，， ∴. 故答案为：1. 类型六、对数运算的实际应用 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数幂型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算． 例6．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，表示污染物的初始含量，如果在前消除了的污染物，那么： (1)求的值； (2)后还剩百分之几的污染物？ (3)污染物减少需要花多少时间（用对数表示）？ 【答案】(1)；(2)；（3） 【解析】（1）当时，，当时，，即. ， （2）当时，，即15h后，还剩的污染物. （3）设污染物减少40%需要花t h，则有，两边取以为底的对数，得. ，即污染物减少40%大约需要花h. 变式6-1．努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（  ）天后进步的是落后的200倍 A．264 B．266 C．268 D．270 【答案】A 【解析】设天后进步的是落后的200倍，则，， 即， 所以有（天）. 故选：A. 变式6-2．今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（  ）（参考数据:） A．年 B．年 C．年 D．年 【答案】B 【分析】根据已知条件得,解方程组求出的值,当时,在等式两边取对数即可求解. 【解析】由题意得:,解得, 所以, 当时,得,即, 两边取对数得, 所以, 即这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要年. 故选:B. 变式6-3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么tmin后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式求得，其中k是常数.为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： tmin 0 1 2 3 4 5 （℃） 95.00 89.19 84.75 81.19 78.19 75.00 (1)请你仅利用表中的一组数据，，求k的值，并求出此时的解析式； (2)在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据（1）的结果，王老师要等待多长时间？ （参考数据：，，，e是自然对数的底数.） 【答案】(1)，；(2)王老师大约等待20min 【分析】（1）由题意得，结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可； （2）令，进而结合指数与对数的相互转化及对数的运算性质求解即可. 【解析】（1）由题意，得， 即，即，解得， 此时. （2）令，即， 即，解得， 所以王老师大约等待20min. 类型七、对数新定义 题型特点 “新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。 解题策略 求解对数“新定义”题目，主要分如下几步： （1） 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2） 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；可仿照对数运算进行处理。 例7．高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先得到，利用对数运算法则计算出，得到答案. 【解析】， 则 ， 所以， 故选：C． 变式7-1．当把一个任意正实数表示成的时候，就可以得出正实数的位数是，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（  ）（参考数据：） A．32 B．33 C．34 D．35 【答案】B 【分析】设，则，计算即可求出，从而得出结果． 【解析】设，则 又因为， 所以，即， 因为，所以，所以， 解得：，因为， 故，所以的位数是. 故选：B. 变式7-2．对于两个均不等于1的正数m、n，定义：．设a、b、c均为小于1的正数，且，则的值是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【分析】根据条件得出与的大小关系，进而根据新定义把式子转化为对数的运算，再按照对数运算性质求值． 【解析】由且，得，， 根据新定义，得 ． 故选：D. 变式7-3．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 【答案】(1)； (2)； (3)610 【分析】（1）利用对数的运算性质计算即可； （2）令，则，根据对数与指数的互化可得，利用对数的换底公式化简原式即可； （3）利用对数的运算性质可得，结合位数的定义即可得出结果. 【解析】（1）原式； （2）由题意知，令，则， 所以， 所以； （3）设，则，又， 所以， 所以，则， 所以的位数为610． 类型八、对数与指数、不等式融合 例6．已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 【答案】(1)①；②；(2) 【解析】（1）①因为，所以，所以． ②因为，且，所以，解得． （2）由不等式，得，所以t的最大值． 变式8-1．（多选）已知，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【解析】因为，所以， 所以，所以A错误； ，B正确； ，所以，C错误； 因为，，所以，D正确. 故选：BD. 变式8-2．（多选）已知，，且，下列选项正确的是（  ） A．    B．   C．      D． 【答案】ABC 【解析】因为，，且，所以，当且仅当时等号成立，所以A正确； 因为，，且，所以，当且仅当时等号成立， 所以，所以B正确； 因为，，且，所以，且，所以，即，所以C正确； 因为，，且，所以，且， 所以，因为，所以，所以D错误. 故选：ABC 变式8-3．若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对数运算可得，利用基本不等式可求的最小值. 【解析】由，可得，所以，且， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 变式8-4．（多选）已知，则下列关系正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】因为， 所以， 对A选项，，所以，故A正确； 对B选项，， 所以，故B选项不正确； 对C选项，因为，， 所以， 而，故上述不等式等号不成立，则，故C不正确； 对D选项， ,故D正确. 故选：AD 1.已知，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据指数幂运算法则，可得. 再根据指数幂运算法则，对进行变形可得，所以. 已知，根据对数与指数的关系，可得. 同理，因为，所以. 将和代入中计算结果 把，代入可得：. 故选：D. 2.已知，则（  ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】C 【解析】由得，即，又且，所以， 故选：C． 3.已知，则（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解析】依题意，， 则． 故选：B 4.二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（  ）（参考数据：） A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年 【答案】A 【分析】估算出可用的年限，然后取常用对数计算即可. 【解析】由题意大约可以用万年， 则 ， 所以，即大约可以用万年. 故选：A 5.已知，，，则的最小值是（  ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】首先利用对数的运算性质得到，再利用基本不等式求解即可. 【解析】因为， 所以，则， 所以. 因为， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：D. 6.已知正实数，，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为， 令，则， 又，当且仅当时取等号， 所以，当且仅当时取等号， 即的最小值为，当且仅当时取等号， 所以的取值范围是. 故选：C 7.（多选）下列关系表示正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若设，且，则 D．若，则 【答案】ABC 【解析】对于A，，所以，所以，所以A正确；对于B，由，得，故，所以B正确；对于C，设，取对数得.所以.所以C正确；对于D，因为，所以，所以，所以D错误. 故选：ABC 8. （多选）声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），下列选项中正确的是（  ） A．闻阈的声强级为 B．此歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：） C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍 D．声强级增加，则声强变为原来的10倍 【答案】BD 【分析】根据题中所给声强级与声强之间的关系式，结合对数的运算以及函数的性质逐一分析四个选项，即可得到答案. 【解析】由题意，，则， 所以， 当时，，故A错误； 当时，即，则，当时，即，则， 故歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：），故B正确； 将声强为对应的声强级作商为，故C错误； 将，对应声强作商为，故D正确. 故选：BD. 9.（多选）已知正实数满足，则（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】对于A，因为正实数满足，所以， 所以，解得，当且仅当， 即时，取到最小值4，故A正确； 对于B，由得， 所以， 当且仅当即时，取到最小值，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以，所以， 当且仅当即时，取到最小值，故C正确； 对于D，，由A选项可知， 由函数在上单调递减可知，， 所以，故D正确. 故选：ACD 10.在中，x的取值范围是 【答案】 【分析】根据底数和真数的范围，列出不等式，求解即可. 【解析】要使得有意义，则，且，解得. 故答案为：. 11.若，则的值为 ． 【答案】12 【解析】由题意得 故答案为：12 12.若正实数，满足，，则 . 【答案】100 【解析】由于，整理得，①， 又，②， 所以①+②得：； 即 对于取常用对数可得，， 故. 故答案为：100. 13.（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 【答案】（1）；（2）或；（3） 【解析】（1）∵ ∴ ∴ （2）对数有意义，则，解得：或， 所以实数x的取值范围为或； （3） 即 =① 方程两边同乘x得： 即② 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当时，方程②的解为，此时代入①式，，符合要求 当且时方程②的解为或， 若是方程①的解，则，即 若是方程①的解，则，即 则要使方程①有且仅有一个解，则 综上：方程有且仅有一个解，实数a的取值范围是 14.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算. （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么 （2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注） （3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由. 【答案】（1）答案见解析；（2）6677；（3）甲，理由见解析. 【解析】（1）根据对数的性质以及指数式化对数式可得结果； （2）设，得，根据求出，根据位数的定义可得结果； （3）由可得，可得，可得，根据定义可得结论. 【解析】（1）如果，且，， 那么， 化为对数式得； （2）设，所以， 因为，所以， 所以， 所以的位数为6677； （3）根据题意得，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，所以， 所以甲同学的近似值更接近. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 对数运算八类重难点题型 目录 典例详解 类型一、对数概念 类型二、求解涉及对数的方程问题 类型三、利用对数运算性质化简求值 类型四、利用已知对数求解其他对数表达式 类型五、换底公式的应用 类型六、对数运算的实际应用 类型七、对数新定义 类型八、对数与指数、不等式融合 压轴专练 类型一、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作：．其中叫做对数的底数，叫做真数，其中底数且且真数。 【技巧方法】 抓住对数的底数以及真数满足的条件列出不等式（组）求解. 例1．已知对数式有意义，则a的取值范围为（  ） A． B． C． D． 变式1-1．使式子有意义的x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 变式1-2．若代数式有意义，则实数的取值范围是 . 变式1-3．若，则x的值为 ． 类型二、求解涉及对数的方程问题 【技巧方法】 涉及对数的方程应确保对数有意义的前提下运用对数运算法则以及运用转换与化归思想将对数方程转化为一元一次方程或者一元二次方程 例1．已知是方程的两个实数根，则的值等于 ． 变式1-1．方程的根为（  ） A． B．3 C．或 D．或 变式1-2．方程的实数解为 . 变式1-3．已知，是方程的两个根，试给出关于，的一个结论 ． 类型三、利用对数运算性质化简求值 对数混合运算的一般原则 1.将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式化简合并； 2.利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式； 3.将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂； 4.如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并； 5.对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式． 【技巧方法】 1.的应用技巧：在对数运算中如果出现和，则一般利用提公因式、平方差公式、完全平方公式等使之出现，再应用公式进行化简； 2.的应用技巧：对数运算过程中如果出现两个对数相乘且两个对数的底数与真数位置颠倒，则可用公式化简； 例3．设正数，满足，，则（　　） A. B. C. D. 变式3-1．下列等式正确的是（  ） A． B． C． D． 变式3-2．若，，则（  ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 变式3-3．（多选）实数，，，且，，，则下列各式中，恒成立的是（  ） A． B． C． D． 变式3-4．设，则_____________ 化简 . 变式3-5．计算下列各式的值： (1)4lg 2＋3lg 5－lg； (2)； (3)4log32－log3＋log34－log327； (4)log2(1＋＋)＋log2(1＋－)； (5)lg. 类型四、利用已知对数求解其他对数表达式 对数的运算法则 已知，（且，、） （1）正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； （2）两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； （3）正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 【技巧方法】 利用对数运算法则的应用进行转换 例4．已知，，试用表示． 变式4-1．已知，用表示为（  ） A． B． C． D． 变式4-2．若，则 ． 变式4-3．已知，，试用表示为 ． 类型五、换底公式的应用 换底公式: 1．logab＝(a>0，且a≠1；c>0，且c≠1；b>0)． 2．对数换底公式的重要推论： (1)logaN＝(N>0，且N≠1；a>0，且a≠1)； (2)＝logab(a>0，且a≠1，b>0)； (3)logab·logbc·logcd＝logad(a>0，b>0，c>0，d>0，且a≠1，b≠1，c≠1)． 注：可用换底公式证明以下结论： ①； ②； ③ 【技巧方法】 （1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用． 例5．已知，则 变式5-1．已知，则的值为（  ） A．4 B．2 C．1 D． 变式5-2．（多选）已知正实数满足，则下列说法中正确的是（  ） A． B． C． D． 变式5-3．已知则 . 类型六、对数运算的实际应用 对数运算在实际生产和科学研究中应用广泛，其应用问题大致可以分为两类： (1)建立对数式，在此基础上进行一些实际求值，计算时要注意指数式与对数式的互化； (2)建立指数幂型应用模型，再进行指数求值，此时往往将等式两边同时取对数进行计算． 例6．某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）间的关系为，其中是正的常数，表示污染物的初始含量，如果在前消除了的污染物，那么： (1)求的值； (2)后还剩百分之几的污染物？ (3)污染物减少需要花多少时间（用对数表示）？ 变式6-1．努力公式是一个用来描述努力与结果之间关系的数学公式，它通常表示为：，．我们可以把看作每天的进步率都是，而把看作每天的落后率都是，大约经过（  ）天后进步的是落后的200倍 A．264 B．266 C．268 D．270 变式6-2．今年月日,日本不顾国际社会的强烈反对,将福岛第一核电站核污染废水排入大海,对海洋生态造成不可估量的破坏.据有关研究,福岛核污水中的放射性元素有种半衰期在年以上;有种半衰期在万年以上.已知某种放射性元素在有机体体液内浓度与时间（年）近似满足关系式为大于的常数且.若时,;若时,.则据此估计,这种有机体体液内该放射性元素浓度为时,大约需要（  ）（参考数据:） A．年 B．年 C．年 D．年 变式6-3．中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经研究：把茶水放在空气中冷却，如果茶水开始的温度是，室温是，那么tmin后茶水的温度θ（单位：℃）可由公式求得，其中k是常数.为了求出这个k的值，某数学建模兴趣小组在25℃室温下进行了数学实验，先用95℃的水泡制成95℃的茶水，利用温度传感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的数据： tmin 0 1 2 3 4 5 （℃） 95.00 89.19 84.75 81.19 78.19 75.00 (1)请你仅利用表中的一组数据，，求k的值，并求出此时的解析式； (2)在25℃室温环境下，王老师用95℃的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至45℃时再饮用，根据（1）的结果，王老师要等待多长时间？ （参考数据：，，，e是自然对数的底数.） 类型七、对数新定义 题型特点 “新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。 解题策略 求解对数“新定义”题目，主要分如下几步： （1） 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2） 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；可仿照对数运算进行处理。 例7．高德纳箭头表示法是一种用来表示很大的整数的方法，它的意义来自乘法是重复的加法，幂是重复的乘法．定义：（从右往左计算）．已知可观测宇宙中普通物质的原子总数T约为，则下列各数中与最接近的是（参考数据）（  ） A． B． C． D． 变式7-1．当把一个任意正实数表示成的时候，就可以得出正实数的位数是，如：，则235是一个3位数．利用上述方法，判断的位数是（  ）（参考数据：） A．32 B．33 C．34 D．35 变式7-2．对于两个均不等于1的正数m、n，定义：．设a、b、c均为小于1的正数，且，则的值是（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 变式7-3．《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养．对数运算与指数幂运算是两类重要的运算.18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，并进一步指出：对数源出于指数．然而对数的发明先于指数，这成为数学史上的珍闻． (1)试利用对数运算性质计算的值； (2)已知为正数，若，求的值； (3)定义：一个自然数的数位的个数，叫做位数，例如23的位数是2，2024的位数是4．试判断的位数．（注） 类型八、对数与指数、不等式融合 例6．已知正实数满足． (1)①试用以k为底的一个对数表示； ②若，求实数m的值； (2)若不等式恒成立，求实数t的最大值． 变式8-1．（多选）已知，，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 变式8-2．（多选）已知，，且，下列选项正确的是（  ） A．   B． C．   D． 变式8-3．若，则的最小值为（  ） A． B． C． D． 变式8-4．（多选）已知，则下列关系正确的是（  ） A． B． C． D． 1.已知，则（  ） A． B． C． D． 2.已知，则（  ） A． B．0 C．2 D．4 3.已知，则（  ） A．4 B．3 C．2 D．1 4.二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是大小的，即441个点，根据0和1的二进制编码，一共有种不同的码.假设我们1秒钟用掉1万个二维码，1万年约为秒，那么大约可以用（  ）（参考数据：） A．万年 B．117万年 C．万年 D．205万年 5.已知，，，则的最小值是（  ） A．2 B． C． D．4 6.已知正实数，，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 7.（多选）下列关系表示正确的是（  ） A．若，则 B．若，则 C．若设，且，则 D．若，则 8. （多选）声强级（单位：）与声强（单位：）之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为，称为痛阈.某歌唱家唱歌时，声强级范围为（单位：），下列选项中正确的是（  ） A．闻阈的声强级为 B．此歌唱家唱歌时的声强范围为（单位：） C．如果声强变为原来的2倍，对应声强级也变为原来的2倍 D．声强级增加，则声强变为原来的10倍 9.（多选）已知正实数满足，则（  ） A． B． C． D． 10.在中，x的取值范围是 11.若，则的值为 ． 12.若正实数，满足，，则 . 13.（1）当时，解关于x的方程； （2）当时，要使对数有意义，求实数x的取值范围； （3）若关于x的方程有且仅有一个解，求实数a的取值范围 14.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算. （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么 （2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注） （3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $