第4章 指数与对数（高效培优单元测试·提升卷）数学苏教版2019高一必修第一册

第4章 指数与对数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由根式与分数指数幂的互化公式和指数运算性质，化简运算即可． 【解析】因为，所以. 故选：D. 2.下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 【答案】B 【分析】根据分式指数幂及根式的运算法则，正确运算，即可判断出正误． 【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得，选项A错误； 对于B，，故，选项B正确； 对于 C，， ，因为，所以，选项C错误； 对于D，，选项D错误. 故选：B． 3.若，求=（    ） A．3 B．2 C． D．4 【答案】C 【分析】利用换底公式得到，再根据指数对数恒等式计算可得. 【解析】因为，所以， 所以. 故选：C 4.若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据指数式和对数式互换得出；再根据对数的运算法则及换底公式可求解. 【解析】由可得：. 则 . 故选：C. 5.．已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【分析】根据对数式和指数式的互化，利用指数的运算即可求得答案. 【解析】由，得， 故， 故选：D 6.设a，b为实数，若，则以下说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由已知可得，然后根据对数的运算性质逐个分析判断即可. 【解析】因为，所以， 对于A，，所以A正确； 对于B，，所以B错误； 对于C，，所以C正确； 对于D，，所以D正确. 故选：B 7.已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】D 【分析】首先利用对数的运算性质得到，再利用基本不等式求解即可. 【解析】因为， 所以，则， 所以. 因为， 所以， 当且仅当时取等号． 故选：D. 8.已知m，n，p是均不等于1的正实数，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设，则且，由指数式化为对数式，根据得到，由换底公式和对数运算法则得到方程，求出，得到答案. 【解析】设，则且， ∴，，， 显然，则，，， 由得，即， 等式两边同除以得，， 其中， 故，. 故选：C． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据指数幂的运算以及根式与指数的互化逐项计算并判断. 【解析】A：，故正确； B：，故错误； C：，故正确； D：，故正确； 故选：ACD. 10.已知实数，且，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D．的值为 【答案】AC 【解分析】由，且可得或，后验证各选项即可得答案. 【解析】因，则，又， 则或. 则或，结合，得或. A选项，当时，；当时，，故A正确； B选项，当时，；当时，，故B错误； C选项，当时，；当时，，故C正确； D选项，当时，；当时，，故D错误. 故选：AC. 11. 设正数，满足，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【分析】对两边同时取自然对数，结合对数运算法则即可判断选项A；由选项A，结合对数的运算法则可得即可判断选项B；对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得.由完全平方公式结合选项A可得，即可判断选项C；由可得，根据对数运算法则可得即可判断选项D. 【解析】对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，故选项A正确； 由选项A中，结合对数的运算法则可得，所以，故选项B正确； 对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，即. 所以，所以，故选项C错误； 由可得，即，根据对数运算法则可得，即，故选项D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若代数式有意义，则 . 【答案】2 【分析】根据式子有意义及可得，进而结合指数幂运算性质求解即可. 【解析】由题可得，解得，又，所以， 则． 故答案为：2 13.若，，则的值是 . 【答案】3 【分析】根据给定条件结合指数、对数运算法则变形，指数式与对数式的互化求出x，y即可计算作答. 【解析】由得：，即，解得， 由得：，整理得：， 解得：或(舍去)，则有，即， 所以. 故答案为：3 14.设为正实数，，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意可得，进一步变形为，再利用基本不等式得，从而得，解出的值，代入即可求解. 【解析】因为为正实数，，则，即， ，故， 因为，所以， 又，，则由基本不等式得，当且仅当时，等号成立. 综上，，则，解得，则. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（1）计算：. （2）已知，，求的值. 【答案】（1）；（2）8 【分析】（1）根据分数指数幂的定义，任何非零数的0次幂为1，以及负指数幂的运算法则对原式进行化简计算.（2）根据对数运算法则，将指数式转化为对数式，再利用换底公式计算求出的值. 【解析】（1）原式 . （2） 由，， 可得，. 所以. 16.已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）逆用指数运算法则计算即可. （2）化指数式为对数式，再利用换底公式及对数运算法则求解. 【解析】（1）由，，得. （2）由，，得， 所以. 17.计算下列各式的值： (1) (2)设，，用a，b表示； (3)已知，试求的值. 【答案】(1); (2) (3)1 【分析】（1）根据对数的运算法则及换底公式求解即可； （2）根据对数的运算性质结合换底公式运算求解； （3）根据指对互化、对数的运算性质及换底公式运算求解. 【解析】（1）原式 . （2）. （3）因为，所以，则，， 则，，所以. 18.对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 【答案】(1); (2) 【分析】（1）根据韦达定理列出关于和的方程，然后利用换底公式进行化简，代入计算即可； （2）将对数式转化为指数式，利用指数运算和对数运算的性质求值即可. 【解析】（1）因为、是关于x的方程的两个实数根， 所以由韦达定理得， 由得，则； 由得，所以，即， 则. （2）由，得，由，得，则； 所以，即， 故. 19.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算. （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么 （2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注） （3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由. 【答案】（1）答案见解析；（2）6677；（3）甲，理由见解析. 【解析】（1）根据对数的性质以及指数式化对数式可得结果； （2）设，得，根据求出，根据位数的定义可得结果； （3）由可得，可得，可得，根据定义可得结论. 【解析】（1）如果，且，， 那么， 化为对数式得； （2）设，所以， 因为，所以， 所以， 所以的位数为6677； （3）根据题意得，， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以，所以， 所以甲同学的近似值更接近. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 指数与对数（高效培优单元测试·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.设，则的分数指数幂形式为（     ） A． B． C． D． 2.下列结论中，正确的是（     ） A．设则 B．若，则 C．若，则 D． 3.若，求=（    ） A．3 B．2 C． D．4 4.若，，则（    ） A． B． C． D． 5.．已知，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．12 6.设a，b为实数，若，则以下说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 7.已知，，，则的最小值是（    ） A．2 B． C． D．4 8.已知m，n，p是均不等于1的正实数，，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.设，则下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10.已知实数，且，则以下说法正确的是（    ） A． B． C． D．的值为 11. 设正数，满足，，则（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.若代数式有意义，则 . 13.若，，则的值是 . 14.设为正实数，，，则 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（1）计算：. （2）已知，，求的值. 16.已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 17.计算下列各式的值： (1) (2)设，，用a，b表示； (3)已知，试求的值. 18.对数的运算大大增加了解决代数问题的效率，延长了天文学家的寿命. (1)设、是关于x的方程的两个实数根，求：的值； (2)已知，且，若，，求：的值. 19.数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.因为运算，数的威力无限；没有运算，数就只是一个符号，对数运算与指数运算是两类重要的运算. （1）对数的运算性质降低了运算的级别，简化了运算，在数学发展史上是伟大的成就对数适算性质的推导有很多方法请同学们根据所学知识推导如下的对数运算性质：如果，且，，那么 （2）因为，所以的位数为4（一个自然数效位的个数，叫做位数）.请你运用所学过的对数运算的知识，判断的位数.（注） （3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能，围棋复杂度的上限约为，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数的和为，甲乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是，乙认为是，现有一种定义：若实数，满足，则称比接近，请你判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由. 22 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $